全国高中物理竞赛机械能训练题解答

全国高中物理竞赛机械能训练题解答火车以速度v匀速向前运动。

在车厢内有一轻质弹簧，一端固定在壁板上。

将弹簧压缩一段距离，然后将质量为m的物体与弹簧的自由端靠在一起（不连接），如图所示。

放开手后，物体受弹力作用在桌面上运动，离开弹簧时（仍在桌面上）对车厢的速度为v。

求从放手到物体离开弹簧瞬间，车厢壁板对弹簧的作用力做了多少功？（在地面参照系计算）解法一：在火车参照系中对物块的运动应用动能定理处理。

在火车参照系中，物体与弹簧未分离前是一个弹簧振子系统。

弹性力做功等于振子动能的增量1/2mv^2，弹性力做功又等于弹性势能的减少量，即-ΔEp（ΔEp为增量）。

所以有关系1/2mv^2=-ΔEp。

在地面参照系中再次利用动能定理。

壁板作用力对弹簧系统做的功W加上弹性力做的功（-ΔEp）等于物体动能的增量，即W-ΔEp=1/2mv'^2.所以，壁板作用力做功为W=mv'v/(v+v')-mv^2.解法二：在车厢参照系应用动量定理。

在弹力作用在物体上的同时，也对壁板有相同大小的作用力（因弹簧质量不计）。

设这个力在整个作用过程中的平均值为F，作用全过程所用的时间为t。

根据动量定理，作用在物体上的冲量等于物体动能的增量，即Ft=mv'。

这个力F也是壁板对弹簧的平均作用力。

方程两边均乘车子速度v，得到Fvt=mvv。

而左式Fvt=Fx=W正好等于地面参照系中壁板对弹簧做的功，为壁板对弹簧作用点在地面参照系中的位移。

最后得W=mvv。

___所示，木板A原来静止在光滑的水平面上，其中放一块木块B。

现用一足够大的水平力作用于A，使系统向右运动。

运动过程中B与A始终有相对滑动。

当木板A向右移动SA=1.0m时，木块B对地的位移SB'=0.75m。

已知B的质量mB=1.0kg，B与A之间的滑动摩擦系数μ=0.4，取g=10m/s²。

试分别以地面和木板A为参照系计算A和B之间的摩擦力对A、B以及A和B这个系统做的功。

设A和B之间的摩擦力大小为f。

以地面为参照系，对A应用牛顿第二定律，得到f=mB*g*μ=4N。

对A应用动能定理，得到A受到的摩擦力做的功为f*SA=4J。

对B应用动能定理，得到B受到的摩擦力做的功为-f*SB'= -3J。

对A和B这个系统应用动能定理，得到摩擦力做的功为(f*SA)-(f*SB')=1J。

以木板A为参照系，对A应用牛顿第二定律，得到f=mB*(g-μ*A)=2N。

对A应用动能定理，得到A受到的摩擦力做的功为f*SA=2J。

对B应用动能定理，得到B受到的摩擦力做的功为-f*SB'= -1.5J。

对A和B这个系统应用动能定理，得到摩擦力做的功为(f*SA)-(f*SB')=0.5J。

在地面参照系中，摩擦力对物体A做的功为W_A = -fS_A = -μmgS_A = -4J，摩擦力对物体B做的功为W_B = fS_B = μmgS_B = 3J，因此摩擦力对A、B做的总功为W = W_A +W_B = -1J。

在木板A参照系中，A静止，摩擦力对A做功为零，即W_A = 0.B的位移为S_A - S_B = 0.25m，摩擦力对B做功为W_B' = -f(S_A - S_B) = -1J。

因此，在A参照系中，摩擦力对系统的总功为W = W_B = -1J。

在一个与地面夹角为α，以恒定速度v向下运动的传送带上放一个质量为m的砖，砖被一根上端固定的绳拉着，不能和传送带一起向下运动。

自从把绳剪断后经过多长时间，砖获得传送带的速度？在此过程中，作用在砖上的摩擦力做了多少功？已知砖与传送带的动摩擦因数是μ。

根据动力学方程，砖获得的加速度为 a = g(sinα + μcosα)，因此砖获得速度v所需的时间为t = 2v/[g(sinα + μcosα)]。

在此时间内，砖相对于传送带所通过的距离为l = 2g(sinα + μcosα)。

摩擦力做正功，其值为W = fL = μmglcosα = 1/2μmv^2/(μ +tanα)。

一个长为l的轻质细杆上端A固定一个重球，直立于粗糙硬地上，由静止开始倒落。

求小球与地面相碰时的速度。

倒落过程分两个阶段，以N时刻为分界。

设α位置时，N = 0，则有mv^2/l = mgcosα，解得v = (2gl/3)^(1/2)cos(α/2)。

此后，杆离地，小球作斜抛运动，水平方向速度不变，竖直方向速度v_y = v*sinα，根据动能定理可得mv^2/2 = mgh，解得h= l(1 - cosα)，相碰时v_y = (2gh)^(1/2) = (2gl/3)^(1/2)sin(α/2)，因此相碰时的速度为v = (v_x^2 + v_y^2)^(1/2) = (2gl/3)^(1/2)。

一个人手持质量为m的小球乘坐在热气球下的吊篮里，气球、吊篮和人的总质量为M，整个系统静止在空中。

突然人将小球急速上抛，经过时间t后小球又返回人手。

设人手在抛接球时相对吊篮的位置不变。

求人在抛球过程中对系统做了多少功。

设人将小球急速上抛，小球刚抛出的向上的速度为v，与此同时M向下的速度为V，则人在抛球过程中对系统做的功为W = (1/2)mv^2 + (1/2)MV^2.依据动量守恒，v和V满足mv = MV，因此V = v(m/M)，代入上式得W = (1/2)mv^2(1 +m/M)。

M的物体放在小车上,物体与小车的摩擦系数为μ，小车继续匀速直线运动．求小车速度v与物体所受到的摩擦力F的关系式．解：物体受到的合外力为重力和摩擦力，由牛顿第二定律可得F Ma其中a为小车和物体的加速度．由于小车做匀速直线运动，所以a为零，即物体所受合外力为零．由此可得物体所受摩擦力F与重力平衡，即F Mg小车所受合外力只有摩擦力，根据牛顿第二定律可得F MaμMg将上述两式联立可得小车速度v与摩擦力F的关系式为vμg在滑块参照系中，有以下约束关系式：$tan\theta=\frac{v_x+u}{v_y}$。

如果以$\theta$为参量，则式（1）至式（3）可以联立解出$v_x$、$v_y$和$u$：$v=\frac{2M2glsin3\theta}{2(M+m)(mcos\theta+M)}$，$u=\frac{m}{M}\cdot\frac{v_x}{cot\theta+\frac{M}{M+m}}$。

利用滑块参照系，可以求出绳中的张力。

设小球相对于滑块的速度为$v$，则绳中的张力为$T=\frac{mMgsin\theta}{\frac{3}{2}M+m-\frac{1}{2}mcos2\theta}$。

如图(a)所示，一根长为$l$的轻绳两端各系一质量为$m$的小球，中央系一质量为$M$的小球，三球均静止于光滑水平面上，绳处于拉直状态。

现给小球$M$一冲击$v$使其获得一水平垂直于绳的初速度$v$，求当两端小球碰撞前瞬间绳内的张力$T$。

设两球相碰前瞬间，小球$M$和$m$相对于桌面的加速度大小分别为$a_M$和$a_m$。

则有：$m2T=Ma_M$（$-v$方向）和$T=ma_m$（$+v$方向）。

相对于小球$M$，小球$m$作圆周运动，在碰撞前瞬间，小球$m$相对于$M$的向心加速度为$2v_xb$，其中$v_x$为碰撞前小球在绳垂直方向的分速度。

因此，$2a_m=v_xb-a_M$。

将三式联立解得：$T=\frac{M2mv_xb}{M+2m}$。

设$v_y$为碰撞前的瞬间小球$M$的速度，由于绳子的长度保持不变，小球$m$沿绳方向的分速度为$v_y$。

由机械能守恒和动量守恒定律，有$Mv_y^2=Mv_y+m(v_x+v_y)^2$和$Mv=Mv_y+2mv_y$。

联立两式可得：$v_x=\frac{M}{2m}\cdot(v-2v_y)$。

将$v_x$代入上式，即可求出绳中的张力$T$。

解（5）和（6）式，可以得到速度v的表达式为：v=\frac{M+2m}{2b}x$$代入（4）式，可以得到周期T的表达式为：T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{M+2m}{2b}}}\cdot\frac{\sqrt{M}}{V}$$在图（a）所示的圆柱形内，有一块圆柱形木块，它的体积为V，高为h，密度为水密度的一半，横截面积为截面积的一半，水面高为2h。

现用一细棒缓慢地将木块压制底部，求木棒做了多少功。

由于木块的动能不变，因此压力所做的功实际上是使物体的势能和水的势能发生变化。

该问题的关键在于处理水面高度的变化和木块实际下降的距离。

第一个过程中，木块下压到水面相平，水面上升了$h/2$，水增加的势能为$E_p=Vgh/2$，木块减少的势能为$E_p=Vgh\rho/2$，此过程中压力所做的功为$W_1=Vgh\rho/4$，木块实际下降的距离为$V/2\rho$。

第二个过程中，木块下压到底部，木块下降的距离为$h/2$，所占那部分水的重心上升了$h/4$，此过程中压力做功为$W_2=Vgh\rho/4$。

因此，整个过程中压力做功为$W=W_1+W_2=Vgh\rho$。

如图所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数为k且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为T。

一质量为m、初速度为v的小物体在滑块上无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧。

1）细绳被拉断的条件为$v>T$。

2）绳断后，小物体的速度为$v_1$，滑块和小物体的加速度为$a$，则有：frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}mv^2$$Mg-kx=Ma$$解得小物体的加速度为$a=\frac{k}{M+m}$，滑块获得的最大向左加速度为$a_{max}=\frac{k}{M}$。

3）物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零，即小物体和滑块的速度相等，设为$v_2$，则有：frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}kx^2=Mgh$$frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}mv_2^2$$ 联立解得$v_2=\sqrt{\frac{2kx}{m}}$。

1.M在弹簧的作用下从静止开始加速，直至与m达到共同速度，此时弹簧压缩量x最大。

根据能量和动量守恒关系，可以得到以下公式：mv1 = (M+m)v22mv2 = (M+m)v1 + kx解得kx = (2kMv2 + T2) / (M+m)，因此此刻M的加速度最大为a = kx1 / (MM) = (2kMv2 + T2) / (M+m)2.一质量为m的物体从斜面最高点沿斜面下滑，碰到挡板后弹回，如此往复，求此物体从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。