【精品系列】高等数学复习资料 行列式
高等数学(下) 第3版课件-行列式的性质
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a
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b
a
0
b
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0
b
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a
b
a
4.
0
2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
3. 1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
1 a1
2 a1
n a1
5. 1 a2
2 a2
n a2
1 an
2 an
n an
《高等数学》
3 1
0
0
0
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按第二行展开 (1) 3
(4) 1
3 1
12
4
例2 用行列式的性质计算下列行列式：
1
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（1） 5
解：(1)
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〔〕
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a11
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ai1
ai 2
ain
ai1 cak 1
基础考试高等数学之行列式精品PPT课件
性质6：把行列式的某一行（列）的各元 素乘以同一数然后加到另一行（列）上 去，行列式不变。
※ 行列式的性质，主要是用来计算行列 式。其具体做法是：先将行列式化成上 （下）三角行列式，再直接计算即得。
1110 例2、计算行列式 1 1 0 1
1011 0111
提示：直接化成上三角行列式。
§1.6 行列式按行（列）展开
a22
a2n
0
an1 an2 ann
则方程组有唯一解。且
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中，Di是将D中的第 j 列换成bi 所得。
例1、解线性方程组：
x1 x2 x3 x4 1
2x1 3x2 x3 4x4 4x1 9x2 x3 16x4
5 25
8x1 27x2 x3 64xn 125
相应的有主对角线（实线）
副对角线（虚线） 。
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a1a 12a 233a1a 22a 331a1a 32a 132 a1a 12a 332a1a 22a 133a1a 32a 231
主对角元：a1、 1 a22、a33
副对角元：a13、a22、a31
1、余子式： 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列划去后，留下的 n－1阶行列式叫做元素的余子式，记为 Mij ※ 余子式实际上是一个数。 2、代数余子式： Aij (1)ijMij
引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i
行所有元素除 aij 外都为零，那么此行
列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，
推论：行列式某一行（列）的所有元素 的公因子可以提到行列式符号的外面。
大学线性代数常识点之行列式[专题]
![大学线性代数常识点之行列式[专题]](https://img.taocdn.com/s3/m/6abb72eac9d376eeaeaad1f34693daef5ef713f4.png)
大学线性代数知识点之行列式大学数学线性代数基础教程公式总结及应用分析第一章：行列式基础1、关于奇排列与偶排列的判别方法以及逆序数的求法（略）2、行列式的定义3、对角行列式：除了主对角线的元素非零，其余元素都为零的行列式，其值等于主对角线上元素的乘积。
4、行列式的对换：定义：排列中，将两个数对调，其余数保持不变，这种排列的变换称为对换。
定义：将相邻的两个数进行对换，称之为相邻对换，简称“邻换”定理一：一个排列中任意两数兑换，改变排列的奇偶性定理二：n阶行列式的一般式可以写成（-1）^（S+T)apiqi的形式，其中s，t分别是pi，qi的逆序数5、行列式的性质性质一：行列式与转制行列式的值相等行列式的对称原理，表明行列式的行和列是平等的，没有主次之分性质二：互换行列式的两行或两列，行列式的符号相反推论：诺行列式的两行或列的元素对应相等，则行列式的值为零（推理法：由于两行互换的时候符号是相反的，但是两个行列式互相换后，其行列式的值是与原行列式的值相等的，也就是说值只能是等于零。
性质三：行列式的某一行或某一列中的所有元素乘以同一个数值k，等于此常数乘以行列式推理：行列式的某一行，某一列有公因子，可以提到行列式外。
性质四：行列式中诺两行元素对应的元素成比例，则行列式的值为零这个性质由性质二和三容易证明。
性质五：行列式的某行某列中的元素都是两个数之和，则行列式的值等于相应的行列式之和。
性质六：把行列式的某一行乘上常数k，加到另一行上的对应元素，行列式的值不变。
6、行列式的计算方法方法一：展开法行列式等于它的任意一行的各元素对应代数余子式的乘积之和。
注意代数余子式的写法：代数余子式是由行标和列标来先决定其符号的，然后再看展开式中的符号，这里可以看得出行列式中的行与列是严格对称的，他们的地位是完全相同的。
方法二：边加法解一种特定形式的行列式的方法，通常用于未知数在对角线上，而其他元素则是相同的常数时使用这种方法。
行列式知识点高考
行列式知识点高考行列式是高中数学中的一个重要概念，也是高考中常常考察的知识点。
掌握行列式的相关知识对于应对高考数学题目是非常必要的。
本文将以深入浅出的方式介绍行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握行列式知识，提升高考数学应试能力。
一、行列式的定义行列式是由数和符号组成的一种代数形式。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，如果将它的n个数按照一定的规律排列成一个n×n的数表，并标记符号，那么这个数表就是A的行列式，记作det(A)或|A|。
二、行列式的性质1. 行列互换性质：交换行列式中两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
2. 行列式的倍数性质：如果行列式中所有的元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
3. 行列式的行（列）成比例性质：如果行列式中的某一行（或某一列）的元素都乘以同一个数k，得到新的行列式，那么新旧两个行列式的值成比例。
4. 行列式的行（列）有零元性质：如果行列式中某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。
5. 奇异行列式性质：如果行列式的某两行（或两列）完全相同，则行列式的值为0。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个二阶行列式A=[a b; c d]，行列式的值为ad-bc。
2. 三阶行列式的计算：对于一个三阶行列式A=[a b c; d e f; g hi]，行列式的值为a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)。
3. 高阶行列式的计算：高阶行列式的计算较为复杂，一般使用行列式的按行（列）展开法进行计算。
按行（列）展开法是通过选取某一行（或某一列）展开，将高阶行列式转化为低阶行列式的计算。
四、行列式在方程组中的应用行列式在解线性方程组中有重要的应用。
对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，方程组存在唯一解的充要条件是系数矩阵A的行列式不为0。
五、行列式的性质推导行列式的很多性质可以通过数学推导得到。
高等代数行列式知识点总结
第一章 行列式（ * * * ）一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。
在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。
具体可以参考真题。
二、考点精讲： (一）基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n nna a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=称为n 阶行列式，规定 n nn nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121)()1(∑-=τ。
定义4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n nna a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
（二）、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a ΛΛO ΛΛΛΛ000021称为对角行列式，n na a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ21210000=。
2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a ΛΛO ΛΛΛΛ022211211及nnn n a a a a aa ΛΛO ΛΛΛΛ212221110为上（下）三角行列式，nnnnn na a a a a a a a a ΛΛΛO ΛΛΛΛ2211222112110=，nn nnn n a a a a a a a a a ΛΛΛOΛΛΛΛ2211212221110=。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
高等数学行列式
高等数学行列式介绍行列式是线性代数中一个重要的概念，它在高等数学中扮演着重要的角色。
行列式可以用于求解线性方程组的解、计算矩阵的特征值和特征向量等。
本文将详细介绍高等数学中的行列式的概念、性质和计算方法。
行列式的定义在高等数学中，行列式是由一个方阵的元素所组成的一种特殊的数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
对于2阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式计算：|A| = a11·a22 - a12·a21对于3阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式计算：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a12·a2 1·a33 - a11·a23·a32一般地，对于n阶方阵A，可以利用扩展余子式的方式进行计算。
扩展余子式是对角线上的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
代数余子式是元素a(ij)的代数余子式，记作A(ij)，它是元素a(ij)所在行和列的所有元素组成的(n-1)阶方阵的行列式。
根据行列式的定义，可以得出以下性质。
行列式的性质1.交换方阵A的两行（列），行列式的值不变，即交换行（列）不影响行列式的值。
2.如果方阵A的某一行（列）的元素都是0，则行列式的值为0。
3.如果方阵A的两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
4.如果方阵A的某一行（列）的元素都乘以同一个非零常数k，行列式的值乘以k。
5.如果方阵A的某一行（列）的元素是两个数之和，行列式可以展开为两个行列式之和。
即对于A的第i行（列），有det(A) = det(A1) + det(A2)，其中A1和A2是通过将A的第i行（列）拆分成两部分得到的两个行列式。
6.如果方阵A的两行（列）只是对应元素成比例，行列式可以化简为一个常数的倍数。
线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
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22
23
a a a 31
32
33
a a a 11 22 33 a a a 12 23 31 a a a 13 21 32 a a a 11 23 32 a a a 12 21 33 a a a 13 22 31 .
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2) 降阶法
aaa
11
12
13
aa
aa
aa
a21 a
性质3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
D1 kai1 kai 2 kain k ai1 ai 2 ain kD.
a a a
n1
n2
nn
a a a
n1
n2
nn
注: 第 i 行(列)乘以 k , 记为 ri k ( 或 ci k ).
习题课
(第7章 行列式)
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一、行列式的定义
1. 二阶行列式
aa
11
a
12
a
a a11 22 a a 12 21.
21
22
2. 三阶行列式
可利用“对角线法则”或“降阶法” 得到.
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1) 对角线法则 对角线法则如下图所示:
aaa
11
12
13
a a a 21
a2n
a a a .
11 22
nn
0 0 0a nn
2) 下三角行列式
a11 0 0
a 21
a 22
0
a a11 22 ann .
a a a
n1
n2
nn
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3) 对角行列式
a11 0 0
0
a 22
0
a a11 22 ann .
0 0 a nn
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r 2r
4
1
3
1
1
0
7 2 5
7 0 2 5
r1 r2 6 0 11
2 6
2 1 (1)22
2 24.
r3 2r2 9 0 1
9 1
4. 计算行列式 求 A11 A12 A13 A14 .
3 5 2 1
1 1 0 5
D
,
1 3 1 3
2 4 1 3
解
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练习
1. 计算行列式
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三、利用“ 三角化 ”计算行列式 通常利用行列式的性质, 采用“化零”的方法, 逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有 1 的行(列)及含零较多 的行(列); 若没有1, 则可适当选取便于化零的数, 或 利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1; 若所给 行列式中元素间具有某些特点, 则应充分利用这些 特点, 应用行列式性质, 以达到化为三角形行列式之 目的．
11
12
1n
则
D bi1 bi 2 bin ci1 ci 2 cin .
an1 an2 ann an1 an2 ann
性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以 数 k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式的值 不变.
注: 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上, 记作 ri krj ; 以数 k 加到第 j 列加到第 i 列上, 记作 ci kcj .
3 1 1 2
2.
计算 D 5 1
3 4 .
2 0 1 1
1 5 3 3
解
1 D c1 c2 1
0
3 1 2
1 3 1 2
5
3
4
r2 r1 r4 5r1
0
8
4
6
2 1 1
0 2 1 1
5 1 3 3
0 16 2 7
1 3 1 2
1 3 1 2
r r
2
3
0
2
1
1 0 r3 4r2 r4 8r2
2
1
1
0 8 4 6
0 0 8 10
0 16 2 7
0 0 10 15
1 3 1 2 0 2 1 1 = 40. 0 0 8 10 0 0 0 52
12 3 4
3. 计算 D 1 0
1
2 .
3 1 1 0
1 2 0 5 解
70 1 4
71 4
D r1 2r3 1 0 1 2 (1) (1)32 1 1 2
4005
0031
(1)
;
1200
0103
10 20
1 4 3 6
(2)
.
0 2 5 3
31 10
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1 234
1. 计算行列式D 2
3
4
1 .
3412
4123
10 2 3 4 解 D 10 3 4 1
10 4 1 2 10 1 2 3
10 2 3 4 0 1 1 3 0 2 2 2 0 1 1 1
1 1 3 10 2 2 2 160.
1 1 1
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31
a22 a
32
22
a a 23
11
a32
a33
23
21
a12
a a 33
31
23
21
a13
a a 33
31
.22 a32
a A 11 11 a A 12 12 a A 13 13
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3. n 阶行列式
n
D a A a A a A a A
n
i1 i1
i2 i2
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推论3 行列式中若有两行(列)元素成比例, 则此 行列式为零.
性质4 和, 设
若行列式的某一行(列)的元素都是两数之
a11
a12
a1n
D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin ,
an1
an2
ann
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a a a
11
12
1n
a a a
in in
ij ij
j 1
( i =1, 2, …, n )a A
n
1j 1j
2j 2j
nj nj
ij ij
i 1
( j = 1, 2, …, n )
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4. 几个常用的特殊行列式
1) 上三角形行列式
a a a
11
12
1n
0
a22
二、 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT. 性质2 交换行列式的两行(列), 行列式变号. 注: 交换 i, j 两行(列)记为ri rj (ci cj). 推论1 若行列式中有两行(列)的对应元素相同, 则 此行列式为零.
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推论2 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面.