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线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
基础考试高等数学之行列式精品PPT课件
性质6：把行列式的某一行（列）的各元 素乘以同一数然后加到另一行（列）上 去，行列式不变。
※ 行列式的性质，主要是用来计算行列 式。其具体做法是：先将行列式化成上 （下）三角行列式，再直接计算即得。
1110 例2、计算行列式 1 1 0 1
1011 0111
提示：直接化成上三角行列式。
§1.6 行列式按行（列）展开
a22
a2n
0
an1 an2 ann
则方程组有唯一解。且
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中，Di是将D中的第 j 列换成bi 所得。
例1、解线性方程组：
x1 x2 x3 x4 1
2x1 3x2 x3 4x4 4x1 9x2 x3 16x4
5 25
8x1 27x2 x3 64xn 125
相应的有主对角线（实线）
副对角线（虚线） 。
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a1a 12a 233a1a 22a 331a1a 32a 132 a1a 12a 332a1a 22a 133a1a 32a 231
主对角元：a1、 1 a22、a33
副对角元：a13、a22、a31
1、余子式： 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列划去后，留下的 n－1阶行列式叫做元素的余子式，记为 Mij ※ 余子式实际上是一个数。 2、代数余子式： Aij (1)ijMij
引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i
行所有元素除 aij 外都为零，那么此行
列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，
推论：行列式某一行（列）的所有元素 的公因子可以提到行列式符号的外面。
高等数学行列式(同济大学)
1
2
1
1
2 1121
1112
5111 15 2 1 1
16 5 1 2 1 5112
2111 (1)4 1 2 1 1 2 1121
1112
11 1 1
10 0 0
5 1 2 1 1 5 1 1 0 0 16 1 1 2 1 16 1 0 1 0
11 1 2
10 0 1
5 16
练习
a bc 1
(1
b)
b 0
a 1 b
b 2a
0 2a b
1 b 2a (1 b)(b)
2a b
b(1 b)[4a2 b(1 b)]
1aba a0ab ba1a aba0
练习
a b 00 0
0 a b0 0
1、D
0 0 0a b 0 0 00 a
方法：
一般的自n行(列)起，后行(列)减去前 列，再去掉与第一行(列)成比例的分行 (列)，即得三角行列式。
例3
1 2 3 4 5 n1 n
1 1 2 3 4 n2 n1
计算行列式D 1 a 1 2 3 n 3 n 2
1 a a 1 2 n4 n3
i 1
0
c1 xi1ci (i 2,3,4,5)
0
1000 0100
4
1 xi2 i 1
0
0010
0
0001
练习
1 a1 1 1
1 D
1 a2 1Biblioteka 1 1 1 an
(1
4 i 1
1 ai
)a1a2 an
三、证明行列式Dn被整除的方法
高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义
11
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
高等数学 行列式
河南工程学院
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
如何工整简单便于记忆地表示这两个解?
由四个数排成二行二列的数表
11
线性代数
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对于二元线性方程组
对角线法则
河南工程学院
若记 系数行列式
12
线性代数
线性代数
若经过若干次这样的对换，可以将排列 p1 p2 pn 变为 自然排列，行排列相应地变成某个新的排列，设这个
新排列为 q1q2 qn ，其逆序数为s，则有
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn (1)s aq1 a1 q2 2 aqnn
40
线性代数
定理2 n阶行列式也可以定义为
a22
a11a22 ann
an1 an2 ann
ann
下三角形行列式
上三角形行列式
注意！
d1 d1
n(n1)
(1) 2 d1d2 dn
dn dn
37
线性代数
四、对换
河南工程学院
在排列中，任意两个元素对调，其余元素不动，
这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对
换，叫做相邻对换。
38
线性代数
河南工程学院
再证更一般的情形： 设排列为 a1 alab1 bmbc1 cm把它作m次相邻对
换变成 a1 alabb1 bmc1 cm，再作m+1次相邻对换 变成 a1 albb1 bmac1 cm ，相当于任意两个元素 a与b对换，由于总共经过了2m+1次相邻对换，所 以奇偶性相反。
线性代数1行列式PPT
0 0 0 0 b11 b1n bn1 bnn
a11 a1k D1 ak1 akk
b11 b1n D2 bn1 bnn
则有： D1 D2 要求：记住D的形式以及本题结论。 D
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
2
仍然看例
解：令 D D2
的位置换到先把为了利用前面的结果11aaijnnnnnaaaaaaad????????2122221110?34????11idnnjnjnnnijijijiinijijijiinjjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????????????????????????1111?11?1?11?11?1?11?1?11?11?111111110000????????前页35nnjnjnnnjnijijiijinijijiijinjjjijjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa????????????????????????1111?11?11?11?1?1?11?11?11?1?111111111100001?1?????????????引理得证
b11 b12 b1n D b21 b22 b2 n bn1 bn 2 bnn
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
19
bij a ji (i, j 1,, n)
则称D'为D的转置行列式，且有D=D'。
1
2 4
17
行列式的定义二（用行标排列）: S n 阶行列式也可定义为: D (1) aq 1 aq n , 其中 s 为行标排列 q1q2 qn 的逆序数。 总结：事实上，行列式的定义可以写出三种形式：
线性代数行列式完整版
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
(1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
记
Det(aij )
an1 an2 ann
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积
并冠以符号 (1)N ( j1 j2 jn ) 的项的和.
a1 j1 a2 j2 anjn
即
7
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a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
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二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义
转置行列式
3
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记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
从而
此即
23
N (x1x2 xn ) N (xn xn1 x1)
(n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2
N (xn xn1 x1)
n(n 1) 2
I
.
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（二）n阶行列式定义
分析：
a11 a12 a13
例3