2006年湖南高考数学文科卷及答案

2006年湖南高考试卷科目：数学（文史类）（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。

（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。

（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4. 本试卷共5页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

姓名准考证号绝密★启用前数 学（文史类）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式: 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是()(1)k k n kn n P k C P P -=-球的体积公式 343V R π=,球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数x y 2log =的定义域是A ．(0,1］B . (0,+∞) C. (1,+∞) D . ［1,+∞)2．已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b；2t t =时，b a ⊥，则A ．1,421-=-=t tB . 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D . 1,421==t t 3. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是A ．-2B . 22 C. 34 D . 24．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A ．πB . 2π C. 3π D . π32 5．“a =1”是“函数a x x f -=)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6B . 12 C. 18 D . 24 7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36B . 18 C. 26 D . 25 8．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 9．过双曲线M ：1222=-hy x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且BC AB =，则双曲线M 的离心率是A ．25 B . 310C. 5 D . 10 10. 如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41(B . )32,32(-C. )43,41(- D . )57,51(-二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题号的横上.11. 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 . 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.13. 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x 则22y x +的最小值是 .14. 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条.15. 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .A图1三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.17.（本小题满分１２分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分１4分） 如图2，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都是2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.Q BCPAD图219.（本小题满分14分） 已知函数ax ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分） 在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（Ⅱ）令n n n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….21.（本小题满分14分）已知椭圆C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.参考答案：1－10：DCDAABCBCDC11.12-n , 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .1．函数x y 2log =的定义域是2log x ≥0，解得x ≥1，选D.2．向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b，∴ 14t =；2t t =时，b a ⊥，21t =-，选C.3．5)1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ⋅-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 4．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是21R=1，该截面的面积是π，选A. 5．若“1=a ”，则函数||)(a x x f -==|1|x -在区间),1[+∞上为增函数；而若||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数，则0≤a ≤1，所以“1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+∞上为增函数”的充分不必要条件，选A.6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，选B.7．圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到到直线014=-+y x 的距=2，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C.8．设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，∴ 最小正周期为π，选B. 9．过双曲线1:222=-b y x M 的左顶点A (1，0)作斜率为1的直线l ：y=x －1, 若l 与双曲线M的两条渐近线2220y x b-=分别相交于点1122(,),(,)B x y C x y , 联立方程组代入消元得22(1)210b x x -+-=，∴ 1221222111x x b x x b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，x 1+x 2=2x 1x 2，又||||BC AB =,则B 为AC 中点，2x 1=1+x 2，代入解得121412x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴ b 2=9，双曲线M 的离心率e=10c a =，选D.10．如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，由图知，x<0，当x=－41时，即OC =－41OA ，P 点在线段DE 上，CD =41OB ，CE =45OB ，而41<43<45，∴ 选C.二．填空题：11.12-n ； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .11．数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴=+++n a a a 21212121n n -=--. 12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是409050818590⨯+⨯=分.13．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22y x +的最小值是5.14．过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有6条。

15．2222()sin()3sin()(sin cos )3(sin cos )442222f x a x x a x x x x ππ=++-=++-是偶函数，取a =－3，可得()32cos f x x =-为偶函数。