北师大版必修4高中数学第二章 向量应用举例教案
向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
证：设BE 、CF 交于一点H ，−→−AB = a , −→−AC = b , −→−AH = h ,则−→−BH = h - a , −→−CH = h - b , −→−BC = b - a ∵−→−BH ⊥−→−AC , −→−CH ⊥−→−AB ∴0)()()(0)(0)(=-∙⇒∙-=∙-⇒⎭⎬⎫=∙-=∙-a b h a b h b a h a a h b a h∴−→−AH ⊥−→−BC又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识：1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→−P P 1=λ−→−2PP ，λ叫做点P 分−→−21P P 所成的比， 有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 注意几个问题：①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在②始点终点很重要，如P 分−→−21P P 的定比λ=21 则P 分−→−12P P 的定比λ=22．线段定比分点坐标公式的获得：设−→−P P 1=λ−→−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算−→−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)ABCDEFHP 1 P 1P 1P 2P 2P 2PP POP 1PP 2∵−→−P P 1=λ−→−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→−21P P 中点时，λ=1 222121y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。
[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例2.已知点).4,2().5,1().1,(21P P x P --①的值及的比分求点x P P P 121λ−→− ②求点的值。
的比分221λ−→−P P P 解：①由2145111111211=++-=++=λλλλλ解得得y y y 111211=++=∴λλx x x②由2312112222221-=++=-++=λλλλλ解得得x x y例3.CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为),,()..().,1∆ 上的一点，且2=GDCG求点G 的坐标。
解：由D 是AB 的中点，所以D 的坐标为GD CG y y x x 2),2,2(2121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++⨯+=∴32122321213y y y y y y y ++=++⨯+=∴ 即G 的坐标为)3,3(321321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式例4.过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点P ，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标 解：当P 内分−→−21P P 时 3=λ当P 外分−→−21P P 时3-=λ当3=λ得P(5,0) 当3-=λ得P(8,-3)例5.如图，在平面内任取一点O ，设OP 1P P 2 •••• P’PP 2→−→−→−→−==b OP a OP 21,，−→−−→−−→−→−→−→−→−−→−=-=-=2121,,PP P P OP b PP a OP P P λ→→−→−−→−→→−→−+++=∴-=-∴b a OP OP b a OP λλλλ111),()(这就是线段的定比分点向量公式。
特别当，当P 为线段P 1P 2的中点时，有)(21→→−→−+=b a OP例6.教材P 100例2. 例7.教材P 101例3.例8.某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。
解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ， 那么此时人感到的风速为v - a ， 设−→−OA = -a ，−→−OB = -2a∵−→−PO +−→−OA =−→−PA ∴−→−PA = v - a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，∵−→−PO +−→−OB =−→−PB ∴−→−PB = v -2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是−→−PB ，由题意：∠PBO = 45︒, PA ⊥BO , BA = AO从而，△POB 为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a 即：|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风 【巩固深化，发展思维】 1.教材P 102练习1、2、3题.2.已知平行四边形ABCD 的两个顶点为对角线的交),6,2(),7,29(B A --点为），，（233M 则另外两个顶点的坐标为 . （），），（，3410221- 3.△ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D, 求D 点坐标 . (1,541) PBAOvv -2a[学习小结]：略 五、评价设计1．作业：习题2-7 A 组第1、2、3题．2．（备选题）：①若直线02:=++y mx l 与线段AB 有交点，其中A （-2，3），B(3,2),求m 的取值范围.解：设l 交有向线段AB 于点P （x,y ）且点）时直线过，当A PBAP00(=≥=λλλ 则可得3425,0435*******-<≥≥+-=⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=m m m m l P y x 或得上，故可得点在因λλλλλ 由于设λ时，无形中排除了P,B 重合的情形，要将B 点坐标代入直线方程得3425,34-≤≥-=m m m 或故②已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|−→−OA |2+ |−→−BC |2= |−→−OB |2+ |−→−CA |2= |−→−OC |2+ |−→−AB |2，求证：−→−AB ⊥−→−OC ．证：设−→−OA = a , −→−OB = b , −→−OC = c ,则−→−BC = c - b , −→−CA = a - c , −→−AB = b - a 由题设：−→−OA 2+−→−BC 2=−→−OB 2+−→−CA 2=−→−OC 2+−→−AB 2，化简：a 2 + (c - b )2 = b 2 + (a - c )2 = c 2 + (b - a )2得： c •b = a •c = b •a从而−→−AB •−→−OC = (b - a )•c = b •c - a •c = 0 ∴−→−AB ⊥−→−OC 同理：−→−BC ⊥−→−OA , −→−CA ⊥−→−OB六、课后反思：A BCO。
北师大版必修四《平面向量应用举例》word教案
2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.7.2向量的应用举例课件
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7.2
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向量的应用举例
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
3
3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大 小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不 计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行 四边形法则求两个速度的合速度.
3 4 4 4 1 3
所以������������ = ������������,且 D,E,F,B 四点不共线, 所以四边形 DEBF 是平行四边形.
反思本题是证明图形中线段平行与相等的问题,可以先选择适当的 一组基底,把未知向量逐步向基底方向进行分解,再利用向量相等 来证明四边形DEBF是平行四边形.
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名师点拨平面几何中的向量方法: (1)几何法: ①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法 则. ②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常 运用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0). ③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两 直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a· b=0(或 x1x2+y1y2=0). ������ · ������ ④求与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式 cos θ=
典例透析
随堂演练
1
1.向量在平面几何中的应用 由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景,平面几何图 形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的 线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中 的一些问题.
2020-2021学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例学案北师大版必修4
§7 向量应用举例内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．知识点1 点到直线的距离公式及直线的法向量 1．点M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)设直线l 的法向量n ＝(A ，B )，则与n 同向的单位向量n 0＝n |n |＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫AA 2＋B 2，BA 2＋B 2.【预习评价】1．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． 答案 252．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)答案 D知识点2 向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．【预习评价】1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C. 5 D ．－5答案 C2．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4，0)，则力F 对物体作的功为________． 答案 4方向1 基底法解平面向量问题【例1－1】 如右图，若D 是△ABC 内的一点，且AB →2－AC →2＝DB →2－DC→2，求证：AD ⊥BC .证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC→＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，∴e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝DC →－DB →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →.即AD ⊥BC .方向2 坐标法解决平面几何问题【例1－2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )，不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝－2a ，a ·a ，－2a 5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.方向3 向量在平面几何中的综合应用【例1－3】 如图所示，△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，PQ 为以A 为圆心，r 为半径的圆的直径，试判断P 、Q 在什么位置时BP →·CQ →取得最大值．解 根据题意可以求得：BP→＝AP→－AB→，CQ→＝CA→＋AQ→＝－AC→－AP→，∴BP→·CQ→＝(AP→－AB→)(－AC→－AP→)＝－AP→·AC→＋AB→·AC→－AP→2＋AB→·AP→＝AB→·AC→－r2＋AP→·(AB→－AC→)＝AB→·AC→－r2＋AP→·CB→＝|AB→|·|AC→|cos ∠BAC－r2＋AP→·CB→＝bc cos∠BAC－r2＋AP→·CB→.当AP→与CB→同向时，AP→·CB→最大值为|AP→|·|CB→|＝ra，即当QP→与CB→同向时，BP→·CQ→取得最大值bc cos∠BAC－r2＋ar.规律方法用向量解平面几何问题的方法(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．题型二向量在解析几何中的应用【例2】已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n＝(－2，1)．(1)求直线l的一般方程；(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程．解(1)∵直线l的一个法向量为n＝(－2,1)，∴直线l的一个方向向量为v＝(1,2)．∴直线l的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的一般方程为2x －y －1＝0. (2)∵直线l 1与l 垂直，∴l 1的一个方向向量v ＝(－2,1)． ∴直线l 1的斜率为－12.∴直线l 1的点斜式方程为y －0＝－12(x －2)．整理得x ＋2y －2＝0.故直线l 1的一般方程为x ＋2y －2＝0.规律方法 1.已知直线的法向量n ＝(a ，b )，则其方向向量为m ＝(b ，－a )，利用方向向量可求得直线的斜率k ＝－ab是求直线方程的关键．2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题． 【训练1】如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM→＝xOA →，ON →＝yOB →(0<x <1)． (1)求y ＝f (x )的解析式；(2)令F (x )＝1f （x ）＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明．解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA→)－xOA →＝－(1＋x )OA →＋OB→，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝xx ＋1(0<x <1)；(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0<x <1)，设0<x 1<x 2<1， 则F (x 1)－F (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2，由0<x 1<x 2<1，得x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0， 得F (x 1)－F (x 2)>0，即F (x 1)>F (x 2)． ∴F (x )在(0，1)上为减函数．题型三 向量在解决物理问题中的应用【例3】 在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则四边形OACB 为平行四边形．过C 、B 分别作OA 的垂线，交AO 的延长线于D 、E 点． 由已知，|OA →|＝75(6－2)，|OC →|＝150，∠COD ＝45°.在Rt △COD 中，OD ＝OC cos 45°＝752，CD ＝75 2.又ED ＝BC ＝OA ＝75(6－2)，∴OE ＝OD ＋ED ＝75 6.又BE ＝CD ＝75 2. 在Rt △OEB 中，OB ＝OE 2＋BE 2＝1502，sin ∠BOE ＝BE OB ＝12，∴|OB→|＝1502，∠BOE ＝30°.故没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，航向为西偏北30°. 规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．【训练2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v 车地、风对车的速度为v 风车、风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地．如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v 风地的有向线段AD →是平行四边形ABDC 的对角线．∵|AC →|＝4米/秒，∠ACD ＝30°，|AD →|＝2米/秒， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|cos 30°＝23(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为23米/秒.课堂达标1．已知△ABC ，AB →＝a ，AC →＝b ，且a·b <0，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定答案 A2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v ，则k 的值为(向量v 为l 的方向向量)( )A.73 B.136C.163D ．－83解析 l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.答案 D3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________．解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)， 由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0. 答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝04．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________． 解析 BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，∵AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD 为矩形，|AB →|＝20，|BC →|＝45，∴S ＝|AB →|·|BC →|＝30. 答案 305．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值．解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.课堂小结1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来．(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解．(3)要将数学问题还原为物理问题．基础过关1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2解析 l 的方向向量为v ＝(－2，m )，由v 与(1－m,1)平行得－2＝m (1－m )，∴m ＝2或－1. 答案 D2．若AB →＝2e 1，DC →＝4e 1，且AD →与CB →的模相等，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．等腰梯形D ．菱形解析 AB →＝12DC →，又|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形． 答案 C3．已知点O 在△ABC 所在平面上，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三条中线交点B ．三条高线交点C ．三条边的中垂线交点D ．三条角平分线交点 解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝CA →·OB →＝0， ∴OB →⊥CA →.同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →， ∴O 是三条高线交点． 答案 B4．已知作用在A (1,1)点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为________． 解析 F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又∵起点坐标为A (1,1)，∴终点坐标为(9,1)． 答案 (9,1)5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，作OD ⊥AB 于D ，则在Rt △AOD 中，OA ＝1，AD ＝32，所以∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.答案 －126．过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程． 解 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP→＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0.∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.7．已知长方形AOCD ，AO ＝3，OC ＝2，E 为OC 中点，P 为AO 上一点，利用向量知识判定点P 在什么位置时，∠PED ＝45°.解 如图，建立平面直角坐标系，则C (2,0)，D (2,3)，E (1,0)，设P (0，y )，∴ED →＝(1,3)，EP →＝(－1，y )，∴|ED →|＝10，|EP →|＝1＋y 2，ED →·EP →＝3y －1， 代入cos 45°＝ED →·EP →|ED →||EP →|＝3y －110·1＋y 2＝22. 解得y ＝－12(舍)或y ＝2，∴点P 在靠近点A 的AO 的三等分处．能力提升8．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3D ．－13解析 如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC →||CE →|＝3，∴BC →＝－3CE →. 答案 C9．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|，|OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|， 设AB →＋AC →＝AD →，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形． 答案 B10．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE→＝－4，则λ的值为________． 解析 AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311. 答案 31111.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN→，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.答案 212．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状； (2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.解 (1)由题意得AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. 所以AB →⊥AC →，即∠A ＝90°.因为|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°. (2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)． 又A (1,2)，所以AM →＝(1，－2)． 所以|AM→|＝12＋－22＝ 5.13.(选做题)如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大． (2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ，由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
北师大版高中必修47.2向量的应用举例教学设计
北师大版高中必修47.2向量的应用举例教学设计一、教学目标1.学生能够运用向量的加减法、数量积和向量积来解决问题。
2.学生能够理解应用向量的基本概念，并能在实际生活中应用。
二、教学重点难点教学重点1.向量的加减法、数量积和向量积的应用。
2.在实际生活中运用向量解决问题。
教学难点1.理解应用向量的基本概念。
2.运用向量解决实际问题。
三、教学准备1.教师：教案、PPT课件、板书、白板笔。
2.学生：笔记本电脑或笔记本纸、铅笔、尺子等书写工具。
四、教学过程1. 预习任务请学生提前阅读教材上的相关内容，并在作业本中做好预习笔记。
2. 引入1.向学生展示一张利用向量图求解汽车行驶路线的例子。
2.提问：这张图中体现了哪些向量的概念和应用方法？3.引导学生思考。
3. 讲解1.通过讲解向量的基本概念和应用方法，让学生掌握向量的加减法、数量积和向量积的应用方法。
2.分析揭晓引入例子的基本概念和解决方法，帮助学生更好的理解。
4. 练习1.通过示例让学生掌握向量的应用方法。
2.练习不同类型的应用题。
5. 总结1.回顾课堂内容并强调重点。
2.教师总结与学生思考问题，强化学生的学习内容和重点概念。
五、教学评价1.集体讨论问题并解决重点难点问题。
2.检查学生的学习笔记和课堂练习，帮助他们巩固掌握向量的应用。
六、课后作业1.作业本中完成相关课堂作业，包括掌握向量的加减法、数量积和向量积的应用。
2.学生自己去寻找生活中具有向量应用的例子，并进行分析解决问题。
七、教学延伸1.可以通过更多、复杂的应用例子来深化学生对向量概念的理解。
2.可以引导学生进一步思考向量的其他应用方法。
高中数学 第二章 平面向量 7 向量应用举例教学案 北师大版必修4
7 向量应用举例[核心必知]1．点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是一平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．[问题思考]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|·n 0|?提示：如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝||.在Rt △MPN 中，||是在方向上的射影的绝对值，则||＝|||cos ∠PMN |＝|||×1×cos∠PMN | ＝||×|n 0|×|cos∠PMN |＝|·n 0|∴d ＝|·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．3．利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．讲一讲1．已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ，若D 为斜边AB 的中点， (1)求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．[尝试解答] 以C 为坐标原点，以边CB 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A (0，m )，B (n,0)，AB ＝(n ，－m )．(1)证明：∵D 为AB 的中点， ∴D (n 2，m2)，∴|＝12 n 2＋m 2，|AB |＝m 2＋n 2，∴|CD |＝12|AB |，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，所以E (n 4，m4)，设F (x,0)，则AE ＝(n4，－34m )，AF ＝(x ，－m )，∵A 、E 、F 共线，∴AF ＝λAE ，解得(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，即x ＝n3，即F (n3，0)．AF ＝(n3，－m )． ∴|AF |＝13 n 2＋9m 2.即AF ＝13n 2＋9m 2.利用向量解决几何中常见问题的基本策略：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行； (3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直； (4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．练一练1．已知▱ABCD 中，AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，试求对角线AC 的长．讲一讲2．已知过点A (0,2)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，且＝12，求k 及直线l 的方程．[尝试解答] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由题意知，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －22＋y －32＝1得，(1＋k 2)x 2－(4＋2k )x ＋4＝0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝4＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝41＋k2 ∵＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2∴x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)－8＝0， ∴(1＋k 2)×41＋k 2＋2k ×4＋2k 1＋k 2－8＝0，解得k ＝12，∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2，即x －2y ＋4＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．练一练2. 过点M (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当最大时，求直线l 的方程．解：可知圆C 的圆心C (1,0)，半径r ＝2 ∴＝cos ∠ACB＝2×2cos ∠ACB ＝4cos ∠ACB 当最大时，∠ACB 最小．连接CM ，当AB ⊥CM 时，∠ACB 最小 这时直线l 的法向量为：＝(12，1)－(1,0)＝(－12，1)． ∴l 的方向向量为(1，12)，∴l 的斜率为k ＝12故直线l 的方程为y －1＝12(x －12)，即2x －4y ＋3＝0.讲一讲3. 一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A 、C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．＝2 0002＋1 0002－2×1 000×2 000×12＝3×106有∠ABD ＝60°， 于是∠DBC ＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示的坐标系，并取a ＝500，则AB ＝(2a cos 150°，2a sin 150°) ＝(－3a ，a )，AC ＝(4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－23a ，－2a )，∴BC ＝(－3a ，－3a )，|BC |＝23a ， 即|BC |＝1 000 3 (km)．又cos C ＝＝6a 2＋6a24a ×23a ＝32，C ＝30°， 结合图形可知BC 的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决；2．物理中的功是一个标量，它是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.练一练3．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生的位移s＝(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功W的值．解：W＝(F1＋F2)·s，又F1＋F2＝(1, 2lg 2)，s＝(2lg 5，1)，所以W＝2lg 5＋2lg 2＝2.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．[巧思] 力的合成与分解满足平行四边形法则，合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化，从不等关系研究角的范围．[妙解](1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，知－G＝F1＋F2.解直角三角形，得|F1|＝|G|cos θ，|F2|＝|G|·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大．(2)令|F1|＝|G|cos θ≤2|G|，得cos θ≥12.又0°≤θ＜90°，∴0°≤θ≤60°.1．过点A(2，3)，且法向量为n＝(2，1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0解析：选A 由题意知，可取直线的方向向量为v＝(1，－2)，∴直线的方程为y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A．(－2，4) B．(－30，25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：选C 设5秒后点P运动到点A，则＝5v＝(20，－15)，∴OA＝(20，－15)＋(－10,10)＝(10，－5)．3．已知△ABC，＝b，且a·b<0；则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由a·b＝cos∠BAC<0知cos∠BAC<0，∴∠BAC为钝角．4．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．解析：设小船的静水速度为v，依题意|v|＝22＋102＝226.答案： 226 m/s5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．解析：由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝27.答案： 276．已知△ABC为直角三角形，设AB＝c，BC＝a，CA＝b.若c＝90°，试证：c2＝a2＋b2.证明：以C点为原点建立如图所示的直角坐标系．则A(b,0)，B(0，a)．∴AB＝(0，a)－(b,0)＝(－b，a)．∴|AB|＝－b2＋a2＝c.故c2＝a2＋b2.一、选择题1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行，则实数m的值是( )A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D 取直线l的方向向量v＝(－2，m)，则m(1－m)－1×(－2)＝0，即m2－m－2＝0，得m＝－1或m＝2.2．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )A．20.6 N B．18.8 NC ．20.8 ND ．36.8 N解析：选C设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则＝12，F 合＝，连接BD 交AC 于M ，∠BAM ＝30°，∴|F 合|＝2||＝2×12cos 30°＝123≈20.8 N. 3．在△ABC 中，若＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定4．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)解析：选D 由题可知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2)．二、填空题5．已知F ＝(2，3)作用于一物体，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则力F 对物体做的功为________．解析：∵AB ＝(－4,3)，∴W ＝F ·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.答案：1 6．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则原点O 到直线l 的距离为________．解析：可知直线l 的斜率k ＝－12， ∴l 的方程为y ＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0， ∴原点到l 的距离为d ＝512＋22＝1.答案：17．在边长为1的正三角形中，设，则＝________.＝12(－1－13×1×1×cos 60°＋23×1) ＝－14. 答案：－148．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3. ∴∠AOB ＝2π3. ∴＝1×1×cos 2π3＝－12. 答案：－12三、解答题9．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v 车地，风对车的速度为v 风车，风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地如图所示，根据向量求和的平行四边形法则，可知表示向量v风地的有向线段AD 对应▱ABDC的对角线．∵|AC |＝4，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC |＝|AC |cos 30°＝2 3.∴风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 3 m/s.10．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍． 证明：设△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如图：＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：C(b cos A，b sin A)，B(c,0)，∴＝(b cos A，b sin A)－(c,0)＝(b cos A－c，b sin A)，∴a2＝||2＝(b cos A－c)2＋(b sin A)2＝b2cos2A－2bc cos A＋c2＋b2sin2A，＝b2－2bc cos A＋c2，即：a2＝b2＋c2－2bc cos A.同理可证：b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.。
高中数学 第2章 平面向量 7 向量应用举例学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案
§7 向量应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养．2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养.向量应用举例(1)点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)直线的法向量①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．②公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 思考：向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．1．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)[答案] D2．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5[答案] C3．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． [答案] 2 54．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4,0)，则力F 对物体作的功为________．[答案] 4平面几何中的垂直问题【例1】 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .[证明] 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系． 设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )，不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝(－2a ，a )·(a ，－2a )5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.向量在物理中的应用【例2】 两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．2．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解] (1)如图①，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →， 在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.向量在解析几何中的应用[探究问题]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|PM →·n 0|?[提示] 如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝|NM →|.在Rt △MPN 中，|NM →|是PM →在NM →方向上的射影的绝对值，则|NM →|＝||PM →|cos ∠PMN |＝||PM →|×1×cos∠PMN |＝|PM →|×|n 0|×|cos∠PMN |＝|PM →·n 0|，∴d ＝|PM →·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？[提示] 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，及点A (1,1)，M 是⊙C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[思路探究] 要求点N 的轨迹方程，需设出点N 的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．[解] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，1－y 0＝2(y －1).即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，代入⊙C 方程，得(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4， 即x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.将例3的条件变为“已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2,1)”．试求直线l 的方程．[解] ∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为ν＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的方程为2x －y －1＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补．( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v (向量v 为l 的方向向量)，则k 的值为( )A.73 B.136C.163D.－83D [l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.]3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是________．x 2＋y 2＋x －3y ＝0 [设P (x ，y )为圆上任一点，则AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.]4．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． [解] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的应用举例
如图， 例2 如图， ABCD中，点E、F分别 中 、 分别 边的中点， 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 边的中点 分别 交于R 两点， 与AC交于 、 T两点，你能发现 交于 两点 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 之间的关系吗？ 之间的关系吗
D F T B C
猜想： 猜想： AR=RT=TC
平面几何中的向量方法
向量概念和运算， 向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“ 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 的计算， 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。 几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 如平移、全等、相似、长度、 由向量的线性运算及数量积表示出来， 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。 一些问题。
A
E
R
u u ur r uuur r uuur r r uuur r AC = a + b A 设= a , A D = b , A R = r , B 解： 则 uuur uuur r r r 共线， 由于 A R 与AC 共线，故设r = n(a + b ), n ∈ R
u u ur u u ur 又因为 E R 与 E B
北师大版高中数学必修 4第二章《平面向量》 第二章《 第二章 平面向量》
教学目标： 一.教学目标： 教学目标 1.知识与技能：（ ）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 知识与技能：（ 知识与技能：（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、 力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物 理问题等的工具.（ ）揭示知识背景，创设问题情景， 理问题等的工具 （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意 发展运算能力和解决实际问题的能力. 识；发展运算能力和解决实际问题的能力 2.过程与方法：通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面 过程与方法： 过程与方法 通过本节课的学习， 几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具； 几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学 一起总结方法，巩固强化. 一起总结方法，巩固强化 3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及 情感态度价值观： 情感态度价值观 通过本节的学习， 其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、 其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解 决实际问题的能力. 决实际问题的能力 教学重、 二.教学重、难点 教学重 重点: 体现向量的工具作用）， ），用向量的方法解决某些简单的平面几何 重点 （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用 难点: 体现向量的工具作用）， ），用向量的方法解决某些简单的平面几何 难点 （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用 三.学法与教法 学法与教法 (1)自主性学习法 探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的 自主性学习法+探究式学习法 反馈练习法： 自主性学习法 探究式学习法； 反馈练习法 应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 四.教学设想 教学设想
2.7向量应用举例教案高中数学必修四北师大版
§7 向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例●三维目标1．知识与技能(1)理解点到直线的距离公式的推导并能应用．(2)会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：掌握点到直线的距离公式，并能用向量处理简单实际问题．难点：用向量法解决平面几何问题．(教师用书独具)●教学建议本小节包括向量在两方面的应用，一是向量在平面几何中的应用，二是向量在解析几何中的应用．教科书通过例题说明向量在这两方面的应用．教学中要注意通过例题教学，总结用向量解题的一般方法，让学生体会向量的工具作用，从而建立向量与平面几何、解析几何的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力．向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．教学中要让学生注意两个方面，一是通过实例，体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象．●教学流程由直线的方向向量引入学习直线的法向量．⇒引导学生推导点到直线的距离公式．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握向量方法解决平面几何问题的思路．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握向量在解析几何中的应用．⇒掌握向量在物理中的应用，引导学习例3及变式训练．⇒归纳整理本节知识，整体把握向量的应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.类比直线的方向向量的定义思考，与直线l 垂直的非零向量是否也是特殊向量？ 【提示】 是，为直线的法向量．1．与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．2．若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量为n ＝(A ，B )，与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝(A A 2＋B 2，B A 2＋B 2).n 为直线l 的法向量，P 为直线l 上任一点，点M 是平面内一定点且不在直线l 上，那么点M 到直线l 的距离d 与向量PM →，n 有怎样的关系？【提示】 点M 到直线l 的距离d 即为向量PM →在向量n 方向上的射影的绝对值，即d ＝|PM →·n ||n |.若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.图2－7－1如图，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .【思路探究】选择一组基底来表示BP →，DC →→ BP →·DC →＝0→BP →⊥DC →→BP ⊥DC【自主解答】 设PD →＝λCD →并设正三角形ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ(23BA →－BC →)＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →，设P A →＝kEA →，∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →， 于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k λ＝13k，解得λ＝17，∴PD →＝17CD →，∴CP →＝67CD →，∵CD →＝23BA →－BC →，∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(23BA →－BC →)＝17BC →＋47BA →， ∴BP →·CD →＝(17BC →＋47BA →)·(23BA →－BC →)＝221BC →·BA →－17BC →2＋821BA →2－47BA →·BC →＝221a 2cos 60°－17a 2＋821a 2－47a 2cos 60° ＝521a 2－1021a 2×12＝0， ∴BP →⊥CD →，∴BP ⊥CD .1．解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算．图2－7－2如图2－7－2所示，已知▱ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝FD . 求证：四边形AECF 是平行四边形．【解】 由已知可设AB →＝DC →＝a ，BE →＝FD →＝b ，故AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b ，FC →＝FD →＋DC →＝b ＋a . 又∵a ＋b ＝b ＋a ，则AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， 故四边形AECF 是平行四边形.已知点A (－1,2)，直线l ：4x －3y ＋9＝0，求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程．【思路探究】 法一 先由直线的方程找到直线的方向向量u ，再设所求直线上一点P ，(1)利用AP →∥u 求方程，(2)利用AP →·u ＝0求方程．法二 先由直线的方程找到直线的法向量n ，再设所求直线上一点Q ，(1)利用AQ →·n ＝0求方程．(2)利用AQ →∥n 求方程．【自主解答】 法一 (1)与直线l 平行的一个向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点，则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行， ∴AP →∥u ，∴3(y －2)－4(x ＋1)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个方向向量为u ＝(3,4)， 设P (x ，y )为所求直线上一动点， 则AP →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AP →·u ＝0，∴3(x ＋1)＋4(y －2)＝0， 化简得3x ＋4y －5＝0.即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.法二 (1)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)， 设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线平行，∴AQ →·n ＝0，∴－4(x ＋1)＋3(y －2)＝0， 化简得4x －3y ＋10＝0.即所求直线的方程为4x －3y ＋10＝0. (2)已知直线的一个法向量为n ＝(－4,3)，设Q (x ，y )为所求直线上一动点，则AQ →＝(x ＋1，y －2)， ∵所求直线与已知直线垂直， ∴AQ →∥n ，∴－4(y －2)－3(x ＋1)＝0，化简得3x ＋4y －5＝0. 即所求直线的方程为3x ＋4y －5＝0.利用方向向量及法向量求直线的方程，其关键在于探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系．1．所求直线与已知直线平行则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直． 2．所求直线与已知直线垂直则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∴MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)． 依题设MA →＝2AN →，则(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .又∵点M (x 0，y 0)在圆C 上，∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，则x 2＋y 2＝1. 故点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.。
高一数学必修4示范教案：第二章第五节平面向量应用举例(第一课时)Word版含解析
，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．
至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让
学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向
量方法处理平面几何问题的一般步骤． 由于平面几何经常涉及距离 (线段长度 )、夹角问题， 而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以
第二章第五节平面向量应用举例第一课时
教学过程
导入新课
思路 1.(直接导入 )向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，
当向量和平面
坐标系结合后， 向量的运算就完全可以转化为代数运算． 这就为我们解决物理问题和几何研
究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．
思路 2.(情境导入 )由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图
用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．
在用向量方法解决
涉及长度、 夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向 量能够运算， 因此它在解决某些几何问题时具有优越性， 它把一个思辨过程变成了一个算法
过程， 学生可按一定的程序进行运算操作， 从而降低了思考问题的难度， 同时也为计算机技 术的运用提供了方便． 教学时应引导学生体会向量带来的优越性． 因为平行四边形对角线平
形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示
出来， 因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．
下面通过几个具体实例， 说明向量
方法在平面几何中的运用．
推进新课
新知探究 提出问题
①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图 行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
（四）、作业： P86 习题 2— 1
五、 课后反思：
一、教学目标
第二课时 2.2 从位移的合成到向量的加法（一）
1. 知识与技能： （ 1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几
个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计
力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大
小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从 19 世纪末到 20 世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2. 向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
1
a A( 起点 )
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边 形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理 背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学
学习态度和勇于创新的精神 . 二 . 教学重难点 ： 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律 . 三 . 学法与教法
算 . （ 2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义
3
. （ 3）初步体会数形结合在
向量解题中的应用 .
2. 过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位
移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法
. 然后
用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象 概括能力和逻辑思维能力 .
2. 过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解