2020年高考数学考试大纲解读专题02 集合与常用逻辑用语文

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2020年高考数学;集合与常用逻辑用语(原卷版)

集合与常用逻辑用语1-11（原卷版）1、集合小题★★★★★十年考情：针对该考点，都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。

常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。

2020高考预测：1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,(){|ln 1}B x y x ==+，则AB =（） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．已知集合1,2,3A ,220,B x x x x Z ,则A B （）A ．{}1B ．{}21，C ．{}3210，，，D ．{}32101-，，，，4．已知集合1{1}A x x =>，则A R =（）A ．{1}x x D ．{1}x x ≤5．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|}x B y y e y N ，==∈，则AB =（） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6.已知集合M={-1,0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P M N =，则P 的真子集共有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个”的（A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（）A ．x R ∀∈，210x x -+”的必要不充分条件B ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈均有210x x +-≥C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 只有一个为真命题D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”11.下列说法错误的是（）A ．命题“若x 2﹣4x +3=0，则x =3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2﹣4x +3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”，则¬p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题AB AC BC +>。

2020年高考数学(文)热点专练02 集合与常用逻辑用语(解析版)

2020年高考数学（文）热点02 集合与常用逻辑用语【命题趋势】1.在新一轮课改中集合仍然作为一个必考内容出现，集合之间的混合运算以及集合信息的迁移一直高考的一个热点，主要还是放在选择题前两题为主，此部分内容较为简单，常与函数、方程、不等式结合起来考查.2.常见的逻辑用语部分对于数学来说是一种工具类的知识点，很容易与各个知识点相结合起来进行考查.立体几何，数列，三角函数，解析几何等.但是近几年全国卷出现的频率较少.但随着新课标的进行，综合一些趋势方向，相信常用逻辑用语也会逐渐加入高考行列. 【考查题型】选择题【满分技巧】给定集合是不等式的解集的用数轴.给定集合是点集的用数形结合去求.给定集合是抽象几何的用Venn 图去求.对于常见的逻辑词来说，重难点是要分清楚命题的否定与否命题之间的区别于联系.原命题与你否命题等价，剩下两个等价.亦可以采用逆向思维去求.对于充分必要条件问题，最好的理解方法亦是转化成集合与子集的观点去探究 .充分亦是子集.充要亦是集合相等.主要是观察两个集合哪一个范围更大一些.范围小的就是范围大的的充分，亦是范围大的是范围小的的必要即可.【常考知识】集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.【限时检测】（建议用时：30分钟） 1．（2019全国Ⅰ文2）已知集合，则 A ．B ．C ．D ．【答案】C{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，U B A =I ð{}1,6{}1,7{}6,7{}1,6,7【解析】因为，所以，则. 故选C ． 2.（2019全国Ⅱ文1）已知集合，，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．【答案】A【解析】，，.故选C.【名师点睛】对于有关不等式的集合之间的运算画数轴是最简便，不容易出错的 3.（2019天津文1）设集合，，，则（A ）{2} （B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}【答案】D【解析】设集合，，则. 又，所以. 故选D.4．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B I 中的元素个数为A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】集合{|32,}A x x n n N ==+∈，当0n =时，322n +=，当1n =时，325n +=，当2n =时，328n +=，当3n =时，3211n +=，当4n =时， 3214n +=，∵{6,8,10,12,14}B =，∴A B I 中元素的个数为2，选D ．【名师点睛】集合运算中，应当特别注意集合中的取值范围5．已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+∈≤，{(,)|||2,B x y x =≤||2,,}y x y Z ∈≤，定义集合12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为{}1234567234{}}23{567U A B ===，，，，，，，，，，，，，，C 17{}6U A =，，{67?}U B A =I ，ð={|1}A x x >-{|2}B x x =<∅(1,)A =-+∞(,2)B =-∞(1,2)A B =-I {}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<„()A C B =I U {}1,1,2,3,5A =-{}13C x x =∈<R „{}1,2A C =I {}2,3,4B ={}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==I U UA ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】由题意知，，，所以由新定义集合可知，或.当时，，，所以此时中元素的个数有：个；当时，，，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选C ．【名师点睛】本题主要考查学生的运算能力以及细心程度，属于新定义问题.通过理解新定义计算法则，此题容易遗漏某些点.6．设整数,集合，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若和都在中，则下列选项正确的是A ．,B ．,C ．,D ．, 【答案】B【解析】特殊值法,不妨令,,则,,故选B ．如果利用直接法：因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z {(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z A B ⊕111,0x y =±=110,1x y ==±111,0x y =±=123,2,1,0,1,2,3x x +=---122,1,0,1,2y y +=--A B ⊕7535⨯=110,1x y ==±122,1,0,1,2x x +=--123,2,1,0,1,2,3y y +=---12y y +3-35210⨯=A B ⊕351045+=4n ≥{}1,2,3,,X n =L (),,x y z (),,z w x S (),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉2,3,4x y z ===1w =()(),,3,4,1y z w S =∈()(),,2,3,1x y w S =∈(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈x y z <<y z x <<z x y <<z w x <<w x z <<x z w <<w x y z <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈x y z w <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，. 综合上述四种情况，可得，.7．已知全集为，集合，，则A ．B ．{}|24x x ≤≤C ．{|024}x x x ≤<>或D ．{|024}x x x ≤≤≥或【答案】C【解析】，，∴[0,2)(4,)R A B =+∞I U ð【名师点睛】考查指数函数有关性质，注意指数函数底数为0到1的数，是单调递减函数另外集合属于一元二次不等式的解法.8．已知,A B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且{3}A B =I ，{9}U B A =I ð，则A =A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9} 【答案】D【解析】因为{3}A B =I ，所以3∈A ，又因为{9}U B A =I ð，所以9∈A ，所以选D ．本题也可以用Venn 图的方法帮助理解．9.（2019北京文6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】若，则是偶函数；反之，若为偶函数，则，即，即对成立，可得，故“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选C. 10.（2019浙江5）若a ＞0，b ＞0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的y z w x <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈z w x y <<<(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈R 112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B =I {}|0x x ≤[)0,A =+∞[]2,4B =0b =()cos f x x =()f x ()()f x f x -=()()cos sin cos sin cos sin x b x x b x x b x -+-=-=+sin 0b x =x ∀0b =0b =()f xA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为a ＞0，b ＞0，若a +b ≤4，则，则，即. 反之，若，取，，则，但，即推不出a +b ≤4，所以a +b ≤4是的充分不必要条件.故选A ．11.（2019全国Ⅱ文11）记不等式组表示的平面区域为D .命题；命题.下面给出了四个命题①②③④这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】 A【解析】作出不等式组的平面区域如图阴影部分所示. 由图可知，命题；是真命题，则假命题；命题是假命题，则￢q 真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：真；假；●真；❍假；故答案 ●正确．故选A ．4a b +4ab „44a b ab +⇒剟4ab „1a =4b =44ab =„5a b +=4ab „4ab „6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…:(,),29p x y D x y ∃∈+…:(,),212q x y D x y ∀∈+„p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝p q ⌝∧⌝620x y x y +⎧⎨-⎩……():,,29p x y D x y ∃∈+…p ⌝():,,212q x y D x y ∀∈+„p q ∨p q ⌝∨p q ∧⌝pq ⌝∧⌝【名师点睛】线性规划与逻辑词相结合是比较新颖的题型，需要对线性规划一个充分的理解，需要对图像有一个比较清晰的认识理解.从图形中去挖掘信息.另此题比较简单的方法在所在的区域找特殊点进行验证.12．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ．13．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b da c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a cb d=，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ． 14．（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧ 【答案】B【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真.选B ．15．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】.C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ． 16．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】根据已知，如果直线,a b 相交，则平面,αβ一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面,αβ相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A ．17．“sin cos αα=”是“cos20α=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵22cos 2cos sin ααα=-，当sin cos αα=时，cos20α=，充分性成立；当cos20α=时，即22cos sin 0αα-=，∴cos sin αα=或cos sin αα=-，必要性不成立．18．函数()f x 在0=x x 处导数存在，若()00p f x '=：，0:q x x =是()f x 的极值点，则A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】Cb【解析】设3()f x x =，(0)0f '=，但是()f x 是单调增函数，在0x =处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题，故选C ．【名师点睛】充分必要条件的选择与应用通过集合的观点去认识理解，对于这种题目迎刃而解.主要看的是谁的范围更小谁的范围更大.。

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语含习题答案

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______．【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)，所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1，结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ，所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。

2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾1 集合、常用逻辑用语、复数

回顾1集合、常用逻辑用语、复数[必记知识]1．集合(1)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．2．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x) [提醒]由于全称命题经常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论.3．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定命题为假假存在一个对象使命题假否定命题为真特称命题真存在一个对象使命题真否定命题为假假所有对象使命题假否定命题为真4.复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的分类①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z －＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.(其中a ，b ，c ，d ∈R .)[必会结论]1．集合运算的重要结论(1)A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ；A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ；反之，若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ；反之，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B .(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．一些常见词语的否定3.充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 4．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω－，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.[必练习题]1．设集合M ＝{x ∈Z |－3＜x ＜2}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1，2} C ．{0，1，2} D ．{－1，0，1}答案：D2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．[0，1)∩(3，＋∞) C ．A D ．B答案：C3．设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B4．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B5．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{5，6，7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( )A ．5B ．6C ．12D ．13答案：D6．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0＜a ＜1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C7．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值为________．答案：08．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋a ＜0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案：[0，4]。

2020新课标高考数学讲义：集合、不等式、常用逻辑用语含解析

法三：由题意知a＝ (b＞1)、所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋ ≥2＋2＝4、当且仅当a＝b＝2时取等号、故选B.
3．已知向量a＝(x－1、3)、b＝(1、y)、其中x、y都为正实数．若a⊥b、则＋的最小值为()
A．2B．2
C．4D．2
解析：选C.因为a⊥b、所以a·b＝x－1＋3y＝0、即x＋3y＝1.又x、y为正实数、所以＋＝(x＋3y)· ＝2＋＋ ≥2＋2 ＝4、当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
A．(2、3)B．[2、4)
C．[2、3]D．(2、3]
解析：选B.不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化为([x]－2)·([x]－3)≤0、解得2≤[x]≤3、即不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过x的最大整数、得不等式的解集为2≤x＜4.故选B.
5．已知实数b＞a＞0、m＜0、则mb________ma、 ________ (用＞、＜填空)．
基本不等式及其应用
[考法全练]
1．(多选)下列不等式的证明过程错误的是()
A．若a、b∈R、则＋ ≥2 ＝2
B．若a＜0、则a＋ ≥－2 ＝－4
C．若a、b∈(0、＋∞)、则lga＋lgb≥2
D．若a∈R、则2a＋2－a≥2 ＝2
解析：选ABC.由于a、b的符号不确定、故选项A错误；因为a＜0、所以a＋＝－ ≤－2 ＝－4、故B错误；由于lga、lgb的符号不确定、故选项C错误；因为2a＞0、2－a＞0、所以2a＋2－a≥2 ＝2、故选项D正确．故选ABC.
B．∀x∈R、2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x、y∈R、且x＋y>2、则x、y中至少有一个大于1

专题02 常用逻辑用语解析版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破和分层检测

专题02常用逻辑用语（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】充分、必要条件的判定 (10)【考点2】充分、必要条件的应用 (13)【考点3】全称量词与存在量词 (17)【分层检测】 (20)【基础篇】 (21)【能力篇】 (26)【培优篇】 (29)考试要求：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2023·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·北京·高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·天津·高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·全国·高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d da d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n S n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S SD S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C3．C 【分析】解法一：由2x yyx +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2xyyx +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y yx y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyyx+=-”的充要条件.故选：C4．B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选：B5．A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.6．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数.若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件.故选：C.7．B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8．B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- ,当AB OC ⊥时，a b - 与c垂直，，所以成立，此时a b ≠ ，∴不是a b =的充分条件，当a b = 时，0a b -= ，∴()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r ,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.9．A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.10．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.【考点1】充分、必要条件的判定一、单选题1．（2024·北京海淀·一模）设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·全国·模拟预测）已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R，则“||z 是“25a =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B 的对边分别为a ，b ，则可作为“a b >”的充要条件的是（）A ．sin sin A B>B ．cos cos A B<C ．tan tan A B >D ．sin 2sin 2A B>4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()2sin f x x x =+，设12,R x x ∈，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．12x x >三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的条件．6．（2021·陕西渭南·二模）下列四个命题是真命题的序号为.①命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”.②曲线3y x =在0x =处的切线方程是0y =.③函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数的充要条件是05a <<.④根据最小二乘法，由一组样本点(,i i x y )(其中1,2,...,300i =)求得的线性回归方程是y bx a =+$$$，则至少有一个样本点落在回归直线y bx a =+$$$上.参考答案：1．A【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A.2．B【分析】由||z a 的等量关系，求解a ，从而判断选项.【详解】因为z ==化简得2520a a -=，解得0a =或25a =，故“z =”是“25a =”的必要不充分条件.故选：B ．3．AB 【分析】由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误【详解】ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=可知，sin sin A B >时有a b >，a b >时有sin sin A B >，A 选项正确；余弦函数在()0,π上单调递减，ABC 中，当a b >时有A B >，则有cos cos A B <；当cos cos A B <时有A B >，则有a b >，B 选项正确；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，tan 0tan A B <<，C 选项错误；ABC 中，当a b >时有A B >，当A 为钝角，B 为锐角时，sin 20sin 2A B <<，D 选项错误.故选：AB 4．CD【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.【详解】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，22()||sin ()||sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，即函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()sin f x x x =+，求导得()12sin cos 1sin 20f x x x x '=+=+≥，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，对于A ，取122,3x x ==-，满足12x x >，而(2)(3)(3)f f f <=-，A 不是；对于B ，取121,2x x ==，满足120x x +>，而(1)(2)f f <，B 不是；对于CD ，221212||||x x x x >⇔>，于是12(||)(||)f x f x >，由函数()f x 是偶函数得12()()f x f x >，CD 是.故选：CD 5．充分必要【分析】先由函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称求得0x 的值，再解方程0sin20x =求得0x 的值，进而得到二者间的逻辑关系.【详解】函数tan y x =图象的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以由“函数y =tan x 的图象关于(x 0,0)中心对称”等价于“0π,2k x k =∈Z ”．因为0sin20x =等价于02π,x k k =∈Z ，即0π,2k x k =∈Z ．所以“函数tan y x =的图象关于()0,0x 中心对称”是“0sin20x =”的是充分必要条件．故答案为：充分必要6．①②【分析】①由含有一个量词的命题的否定的定义判断；②利用导数的几何意义判断；③利用分段函数的单调性求解判断；④根据回归直线恒过样本中心，但样本点不一定在回归直线上判断；【详解】①由含有一个量词的命题的否定知：命题“,cos 1x R x ∀∈≤”的否定是“,cos 1x R ∃∈>”，故正确.②因为3y x =，所以()()2300,0,0y x y y ''===，所以曲线在0x =处的切线方程是0y =，故正确；③若函数1,1,()23,1x ae x f x x x -⎧=⎨+>⎩为增函数，则05a a >⎧⎨≤⎩，解得05a <≤，所以函数为增函数的充要条件是05a <≤，故错误；④回归方程y bx a =+$$$恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；故答案为：①②反思提升：充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.【考点2】充分、必要条件的应用一、单选题1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥2．（22-23高二下·湖南·阶段练习）已知集合{}2|120A x x x =--≤，{22|3210}B x x mx m m =-++-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．[]3,2-B ．[]1,3-C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题3．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，那么命题p 的一个必要不充分条件是（）A ．112a -<<-B ．203a -<<C ．10a -≤≤D ．1a ≥-4．（2023·广东·模拟预测）已知函数()1e ln xf x x -=+，则过点(),(0)a b a >恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A ．211b a =-C ．()211f a a <-<D ．()211a f a ->>三、填空题5．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题():0ln 2ln 3p x <-≤，命题()():2230q x m x m ---≤．若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是．6．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.参考答案：1．D【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数a 的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.【详解】若命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题，则命题的否定“[]2,1x ∀∈-，20x x a --≤”为真命题，即2a x x ≥-，[]2,1x ∈-恒成立，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，当2x =-，取得最大值6y =，所以6a ≥，选项中只有{}8a a ≥是{}6a a ≥的真子集，所以命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件为8a ≥.故选：D 2．C【分析】解不等式，确定集合A ，讨论m 的范围，确定B ，根据题意推出B A ，由此列出不等式组，即可求得答案.【详解】由题意集合{}2|120[3,4]A x x x =--≤=-，{22|3210}{|(1)(21)0}B x x mx m m x x m x m =-++-<=---+<，若m>2，则211m m ->+，此时(1,21)B m m =+-，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故214513,222m m m m -≤⎧⎪+≥-∴<≤⎨⎪>⎩；若2m <，则211m m -<+，此时(21,1)B m m =-+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故BA ,故14213,122m m m m +≤⎧⎪-≥-∴-≤<⎨⎪<⎩；若2m =，则211m m -=+，此时B =∅，满足BA ,综合以上可得51,2m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：C 3．CD【分析】求出命题p 成立时a 的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．【详解】命题p ：关于x 的不等式220x ax a -->的解集为R ，则2440a a ∆=+<，解得10a -<<又()1,0-[]1,0-，()1,0-[)1,-+∞，故选：CD ．4．AB【分析】设切点坐标为0100(,e ln )x x x -+，则有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，所以问题转化为方程010000e (1)ln 10(0)x a x a x b x x ----++-=>恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，然后利用导数求解其零点即可.【详解】由()1e ln x f x x -=+，得11()e (0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101e x k x -=+，所以有00110001eln (e )()x x x b x a x --+-=+-，整理可得：010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知：此方程有且恰有两个解，令1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x -=---++->，()()()112;0,;,;g b a x g x x g x =+-→→-∞→+∞→-∞，112211()e ()()(e 0)x x a g x x a x a x x x x--'=--+=-->，令121()e0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x -'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1<<a x 时，()()()()()()0,1,21,21g x g a g b f a b a f a a ->--<-'，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即()1e ln a b af a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当1x a <<时，()()()()0,1,21,g x g g a f a a >-'函数()g x 单调递减，当x a >时，()0g x '>，则函数()g x 单调递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =可得：211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；③当1a =时，121()(1)(e )0x g x x x -'=-->，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：当01a <<时，()211b f a a =<-<或211b a =-<；当1a >时，211b a =->或()211b f a a =>->，所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>恰有两个解，构造函数1()e (1)ln 1(0)x a g x x a x b x x-=---++->，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.5．312m ≤≤【分析】化简命题p 和q ，利用真子集关系列式可求出结果.【详解】由():0ln 2ln 3p x <-≤，得123x <-≤，即35x <≤；由()():2230q x m x m ---≤，得223m x m ≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以5}|3{x x <≤是{|223}x m x m ≤≤+的真子集，所以23235m m ≤⎧⎨+≥⎩且两个等号不同时取，解得312m ≤≤.故答案为：312m ≤≤6．3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）反思提升：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【考点3】全称量词与存在量词一、单选题1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（）A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件B ．0,e 2x x x ∀>>C ．20,2x x x >≥∀D ．0a b +=的充要条件是1ab=-2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知0a >，()212f x ax bx =-，则0x 是方程ax b =的解的充要条件是（）A ．()()0,x f x f x ∃∈≥R B ．()()0,x f x f x ∃∈≤RC ．()()0,x f x f x ∀∈≥RD ．()()0,x f x f x ∀∈≤R 二、多选题3．（2023·海南·模拟预测）已知命题p :“2,260x R x x a ∃∈-++=”，:q "2,10x R x mx ∀∈++>”，则下列正确的是（）A ．p 的否定是“2,260x R x x a ∀∈-++≠”B ．q 的否定是“2,10x R x mx ∃∈++>”C ．若p 为假命题，则a 的取值范围是5a <-D ．若q 为真命题，则m 的取值范围是22m -<<4．（2023·山西·模拟预测）下列结论正确的是（）A ．sin sin ()e e x x f x =+是偶函数B ．若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则11a -≤≤C ．设x ，y ∈R ，则“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”的必要不充分条件D ．0ab ∃>，111a b b a-=-三、填空题5．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则实数a 的取值范围是．6．（2024·辽宁·模拟预测）命题p ：存在[]1,1m ∈-，使得函数()22f x x mx =-在区间[),a +∞内单调，若p 的否定为真命题，则a 的取值范围是.参考答案：1．B【分析】举反例来判断ACD ，利用指数函数的性质判断B.【详解】对于A ，当2,1a b ==时，满足1ab >，但不满足1,1a b >>，故“1,1a b >>”不是“1ab >”的必要条件，故错误；对于B ，根据指数函数的性质可得，对于e 0,12xx ⎛⎫∀>> ⎪⎝⎭，即e 2x x >，故正确；对于C ，当3x =时，22x x <，故错误；对于D ，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab=-不成立，故错误.故选：B.2．C【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.【详解】因为0a >，所以函数()212f x ax bx =-的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：122b bx a a -=-=⨯，函数的最小值为b f a ⎛⎫⎪⎝⎭.若“0x 是方程ax b =的解”，则0b x a =，那么()0b f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是函数()f x 的最小值，所以“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，即“0x 是方程ax b =的解”是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”的充分条件；若“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”，则()0f x 为函数()f x 的最小值，所以0bx a=，即0ax b =，所以“0x 是方程ax b =的解”，故“0x 是方程ax b =的解”是“R x ∀∈，()()0f x f x ≥”的必要条件.综上可知：“0x 是方程ax b =的解”的充要条件是“x ∀∈R ，()()0f x f x ≥”.故选：C 3．AD【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A 、B ；C 选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算a 的取值范围；D 选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A 正确，B 不正确；C 选项，若p 为假命题，则p 的否定“2,260x R x x a ∀∈-++≠”是真命题，即方程2260x x a -++=在实数范围内无解，44(6)0a ∆=-+<，得5a >-，C 不正确；D 选项，2,10x R x mx ∀∈++>，等价于240m ∆=-<，解得22m -<<，D 正确；故选：AD.4．ABD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断选项A ；根据特称命题的的真假判断选项B ；根据必要不充分条件的判断即可判断选项C ；根据等式的性质判断选项D .【详解】对于A ，函数sin sin ()e e x x f x =+的定义域为R ，且sin sin sin sin ()e e e e ()x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数为偶函数，故选项A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，2210x ax ++<”是假命题，则2210x ax ++≥恒成立，所以2(2)40a ∆=-≤，解得11a -≤≤，故选项B 正确；对于C ，若1x ≥，且1y ≥，则222x y +≥成立，反之不一定成立，例如：2,3x y =-=-满足222x y +≥，但是0,0x y <<，故“1x ≥，且1y ≥”是“222x y +≥”充分不必要条件，故选C 错误；对于D ，若111a b b a -=-，则2230a ab b -+=，当32b a =时方程有解，所以0ab ∃>，111a b b a -=-，故选项D 正确；故选：ABD .5．(,5)-∞【分析】首先求命题为真命题时a 的取值范围，再求其补集，即可求解.【详解】若命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x ”为真命题，则max 4a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，设4y x x =+，(1,3)x ∈，44x x +≥=，当2x =时，等号成立，由对勾函数的性质可知，当()1,2x ∈时，函数单调递减，当()2,3x ∈单调递增，()15f =，()43353f =+<，所以445x x≤+<，即5a ≥，所以命题“任意(1,3)x ∈，4≥+a x x”为假命题，则a 的取值范围为(),5-∞.故答案为：(),5-∞6．(),1-∞-【分析】先给出命题p 的否定，由函数2()2f x x mx =-的单调性进行求解.【详解】命题p 的否定为：任意[]1,1m ∈-，使得函数2()2f x x mx =-在区间[,)a +∞内不单调，由函数2()2f x x mx =-在(),m -∞上单调递减，在(),m +∞上单调递增，则a m <，而[]1,1m ∈-，得1a <-，故答案为：(),1-∞-反思提升：(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在量词命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p 与¬p 的关系，转化成¬p 的真假求参数的范围.【基础篇】一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知圆C ：221x y +=，直线l ：0x y c -+=，则“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．（2023·四川泸州·一模）已知命题:R p x ∀∈，2212x x +>，命题0:R q x ∃∈，0ln 2x =-，则下列命题是真命题的为（）A ．()p q⌝∧B ．p q∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝3．（2024·全国·模拟预测）已知向量(1,2)a = ，(2,)b x = ，则“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，当0n n >时，0n S <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，若p 为真命题，则a 的值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．36．（2021·江苏·一模）下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有（）A ．0a =B ．3a ≥-+C ．0a >D ．3a ≤--7．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A ．1x C ．233x x<D ．()()11x x x x -=-三、填空题8．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“0a ∃<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为．9．（2024·辽宁大连·一模）“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．10．（2022·全国·模拟预测）已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值.四、解答题11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足2680x x -+≤．(1)若1a =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．12．（2023·重庆酉阳·一模）命题p ：任意x ∈R ，2230x mx m -->成立；命题q ：存在x ∈R ，2x +410mx +<成立.(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.参考答案：1．A【分析】利用圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，等价于()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【详解】因为圆C ：221x y +=的圆心()0,0O ，半径为1r =，当圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12时，则()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，12=，解得c =当2c =时，由上可知()0,0O 到直线l ：0x y c -+=的距离为12，此时圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12，即充分性成立；所以“2c =”是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的充分不必要条件.故选：A.2．A【分析】判断两个命题的真假后逐项分析即可【详解】1x =时2212x x+=，故p 假20e x -=时0ln 2x =-，故q 真故()p q ⌝∧为真故选：A【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.【详解】由题意，得(3,2)a b x +=+ ，()1,2a b x -=-- ，若()()a b a b +⊥- ，则()()0a b a b +⋅-= ，即2340x -+-=，解得1x =±，所以“1x =”推得出“()()a b a b +⊥- ”，即必要性成立，但“()()a b a b +⊥- ”推不出“1x =”，即充分性不成立，所以“()()a b a b +⊥- ”是“1x =”的必要不充分条件．故选：B ．4．C【分析】根据等差数列的通项以及前n 项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.【详解】因为{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，若“{}n a 为递减数列”，可得{}n a 的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数0n ，当0n n '>时,有0n a <，故存在0n ，当0n 远远大于0n '时，0n n >时，此时0n S <，故充分性成立，若存在正整数0n ，当0n n >时，21022n d d S n a n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+，故二次函数开口向下，因此0d <，故{}n a 为递减数列，故必要性成立.故选：C ．5．BCD【分析】将条件转化为对应方程有根问题，分0a =和0a ≠两种情况，进行求解即可．【详解】命题p ：0x ∃∈R ，200440ax x --=，p 为真命题，即2440ax x --=有根，当0a =时，=1x -成立，当0a ≠时，需满足2(4)4(4)0a ∆=--⨯⋅-≥，解得1a ≥-且0a ≠，a ∴的取值范围为[1,)-+∞，故选：BCD ．【分析】先找其充要条件，然后取它的子集.【详解】0a ≥时必有解，当a<0时，()21803a a a ∆=-+>⇒<--或30a -+<，故AC 符合题意.故选：AC7．BC【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10x x ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC8．[)2,-+∞【分析】将问题转化命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题求解.【详解】解：因为命题“0a ∃<，1a b a +>”是假命题，所以命题“0a ∀<，1a b a +≤”是真命题，又当0a <时，112a a a a ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以max 12a a ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2b ≥-，所以实数b 的取值范围为[)2,-+∞，故答案为：[)2,-+∞.9．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.10．2【分析】先解出2560x x -+<的解集，然后根据必要不充分条件判断两集合的包含关系即可求解.【详解】由2560x x -+<，得23x <<,令{}|321A x a x a =-<<-，{}23|B x x =<<，“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，B A ∴.32132213a a a a -<-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩（等号不同时成立），解得25a ≤≤，故整数a 的值可以为2,3,4,5.故答案为：2,3,4,5中任何一个均可.11．(1)[)2,3；(2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据一元二次不等式求解p ，q 为真命题时的范围，即可求解，（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.【详解】（1）当1a =时，由22430x ax a -+<，得2430x x -+<，解得13x <<，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是()1,3由2680x x -+≤，解得24x ≤≤，即q 为真命题时，实数x 的取值范围是[]2,4．所以若p ，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为[)2,3．（2）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a a <，故p ：3a x a <<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以234a a <⎧⎨>⎩，解可得423a <<．故实数a 的取值范围是4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭。

高考数学集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(理科)

－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． [解析] ∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.
②若B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为 (－∞，3]．
[答案] (－∞，3]
[易错提醒] 将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 集合子集个数的判定
含有n真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．
[例1] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x
＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由
题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，
{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．
[答案] D
[易错提醒] (1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．
∵
2x
－
3>0
，
∴
x>
3 2
，
∴
B
＝
3 xx>2
.
∴
A∩B
＝
{x|1<x<3}∩xx>32 ＝32，3. [答案] D

2020年全国高考数学·第01讲集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语本章知识结构图第一节集合考纲解读1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．预测2015年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现．北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现．考查学生的综合推理能力．（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系（1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =．（3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü或B A Ý．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作I A ð，即{}|I A x x I x A =∈∉且ð．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅．（2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=．（3）补集的运算性质．()I I A A =痧，I I ∅=ð，I I =∅ð ()I A A ⋂=∅ð，()I A A I ⋃ð．补充性质：I II A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅痧?．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂．分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃．（5）反演律（德摩根定律）．()()()I I I A B A B ⋂=⋃痧? ()()()I I I A B A B ⋃=⋂痧?．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示题型1：集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-变式1 已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,)|,A B x y x A y A ==∈∈，则B 中所含元素的个数为（）． A ．3 B ．6 C ．8 D ．10变式2 已知集合{}{}0,1,2,|,A B x y x A y A ==-∈∈中元素的个数为（）． A ．1 B ．3 C ．5 D ．9变式3 若集合{}{},,lg()0,||,x xy xy x y =，则x = ，y = ．题型2：集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．一、集合关系中的判断问题例1.2 若{}{}{}|41,,|43,,|81,A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==-∈==+∈，则A ，B ，C 之间的关系为（）．变式1 设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则 A ．M N = B ．M N Ü C ．M N Ý D ．M N ⋂=∅例1.3 设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .变式1 已知集合{}2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，求实数p 的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4 已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=，则m =（）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3变式1 已知集合{}{}|36,|,A x x B x x a a R =-<<=≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .变式2 已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≤=≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是 .变式3 已知集合{}{}2|1,P x x M a =≤=，若P M P ⋃=，则a 的取值范围是（） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[1,1]- D ．(,1][1,)-∞-⋃+∞三、集合关系中的子集个数问题例1.5 已知集合{}2|3100,A x x x x Z =--≤∈，则集合A 的子集个数为 .例1.6 已知集合{}{}2|320,,|05,N A x x x x R B x x x =-+=∈=<<∈，满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4变式1 已知集合M 满足{}{}*1,2|10,N M x x x ⊆≤∈Ü，求集合M 的个数.题型3 集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 一、集合元素属性的理解例1.7 已知集合{}{2|1,,|M y y x x R N x y ==+∈==，则M N ⋂=（） A ．{}|13x x <≤ B ．{}|13x x ≤< C ．{}|13x x ≤≤ D ．{}|14x x <<变式1 集合{}{}2|03,|9P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M ⋂=（）. A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}|03x x ≤< D ．{}|03x x ≤≤变式2 已知集合{}1||3||4|9,|46,0A x R x x B y R y x x x ⎧⎫=∈++-≤=∈=+->⎨⎬⎩⎭，则集合 A B ⋂= .变式3 设全集{}(,)|,I x y x y R =∈，集合{}3(,)|1,(,)|2y M x y N x y y x x -⎧⎫===≠+1⎨⎬-⎩⎭，那么()()I I M N ⋂=痧（）A ．∅B ．{}(2,3)C ．(2,3)D ．{}(,)|1x y y x =+变式4 已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,0B x y x y x =-+=≤≤2，若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8 设集合{}{}||2|3,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+⋃=，则a 的取值范围是（） A ．(3,1)-- B ．[3,1]-- C ．([1,)-∞,-3]⋃-+∞ D ．((1,)-∞,-3)⋃-+∞变式1 已知集合{}||2|3A x R x =∈+<，集合{}|()(2)0B x R x m x =∈--<，且(1,)A B n ⋂=-，则m = ，n = .变式2 已知全集U R =，集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤=<->或，那么集合()U A B ⋂=ð（）.变式3 已知集合{}3|0,|31x M x N x x x -⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|1x x ≥=（）. A ．M N ⋃ B ．M N ⋃ C ．()R M N ⋂ð D ．()R M N ⋃ð三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9 设U 为全集，M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集{}|M P x x M x P -=∈∉且，则()M M P --=（）.A ．PB ．M P ⋂C ．M P ⋃D ．M变式1 设全集{}1,2,3,4,5U M N =⋃=，{}2,4U M N ⋂=ð，则N =（）. A ．{}1,2,3 B ．{}1,3,5 C ．{}1,4,5 D ．{}2,3,4变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有人．例1.10 如图1-3所示，I 是全集，,,A B C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()ABC ⋂⋂ B ．()I A B C ⋂⋂ð C ．()I A B C ⋂⋂ðD ．()I B A C ⋃⋂ð变式1 已知,M N 为集合I 的非空子集，且,M N 不相等，若()I N M ⋂=∅ð，则M N ⋃=（） A ．M B ．N C ．I D ．∅四、以集合为载体的创新题例1.11 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个孤立元，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有个.变式1 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈，,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭B.,T V 中至多有一个关于乘法是封闭C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭D.,T V 中每一个关于乘法是封闭变式 2 已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥L ，其中(1,2,3,,)i a Z i k ∈=L ，由A 中的元素构成两个相应的集合{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,)|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n .若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P .（1）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P ，并对具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（2）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤.变式3 设集合{}*1,2,3,,,N n P n n =∈L ，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数. ①n A P ⊆； ②若x A ∈，则2x A ∉； ③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð. (1)求(4)f ；(2)求()f n 的解析式(用n 表示).最有效训练题1（限时45分钟）1．设集合{}{}2|60,|13M x x x N x x =+-<=≤≤，则M N ⋂等于（） A ．[2,3] B ．[1,2] C ．[2,3) D ．[1,2) 2．若{{}2|,|1A x y B y y x ====+，则A B ⋂=（）A ．(1,)+∞B ．[1,2]C ．[0,)+∞D ．(0,)+∞3．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =.集合{}2,4,5,7A =，{}1,4,7,8B =，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（）A ．{}3,6B ．{}2,4,6C ．{}2,6D ．{}3,4,64．已知全集I R =，集合{}{}|||2,,|M x x x R P x x a =<∈=>，并且I M P ðÜ，那么a 的取值范围是（） A ．{}2 B ．{}|2a a ≤ C ．{}|2a a ≥ D ．{}|2a a <5．设集合{}{}|||1,,|15,A x x a x R B x x x R =-<∈=<<∈.若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是（） A ．{}|06a a ≤≤ B ．{}|24a a a ≤≥或 C ．{}|06a a a ≤≥或 D ．{}|24a a ≤≤ 6．设全集{}(,)|,U x y x R y R =∈∈,{}{}(,)|20,(,)|0A x y x y m B x y x y n =-+<=+-≥ ，那么(2,3)()U P A B ∈⋂ð的充要条件是（）A ．1m >-且5n -且5n >D ．1m <-且5n > 7．设集合{}{}{}21,3,2,2,3A B a a A B =-=++⋂=，则实数a = .8．已知集合A 满足条件：当p A ∈时，总有11A p -∈+（0p ≠且1p ≠-）.已知2A ∈，则集合A 中所有元素的积等于 .9．已知集合,A B 满足{}{}|27,|121A x x B x n x m =-≤≤=+<<-，且B ≠∅.若()U A B ⋂=∅ð，则m 的取值范围是 .{}211．已知集合{}22|,,M m m x y x y Z ==-∈，若对任意的12,m m M ∈，求证：12m m M ∈.12．已知集合{}*1,2,3,,2(N )n n ∈L ，对于A 中的一个子集S ，若存在．．不大于n 的正整数数m ，使得对S 中的任．意．一对元素12,s s ，都有12||s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}|9B x A x =∈>和{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈是否具有性质P ？请说明理由. （2）若集合S 具有性质P ，那么集合{}21|T n x x S =+-∈是否一定具有性质P ？请说明理由.。

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专题02 集合与常用逻辑用语
（一）集合
1.集合的含义与表示
（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
（2）能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
（2）在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
（3）能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算（3）能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
（十四）常用逻辑用语
1.命题及其关系
（1）理解命题的概念.
（2）了解“若,则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. p q （3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
2.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
3.全称量词与存在量词
（1）理解全称量词与存在量词的意义.
（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1．涉及本专题的题目一般考查集合间的基本关系及运算，四种命题及其关系，结合概念考查充分条件、必要条件及全称命题、特称命题的否定及真假的判断等.
2．从考查形式来看，涉及本专题知识的考题通常以选择题、填空题的形式出现，考查集合之间的关系以及概念、定理、公式的逻辑推理等.
3．从考查难度来看，考查集合的内容相对比较单一，试题难度相对容易，以通过解不等式，考查集合的运算为主，而常用逻辑用语则重点考查概念的理解及推理能力．
4．从考查热点来看，不等式的解法和概念、定理、公式之间的相互推理是本专题主要考查的内容，其要求不高，重在理解．
考向一元素、集合之间的关系
样题1 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】D
考向二集合的基本运算
样题2（2020新课标Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则
A ．A I
B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A I B =∅
C ．A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭
D ．A U B=R
【答案】A
【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22
A B x x x x x x =<<=<I I ，选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．样题3 （2020新课标Ⅱ文科）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =U
A ．{}1
23,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}13
4，，【答案】A
样题4 （2020新课标Ⅲ文科）已知集合A ={1,2,3,4}，B ={2,4,6,8}，则A B I 中元素的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】由题意可得{}2,4A B =I ，故A B I 中元素的个数为2，所以选B.
考向三充要条件的判断
样题5 （2020年高考天津卷）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-
<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-
<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2
θ<”的充分而不必要条件，故选A ．【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．
样题6 已知p ：x ≥k ，q ：(x +1)(2-x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
【答案】B
【解析】由q ：(x +1)(2-x )<0，得x <-1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，
所以k >2，即实数k 的取值范围是(2,+∞)，故选B.
考向四命题真假的判断
样题7 （2020年高考北京卷）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________.
【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）
【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
样题8 已知命题021x p x ∀≥≥：，；命题q ：若x y >，则22
x y >．则下列命题为真命题的是
A ． p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨ 【答案】B
考向五特称命题与全称命题
样题9 （2020浙江卷）命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是
A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <
B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <
C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <
D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <
【答案】D
【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．
样题10 若“[0,]tan 4
x x m π∀∈≤，”是真命题，则实数m 的最小值为__________________．
【答案】1。