中考数学专题复习 第十七讲 等腰三角形和直角三角形
2.(2017·烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图 所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的 长度相等,则∠C的度数为 ( )
A.48° B.40° C.30° D.24°
【解析】选D.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°. ∵CF=EF,∴∠C=∠E.∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C= 24°.
3.(2017·内江中考)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足 为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
【证明】∵DE∥AC,∴∠1=∠3. ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3. ∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°. ∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.
【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质解答即可. 【自主解答】∵DE垂直平分AB, ∴BE=EA. 答案:BE=EA(答案不唯一)
【答题关键指导】 线段垂直平分线的应用特征 (1)线段垂直平分线中的两组线段相等: ①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; ②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段. (2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足 是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质.
定理 2.等腰三角形顶角_平__分__线__、底边上的中
线和底边上的_高__相互重合(简称“三线合
一”)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 判定 所对的边也_相__等__(简写为“_等__角__对__等__边__”)
二、等边三角形
定义
_三__边__相等的三角形
1.等边三角形的三个内角都_相__等__,并且每一个
(√)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
考点一 等腰三角形的性质与判定 【示范题1】(2017·连云港中考)如图,已知等腰三角 形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连 接BE,CD,交于点F.
此时PA=PC,
则AD=CD1 = AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,
2
∠ABD=1 ∠ABC=30°,
2
∴PD=AD·tan30°=3
3
AD=3
3
,BD=3
AD=3
,
∴PB=BD-PD=3 - 3 =2 3 .
33
答案: 2 3
3
2.(2017·黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧, 作等边三角形ADE,则∠BED=________度.
【自主解答】如图,作AG⊥BC于点G.
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.来自∴AG= 32
AB=2 3
.
连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴ 1AB·DE+1 AC·DF=1 BC·AG.
2
2
2
∵AB=AC=BC=4,
∴DE+DF=AG=3 2 . 答案:2 3
【答题关键指导】 活用等边三角形的性质 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的 结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构 造全等.
六、命题、定理 1.互逆命题:如果两个命题的_题__设__和_结__论__正好相反, 我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一 个叫做原命题,那么另一个叫做它的_逆__命__题__. 2.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就 是这个定理的逆定理,称这两个定理为_互__逆__定理.
【自我诊断】(打“√”或“×”) 1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边 上的中线相互重合,简写成“三线合一”.( √ ) 2.等边三角形是等腰三角形.( √ ) 3.直角三角形斜边上的中线与斜边没有关系.( × )
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
角都等于_6_0_°__ 性质 2.等边三角形是轴对称图形,并且有_三__条对称
轴
1.三个角都_相__等__的三角形 判定 2.有一个角是60°的_等__腰__三角形
三、线段的垂直平分线 1.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离_相__等__. 2.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的_垂__直__平__分__线__上.
【思路点拨】本题利用勾股定理与折叠性质即可得出 结果.
【自主解答】因为∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,
所以由勾股定理可得AB=10cm,又因为将纸片
折叠:点A与点B重合,所以∠ADE=90°,AD=5.
连接BE.设AE=x,则CE=8-x,BE=x,所以(8-x)2+62=x2.解
得x=2 5 ,即AE= 2 5.所以DE=
A .1 2
B .2 2
C .3 2
D .3 3
【思路点拨】先设小正方形的边长为1,然后找个与 ∠B有关的Rt△ABD,利用勾股定理算出AB的长,再求出 BD的长,即可求出余弦值.
【自主解答】选B. 设小正方形的边长为1,则AB=4 2 ,BD=4, ∴cosB= 4 2 .
42 2
命题角度3:利用勾股定理解决折叠、旋转问题 【示范题6】(2017·白银中考)如图,一张三角形纸片 ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠:使点A 与点B重合,那么折痕长等于________cm.
(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以 FB=FC. 又因为AB=AC, 所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上, 即直线AF垂直平分线段BC.
【答题关键指导】 1.判定等腰三角形的两种方法 (1)运用定义从边的角度去判断. (2)运用判定定理从角的角度判断.
考点二 等边三角形的性质与判定 【示范题2】(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角 形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
【思路点拨】作AG⊥BC于点G,根据等边三角形的性 质得出∠B=60°,解直角三角形求得AG=2 ,3 根据 S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2 .3
4
4
答案: 1 5
4
(25)2 52 15.
4
4
命题角度4:利用勾股定理求最短距离问题 【示范题7】(2017·东营中考)我国古代有这样一道 数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛 藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?” 题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是 十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自 点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问 题中葛藤的最短长度是________尺.
【变式训练】 1.(2017·威海中考)如图,△ABC为等边三角形,AB=2. 若P为△ABC内的一动点,且满足∠PAB=∠ACP.则线段 PB长度的最小值为________.
【解析】∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2, ∵∠PAB=∠ACP, ∴∠PAC+∠ACP=60°, ∴∠APC=120°, 当PB⊥AC时,PB长度最小,设垂足为点D,
2.(2017·益阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC =36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用 含a,b的代数式表示△ABC的周长为________.
【解析】∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠B=72°,∵DE是AC 的垂直平分线,∴AE=CE=b,∴∠ACE=∠BAC =36°, ∴∠BEC=72°,∴∠BEC=∠B,∴BC=CE=b, ∴△ABC的周长 为:AB+BC+AC=(a+b)+b+(a+b)=2a+3b. 答案:2a+3b
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质 和三角形中位线定理求解. 【自主解答】根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得AB=4,再根据三角形中位线定理得EF= 1 AB
2
=2.
答案:2
命题角度2:利用勾股定理求正方形网格中线段的长度 【示范题5】(2017·天水中考)在正方形网格中, △ABC的位置如图所示,则cosB的值为 ( )
四、直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的两个锐角_互__余__ (2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于 性质 斜边的_一__半__ (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 _一__半__ (1)定义法:有一个角是_直__角__的三角形 判定 (2)两个内角_互__余__的三角形
五、勾股定理及逆定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么_a_2_+_b_2=_c_2_. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满 足_a_2_+_b_2=_c_2_,那么这个三角形是直角三角形.
【解析】由题意得AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED= 60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED= ∠AED∠AEB=60°-15°=45°. 答案:45
考点三 线段垂直平分线的性质与判定 【示范题3】(2017·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂 足为E点,请任意写出一组相等的线段________.
第十七讲 等腰三角形与直角三角形
第十七讲 等腰三角形与直角三角形归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题．【例1】已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用．【例3】已知等腰三角形的底角是30°，腰长为，则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+，求证：△ABC是直角三角形．【基础练习】1．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根，则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB 于点D，交AC与点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°3．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，3）C．（3，1）D．（3，3）4．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6B．1.8C．2D．2.65．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4B．5，6，12C．5，7，2D．6，8，10 6、等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．127.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE的周长为10，且BC=4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．68．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．3【基础练习】9．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE=1，则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．810.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．1011.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321312、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（）A．4B．22 C．2D．213.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．1．在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N若AB=4，DM=1，则AC的长为（）A．5B．6C．7D．82．如图，在△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，F为AC上一点，且AF=EF．若∠B=42°，则∠EFC为（）A．48°B．96°C．138°D．84°3．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC=EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO=BC；⑤∠EAD=120°．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．54．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为（）A．2B．2C．1D．225．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．4B．3C．2D．56．如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为（）A．5B．10C．l5D．207．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深，葭长各几何．”意思是：如示意图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注：1丈=10尺．设芦苇长x尺，则可列方程为（）A．x2+102=（x+1）2B．（x﹣1）2+52=x2C．x2+52=（x﹣1）2D．x2+12=（x﹣1）28．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，如果CE=8，则ED的长为（）A．2B．3C．4D．69．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针尖扎到小正方形（阴影部分）的概率是（）A．0.2B．0.25C．0.4D．0.510．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=6，则AD的长为（）A．2B．3C．4D．4.511．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE12BC ．求证：A B平分∠EAD．12．（如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F为AB上一点，连接CF，过点B作BE⊥BC 交CF的延长线于点E，交AD于点H，且∠1=∠2．（1）求证：A B=AC；（2）若∠1=22°，∠AFC=110°，求∠BCE的度数．13．如图，等边△ABC中，AB=6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE=CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：B F=EF；（3）求△BDE的面积．。
数学知识点新课标)中考数学总复习 第17课时 等腰三角形与直角三角形(含三年中考,pdf)【含解析】
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
!"" 求 6 @的长( ! % " 求+2 6 3的面积!
第 * 题图
命题点 $!等腰三角形的相关计算 底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论当 " 为底时 三角形
"
$ "= ! 解析 因为等腰三角形的两边分别为 " 和 . 但没有明确哪是 "
@( $ $330 #( $ $@ 6是 3 5的垂直平分线$请写出图 $ $ 中两条相等的线段是!!!!! $ $ $ $ $ $ !! !!!! $ $ 第 $ 题图 第 & 题图 $ & !$ ( "% 岳阳 "$ 题 # 分% 如图$在 P 9 3 5中$330$ +2 @( $ $沿 2 6折叠$ 使点 3落在斜边 2 5上$ 若 2 30$ $ # $3 50 $ $则 3 60 !!!!! $ * !$ ( "# 湘西州 %# 题 * 分 % 如图$ P 9 3 5中$ 350$ +2 $ $2 6平分35 2 3 $6 @ 3于 @ $若 2 50 * $3 50$ @( $ /2 $ ' $5 60 #! $
$ 命题点 % !直角三角形的相 关 计 算 %("$ 年 考 查 # $ 次%("# 年考查 " 次%("% 年考查 # 次 $ 9 3 5中32 5 30 $ " !"$ 湘西州 @ 题 $ 分 如图在 P +2 $ 5 20 5 3 2 30 %过点 5作 5 6 3 垂足为 6 则 /2 $ @($ $ 5 6的长为 !! $ " " $ + , = 1 = " 5 = % = $ % $ $ $ $ $ $ $! !! $ 第 " 题图 第 % 题图 $ $ % !"$ 张家界 ; 题 # 分 如图在 P 9 3 5中32 5 30 +2 $ 6 @是斜边 2 5的中垂线分别交 2 3 2 5于 6 @ $ *($ $ 两点若 3 60 %则 2 5的长是 !! $ ! $ , ! $槡 # 1 ! ' 5 ! '槡 # $ + $ $ # ! "$ 邵阳 "; 题 # 分 $ 如图 在 P 9 3 5中 +2 $ @( $ 6为 2 3的 350 $ $ @ 5于点 @ 中点6 /2 $ 2 3 0' 则 320#( $ $ 第 # 题图 $ 6 @的长度是!!!! $ 9 3 5中32 5 30 +2 $ $ ! "% 邵阳 "* 题 # 分 . " . 可以构成三角形 周长为 9 当 . 为底时 三角形的 " " 故选 = " 三边为 . " " 可以构成三角形周长为 5 " " " ": ! 解析 如解图 '3 4 5中 3 4-3 5 3 <是 4 5 " 边上的中线根据等腰三角形三线合一的性质 " $ " ,. 3 3 < 5 在 I J 4 <中4 <- 8 <( )4 '3 " " " 根据勾股定理得 3 4%" " ." ,# # ! 解 析 1 '3 4 5是等边三角形 由旋转知 第 " 题解图 " 5 <也是等边三角形2*4 3 53 <,## '3 *5 " $ " 1=是 4 5的中点 >是 5 <中点2*= 3 5- *4 3 5.## *> 3 5" " " $ 3 5.## 2 *= 3 >3 54 3 5.## 4 .## ,## " *< *= *> " " " ( " 思路分析 本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质" 通过 " 3 =平分 *< 3 5 得 到 *$ -*" 再 利 用 平 行 线 性 质 转 化 为 *4-" 从而根据等角对等边定理得到 3 43 5 " *5 " " 证明13 =平分*< 3 5 " 2*$ *" " " 分 " 13 = 5 +4 " 2*$ *" ( 分 " *4 *5 " 2*4 *5 " 23 43 5 " , 分 " 命题点 "!直角三角形的相关计算 " $ ": ! 解析 1*3 5 47# # 5 35 4 2*3(% # 1 5 < 4 " *4)3 " $ 23 <4 <- 3 4$ * 5 < 47# # 2 5 <4 <$" 故选 : " " " " " "/ ! 解析 如解图1在 I J 4 5中*3 5 4 '3 " ,## 2*3.## " 1< =垂直平分斜边 3 5 " " 23 <5 < 2*35 <.## 2*< 5 4*3 " ,## & .## .## 14 <"25 <3 <(23 4 " "4 (,在'4 5 <中由勾股定理得5 4" 第 " 题解图 "槡 . 在 '3 4 5 中 由 勾 股 定 理 得 3 5" !!!!
安徽省2014年中考数学专题复习课件 第17课时 等腰三角形
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第17课时┃等腰三角形
3．如图 17－5，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平 分∠BAC 交 BC 于点 E， 点 D 为 AB 的中点， 连接 DE， 则△BDE 的周长是________ 10 ．
图 17－5
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第17课时┃等腰三角形
探究三 等腰三角形的多解问题
命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到三角形的高线的问题要考虑高在形内、形上 和形外等多种情况．
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第17课时┃等腰三角形
例 3 [2013· 白银] 等腰三角形的周长为 16，其一边长 为 6，则另两边长为____________________ ． 5，5或6，4
第17课时 等腰三角形
第17课时┃ 等腰三角形
皖 考 解 读
考纲 要求 了解 掌握 2010 填空题 5 分 2012 选择题 4 分 2013 解答题 5 分
考点 等腰三角形 有关概念 等腰三角 形的性质 和判定
年份
题型
分值 预测热度 ★ ★★★★
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第17课时┃等腰三角形
(1) 根据等腰三角形“三线合一”可得 BD ＝ 解 析 CD，AD⊥BC，再根据全等三角形的判定定理 SSS 或 HL 可 以证得△ABD≌△ACD； (2)利用(1)中已证 AD 是 BC 的垂直平分线可证 BE＝CE.
解
证明：(1)∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD. 在△ABD 和△ACD 中， BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． (2)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BE＝CE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．
中考数学专题复习之等腰三角形与直角三角形
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思维导图
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图形 性质 判定 面积计算公式
等腰三角形
等腰三角形 与直角三角形
直角三角形
图形 性质 判定 面积计算公式
第19课时 等腰三角形与直角三角形
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考点 1 等腰三角形的性质及判定
1．等腰三角形
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性质 判定 面积
(1)两腰相等，两底角___相__等___(简写成“等边对等角”)；(2) 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简 写成“三线合一”)；(3)是轴对称图形，有___1___条对称轴
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等
的三角形是等腰三角形
S＝
1 2
ah(其中a是底边长，h是底边上的高)
第分要点】等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角 形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．一般情况下，在同一个三角 形中，欲证边相等，先证角相等，欲证角相等，先证边相等．
第1题图
第19课时 等腰三角形与直角三角形
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∵
证明：如解图，取BC的中点D，连接AD， 在△ABD和△ACD中，
AB=AC AD=AD BD=CD ∴△ABD≌△ACD(SSS)．
第1题解图
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. ∴AD为∠BAC的平分线，边BC上的中线和高线． 即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高“三线合一”．
第19课时 等腰三角形与直角三角形
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判定 面积
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形 是直角三角形；(3)勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a、b、c为三 边的三角形是直角三角形；【提分要点】勾股定理的逆定理是判断一 个三角形是否是直角三角形的重要方法，应用时先确定最大边，然后 验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方．(4)一条边的中线等
2020年中考数学第一轮复习 第十七讲 三角形与全等三角形 知识点+真题 学生版(后含答案)
2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十七讲三角形与全等三角形【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11对应练习1－1（长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2019青岛中考）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥ BD ，垂足为F ．若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°对应练习2－1（2019年威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上），若∠1＝23°，则∠2＝°对应练习2－2（2019年枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A.45°B. 60°C. 75°D. 85°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2019年山东滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1对应练习3－1 （天门）如图，已知△ABC ≌△ADE ，AB 与ED 交于点M ，BC 与ED ，AD 分别交于点F ，N ．请写出图中两对全等三角形（△ABC ≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．对应练习3－2 （宜宾）如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BE=CD ． 考点四：全等三角形开放性问题例4 （云南）如图，点B 在AE 上，点D 在AC 上，AB=AD ．请你添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE （只能添加一个）．（1）你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请说明△ABC ≌△ADE 的理由．对应练习4－1 （昭通）如图，AF=DC ，BC ∥EF ，只需补充一个条件 ，就得△ABC ≌△DEF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【中考真题考点例析】考点一：三角形三边关系例1答案：C 对应练习1－1答案：B 考点二：三角形内角、外角的应用例2答案：C 对应练习2－1答案：68 对应练习2－2 答案：C 考点三：三角形全等的判定和性质MOCD B例3 答案：B 对应练习3－1 答案：△AEM ≌△ACN ，△BMF ≌△DNF ，△ABN ≌△ADM ．选择△AEM ≌△ACN ，证明：∵△ADE ≌△ABC ，∴AE=AC ，∠E=∠C ，∠EAD=∠CAB ，∴∠EAM=∠CAN ，∵在△AEM 和△ACN 中，∠E ＝∠CAE ＝AC∠EAM ＝∠CAN∴△AEM ≌△ACN （ASA ）．对应练习3－2 答案：证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧)公共角A(＝∠A ∠)已知AC(＝ AB )已知C(＝∠B ∠ ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE=CD （全等三角形的对应边相等）．考点四：全等三角形开放性问题例4 答案：解：（1）∵AB=AD ，∠A=∠A ，∴若利用“AAS ”，可以添加∠C=∠E ，若利用“ASA ”，可以添加∠ABC=∠ADE ，或∠EBC=∠CDE ，若利用“SAS ”，可以添加AC=AE ，或BE=DC ，综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E （或∠ABC=∠ADE 或∠EBC=∠CDE 或AC=AE 或BE=DC ）；故答案为：∠C=∠E ；（2）选∠C=∠E 为条件．理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧AD ＝AB E＝∠C ∠A ＝∠A ∠ ∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．对应练习4－1 答案：BC=EF ，解析：∵AF=DC ，∴AF+FC=CD+FC ，即AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFC=∠BCF ，∵在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧DF ＝AC BCF＝∠EFC ∠BC ＝EF ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：BC=EF ．【聚焦中考真题】 一、选择题 1.（湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°2．（鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．（泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．（宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A ．1，2，6B ．2，2，4C ．1，2，3D ．2，3，45．（衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°6．（河北）如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上B ．点M 在BC 的中点处C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远7．（铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是（ ）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D8．（台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确9．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC10．（河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°11．（陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题12.（威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．13．（黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．14．（柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．15．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）16．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．17.（达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题18．（聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．19．（菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．21．（东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．22．（烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．23．（玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．24．（湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．25.（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．26．（十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．27.（佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．28．（内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．29．（舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？30．（荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．31．（随州）如图，点F 、B 、E 、C 在同一直线上，并且BF=CE ，∠ABC=∠DEF ．能否由上面的已知条件证明△ABC ≌△DEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC ≌△DEF ，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE ；②AC=DF ；③AC ∥DF ．第十七讲 三角形与全等三角形 参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1-5 AADDC 6-10 CCDAB 11 C二、填空题12答案：25°13答案：6014答案：2015答案：CA=FD16答案：∠B=∠C17答案：20152m解：∵A1B 平分∠ABC ，A1C 平分∠ACD ，∴∠A1=21∠A ，∠A2=21∠A1=221∠A ，… ∴∠A2 015=201521∠A=20152m 。
2024年中考数学一轮复习基础知识过关课件+第17讲 等腰三角形与直角三角形
等腰三角形的性质和判定
[例1] 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(1)解:∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.
又∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-∠C=48°.
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.
最短路径问题
[例 5] (2021 眉山)如图所示,在菱形 ABCD 中,AB=AC=10,对角线 AC,BD 相交于
点 O,点 M 在线段 AC 上,且 AM=3,点 P 为线段 BD 上的一个动点,则 MP+ PB 的最
小值是
.
过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,过点 M 作 MN⊥BC 于点 N,交 BD 于点
有两边相等的三角形是等腰三角形
判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)
等边三角形的性质及判定
定义 三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的三条边都 相等
性质
三个内角都相等,并且每个角都等于
60°
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴
等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合
ห้องสมุดไป่ตู้三条边都相等的三角形是等边三角形
直角三角形来解决;
(2)有些问题需要根据三角形三边的长度验证它是否为直角三角形,然
后利用直角三角形的性质解决实际问题.
[变式 2] 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=2BC,AC= ,若 CD 是 AB 边
的中线,则 CD= 1 .
线段的垂直平分线
2013-2014中考数学专题复习学生版第十七讲 三角形与全等三角形
第十七讲三角形与全等三角形【基础知识回顾】三角形的概念：1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形有条边个顶点个内角二、三角形的分类：按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形【名师提醒：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形又称为三角形】三、三角形的性质：1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边3、三角形具有性【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的外角和是，2、三角形三边关系定理是确定三条线段能否构成三角形和判断线段间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段：1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形部且交于一点，这点是三角形的心它到得距离相等2、中线：三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点3、高线：不同三角形的三条高线位置不同，锐角三角形三条高都在三角形直角三角形有一条高线在部，另外两条和重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，另外两条在三角形部4、中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的【名师提醒：三角形的角平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】五、全等三角形的概念和性质：1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】一、全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为②角边角：简记为③角角边：简记为④边边边：简记为2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】【重点考点例析】考点一：三角形三边关系例1 （2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．对应训练1．（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点二：三角形内角、外角的应用例2 （2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°鄂州点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．对应训练2．（2013•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°考点三：三角形全等的判定和性质例3 （2013•天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．宜宾点评：本题考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．例4 （2013•宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．对应训练3．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB 上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．4．（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．考点四：全等三角形开放性问题例5 （2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是．（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．对应训练5．（2013•昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．【聚焦山东中考】（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，1．AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．1．25°2．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．3．（2013•菏泽）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．4．（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．6．（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF 的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【备考真题过关】一、选择题1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4 3．（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°4．（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远衡阳5．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D邵阳6．（2013•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确7．（2013•邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE 交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（）A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC8．（2013•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°陕西9．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题10．（2013•黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是柳州13．（2013•郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．达州14．（2013•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题15．（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．16．（2013•湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．17．（2013•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；（2）证明推论AAS．要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．18．（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．19．（2013•内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB边上一点．求证：BD=AE．20．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？21．（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．。
等腰三角形与直角三角形PPT课件
B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.
2024年中考数学一轮复习考点课件：等腰三角形与直角三角形
9，12，15 ）.
（2） 研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如
果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三
边的三角形为直角三角形[即（x，y，z）为勾股数]，请你加以证明.
解：∵ x2＋y2＝（2n）2＋（n2－1）2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝
B. 15°
C. 20°
D. 25°
考点二
等腰三角形的判定
典例4 如图，下列说法中，正确的是（ B ）
A. ①是等腰三角形
B. ②是等腰三角形
C. ①和②均是等腰三角形
D. ①和②都不是等腰三角形
典例4图
典例5 （2023·蚌埠模拟）在如图所示的网格中找到格点C，使△ABC为
等腰三角形，则这样的点有（ C ）
开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形
模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的
高是（ B ）
第4题
A. 4m
B. 6m
1
2
3
C. 10m
4
5
6
7
8
D. 12m
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使
三边相等，即＝＝（如图1）
三个内角相等，每一个角都等于60°，
性质 即∠＝∠＝∠ = 60° 如图1
等边三角形
等边三角形是轴对称图形，有⑤
三 条对称轴
三条边相等的三角形是等边三角形（定义）
判定 三个角都相等的三角形是等边三角形
2024年中考数学复习课件 第17讲 等腰三角形与直角三角形
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8.(2019·三州联考20题3分)三角板是我们学习数学的好帮手.将一对
直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,
∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度
是 15-5 .
6
7
8
9
10
11
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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方法指导
1.在解决与直角三角形相关问题时,要联想到与其相关的知
识:(1)两锐角互余;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜
边的一半;(4)30°角所对直角边等于斜边的一半.
2.常过直角三角形直角顶点作斜边垂线,构造相似三角形求
线段长度.
例2
3
4
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 重难突破
命题点 2 直角三角形的性质及计算
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第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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命题点 1 等腰三角形的性质及计算 (贵阳6年1考,遵义6年2考,毕节
6年1考)
1.(2020·毕节9题3分)等腰三角形的两条边长分别为3和7,则这个等腰
三角形的周长是 ( C
A.10
湘教:八上P61~P67,八下P2~P18
考点梳理
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第17讲
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等腰三角形与直角三角形— 思维导图
定义
定义
性质
性质
直角三角形
等腰三角形
判定
判定
等腰三角
形与直角
三角形
定义
性质
判定
等边三角形