反比例函数概念PPT课件
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反比例函数的性质
反比例函数具有无限递减或无限递增的性质，即随着$x$的增大或减小，$f(x)$的值 会无限接近于0但永远不会等于0。
反比例函数在自变量$x$等于0时没有定义，因为分母不能为0。
反比例函数具有对称性，即当$x$取正值时和取负值时的函数值是相等的。
02
反比例函数的应用
反比例函数在生活中的应用
反比例函数与正比例函数的比较
定义域
正比例函数和反比例函数的定义 域均为$x in R$，即实数集。
函数图像
正比例函数图像是一条过原点的直 线，而反比例函数的图像是双曲线 。
增减性
正比例函数随着$x$的增大而增大或 减小，而反比例函数在$x>0$时， 随着$x$的增大而减小，在$x<0$时 ，随着$x$的增大而增大。
反比例函数与其他数学知识的结合
与一次函数的结合
反比例函数与一次函数的结合可 以用于解决一些复杂的数学问题 ，例如求解方程的根。
与指数函数的结合
反比例函数与指数函数的结合可 以用于描述一些复杂的数学关系 ，例如人口增长与时间的关系。
03
反比例函数的解析式
反比例函数的解析式
反比例函数的一般形式为 $f(x) = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。
反比例函数在数学问题中的应用01Fra bibliotek0203
解决几何问题
在几何问题中，反比例函 数可以用于描述两个点之 间的距离与它们之间的角 度之间的关系。
解决物理问题
在物理问题中，反比例函 数可以用于描述物体的运 动规律，例如物体的加速 度与时间之间的关系。
解决概率问题
在概率问题中，反比例函 数可以用于描述事件的概 率与样本空间的大小之间 的关系。
关于反比例函数的ppt课件
05
反比例函数的学习方 法
理解概念和定义
总结词：掌握基础
详细描述：首先需要理解反比例函数的基本概念和定义，包括反比例函数的表达 式、自变量和因变量的关系等。
学习图像和性质
总结词：深入理解
详细描述：通过学习反比例函数的图像和性质，可以更好地理解函数的特性，包括函数的单调性、奇 偶性等。
掌握应用和比较
图像特性
正比例函数图像是一条通过原点 的直线，而反比例函数的图像则 位于第一象限和第三象限，且在 x轴和y轴上分别存在一个无穷远
点。
增减性
正比例函数随着x的增大而增大 或减小，而反比例函数在x增大 时y减小，在x减小时y增大。
与一次函数的比较
01
定义
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数且k≠0；反比例函数
题目2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图 象经过第一、三象限，且与直线$y = mx + b$相交于两点，求证：这两点 的横坐标互为相反数。
题目1
已知点$(m,n)$和$(p,q)$在反比例函 数$y = frac{k}{x}$的图象上，且$m times n = p times q$，求证：$k = 0$。
双曲余切函数
01
02
03
定义
双曲余切函数是双曲函数 的一种，定义为 (e^x + e^-x) / (e^x - e^-x)。
性质
双曲余切函数在实数范围 内是连续且可导的，具有 类似于余切函数的周期性 和奇偶性。
应用
双曲余切函数在解决某些 数学问题、优化算法和工 程计算中有应用。
双曲反正切函数
定义
关于反比例函数的 ppt课件
初中数学反比例函数ppt课件ppt课件
深化对反比例函数的理解和应用
详细描述
在基础练习题的基础上，设计一些难度稍高的练习题，如计算题、作图题等，引导学生运用反比例函 数解决实际问题，提高解题能力和思维灵活性。
综合练习题
总结词
全面考察学生对反比例函数的掌握程度 和应用能力
VS
详细描述
设计一些综合性的练习题，涉及反比例函 数的多个知识点，要求学生综合运用所学 知识解决问题。通过这类题目，可以检验 学生对反比例函数的整体理解和应用水平 。
反比例函数在实际问题中的拓展应用
经济领域
在经济学中，反比例函数可以用于描 述一些经济现象，如供需关系、边际 效用等。
物理领域
在物理学中，反比例函数可以用于描 述一些物理量之间的关系，如电荷与 电场、电流与电阻等。
反比例函数与其他数学领域的联系
与几何学的联系
反比例函数的图像是双曲线，双曲线 在平面几何中有重要的应用，如面积 计算、角度计算等。
通过观察图像的形状、趋势和 特点，可以直观地理解函数的 性质和特点，从而快速找到解 决问题的方法。
图象法适用于解决一些较为复 杂的问题，例如求函数的极值 、判断函数的奇偶性等。
反比例函数的代数法
代数法是通过代数运算和方程求解来解决问题的方法。
在解题过程中，需要熟练掌握代数运算的规则和方法，能够根据问题的具体情况建 立方程并求解。
与一次函数的结合
反比例函数与一次函数常 常一起出现在问题中，例 如在研究速度与距离的关 系时。
与二次函数的结合
在解决一些实际问题时， 反比例函数可能会与二次 函数一起出现，例如在研 究物体的运动轨迹时。
与三角函数的结合
在物理学和工程学中，反 比例函数可能会与三角函 数一起出现，例如在研究 振动和波动时。
详细描述
在基础练习题的基础上，设计一些难度稍高的练习题，如计算题、作图题等，引导学生运用反比例函 数解决实际问题，提高解题能力和思维灵活性。
综合练习题
总结词
全面考察学生对反比例函数的掌握程度 和应用能力
VS
详细描述
设计一些综合性的练习题，涉及反比例函 数的多个知识点，要求学生综合运用所学 知识解决问题。通过这类题目，可以检验 学生对反比例函数的整体理解和应用水平 。
反比例函数在实际问题中的拓展应用
经济领域
在经济学中，反比例函数可以用于描 述一些经济现象，如供需关系、边际 效用等。
物理领域
在物理学中，反比例函数可以用于描 述一些物理量之间的关系，如电荷与 电场、电流与电阻等。
反比例函数与其他数学领域的联系
与几何学的联系
反比例函数的图像是双曲线，双曲线 在平面几何中有重要的应用，如面积 计算、角度计算等。
通过观察图像的形状、趋势和 特点，可以直观地理解函数的 性质和特点，从而快速找到解 决问题的方法。
图象法适用于解决一些较为复 杂的问题，例如求函数的极值 、判断函数的奇偶性等。
反比例函数的代数法
代数法是通过代数运算和方程求解来解决问题的方法。
在解题过程中，需要熟练掌握代数运算的规则和方法，能够根据问题的具体情况建 立方程并求解。
与一次函数的结合
反比例函数与一次函数常 常一起出现在问题中，例 如在研究速度与距离的关 系时。
与二次函数的结合
在解决一些实际问题时， 反比例函数可能会与二次 函数一起出现，例如在研 究物体的运动轨迹时。
与三角函数的结合
在物理学和工程学中，反 比例函数可能会与三角函 数一起出现，例如在研究 振动和波动时。
《反比例函数》PPT课件
些这样的实际例子吗？
问题4：
若y =(m + 1)xm 2-2 是关于x的反比例
函数,确定m的值,并求其函数关系式。
说说收获
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还存在什么疑问？
课后作业
1.课本:习题1，2，3，4 2.举两个生活中有关反比例函数
的例子。Biblioteka 问题4: 一个面积为6400㎡的长方形,那么花坛
的长a(m)与宽b(m)之间的关系式为
问题5:京沪高速公路长1262km，汽车沿京沪 高速公路从上海驶往北京，汽车行完
全程所需的时间t（h）与行驶的平均
速度v(km/h)之间的函数关系式为
反比例函数的定义
成一般地y ，=如xk（果k两为个常变数量，xk，≠y之0）间的的形关式系，可那以么表示
物理中的数学
例1:电流I、电阻R、电压U之间满足关系式
U=IR。在照明电路中，正常电压U=220V。
（1）求I与R之间的函数关系式 ？ （2）变量I是R的反比例函数吗？ （3）利用写出的关系式完成下表：
R（Ώ）
20
60
I（A）
2.2
例2:在某一电路中,保持电压U(伏)不变， 电流I(安)是电阻R(欧)的反比例函 数,当电阻R=5欧时,电流I=2安。
称y是x的反比例函数。
注意:变量x,y都不能等于0.
基础练习
下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比 例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）y
=
4
x
（2）
y
=
-
1
2x
（3）
y
=
1-x
（4）xy = 1
（5）y
=
关于反比例函数的ppt课件
。
鼓励提问
02
鼓励学生提出自己的疑问和不解，可以是对知识点的理解问题
，也可以是相关应用问题。
问题记录
03
老师或助教将学生的问题记录下来，以便在后续环节中进行解
答。
小组讨论环节组织安排
分组方式
根据学生的座位或者自愿组合，将学生分成若干小组，每 组4-6人。
讨论时间
给每个小组分配5-8分钟的讨论时间，要求学生在规定时 间内围绕主题展开讨论。
标轴是反比例函数的渐近线。
对称性
反比例函数图像关于原点对称，即 如果(x,y)在图像上，那么(-x,-y)也 在图像上。
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的 增大，y的值逐渐减小；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y的 值逐渐增大。
与正比例函数关系
• 正比例函数与反比例函数的关系：正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x的图像都经过原点，但它们的图像形状和性质完全 不同。正比例函数的图像是一条过原点的直线，而反比例函数的图像是一条以原点为中心的双曲线。当k>0时，正比例函数 的图像在第一、三象限，而反比例函数的图像也在第一、三象限；当k<0时，正比例函数的图像在第二、四象限，而反比例 函数的图像也在第二、四象限。因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它是正比例函数还是反比例函数。
变化。
弹簧振子运动规律
胡克定律
描述弹簧伸长或压缩量与弹力之间的关系，即F=kx，其中 k为弹簧常数，x为伸长或压缩量。当弹力固定时，伸长或 压缩量与弹簧常数成反比。
振动周期与弹簧常数
弹簧振子的振动周期与弹簧常数成反比，可以用反比例函 数来描述这种关系。
能量与振幅
弹簧振子的振动能量与其振幅的平方成正比，而振幅与弹 簧常数成反比，因此能量与弹簧常数之间具有复杂的反比 例关系。
27.1 反比例函数课件(共16张PPT)
1.要制作容积为15 700 cm3的圆柱形水桶，水桶的底面积为S cm2，高为h cm，则Sh= ，用h表示S的函数表达式为 .2.自行车运动员在长为10 000 m的路段上进行骑车训练，行驶全程所用时间为t s，行驶的平均速度为v m/s，则vt= ，用t表示v的函数表达式为 .3.y与x的乘积为-2，用x表示y的函数表达式为 .
2.下列函数是y关于x的反比例函数的是( ) A. B. C. D.3.若函数 是反比例函数，则m的值是_____.
C-1ຫໍສະໝຸດ 展提升答案：解：2. 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x = 1.5时，求y的值； (3)当y = 6时，求x的值.
第 二十七章 反比例函数
27.1 反比例函数
学习目标
1．认识反比例函数的概念.2．能够根据已知条件，确定反比例函数的表达式.
学习重难点
重点
理解反比例函数的概念；能根据已知条件写出函数表达式.
难点
理解反比例函数的概念.
情景引入
若将成正比例的两个量视为变量，则这两个量之间具有正比例函数关系.那么，当将两个成反比例的量视为变量时，它们之间又具有怎样的函数关系呢？
做一做
新知引入
知识点1 反比例函数的定义
15 700
10 000
归纳总结
k≠0
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的实数.
典型例题
例1
写出下列问题中y与x之间的函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数k.（1）y与x互为相反数.（2）y与x互为负倒数.（3）y与2x的积等于a（a为常数，且a≠0）.
k≠0
知识点2 确定反比例函数的表达式
2.下列函数是y关于x的反比例函数的是( ) A. B. C. D.3.若函数 是反比例函数，则m的值是_____.
C-1ຫໍສະໝຸດ 展提升答案：解：2. 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x = 1.5时，求y的值； (3)当y = 6时，求x的值.
第 二十七章 反比例函数
27.1 反比例函数
学习目标
1．认识反比例函数的概念.2．能够根据已知条件，确定反比例函数的表达式.
学习重难点
重点
理解反比例函数的概念；能根据已知条件写出函数表达式.
难点
理解反比例函数的概念.
情景引入
若将成正比例的两个量视为变量，则这两个量之间具有正比例函数关系.那么，当将两个成反比例的量视为变量时，它们之间又具有怎样的函数关系呢？
做一做
新知引入
知识点1 反比例函数的定义
15 700
10 000
归纳总结
k≠0
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的实数.
典型例题
例1
写出下列问题中y与x之间的函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数k.（1）y与x互为相反数.（2）y与x互为负倒数.（3）y与2x的积等于a（a为常数，且a≠0）.
k≠0
知识点2 确定反比例函数的表达式
反比例函数ppt课件
本节课我们开始学习反比例函数.
探究新知
知识点1 反比例函数的概念
问题1 京沪线铁路全程为 1 463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h） 的变化而变化. （1）平均速度 v，运行时间 t 存在什么数量关系？
（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由. （3）你能写出 v 关于 t 的解析式吗？
位：m）随宽 x（单位：m）的变化而
变化.
y 1 000 x
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面 积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化 而变化.
1.68 104 S
n
v 1 463 t
y 1 000 x
S 1.68104 n
y k（k ≠ 0） x
高 h（单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化
而变化；
h 1 000 S
k = 1 000
（3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p
（单位：Pa）随物体与地面的接触面积 S（单位：
m2）的变化而变化.
p 100 S
k = 100
2．下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函
数？并指出比例系数.
的比例系数 k 是
____2_____.
练习
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应 关系，并指出比例系数 k 的值.
（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注 满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位： m3/h）的变化而变化；
t 2 000 k = 2 000 v
（2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的
探究新知
知识点1 反比例函数的概念
问题1 京沪线铁路全程为 1 463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h） 的变化而变化. （1）平均速度 v，运行时间 t 存在什么数量关系？
（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由. （3）你能写出 v 关于 t 的解析式吗？
位：m）随宽 x（单位：m）的变化而
变化.
y 1 000 x
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面 积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化 而变化.
1.68 104 S
n
v 1 463 t
y 1 000 x
S 1.68104 n
y k（k ≠ 0） x
高 h（单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化
而变化；
h 1 000 S
k = 1 000
（3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p
（单位：Pa）随物体与地面的接触面积 S（单位：
m2）的变化而变化.
p 100 S
k = 100
2．下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函
数？并指出比例系数.
的比例系数 k 是
____2_____.
练习
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应 关系，并指出比例系数 k 的值.
（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注 满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位： m3/h）的变化而变化；
t 2 000 k = 2 000 v
（2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的
26.1.1 反比例函数课件(共22张PPT)
x
例如:
①y-1与x+1成反比例，则y-1= k ; x和y不是反比例函数
②若y与x2成反比例，则y=
k x2
x1
成反比例关系，x和y不是反比例函数
③反比例函数y= k (k≠0) 必成反比例关系
x
26.1.1 反比例函数
(5) y k (k为常数) 6 xy 123 x 解：(5)k可能为0，不是反比例函数
x1
26.1.1 反比例函数
课堂小结
形如y k （k为常数，k ≠ 0） x ，y均不等于0．
概念
x
其他形式：1. xy = k ； 2. y = kx-1；3. y k
反 比
( k 为常数，k ≠ 0)
x
例
x, y可以表示单独字母，
函
x与y成反比例 多项式或单项式
数 成反比例与反
比例函数的区别
7 y - 2 8 y 6
3x
x1
解：(6)是反比例函数，可化为 y
123 x
，自变量x≠0，因变量y≠0
2
解：(7)是反比例函数，可化为 y 3 ，自变量x≠0，因变量y≠0
x
解：(8)不是反比例函数
26.1.1 反比例函数
试一试
根据上面的练习，你能帮小唯唯总结一下反比例函数有哪些形式吗？
一般形式
(
k2
≠
0
)，
则
y
k1
x
1
k2 x
1
.
∵ x = 0 时，y = -3；x = 1 时，y = -1，
∴ -3= -k1+k2
1
1 2
k2
∴k1 = 1，k2 = -2.
例如:
①y-1与x+1成反比例，则y-1= k ; x和y不是反比例函数
②若y与x2成反比例，则y=
k x2
x1
成反比例关系，x和y不是反比例函数
③反比例函数y= k (k≠0) 必成反比例关系
x
26.1.1 反比例函数
(5) y k (k为常数) 6 xy 123 x 解：(5)k可能为0，不是反比例函数
x1
26.1.1 反比例函数
课堂小结
形如y k （k为常数，k ≠ 0） x ，y均不等于0．
概念
x
其他形式：1. xy = k ； 2. y = kx-1；3. y k
反 比
( k 为常数，k ≠ 0)
x
例
x, y可以表示单独字母，
函
x与y成反比例 多项式或单项式
数 成反比例与反
比例函数的区别
7 y - 2 8 y 6
3x
x1
解：(6)是反比例函数，可化为 y
123 x
，自变量x≠0，因变量y≠0
2
解：(7)是反比例函数，可化为 y 3 ，自变量x≠0，因变量y≠0
x
解：(8)不是反比例函数
26.1.1 反比例函数
试一试
根据上面的练习，你能帮小唯唯总结一下反比例函数有哪些形式吗？
一般形式
(
k2
≠
0
)，
则
y
k1
x
1
k2 x
1
.
∵ x = 0 时，y = -3；x = 1 时，y = -1，
∴ -3= -k1+k2
1
1 2
k2
∴k1 = 1，k2 = -2.
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k叫做反比例函数的比例系数
（x不为０的全体实数）
检测反馈
1.在下列函数表达式中,x均为自变量,哪些y是x的反比 例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?
5 0.4 x 1y ; 2y ; 3 y ; 4 xy 2. x x 2
5 1 5y 6x 3; 6xy 7; 7 y 2 ; 8y x. x 5
实践应用
例3、（1）y是关于x的反比例函数，当x=-3时，y=0.6； 求函数解析式和自变量x的取值范围。 （2）y与x+1成反比例，当x＝2时，y＝－1，求函数解 析式和自变量x的取值范围。 (3) 已知y与x-2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x ＝1.5时y的值．
实践应用
例4、（1）已知y与z成正比例，z与x成正比例。问 y是x的什么函数？ y与x成正比例 （2）已知y与z成正比例，z与x成反比例。问y是x 的什么函数？ y与x成反比例 （3）已知y与z成反比例，z与x成正比例。问y是x 的什么函数？ y与x成反比例 （4）已知y与z成反比例，z与x成反比例。问y是x 的什么函数？ y与x成正比例 当x=-4时，z=3，y=-4。请选择一题求y关于x的函 数解析式，并求当z=-1时，x，y的值。
义务教育课程标准实验教科
浙江版《数学》九年级上册
前段时间，台风“桑美”袭击仓南县， 有时反比例函数也 广大人民群众受灾严重，国家下拨价值 写成y=kx-1或k=xy 5000万元救助物资；假设受灾群众为 x 的形式. y元；则y与 万人，每人分得救灾物资为 x的函数关系式怎样？
一般形如 y= k (k是常数,k≠0)的函数称为反 x 比例函数,其中x是自变量,y是函数．
（9）y=-2x-1
(10) y
3 x2
检测反馈
2.若y=-3xa+1是反比例函数，则a=＿。 3.若y=（a+2）x 数关系式，则a=＿。
a 2 +2a-1为反比例函
检测反馈
4.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的 对应关系，其中是反比例函数关系的是（ D ）
x y 1 6 2
8
3
4
x y
I
实践应用
例1、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a（cm）， 这条边上的高为h（cm），⑴求h关于a的函数解析式 及自变量a的取值范围； ⑵ h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出 它的比例系数 ⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。 例2、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热 丝的电阻为R（Ω），电水壶的功率为P（W）。 (1) 已知选用电热丝的电阻为50 Ω，通过电流为 968w，求P关于R的函数解析式，并说明比例系数的 实际意义。 (2)如果接上新电热丝的电阻大于50 Ω，那么与原来 的相比，电水壶的功率将发生什么变化？
1
2
3
4
9
7
8
5
(B)
4
3
(A)
x
y
1
5
2
8 (C)
3
7
4
6
x
y
1
1
2
1/2 (D)
3
1/3
4
1/4
请你举出现实生活中反比例函 数的例子，求出反比例函数解 析式，并指出反比例系数。
ⅰ当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 的函数关系
s t= v ⅱ当矩形面积 S一定时，长 a 与宽 b 的函数关系 s a= b ⅲ当三角形面积 S 一定时，三角形的底边 y 与高 x 的函数关系 2s y= x iv当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函 数关1+y2,y1与x-1成正比例,y2与x成反比 例,且当x=2时y=4;x=3时,y=6.求x=4时,y的值.
交流反思
• 本堂课，你有什么收获？