反比例函数概念
反比例函数概念
反比例函数概念
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
知识点一：反比例函数的有关概念
1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成
知识点二：反比例函数的基本性质
1、反比例函数的图像：
反比例函数的图像是双曲线，是轴对称图形（对称轴是或）；（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交；
2、作图方法：描点法
①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的顺序）
③连线（从左到右光滑的曲线）
3、反比例函数的几何意义：
反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
4、反比例函数的基本性质
反比例函数
的取值质①、的取值范围是；的取值范围是
②、函数图像分别在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小
③、对称轴为直线
④、若点在反比例函数图像上，则点也一定在此反比例函数图像上。
①、的取值范围是；的取值范围是
②、函数图像分别在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大
③、对称轴为直线
④、若点在反比例函数图像上，则点也一定在此反比例函数图像上。
5、反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出。
反比例函数
2.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致为( )．
A． B． C． D．
3．如图，一次函数y1＝k1+b(k1≠0)的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，与反比例函数 的图象交于C(﹣4，-2)，D(2，4)．当x为()时， ．
A．x＞﹣2B．x＜﹣4
C．x＜﹣4或0＜x＜2D．﹣2＜x＜2
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)根据图像，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
反比例函数
反比例函数图象与性质
知识点
1.反比例函数的概念：一般地， (k为常数，k≠0)叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。(x为自变量，y为因变量，其中x不能为零)
2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→ ←→ ←→ ←→变量y与x成反比例，比例系数为k.
3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即 >。(通常第二种方法更适用)
【例5】图，点 是双曲线 ： ( )上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 ： 于点 ，连结 ， .当点 在曲线 上运动,且点 在 的上方时，△ 面积的最大值是______.
【例6】如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B(6，0)，若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为___.
反比例函数
课题反比例函数的复习教学目标 1.系统复习本章节的知识体系及知识内容。
重难点透视1．反比例函数的应用教学内容知识整理1.反比例函数的概念:一般地,形如kyx=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.确定反比例函数的解析式:设反比例函数的解析式为kyx=,代入自变量与函数值,解方程求出k的值,得出解析式.三种表达式：①kyx=②xy=k ③1y kx-=3．反比例函数的图像和性质当k>0时，函数的图像分别位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，函数的图像分别位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；反比例函数的图像是轴对称图形。
当k>0时，对称轴是y=x;当k<0时，对称轴是y=-x;反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点。
4.|k|的意义：反比例函数上的点与x轴和y轴围成的矩形的面积。
例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为．基础训练1、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．2、如图,已知点A. B分别在反比例函数1yx=(x>0),4-yx=的图象上,且OA⊥OB,则OBOA的值为( )A. 2B. 2C. 3D.43、若直线y=m(m为常数)与函数2(2)8(2)x xyxx⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围_________.4、如图,已知函数3yx=-与y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象相交于点P,且点P的纵坐标为1,则关于x的方程23ax bxx++=的解是_____________.5、已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
反比例函数图像与性质
例1函数y= (x>0)的图象大致是( )
解析:函数y= 的图象是双曲线,当k<0时双曲线两分支分别在第二、四象限内,而已知中(x>0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.
答案:D.
例2函数y=kx+1与函数y= 在同一坐标系中的大致图象是( )
解:可用排除法,假设y= 中k>0,双曲线过第一、三象限,则直线y=kx+1也应过第一、第三象限且与y轴交于正半轴,故排除B、D.同理可排除C,故答案为A.
A.y1<0<y3B.y3<0<y1;C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
5.已知一次函数y=x+m与反比例函数y= (m≠-1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).
(1)求x0的值;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
6.如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (m≠0)的图象在第一象限交于C点, CD垂直于x轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,
7.已知反比例函数 图象与直线 和 的图象过同一点.
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当 ＞0时，这个反比例函数值 随 的增大如何变化？
8.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点.
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
（1）自变量的取值范围是除0以外的一切实数
（2）当k>0时，它的两个分支分别在第一象限和第三象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而减小。当k<0时，它的两个分支分别在第二象限和第四象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而增大。
第六章反比例函数的概念及基本性质
反比例函数的概念及基本性质教学目标掌握反比例函数的概念、性质、图象，熟悉反比例函数与一次函数的关系 重难点分析重点：1、反比例函数的概念； 2、反比例函数的图形特征。
难点：1、求反比例函数的解析式； 2、根据图形特征比较大小。
知识点梳理1、反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成xk y =(k 为常数，0≠k )的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
一般形式：xk y = (k 为常数，)注意：（1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k)，分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成1-=kx y 。
则x 的指数是－1。
（2）比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分。
（3）自变量x 的取值范围是的一切实数。
（4）函数y 的取值范围也是一切非零实数。
2、待定系数法求反比例函数的解析式。
3、反比例函数图象（双曲线）的画法：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
4、反比例函数的性质：（1）当0>k 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当0<k 时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升．也就是说，在每个象限内，随的增大而增大。
知识点1：反比例函数的概念【例1】判断下列说法是否正确1．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增大时，y 就减小 【 】 2．当x 与y 乘积一定时，y 就是x 的反比例函数，x 也是y 的反比例函数 【 】 3．如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数 【 】 4．y 与2x 成反比例时，y 与x 并不成反比例 【 】 5．y 与x 2成反比例时，y 与x 也成反比例 【 】 6．已知y 与x 成反比例，又知当2=x 时，3=y ，则y 与x 的函数关系式是6xy = 【 】 【随堂练习】1、已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________，这时h 是a 的__________。
反比例函数的概念与性质
反比例函数在经济学中的应用
描述供求关系：反比例函数可以用来描述经济学中的供求关系，帮助分析 市场上的供需变化。
解释边际效用递减规律：反比例函数可以解释经济学中的边际效用递减规 律，即随着消费量的增加，单位消费所带来的效用逐渐减少。
反比例函数与二次函数的联系与区别
反比例函数与二次函数都是非线性函数，具有不同的函数图像和性质。
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能位于x轴上 方或下方。
反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导数在x=0处存在。
反比例函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增，而二次函数在x<0时 单调递减，在x>0时单调递增。
反比例函数与幂函数的联系与区别
反比例函数与幂函数在形式上的联系：两者都是形如y=k/x（k为常数）的函数，具有反比例关 系的函数形式。
反比例函数与幂函数在性质上的区别：反比例函数的图像分布在第一、三象限，而幂函数的图 像根据幂次的不同分布在各象限；反比例函数的图像是关于原点对称的，而幂函数的图像则关 于：双曲 线，位于两轴之 间
图像位置：取决于 比例常数k，k>0 时位于一三象限， k<0时位于二四象 限
图像变化趋势： 随着x的增大或减 小，y值逐渐减小 或增大
图像与坐标轴的 交点：原点 O(0,0)和点(k,0)
反比例函数的解析式
定义：形如 y = k/x (k为常数且k≠0) 的函数称为反比例函数 解析式：y = k/x (k为常数且k≠0) 图像：双曲线，位于x轴和y轴的两侧 性质：当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限
反比例函数知识点
反比例函数知识点：1.定义：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。
其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。
说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。
2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；xk y 1=（k 为常数，k ≠0） 3）反比例函数y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如xy 1=，x y 213=等都是反比例函数，但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。
2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y ＝xk 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。
3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点5. 性质:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。
3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，） 在双曲线的另一支上．6. 反比例函数y ＝xk （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
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拓展练习
3．已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4． （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； x 的值.
1、已知函数 y=xm -7 是正比例函数,则 m = ___； 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = ___ 。
思考
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请 直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩 形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的 变化而变化．
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位： 人）的变化而变化．
形成概念
v 1 463 t
y 1 000 x
S 1.68104 n
y k（k ≠ 0） x
一般地，形如 y k（k 为常数，且 k ≠ 0）的函数， x
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数．
概念辨析
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： （1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注满水 所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的 变化而变化； （2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的高 h （单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化而变化； （3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p（单 位：Pa）随物体与地面的接触面积 S（单位：m2）的变 化而变化．
（1）t 2 000 ；（2）h 1 000 ； （3）p 100 .
v
S
S
概念辨析
2．下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？
（1）y=4x；
（2）
y x
=3；
（3）y=-
2 x
；
（4）y=6x+1； （5）y=x2-1；
（6）y=
1 x2
；
（7）xy=123 ．
例题探究
例1 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时， y=6．
2、当 m 为何值时，函数 解析式．
是反比例函数，并求出其函数
3、.若 数关系式。
是关于 x 的反比例函数，确定 m 的值，并求其函
反思小结
（1）我们今天学习了哪些知识？ （2）我们是如何形成反比例函数概念的？ （3）如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？
布置作业
教科书习题 26.1 第 1，2 题．
九年级 下册
26.1 反比例函数（第1课时）
情境引入
问题1 京沪线铁路全程为 1 463 km，某次列车的 平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化．
（1）平均速度 v，运行时间 t 存在什么数量关系？ （2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由． （3）你能写出 v 关于 t 的解析式吗？