反比例函数的性质

反比例函数定义
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。

k大于0时，图像在一、三象限。

k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

反比例函数图像及性质
反比例函数图像：
1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或
第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每
一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。

反比例函数性质：
1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大
而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为
增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与
x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与
坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x
（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B
两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则
n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为
|k|
11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也
是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。

反比例函数知识点汇总
若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x可以是任意不等于0的实数。

同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-1）或者k=xy.
1、反比例函数的表达式
X是自变量，Y是X的函数
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）
y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n
2、函数式中自变量取值的范围
①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）
y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）
3、反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

4、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？
过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

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