2018秋北师大版九年级数学上册单元测试卷：第1章特殊平行四边形

2018秋北师大版九年级数学上册单元测试卷：第1章特殊平行四边形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等2．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线，若AB=8，则CD的长是（）A．6 B．5 C．4 D．33．如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是（）A．B C D4．在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,当平行四边形ABCD的面积最大时,下结论正确的有( )①AC=5 ②∠A+∠C=180°③AC⊥BD ④AC=BDA．①②④B．①②③C．②③④D．①③④5．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB＝17，BD＝16，AE＝25，则DE的长度为( )A．8 B．9 C．11 D．126．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．√3B．2 C．3 D．2√3二、填空题7．等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是______．8．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．9．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为__________．10．如图，把矩形ABCD沿EF翻转，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是_____11．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是_____．12．菱形AOBC如图放置，A(3，4)，先将菱形向左平移9个单位长度，再向下平移1个单位，然后沿x轴翻折，最后绕坐标轴原点O旋转90°得到点C的对应点为点P，则点P的坐标为______．三、解答题13．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．14．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB 是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．15．如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED．求证：EF⊥BD．17．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连结DF、AE，AE的延长线交于DF于点M，求证：AM⊥DF．18．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．19．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，点E，F 分别是BC，AD 的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AB=8，求菱形的面积.20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形，请说明理由．21．如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．22．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：△ABM≌△DCM（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB= _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）23．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD．延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC．连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．参考答案1．B【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．2．C【解析】试题分析:根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半可得，故答案选C．考点：直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．3．D【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．【详解】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S △AED =12ED ⋅AE,S △ECD =12ED ⋅CF. ∴S △AED =S △CDE∵AE=12AD =1,DE==，∴△ECD 的面积是2. 故答案选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.4．A【分析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD ，根据勾股定理求出AC ，即可得出结论．【详解】根据题意得：当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD ，∴∠BAD+∠BCD=180° ，，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形是解决问题的关键．5．D【解析】【分析】首先连接AC ，设AC 交BD 于O 点，由四边形ABCD 为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE 的长度．【详解】连接AC，设AC交BD于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO=162=8，在△AOD中，∵∠AOD=90°，∴15=，在△AOE中，∵∠AOE=90°，∴20==，∴DE=OE-OD=20-8=12．故选D【点睛】此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．B【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【详解】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选B．【点睛】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．7．矩形菱形正方形【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；综上可得有三个符合题意．故答案为：矩形菱形正方形【点睛】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．AD=DC（答案不唯一）【解析】试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，添加AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形；添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形．答案不唯一．9．150°【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=DA，∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60°，∴AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30°，∴∠ADE=∠BCE=12（180°-30°）=75°，∴∠EDC=∠ECD=15°，∴∠CED=180°-15°-15°=150°．故答案为150°．10．【详解】如图，连接BE，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°.∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°. ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°. ∴∠ABE=30°.∴在Rt△ABE中，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8.∴矩形ABCD的面积故选D.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.平行的性质；4.含30度直角三角形的性质. 11．①②③【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE-S△FEC，求得面积比较即可．【详解】①正确．理由：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF=DE=13CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，解得x=3．∴BG=3=6-3=GC；③正确．理由：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠G CF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE=12GC•CE=12×3×4=6∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=35×6=185≠3．故④不正确．∴正确的个数有3个: ①②③.故答案为①②③【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．12．(－3，1)或(3，－1)【分析】根据菱形的对称性求出点B的坐标，再求出AB的中点的坐标，进而求出点C的坐标，根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的C点对应的坐标，结合翻折变换知识求出沿x轴翻折后C点对应的坐标，再根据旋转的性质确定点P的坐标．【详解】∵菱形AOBC的点A坐标为（3，4），∴点B的坐标为（5，0），∴AB的中点的坐标为（4，2），∴点C坐标为（8，4），∵向左平移9个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴8-9=-1，4-1=3，∴平移后点C对应的坐标为（-1，3），沿x轴翻折后C点对应的坐标为（-1，-3），∵在坐标平面内绕点O旋转90°，∴若是顺时针旋转，则对应点在第二象限，坐标为（-3，1），若是逆时针旋转，则对应点在第四象限，坐标为（3，-1），综上所述，点P的坐标为（-3，1）或（3，-1），故答案为：（-3，1）或（3，-1），【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的变化，熟练掌握菱形的性质以及平移、旋转变换的性质是解题的关键．13．证明见解析．【解析】试题分析：由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDF，DE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．考点：菱形的性质；全等三角形的判定．【解析】【分析】通过证AB∥CD，且AB＝CD，得四边形ABCD是平行四边形．又等边三角形性质得：AO ＝BO，可证2AO＝2BO，即AC＝BD，故四边形ABCD是矩形．【详解】证明：∵∠BAD＋∠ADC＝180 °，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO，∴2AO＝2BO，即AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考核知识点：矩形判定，等边三角形.解题关键点：熟记矩形判定，等边三角形性质. 15．（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）由△BEC≌△DFA得到BE=DF，则结合已知条件证得结论；（2）根据矩形的性质计算即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA．在△BEC与△DFA中，∵∠BEC=∠DFA，∠BCE=∠DAF，BC=AD，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE=DF．又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）连接BD，BD与AC相交于点O，如图，∵AB⊥AC，AB=4，BC=∴AC=6，∴AO=3，∴Rt△BAO中，BO=5，∵四边形BEDF是矩形，∴OE=OB=5，∴点E在OA的延长线上，且AE=2．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的性质．16．见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=12AC，DE=12AC，从而得到BE=DE，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【详解】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴△ABC和△ADC都是直角三角形．又∵E是AC的中点，∴BE＝DE＝12 AC.又∵EF平分∠BED，∴EF⊥BD.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．17．证明见试题解析．【解析】试题分析：根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴CO=DO，又∵DE=CF，∴OD﹣DE=OC﹣CF，即OF=OE，在△AOE和△DOF中，∵AO=DO，∠AOD=∠DOF，OE=OF，∴△AOE≌△DOF（SAS），∴∠OAE=∠ODF，∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°，即可得AM⊥DF．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．18．（1）证明见解析；（2）①AQ﹣AP=PQ，②AQ﹣BQ=PQ，③DP﹣AP=PQ，④DP﹣BQ=PQ. 【解析】试题分析：（1）利用AAS证明△AQB≌△DPA，可得AP=BQ；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等可写出4对线段.试题解析：（1）在正方形中ABCD中，AD=BA，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAP=90°，∵DP⊥AQ，∴∠ADP+∠DAP=90°，∴∠BAQ=∠ADP，∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB=∠DPA=90°，∴△AQB≌△DPA（AAS），∴AP=BQ.（2）①AQ﹣AP=PQ，②AQ﹣BQ=PQ，③DP﹣AP=PQ，④DP﹣BQ=PQ.考点：（1）正方形；（2）全等三角形的判定与性质.19．（1）证明见解析；（2）32√3．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠1=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=AD，EC=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠1=90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：在Rt△ABE中，AE==4，所以，S 菱形ABCD =8×4=32．【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF 是平行四边形是解题的关键，也是突破口． 20．（1）证明见解析；（2）AM=1．理由见解析．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM ，∴∠NDE=∠MAE ，∠DNE=∠AME ，∵点E 是AD 中点，∴DE=AE ，在△NDE 和△MAE 中，NDE MAE DNE AME DE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NDE ≌△MAE （AAS ），∴ND=MA ，∴四边形AMDN 是平行四边形；（2）解：当AM=1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=2，∵平行四边形AMDN 是矩形，∴DM ⊥AB ，即∠DMA=90°，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=1． 【点睛】本题考查矩形的判定；平行四边形的判定；菱形的性质．21．（1）证明见解析；（2【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA ，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E 是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形DAD′E 是平行四边形，得到▱DAD′E 是菱形，推出D 与D′关于AE 对称，连接BD 交AE 于P ，则BD 的长即为PD′+PB 的最小值，过D 作DG ⊥BA 于G ，解直角三角形得到AG=12，DG=2，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D′处， ∴∠DAE=∠D′AE ，∠DEA=∠D′EA ，∠D=∠AD′E ，∵DE ∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA ，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E 是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AB ∥DC ，∴CE=D′B ，CE ∥D′B ，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∴▱DAD′E 是菱形，（2）∵四边形DAD′E 是菱形，∴D 与D′关于AE 对称，连接BD 交AE 于P ，则BD 的长即为PD′+PB 的最小值，过D 作DG ⊥BA 于G ，∵CD ∥AB ，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=12，∴BG=52，∴∴PD′+PB．【点睛】本题考查四边形综合，掌握相关性质和定理正确推理论证是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）2：1.【分析】（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可．（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC．又∵MA＝MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）．（2）四边形MENF是菱形．证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=12CM，MF=12CM．∴NE=FM，NE∥FM．∴四边形MENF是平行四边形．∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF．∴平行四边形MENF是菱形．（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵M 为AD 中点，∴AD=2AM ．∵AD ：AB=2：1，∴AM=AB ．∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°．∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF 是菱形，∴菱形MENF 是正方形．23．(1) (2)证明见解析；（3）四边形ABNE 是正方形．理由见解析.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，证出BF=CD ，由SAS 证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF ；（2）由（1）知AF=AD ，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS 证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE 是矩形，由AE=AB ，即可得出四边形ABNE 是正方形．【详解】(1)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°.∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝135°.∴∠ABF ＝∠ACD.∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD.在△ABF 和△ACD 中，AB AC ABF ACD BF CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△ABF ≌△ACD ，∴AD ＝AF ；(2)证明：由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC.∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD.∵AB ＝AC ，AC ＝AE ，∴AB ＝AE.在△AEF 和△ABD 中，AE AB EAF BAD AF AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝， ∴△AEF ≌△ABD.∴BD ＝EF.(3)解：四边形ABNE 是正方形．理由：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°.∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝90°.∴∠ABN ＝90°.由(2)知∠EAB ＝90°，△AEF ≌△ABD ， ∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°.∴四边形ABNE 是矩形．又∵AE ＝AB ，∴矩形ABNE 是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．。