函数中的等腰三角形
二次函数中的等腰三角形问题
二次函数中的等腰三角形问题式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2ba ，244acb a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。
间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项7.c/d=a/b 等同于ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比三、例题精析【例题1】如图，抛物线y＝-x2+x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。
二次函数中等腰三角形专题
二次函数中等腰三角形专题一．解答题（共15小题）1．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y= 1/2x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC 内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB 是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．2．如图，二次函数y=4/3 x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D点坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象与x轴交于点A，B（点B 在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=-1/2 x2+3/2 x+2的图象相交于点D，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．5．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，1/4）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x 轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．6．如图，抛物线y=-1/2 x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．8．已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（3/2，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=1/2 AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t 的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0) C(8,0) D(8,8)抛物线y=ax2+bx 过A,C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P 作PE⊥AB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式。
二次函数中的等腰三角形
专题11 二次函数中的等腰三角形类型一 在坐标轴上找点成等腰1．如图，二次函数2142y x x =--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若点P 在x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P 的坐标．(1) 解：令21402x x --+= 解得12x =，24x =-△A (2,0)， B (4,0)-令0x =，得4y =，△C (0,4)△点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(4,0)-，点C 的坐标为(0,4)．(2)解：设P 点的坐标为(,0)m△(4,0)B -，(0,4)C △BC =22(4)BP m =+，2216CP m =+当△PBC 是等腰三角形时，分三种情况求解：①当BP CP =时，由题意可得22(4)16m m +=+解得0m =△P 的坐标为(0,0)；②当BP BC =时，由题意可得()(224m +=解得4m =-+4m =--△P 的坐标为()4-+或()4--；③当CP CB =时，由题意可得(2216m +=解得4m =或4m =-（不合题意，舍去）△P 的坐标为(4,0)；综上所述，P 点的坐标为(0,0) 或 (4,0) 或()4-+ 或()4--．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．如图，已知二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的两个交点为A （4，0）与点C ，与y 轴交于点B ．（1）求此二次函数关系式和点C 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）△二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0A ，△20443=-++b ，解得134b =， △此二次函数关系式为：21334y x x =-++，当0y =时，213304-++=x x 解得134x =-，24x = △点C 的坐标为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）存在，设点P 的坐标为（x ，0），由题意得：AB 2=42+32=25，AP 2=（x -4）2，BP 2=x 2+9，①当AB=AP 时，则25=（x -4）2，解得x=9或-1，△P(9，0)或P （﹣1,0）；②当AB=BP 时，同理可得x=4（舍去）或-4，△P （﹣4,0）③当AP=BP 时，如图所示△OP=x ，△AP=BP=4－x在Rt△OBP 中，222OB OP BP +=△()2223+x =4x － △x=78△P （78，0） 综上点P 的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（78，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．如图所示，关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把()1,0A 和()0,3C 代入2y x bx c =++，10,3,b c c ++=⎧⎨=⎩解得：4b =-，3c =，∴二次函数的表达式为：243y x x =-+．（2）令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，()3,0B ∴，BC ∴=点P 在y 轴上，当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP CB =时，PC =3OP OC PC ∴=+=+或(10,3P ∴+，(20,3P -； ②当BP BC =时，3OP OB ==，()30,3P ∴-；③当PB PC =时，3OC OB ==，∴此时P 与O 重合，()40,0P ∴；综上所述，点P 的坐标为：(0,3+或(0,3-或()03-,或()0,0．4．如图，已知二次函数21134=-++y x x c 的图像与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴的交点为B ，过,A B 的直线为2y kx b =+．(1)求二次函数1y 的解析式及点B 的坐标；(2)在两坐标轴上是否存在点P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)211334y x x =-++，()0,3B (2)存在，点P 的坐标为7,08⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B 点坐标（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得点P 在线段的垂直平分线上，利用两点间距离公式求解即可(1)解：将(4,0)A 代入21134=-++y x x c ，得16130c -++= 解得c =3△二次函数1y 的解析式为211334y x x =-++ △点B 是二次函数与y 轴的交点所以点B 的横坐标为0将x =0带入解析式中，求得y =3所以点B 的坐标为()0,3(2) 存在，满足题意的点P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形.当使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形，点P 在线段AB 的垂直平分线上①当点P 在y 轴上时，P A=PB设()0,P m△(4,0)A ，()0,3B=解得76m =- 此时17(0,)6P - ②当点P 在x 轴上时，P A=PB设(),0P n△(4,0)A ，()0,3B解得78n = 此时27(0)8，P 综上所述：17(0,)6P -，27(0)8，P ，使得ABP △是以AB 为底边的等腰三角形 【点睛】此题考察了二次函数的相关知识点，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）抛物线和坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用相关知识点是解题关键类型二 在对称轴上找点成等腰5．如图，直线y ＝﹣12x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B 、C 和点A (﹣1，0)．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在一点N ，使NCD 为等腰三角形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B (4，0)，C (0，2)；（2）213222y x x =-++；（3）存在，123435353325(,),(,),(,4),(,),22222216N N N N - 【解析】【分析】（1）令直线y ＝12-x +2的x ＝0，y ＝0，求出对应的y 和x 的值，得到点C 、B 的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A 、B 、C 的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P 的坐标．【详解】（1）对直线y ＝12-x +2，当x ＝0时，y ＝2；y ＝0时，x ＝4， △B （4，0），C （0，2）．（2）设二次函数为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）（a ≠0），△二次函数图象经过B （4，0），A （﹣1，0），△y ＝a （x ﹣4）（x +1），把点C （0，2）代入y ＝a （x ﹣4）（x +1）得：a （0﹣4）（0+1）＝2，解得：a ＝12-， △y ＝12-（x ﹣4）（x +1）＝12-x 2+32x +2． （3）存在，理由如下：△二次函数图象经过B（4，0），A（﹣1，0），△对称轴为直线x＝32，△D（32，0），△C（0，2），△CD＝52，①如图1，当DC＝DN时，DN＝52，△N1（32，52），N2（32，﹣52），②如图2，当CD＝CN3时，过点C作CH△DN3于点H，△CD＝CN3，CH△DN3，△DH＝N3H，△C（0，2），△DH＝2，△N3H＝2，△N3D＝4，△N3（32，4），③如图3，当N 4C ＝DN 4时，过点C 作CE △DN 4于点E ，设DN 4＝t ，则EN 4＝2﹣t ，CE ＝32， 由勾股定理可知，（2﹣t ）2+（32）2＝t 2， 解得t ＝2516． △N 4（32，2516）， 综上所述：存在123435353325(,),(,),(,4),(,),22222216N N N N -，使△NCD 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，用到了分类讨论思想．6．如图，直线122y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点()1,0A -．(1)求B ，C 两点的坐标．(2)求该二次函数的解析式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,0B ，()0,2C (2)213222y x x =-++ (3)存在135,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，235,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形 【解析】【分析】（1）令直线122y x =-+的x =0，y =0，求出对应的y 和x 的值，得到点C 、B 的坐标； （2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A 、B 、C 的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P 的坐标．(1) 解：对直线122y x =-+，当0x =时，2y =，0y =时，4x =， ()4,0B ∴，()0,2C ．(2)解：设二次函数为()()()0y a x m x n a =--≠，二次函数图象经过()4,0B ，()1,0A -，()()41y a x x ∴=-+，把点()0,2C 代入()()41y a x x =-+得：()()04012a -+=， 解得：12a =-， ()()2113412222y x x x x ∴=--+=-++． (3) 解：二次函数图象经过()4,0B ，()1,0A -，∴对称轴为41322x -==， 3,02D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ()0,2C ，52CD ∴=， ①如图1，当CD PD =时，52PD =， 135,22P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，235,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ②如图2，当3CD CP =时，过点C 作3CH DP ⊥于点H ，3CD CP =，3CH DP ⊥，3DH P H ∴=，()0,2C ，2DH ∴=，32P H ∴=，34P D ∴=，33,42P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 综上所述：存在135,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，235,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是用一般式或者两点式结合待定系数法求解，求点P 的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P 点，注意这里只要用“两圆”即可．7．如图，抛物线y =ax 2-bx -3与x 轴交于点A 、C ，交y 轴于点B ，OB =OC =3OA ．(1)求抛物线的解析式及对称轴方程；(2)如图1，连接AB ，点M 是对称轴上一点且在第四象限，若△AMB 是以△MBA 为底角的等腰三角形，求点M 的坐标；(1)解：在y =ax 2-bx -3中，令x =0得y =-3，△B （0，-3），△OB =3，△OB =OC =3OA ，△OA =1，OC =3，△A （-1，0）、C （3，0），把A （-1，0）、C （3，0）代入y =ax 2-bx -3得：309330a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩， △抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，而y =x 2-2x -3=（x -1）2-4，△对称轴方程为x =1；(2)解：设M （1，m ），而A （-1，0）、B （0，-3），△MA 2=4+m 2，MB 2=1+（m +3）2，AB 2=10，△AMB 是以△MBA 为底角的等腰三角形，分两种情况：①若MA =AB ，则MA 2=AB 2，如图：△4+m2=10，解得m m=，△M是对称轴上一点且在第四象限，△M（1，，②若MB=MA，则MA2=MB2，如图：△4+m2=1+（m+3）2，解得m=-1，△M（1，-1），综上所述，M坐标为（1，）或（1，-1）；类型三在抛物线上或已知直线上找点成等腰8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m 的值．(1)将(1,0)A ，(3,0)B 代入函数解析式，得309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得14a b =⎧⎨=-⎩， 这个二次函数的表达式是243y xx =-+；(2)(,3)M m m -+，2(,43)N m m m -+ 23MN m m =-，3|BM m =-，当MN BM =时，①233)m m m -=-，解得m②233)m m m -=-，解得m =当BN MN =时，45NBM BMN ∠=∠=︒，2430m m -+=，解得1m =或3m =（舍)当BM BN =时，45BMN BNM ∠=∠=︒，2(43)3m m m --+=-+，解得2m =或3m =（舍)，当BMN ∆是等腰三角形时，m ，1，2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．9．如图，已知二次函数()20y x bx c c =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB =OC =3，顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式；（2）探索：线段BM 上是否存在点P ，使PMC 为等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）△3OB OC ==，△()3,0B ，()0,3C ，代入2y x bx c =-++中，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩， 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩， △该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）线段BM 上存在点716,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14⎛ ⎝⎭，()2,2，使PMC △为等腰三角形.理由如下：设点P 的坐标为(),26x x -+，由题意可得CM =CP =MP =①当CM PC =整理得251270x x -+=，解得175x =，21x =（舍去），经检验是方程的根 当75x =，716262655x -+=-⨯+=， 此时716,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当CM MP =整理得251030x x -+=，△△=40，△x =解得11x =21x =，经检验是方程的根此时1P ⎛ ⎝⎭；③当CP MP =整理得24=x ，解得2x =，经检验是方程的根此时()2,2P ；综上所述，线段BM 上存在点716,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14⎛ ⎝⎭，()2,2， 使PMC △为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．10．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y轴交于点C ．（1）二次函数的表达式为 ；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得： 3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， △a ＝34-，b ＝94， △239344y x x =-++， 故二次函数表达式为：239344y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝3，△点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， △343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D △AB ，△A （﹣1，0），B （4，0），△AD ＝12AB ＝52， △OD ＝32， 设M 1（x ，﹣34x ＋3）， △M 1（32，158）， △△ABM 为等腰三角形，△AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3），△BM 25， 解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，△点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）； 11．如图，已知二次函数213442y x x =--的图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）点C 的坐标为___________，点B 的坐标为___________； （2）连接BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得EDB △为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由； 解（1）213442y x x =--， 当x=0时，y=-4，C （0，-4），当y=0时，2134=042x x --， 整理得：2616=0x x --，变形得：()()820x x -+=，解得122,8x x =-=，△B 点坐标为（8,0）；（2）C(0,-4),B(8,0),设BC 解析式为y kx b =+，把C 、B 坐标代入得， 480b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得412b k =-⎧⎪⎨=⎪⎩， BC 解析式为1-42y x =， EDB △为等腰三角形，点E 在线段BC 上，设E （x, 1-42x ）D(3,0)， 以DB 为底边,作BD 中垂线与BC 交点为E ，x=()13+8=5.52,115-4= 5.5-4224x ⨯=-， E 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，以BD为腰，当BD=EB=5时5，()2820x-=，x=-(舍去，81x2E（8-，当ED=BD=5时点E与点C重合，E（0，-4），EDB △为等腰三角形符合条件的点E 的坐标为：E （0，-4），（8-，11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，-； 类型四 综合探究12．如图，二次函数2y ax bx c(a 0)=++>图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为1-，3.与y 轴负半轴交于点C ．()1若ABD 是等腰直角三角形，求a 的值．()2探究：是否存在a ，使得ACB 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a 的值；不存在，说明理由．【答案】（1）1a 2=；（2）存在，a =. 【解析】【分析】 ()1作DE AB ⊥于点E ，根据ABD 是等腰直角三角形，即可求得D 的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，从而求得a 的值．()2根据三边分别相等可以分三种情况：①当AB BC =时，根据勾股定理列方程：222OC BC OB 1697=-=-=，可得a 的值； ②当AB AC =时，根据勾股定理列方程：2OC 16115=-=，可得a 的值；③当AC BC =时，由于OA 1=，OB 3=，不成立．【详解】()1如图，作DE AB ⊥于点E ，()AB 314=--=， ABD 是等腰直角三角形，1DE AB 22∴==， 则D 的坐标是()1,2-．设二次函数的解析式是2y a(x 1)2=--，把()1,0-代入得4a 20-=， 解得：1a 2=． ()2存在，分三种情况：①当AB BC =时，CB AB 4∴==，在Rt OBC 中，222OB OC BC +=，222OC BC OB 1697∴=-=-=，OC ∴=(C 0,∴， 设二次函数的解析式为：()()y a x 1x 3=+-，将(C 0,代入，a ∴= ②当AB AC =时，AC AB 4∴==，在Rt AOC 中，222AO OC AC +=，2OC 16115∴=-=，OC ∴=(C 0,， ()()y a x 1x 3=+-，a ∴= ③当AC BC =时，CO AB ⊥，O ∴是AB 的中点，而AO 1=，BO 3=，AO BO ∴≠，AC BC ∴=不成立，a ∴= 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，第1问正确根据等腰直角三角形的性质求得D 的坐标是关键，第二问根据等腰三角形的判定正确分类讨论是关键． 13．综合与探究 如图，抛物线2315344y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B 和C 的坐标；(2)点P 从点B 出发沿BC 以1个单位长度/秒的速度向终点C 运动，同时，点Q 从点O 出发以相同的速度沿x 轴的正半轴向终点B 运动，一点到达，两点同时停止运动．连接PQ ，当BPQ 是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．(1)解：把0x =代入2315344y x x =-+中，得3y =．△点C 的坐标是(0,3)．把0y =代入2315344y x x =-+中，得23153044-+=x x ． 解得11x =，24x =．△点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(4,0)．△点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(4,0)，点C 的坐标是(0,3)．(2)2秒，2013秒和3213秒 解：设运动时间为t ，根据题意，若要构成BPQ ，则P 、Q 不与点B 重合，t 的取值范围为04t <<，△PB OQ t ==，4BQ t =-，如图，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的坐标为3,34a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则4BD a =-，334PD a =-+，根据勾股定理，在Rt PDB △中，222PD DB PB +=,()2223344a a t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭， 解得1445a t =-，2445a t =+（不符合题意，舍去）， △点P 的坐标为434,55t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， △点Q 的坐标为(),0t △222243907241655255t t t PQ t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， △PB OQ t ==，4BQ t =-，222243907241655255t t t PQ t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①当BP BQ =时，即4t t =-，解得：2t =；②当BP PQ =时，22907216255t t t =-+， 解得：12013t =，24t =（不符合题意，舍去）， ③当BQ PQ =时，()229072416255t t t -=-+， 解得：13213t =，20t =（不符合题意，舍去），综上所述：当BPQ 是等腰三角形时，时间为2秒，2013秒，3213秒． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，包括求抛物线与x 轴的坐标，一次函数的解析式，利用坐标求线段长度，等腰三角形的性质，熟悉掌握求抛物线与x 轴的交点坐标、顶点坐标以及等腰三角形的性质本题的解题关系．。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
一次函数背景下的图形存在性问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．5．直线l1交x轴于点A（6，0），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P 的坐标．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D 处．（1）点A的坐标是，点B的坐标是，AB的长为；（2）求点C的坐标；＝S△OCD，直接写出点M的坐标．（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且AG＝AF．（1）求直线AB的函数表达式．（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时直线AP的解析式．（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且＝．（1）求点B的坐标和k的值；（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣x﹣1在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点M的坐标．25．综合与探究：如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点B．（1）求直线l2对应的函数解析式；（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l1上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．一次函数y＝kx+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．（1）求一次函数解析式和m的值；（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处．点P在直线AB上，直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝﹣x+3与坐标轴相交于A，B两点，直线l2：y2＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为2．已知OC＝，点P是直线l2上的动点．（1）求直线l2的函数表达式；（2）过点P作x轴的垂线与直线l1和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标；（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．29．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的坐标是（，6）．（1）求BF的长度；（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数中的三角形的存在性问题
二次函数中的三角形的存在性问题1．由动点产生的等腰三角形问题(2012•扬州)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点，当APAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M,使AMAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．备用图2.由动点产生的直角三角形问题(2013•攀枝花)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1.0),C(0,-3).(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设APAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为D,DE丄x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得AADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.备用图3.由动点产生的等腰直角三角形例.(2011•东营)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0,2),点C(l,0),如图所示,抛物线y=ax2-ax-2经过点(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使AACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.方法规律1、平面直角坐标系中已知一条线段,构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心,线段长度为半径作圆,再作线段的垂直平分线;2、平面直角坐标系中已知一条线段,构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆;3、平面内有两点A（X],y]）,B（x2，y3），则AB=,AB中点的坐标为。
4、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；5、平面直角坐标系中直线11和直线I.当l〃l时k二k;当l丄l时k•k=—112121212实战训练1、如图，在平面直角坐标系x Oy中,A（0,2）,B（0,6），动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A.2B.3C.4D.52、（2007•龙岩）如图，抛物线y=ax2—5ax+4经过AABC的三个顶点，已知BC〃x轴，点A在x轴上，点C 在y轴上，且AC=BC.（1）求抛物线的对称轴3（2）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式3（3）探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在APAB是等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点P坐标;不存在, 请说明理由.3、（2007•泰安）如图，在A OAB中，Z B二90，Z BOA=30，OA=4,将A OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OAB,C点的坐标为(0,4).(1)求A点的坐标；(2)求过C,A,A三点的抛物线y二ax2+bx+c的解析式；(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P，使以O,A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在，求出4、(2010•梅州)如图，直角梯形0ABC中,0C〃AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E,D两点(D点在E点右方).1S＞求点E,D的坐标；(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式；(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q,使ABDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理。
数学等腰三角形公式大全
数学等腰三角形公式大全
至少有两边相等的三角形叫等腰三角形。
下面是整理的初中数学等腰三角形公式，供大家参考。
等腰三角形公式
1、已知三角形底a，高h，则S=ah/2。
2、已知三角形三边a,b,c，则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)，
S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2absinC,即两夹边之积乘夹角的正弦值。
4、设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积=(a+b+c)r/2。
5、设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积=abc/4R。
6、记住直角三角形的勾股定理：a*a+b*b=c*c，其中c是斜边长：
c=a/sin(45)=a/(sqrt(2)/2)=sqrt(2)*a约=1.414*a
等腰三角形判定的方式
定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
专题55一次函数中的构造等腰直角三角形(解析版)
专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形1、如图1，等腰直角三角形A3C中，ZAC5=90°, CB=CA,直线经过点C,过A作AO_LED于点D,过B作BE工ED于点E.求证：4 BECW4CDA；解：(1)由题意可知：△ BEOgAAOD (K型全等)，:.OE=AD9・: k= - 1,，y= - x+4,：.B(0, 4),；・OB=4,・：BE=3,・•・OE=H:・AD=54 1 4(2) k=-77时，v= -77.1+4,3 3•"⑶ o),①当且时，过点"作加人」丫轴，:•△BMNWMBO (AAS),:・MN=OB, BN=OA,：.MN=49 BN=3,：.M (4, 7):②当且AM=A3 时，过点M作x轴垂线MK,：.^ABO^/^AMK (AAS),:.OB=AK, OA=MK t，AK=4, MK=3,：.M(7, 3)：③当且AM=3M 时，过点M作轴，MG_Ly轴,:•△BMGQAAHM (AAS),；・BG=AH, GM=MH,:・GM=MH,,MH=二,7 7 综上所述：M（7, 3）或M （4, 7）或M （左彳）乙乙4 (3)当Q0 时，4?=子.k过点。
作3。
轴，:•△ABO94BQS (AAS),:・BS=OA, SQ=OB,4：.Q(4, 4-丁)，k，当k=l时，。
最小值为4：4当&VO 时，Q（4, 4-丁），k，当k=l时，。
最小值为明与k<0矛盾, ，。
的最小值为4.2、己如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6, 0）、点8的坐标为（0, 8）,点。
在y轴上，作直线AC.点3关于直线AC的对称点方刚好在x轴上，连接。
夕.（1）写出点夕的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式:（2）点。
在线段AC上，连接。
5、DB\ BB',当△。
89是等腰直角三角形时，求点。
坐标:（3）如图2,在（2）的条件下，点尸从点3出发以每秒2个单位长度的速度向原点。
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函数中的等腰三角形问题
典型问题1. 如图，一次函数4
3
4y x =-+的图象分别交y 轴、x 轴交于点A ，B ，点P 是x 轴上一动点， 当
ABP ∆为等腰三角形时，求点P 的坐标. 解：【分析】对于一个等腰三角形，我们需要确定腰和底，本题中点P 是x 轴上一动点，那么腰和底就会发生变化，因此要对腰进行分类讨论，有三种情况：P A =PB ，AB =AP ，BA =BP ，我们先从最简单的入手.
当x =0时，y =4 ∴(0,4)A
当y =0时，=4
3
40x -+，解得3x =
∴(3,0)B
若AP =AB ，如图1 ∵AO ⊥x 轴 ∴PO =BO =3 ∴1(3,0)P - 若BA =BP ，如图2
在Rt △AOB
中，5AB == ∴BP =BA =5
∴532OP BP BO =-=-=或+5+38OP BP BO === ∴2(2,0)P -，3(8,0)P 若P A =PB ，如图3
设OP a =，则3PA PB a ==+ 在Rt △AOP 中，222+=OP OA PA ∴2224(3)a a +=+
∴7=6
a
∴47
(,0)6
P -
【点评】因为腰的确定性产生了分类讨论，本题有三种情况：P A =PB ，AB =AP ，BA =BP ，定点A ，B 为等腰顶点的情况比较好做，动点P 为等腰顶点则用到了勾股定理列方程进行求解，同学们做题时可注意顺序. 中考真题：
1.如图，抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A ，与y 轴交于点B ． (1)求抛物线的解析式；
(2)P 是y 轴正半轴上一点，且PAB ∆是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．
图1
图2
图3
2.如图，已知二次函数23
(0) 2
y ax x c a
=++≠的图象与y轴交于点(0,4)
A，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8,0)，连接AB、AC．
(1)请直接写出二次函数23 2
y ax x c
=++的表达式；
(2)判断ABC
∆的形状，并说明理由；
(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
3.已知抛物线的顶点为(2,4)
-并经过点(2,4)
-，点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为
3
2
-，抛物线交y轴
于点N．如图．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上的一点，ANP
∆为等腰三角形，求点P的坐标；
1.【解答】解：(1)抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A 4n ∴=-
254y x x ∴=-+-；
(2)抛物线的解析式为254y x x =-+-， ∴令0x =，则4y =-，
B ∴点坐标(0,4)-
，AB
①当PB AB =
时，PB AB ==，
4OP PB OB ∴=-=．
4)P ∴
②当PA AB =时，P 、B 关于x 轴对称， (0,4)P ∴
因此P
点的坐标为4)或(0,4)．
2.【解答】解：(1)二次函数23
2
y ax x c =++的图象与y 轴交于点(0,4)A ，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐
标为(8,0)， ∴464120c a c =⎧⎨++=⎩
，
解得144
a c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩．
∴抛物线表达式：213
442
y x x =-++；
(2)ABC ∆是直角三角形．
令0y =，则213
4042
x x -++=，
解得18x =，22x =-， ∴点B 的坐标为(2,0)-，
由已知可得，
在Rt ABO ∆中222222420AB BO AO =+=+=， 在Rt AOC ∆中222224880AC AO CO =+=+=， 又2810BC OB OC =+=+=，
∴在ABC ∆中2222208010AB AC BC +=+== ABC ∴∆是直角三角形． (3)(0,4)A ，(8,0)C ，
AC ∴=
①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为(8,0)-，
②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N
的坐标为(8-0)
或(8+0) ③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，此时N 的坐标为(3,0)，
综上，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，
点N 的坐标分别为(8,0)-
、(8-0)、(3,0)
、(8+0)．
3.【解答】(1)解：由题意设抛物线的解析式为2(2)4y a x =--，把(2,4)-代入得到1
2
a =
， ∴ 2211
(2)42222
y x x x =--=--．
(2)由题得：(2, 1.5)A -，(0,2)N -．
AN ∴=
当AP AN =时，可得13)2P -，33(2,2P -． 当NA NP =时，可得25
(2,)2
P -，
当PN PA =时，设4(2,)P a ，则有2223
()2(2)2
a a +=++，
解得23
4a =-，
423
(2,)4
P ∴-，
综上所述，满足条件的点OP 坐标为13)2P -，25(2,)2P -，33(2,2P --，423
(2,)4
P -；。