一元二次方程解法——配方法
2
7 25 x . 4 16 7 5 x 4 4
解这两个方程，得
1 x1 2
x 2 3
归纳总结
配方法：
通过配成完全平方式形式来解一元二 次方程的方法,叫做配方法.
配方的依据:
完全平方公式
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边；
x 6 x 7.
2
6 x 3 7 3 .
2 2
x 6 x 9 2.
2
写成（）2
的形式，得
x 3
2
2.
开平方，得
x 3 2.
解这两个方程，得
x1 3 2 x2 3 2.
练习： 2 x 3 7 x. 解： 3 7 2 x x. 二次项系数化1：两边同时
变式训练2: 若把代数式改为： 领悟：利用配方法不但可以解方程，还可
以求得二次三项式的最值。 2x2+8x+17又怎么做呢？
小结梳理
1. 配方法的依据; 2. 配方法解一元二次方程的基本步骤;
3. 配方法的应用;
4. 体会配方法在数学中是一种重要的数学变形,它隐含了创造条件实 现化归的思想.
分层作业
一元二次方程的解法 ---配方法
说明分四部分
关于教学目标的确定
教学目标重点、难点的分析
关于教学手段的选用和教学方法的选择 关于教学过程的设计
导入课题
解：
引例：解方程
x 4 x 1 0.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（平方）2 开平方，得 怎样配方？
的形式，得
3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4、等号左边写成（ ）2 的形式； 5、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1） （2）
16 x 4 x 8x __ _ .
2 2
1、填空：
（3）
（4） （ 5） （6）
3 9 3 3 2 2 x x __ 64 x __ 8. 4 1 1 2 2 x x __ 4 x __ 2 . 1 1 x 2 2 x __ x __ . 4 16
5 25 2 2 x 5x __ 4 x _ 2 . 4 2 4 2 2 x x __ 9 x __ 3 .
2
2、用配方法解下列方程: (1)x2+8x-15=0
1 (2) x 2 x 0 4
2
(3)2x2-5x-6=0
2 2 1 (4) x x 2 3 3
必做:(1)学探诊P110 测试2 (2)用配方法说明：不论k取何实数， 多项式k2－3k＋5的值必定大于零.
选做:
(1)解方程
(2)已知 求
x y 20xy x y 81 0 b 37 2 2 a 3a b 0, 2 16
2 2 2 2
的值 a4 b.
x 2
2
5.
x 2 5.
解这两个方程，得
x1 2 5
x2 2 5.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
(5) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0)
问题引申
思维提高：解方程
x 4 x 9996 0
2
领悟： 1.配方法是解一元二次方程的通法 2.当常数项绝对值较大时，常用配方法。
例3.用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
变式训练1：
求代数式 x2+8x+17的值最小值.
2
除以二次项系数，得
2
2
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
7 3 x . 2 2 2 2 7 7 7 3 2 x x . 2 2 4 4 x2
写成（）2 的形式，得 开平方，得
7 49 24 . x 4 16 16
x 4 )2 2 =( x 3 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
合作探究
பைடு நூலகம்
现在你会解方程 x 4 x 1 0 吗?
2
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
两边同加上 2 得： x 2 4 x 22 1 22
2
写成（）2
的形式，得
x 2
2
5.
开平方，得
x 2 5.
解这两个方程，得
x1 2 5
x2 2 5.
练习：x 解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
2
6 x 7 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 配方：左右两边同时加上一次项x 2
系数一半的平方，得
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
(3)x
2
(4)
(5)
2 2 ( ) 4 2 x x 3
2
8x 4
3
2
=(
x 共同点：
p p 2 px ( 2) =( x 2 )2
2
即
( x 2) 5
2
两边直接开平方得：x 2 5
∴原方程的解为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
例2.解下列方程 2 3x 12x 3 0.
练习：x 6 x 7 0. 2 练习： 2 x 3 7 x.
2
3x 12x 3 0.
2
解： 二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
x 4 x 1 0.
2
移项：将常数项移到等号一边，得 配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
一元二次方程之配方法
一元二次方程的解法二：配方法一元二次的解又叫做一元二次方程的根.我们知道一个一元二次方程可能有个实数根，也可能有个实数根，也可能实数根.我们知道，如果一个一元二次方程具有（x +h ）²=k 的形式.那么就可以用直接开方法求解.例如 （x -）2=x 2+6x +9=0 x 2+6x +9=2 4x 2-1=0思考:如何解关于x 的一元二次方程 x 2+6x +4=0 ？这种方法叫做配方法.例1．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x +1=0 （2）x 2-2x -=0 （3）4x 2+16x =-7例2. 某种罐头的包装纸是长方形，它的长比宽多10cm ，面积是200cm ²，求这张纸的长与宽.例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，点P 的速度都是0.75m/s ，点Q 的速度是1m/s.（1） P 、Q 运动过程中，判断PQ 与AB 的关系 （2） 几秒后四边形APQB 的面积为Rt △ACB 面积的一半．235912C AQ P配方法练习小测一、选择题1．将二次三项式x 2-4x +1配方后得（ ）．A ．（x -2）2+3B ．（x -2）2-3C ．（x +2）2+3D ．（x +2）2-32．已知x 2-8x +15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x +（-4）2=31B ．x 2-8x +（-4）2=1C ．x 2+8x +42=1D ．x 2-4x +4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x +3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x -5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x 的值为________． 3．已知（x +y ）（x +y+2）-8=0，求x +y 的值，若设x +y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x +y 的值，所以x +y 的值为______．三、解答题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x +3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x +y 2，求（x y ）z 的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元（50的倍数）？2221x x x ---一元二次方程的解法二：配方法（2）配方法解方程x 2+2x -3=0 x 2+10x +20=0 x 2-6x =4x 2-x =1 x 2-8x =8 x 2+8x =-18在配方过程中，方程的两边总是加上的平方.思考：如如何解方程2x 2-5x +2=0 ？ （发现有什么不同？并思考该怎么办？）练习1 -3x 2+4x +1=0 2x 2-8x +2=121x 2+2x -1=02x 2-3x =0 3x 2-1=6x -2 x 2+21x +5=0练习3用配方法解方程x 4 +8x ²=-7 （1+x ）2+2（1+x ）-4=0代数式配方与方程配方的区别练习4求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.练习5 一个小球，竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与跑出后小球运动的时间t （s ）关系为：h=24t-5t ².经过多长时间后，小球到上抛点的距离为16m.配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x +p)²=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x =-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．课堂小测试1．配方法解方程2x 2-x -2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x -）2=B ．（x -）2=0 C ．（x -）2= D ．（x -）2= 2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x +1）2=0C ．（2x +1）2+3=0D ．（x -a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x +4y-6z+14=0，则x +y+z 的值是（ ）．A ．1B ．2C ．-1D ．-24．如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是．5．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x （3）已知：x 2+4x +y 2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②设每件衬衫降价x 元时，用含x 的代数式表示出商场平均每天的利润w ，并分析当x 为多少时w 最大？4313892313891310912222x y x y-+。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
一元二次方程的解法--配方法
例2、用配方法解下列方程：
(1)
x 6 x 27 0
2
(2)
x 3x 1 0
2
提高
9x 6x 3 0
2
如意娱乐 / 如意娱乐；优游 / 优游
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的丹凤眼爬在桌子边儿上看她收拾这一切的耿兰说：“兰儿走哇，和娘一起掰苞米去！”耿兰跨起自己的小竹篮子，高高兴兴地：“好啊，俺 们这就走。俺长大了，能帮娘干活儿了。今儿个，俺要多拿几个苞米回来！”耿老爹家的三亩水田就在门前往走南二十余步之后，再往西拐不 远的小河边上。娘儿俩没用多长时间就走到了。这两天，郭氏已经把地边上的苞米都掰完了，而地里边的苞米掰起来就有些费劲了。郭氏得先 进到地里把苞米掰下来，积攒一些之后再一次一次地抱出来堆放在地边上。耿兰则听话地坐在地埂上，用小手将残留在苞米棒子上的苞米叶子 摘干净了以后，再一个一个地装进娘的背篓内。约莫半上午时分，一群喜鹊飞来了。只见它们就好似商量好了一般，呼呼啦啦地落在还没有掰 了苞米穗子的苞米杆儿上。于是，这些苞米杆儿就一起整齐地摇晃了起来。而且，这些喜鹊在郭氏的面前一边荡着苞米杆儿“秋千”，一边还 在“喳喳喳”地叫个不停呢。老话说：“喜鹊叫，喜事到！”郭氏心里一动：莫不是？赶快抬头向不远处的大路张望去，但张望一会儿，却很 失望地没有看到一个人影唉，想什么呢，继续干活儿哇忽然，董妞儿上气不接下气地跑来了。她人还没有跑到地边儿上，就喘息着喊了起来： “婶儿，快，快回家！书信，俺叔的书信，有人，送来了”郭氏楞了一下，马上就明白了：望眼欲穿的书信终于等回来了！一瞬间，狂喜使她 一句话也说不出来，只知道顺手扔掉刚掰下来的苞米，发疯似的跑出了苞米地儿。出了苞米地儿以后，她一边继续往东朝南北大路跑去，一边 回头对还楞在地边儿上的耿兰喊：“娘先回去了，你和妞儿姐姐也快回来！”郭氏一跑上南北大路，远远地就望见一个肩膀上搭着白色褡裢的 陌生男人正站在自家的院门儿前和刘氏说话呢。郭氏努力定定神儿，大口喘息片刻，然后撩起衣襟擦擦脸，再抬手往两耳后理理头发，有些失 态地小跑着快步往家门口走去了。远远地看到郭氏回来了，刘氏隔着老远就高兴地喊起来：“弟妹，耿兄弟托这位大哥捎书信回来啦！”郭氏 赶快紧走几步从衣袋里掏出钥匙开了门，前言不搭后语地说：“这位大哥，你看，这，辛苦你了。快，快进屋啊！”把客人让进堂屋后，郭氏 急忙拿起抹布擦擦桌椅，说：“这位大哥你坐下，俺给你烧水泡茶去！”客人忙说：“弟妹别忙着烧水泡茶，俺不渴。俺自己介绍一下哇，俺 姓张，比耿兄弟大一岁，老家离这里并不太远。刚才路过镇里的大街，已经喝了两杯热茶了。”“那，你是打北面过来的？”“是啊，老家在 你们镇的西北方向。这镇子规模不小啊，挺热闹呢。对啦，耿兄弟说了，是叫‘三六九镇’？”“噢，是叫‘三六九镇’。娃娃们和他爹可好 哇！”张老乡从褡裢的夹层里
配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=.例1. 用配方法解方程:0142=--x x .解:142=-x x()5252414422±=-=-+=+-x x x x ∴52=-x 或52-=-x ∴52,5221-=+=x x .例2. 解方程:03232=-+x x .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”. 解:3232=+x x910319119132132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+x x x x x 31031±=+x ∴31031=+x 或31031-=+x ∴31031,3103121--=+-=x x . 例3. 用配方法解关于x 的方程: 02=++q px x （q p 42-≥0）.解:q px x -=+224244244222222q p p x q p p x p q p px x -±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++ ∴242,24222q p p x q p p x --=+-=+ ∵q p 42-≥0∴24,242221q p p x q p p x ---=-+-=. 说明: q p 42-≥0既是二次根式q p 42-有意义的条件,也是一元二次方程02=++q px x 有实数根的前提.因此把q p 42-叫做一元二次方程02=++q px x 的根的判别式.习题1. 用配方法解方程0142=++x x ,配方后的方程是 【 】（A ）()322=+x （B ）()322=-x （C ）()522=-x （D ）()522=+x 习题 2. 若方程082=+-m x x 可以通过配方写成()62=-n x 的形式,那么582=++m x x 可以配成 【 】（A ）()152=+-n x （B ）()12=+n x （C ）()1152=+-n x （D ）()112=+n x 习题3. 用配方法解方程:（1）012=-+x x ; （2）01632=+-x x ;（3）0652=--x x ; （4）011242=--x x .。
一元二次方程的解法,配方法,因式分解法
一元二次方程的解法-配方法、因式分解法（复习）一元二次方程解法回顾：1、直接开平方法；（2x-6)2=62、配方法；（方程各项系数比较简单可以考虑用配方法来做）3、公式法；x=aac b b 242-±-(ac b 42-0≥) 4、因式分解法。
（能直接因式分解）因式分解的几种方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法.一、配方法例题分析：1、配方法步骤：(1)化二次项系数为：两边同除以二次项系数；(2)移项：使方程左边只有二次项和一次项；(3)配方：等号两边都加上一次项系数一半的平方；(4)变形为(x+m)2=n 的形式，如果n≥0，得x+m=±n ,x=-m±n .所以x 1=-m+n ,x 2=-m-n 。
2、理论依据：222)(2b a b ab a ±=+±3、例题讲解：（1）41x 2+1=x （配方法）（2）用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a,b,c 为常数），（3）、试说明代数式-3x2_x-121的值不大于0（4）x2+y 2+2x-4y+5=0,则.x y =__________（5）已知：a,b,c ,是△ABC 的三边，且满足0222=---++ac bc ab c b a ，求证△ABC 是等边三角形类题演练、（1）2x2-4x-3=0．（用配方法）（2）求证：不论m 为何值，解关于x 的一元二次方程x2+（m-1）x+m-3=0总有两个不等实数根(3)4x2+4xy+|x-1|+y2=0，则2x-y=________中考链接、（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0．（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程二、因式分解法例题分析1、因式分解法解一元二次方程步骤①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0，(ax2+bx+c=0)②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
用配方法解一元二次方程的一般步骤
用配方法解一元二次方程的一般步骤一元二次方程是数学中的基础内容，配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。
本文将详细阐述使用配方法解一元二次方程的一般步骤。
一、理解一元二次方程首先，我们需要了解什么是一元二次方程。
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
x 是未知数。
二、配方法解一元二次方程的一般步骤配方法是一种通过将一元二次方程左边的项重新组合，使其成为完全平方的形式，从而求解方程的方法。
以下是使用配方法解一元二次方程的一般步骤：1.确保方程为一元二次方程，即形如ax^2 + bx + c = 0。
2.将方程左边的常数项移至右边，得到ax^2 + bx = -c。
3.将方程左边的二次项系数化为1。
如果a ≠ 1，将方程两边同时除以a，得到x^2 + (b/a)x = -c/a。
4.计算一次项系数的一半，即(b/2a)，并将此数平方得到(b/2a)^2。
5.在方程两边同时加上(b/2a)^2，使得左边成为完全平方形式。
此时方程为：x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^26.将左边写为完全平方形式，即(x + b/2a)^2。
7.右边将两个常数项合并，并进行化简。
8.此时方程变为(x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)。
9.对两边开平方，得到两个解：x + b/2a = ±√((b^2 - 4ac)/(4a^2))10.将方程两边同时减去b/2a，得到两个解：x = -b/2a ± √((b^2 - 4ac)/(4a^2))三、总结通过以上步骤，我们可以使用配方法求解一元二次方程。
需要注意的是，在使用配方法时，一定要确保方程为一元二次方程，且二次项系数不为0。
一元二次方程的解法(配方法)
元二次方程的解法(配方法)[内容]教学目标(一)使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;(二)在理的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；(三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。
教学重点和难点重点：掌握用配方法配一元二次方程。
难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
教学过程设计(一)复习1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。
例解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。
所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。
(把这个展开过程写在黑板上)(x-3) 2=4, ①x2-6x+9=4, ②x2-6x+5=0. ③(二)新课1.逆向思维我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。
这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。
2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。
(添一项+1)即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.算理 x2+4x=2x·22的平方，y2+6y=y2+2y33的平方。
一元二次方程的解法(2)——配方法
课 题] §12.2 一元二次方程的解法（2）——配方法 [教学目标] 知识与技能使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。
过程与方法经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
情感、态度与价值观[教学重点]掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
[教学难点 ] 配方。
[教学用具] 多媒体[教学方法] 启发——探究式 [教学用时] 45′×1说课稿一、教学目标知识与技能使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。
过程与方法经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
情感、态度与价值观通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
二、教材分析配方法是一元二次方程的一种重要解法。
它在教材中起承上启下的作用，以直接开平方法为基础，配方法是公式法的推导的基础知识。
教材从实际情景中提出问题，激发学生探索方程的精确值，引出问题“你能解哪些方程？”回顾旧知识，展现新知识，通过学生的合作探究，寻找规律，将一元二次方程通过配方后，用直接开方平方法来解。
本节教学重点：掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。
本节教学难点：配方。
三、学情分析：首先引导学生回顾能够解哪些一元二次方程，学生自然会想到一些形如x2=4，（x+6）2=4的简单的一元二次方程。
学生通过以往的经验知道通过开平方运算可以解决。
在此基础上给出几个既有联系又步递进的方程，要求学生说明解题思路，体会转化的思想。
四、教学构思：这是一节传统内容的教学课程，在此之前，学生已有了开平方运算的知识，所以很容易掌握用直接开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，把一元二次方程转化为两个一元一次方程解，从中也体会到解一元二次方程的基本思想。
而配方法是方程形式上的转化，它是把x2+px+q=0的形式转化为（x+m）2=n（n ≥0）的形式，它的依据是完全平方公式。
一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础)
一元二次方程的解法(二)配方法一知识讲解(基础)【学习目标】1. 了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2 .掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3 •通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力•【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1) 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成./■' _ ■<, ； _ if,的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2) 配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.F二匚#十.-二‘二二:丫.(3) 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为1丨-| r - I的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方(3)配方法的理论依据是完全平方公式a2 _ 2ab • b2 = (a _ b)2.知识点二、配方法的应用1. 用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比较出大小•2. 用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3. 用于求最值：“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.4. 用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用.要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程C^1. (2016?淄博)解方程：X2+4X- 1=0 .【思路点拨】首先进行移项，得到X2+4X=1，方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解.【答案与解析】2解：T X +4X -仁0/• X2+4X=12/• X +4X+4=1 +4•••( X+2)2=5••• X= - 2±7• . X I= - 2+心：，X2= - 2- _.【总结升华】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1;(3 )等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.举一反三：【变式】用配方法解方程•2 2(1)X -4X-2=0 ; (2)X+6X+8=0.【答案】⑴方程变形为X2-4X=2 .两边都加4,得X -4X+4=2+4 .利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(X-2)2=6.解这个方程，得x-2=打或X-2=-［；：于是，原方程的根为x=2+ .打|或x=2-“.(2)将常数项移到方程右边X2+6X=-8 .得X2+6X+32=-8+32,两边都加“一次项系数一半的平方”2• (X+3) =1.用直接开平方法，得X+3=± 1,•X=-2或X=-4 .类型二、配方法在代数中的应用2 .若代数式M ^10a2b^7a 8, ^a2b25a 1，则M - N 的值( )A. —定是负数 E. —定是正数 C. 一定不是负数 D. —定不是正数【答案】B;【解析】(作差法)M -N =10a2 b2-7a 8-(a2 b2 5a 1)2 2 2 2= 10a b -7a 8-a -b -5a -1=9a 2 -12a - 7 =9a 2 -12a 4 3 =(3a - 2)2 3 . 0 •故选E.【总结升华】 本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大 于零而比较出大小. .(2014?甘肃模拟)用配方法证明：二次三项式- 8x 2+12x - 5的值一定小于0.【答案与解析】2 2 2解：-8x +12x - 5= - 8 (x - X )- 5 22 2 : 2 =-8[x - x+ ( ) ] - 5+8 X () 2 4 43 2 1=-8 (x -)-, 4 2)2(x -'42 即-8x +12 - 5的值一定小于 0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号 要改变式子的值.举一反三：2【变式】求代数式x +8x+17的最小值2 2 2 2 2【答案】x+8x+17=x +8x+4-4 +17= (x+4) +12•••( x+4) > 0,•••当(x+4) 2=0时，代数式x 2+8x+17的最小值是1.b 37 一4.已知 a -3a b 0 ,求 a-4 ■■一 b 的值.16 【思路点拨】37 9 1解此题关键是把一拆成一'—，可配成两个完全平方式.16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得(2 丄9 )丄(2 b 丄1 )a -3a —b 0 , I 4八 2 16丿(X - 2< 0,.注意在变形的过程中不2 2即 a 一3b 」"-0 ,2 43 1 a 0 且 b 0 , 2 43 1 a , b =—. 2 4【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0的形式，进而求出 a . b 的值.。
一元二次方程的解法--配方法
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
参照第一题， 推想一下第二题及第三题的解法
(1) (2)
( x 1) 6
2
x 2x 1 6
2
(3)
x 2x 5
2
例题1
(1) y 6 y 4 0
2
(2) x 6 5 x
2
例2、用配方法解下列方程：
(1)
x 6 x 27 0
2
(2)
x 3x 1 0
2Hale Waihona Puke 提高9x 6x 3 0
2
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台源源不断地编写和组织人马排练推出一些倍受乡民们喜爱的家乡戏曲节目。上了年纪的耿老爹夫妇俩，经常一起去小学堂的大院儿里听小学童 们朗朗的读书声，看着他们在院子里高兴地做游戏玩耍。在春、夏、秋季节里，他们还喜欢去家门前不远处的水田边上看那一大片一大片绿油油， 亦忽黄澄澄的稻田。每当“三六九镇”大戏台上灯火辉煌，乡民们愉快地排练土戏的时候，耿老爹总会拿上那把老二胡坐在乐器班子里边兴致勃 勃地拉呀拉的。大家都说：“耿老先生的二胡拉得越来越神了！”有的时候，郭氏也会拉一把小板凳儿坐在一旁，张着没牙的嘴巴乐呵呵地看着 大家排练。时间在不经意间快乐地流失着„„郭氏八十二岁那年中秋的次日，这位身体一直不错的老人在安然的午睡中无疾而终了。耿老爹让儿 女们将与自己同甘苦共患难一生的老伴儿埋葬在了东山上最高处的一块儿坡地上。虽说耿家的祖坟也在东山上，但那个地方位置较低，视野不是 很开阔。耿老爹考虑再三，决定另择一块儿自己更喜欢的坟地。事实上，早在老伴儿过世之前的前两年，虽然年事已高，但身体还相当硬朗的耿 老爹就亲自带着两个儿子选择好了一块儿非常满意的坟地。当时，他站在那块儿坡地上对儿子们说：“这个地方最好啦！你们看，前面不远处就 是你们的爷爷和奶奶，俺可以站在后面永远守护他们。还有哇，这里的地势高，不挡眼。不是说‘站得高，望得远’嘛！这以后哇，俺和你们的 娘就可以永远观望咱们的‘三六九镇’，咱们的学堂、戏台，还有那些个稻田了！俺俩可以在这里远远地望着我们的儿孙们，望着咱们镇子上一 代又一代的人„„”简单操办完了老伴儿的后事之后，耿老爹就不再是只在自家的老宅院里与耿兰和尚武共进一日三餐了。他有的时候会在溜达 到小学堂听小学童们读书，看他们在院子里做游戏玩耍的时候，顺便在耿正和秀儿那里吃了午饭。有的时候，又会在门前的水田边看上半天稻田 之后，转悠到耿英和大壮那儿，和他们一起吃午饭。董家成夫妇俩已经先后去世了，午饭是大壮和耿英做的。当然，在小学堂里流连的时候，他 也许会在小学堂放学后，随同耿直和王巧妞儿一起回家，吃王巧妞儿做的家乡饭。巧妞儿真得很巧呢，她做得各种家乡饭菜很对耿老爹的口味儿。 这个时候，耿正兄弟姐妹四人各家的儿女们成家以后都各自修建宅院另立门户生活去了。大家除了安心在学堂教书做事之外，家庭生活倒也非常 规律清静和安逸。只是耿老爹一开始随意在各家吃午饭的时候，曾经让耿兰和尚武很不适应。爹倘若是去大哥大嫂和二哥二嫂家去吃午饭的时候 倒还好说，大嫂和二嫂会在学堂放学时告诉耿兰或尚武一声，这样，他们在吃饭前就不必到处去寻找爹了。可爹要是溜达去了姐姐家的话，这是 连同