高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题附解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳

一、选择题

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A ．64

B ．

643

C ．16

D ．

163

【答案】D 【解析】

根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ?的面积

12442S =??=，所以该多面体的体积116

4433V =??=，故选D.

2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）

A ．

34

B ．

78

C ．

1516

D ．

2324

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，

该几何体的体积为1111711132228

??-??+??= ??? 故选B

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存

在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）

A 7

B ．3

C ．3

D ．2

【答案】A 【解析】 【分析】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就

是最小值． 【详解】

把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，

Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=．

所以11=90+60=150MA D ∠o o o

221111111113

2cos 13223()72

MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??-

??=

故选A ． 【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．

4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A ．

23

B ．

13

C ．

12

D ．

34

【答案】B 【解析】

分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

详解：几何体如图S-ABCD ，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于

21111=33??， 选B.

点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.

5．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】

根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】

由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：

在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ?β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ?β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面

α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）

A ．36 B

．26 C ．5 D ．

53

4

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：

1,,A P C 确定一个平面α，

因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==

所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111

cos 25

AP PC AC APC AP PC +-∠=

=? 所以16

sin 5

APC ∠=

所以S 四边形1APQC 111

2sin 262

AP PC APC =???∠= 故选：B 【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）

A ．

33

B ．

13

C ．

5829

D ．

387

29

【答案】C 【解析】 【分析】

取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出

//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值. 【详解】

取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .

易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且111

2

EF A B =

. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且111

2

BD A B =

，所以//EF BD 且EF BD =.

所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.

因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC =

=，111122

B E B

C ==且C

D AB ⊥. 由勾股定理得2

2

442AB =

+=2242

AC BC CD AB ?=

== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=

2222115229DF BE BB B E ==+=+=.

在CDF V 中，由余弦定理得(

(

2

2

2

29

22

29

58cos 22922

CDF +-∠==

??.

故选：C. 【点睛】

本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.

8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（ ）

①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD

③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3

π?? ??

?

④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④

C ．③④

D ．①④

【答案】B 【解析】 【分析】

由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P 在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】

正方体中易证直线AC ⊥平面11BDD B ，从而有1AC B D ⊥，同理有11B D AD ^，证得

1B D ⊥平面1ACD ，由面面垂直判定定理得平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；

正方体中11//A B CD ，11//BC AD ，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面

11A BC //平面1ACD ，而1A P ?平面11A BC ，从而得1//A P 平面1ACD ，②正确；

当P 是1BC 中点时，1A P 在平面11A B CD 内，正方体中仿照上面可证1AD ⊥平面

11A B CD ，从而11AD A P ⊥，1A P 与1AD 所成角为90?．③错；

∵11D APC P AD C V V --=，由1//BC 平面1ACD ，知P 在线段1BC 上移动时，P 到平面1

ACD

距离相等，因此1P AD C V -不变，④正确． 故选：B ． 【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．

9．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，

23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为

3

2

，求球的表面积( ) A ．8π B ．12π

C ．83π

D ．123π

【答案】B 【解析】 【分析】

依据题意作出图形，设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，由题可得：AB 为球的直径，即可求得：2AB R =，3AC R =， BC R =，利用四面体P ABC -的体积为

32

列方程即可求得3R =，再利用球的面积公式计算得解。

【详解】

依据题意作出图形如下：

设四面体P ABC -的外接球的半径为R ， 因为球心O 在AB 上，所以AB 为球的直径， 所以2AB R =，且AC BC ⊥ 由23AC =可得：3AC R =

， BC R =

所以四面体P ABC -的体积为111333322

ABC V S PO R R R ?=?=???= 解得：3R =

所以球的表面积2412S R ππ== 故选：B 【点睛】

本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。

10．在ABC ?中，设BAC α∠=，CA 与CB 所成的角是β，绕直线AC 将AB 旋转至

AB '，则在所有旋转过程中，关于AB '与BC 所成的角γ的说法正确的是( )

A ．当4παβ-≥时，[],γαβαβ∈-+

B ．当4π

αβ-<-时，[],γβααβ∈-+

C ．当4παβ+≥时，[],γαβαβ∈-+

D ．当4π

αβ+<时，,γαβαβ∈?-+??? 【答案】D 【解析】 【分析】

首先理解异面直线所成的角的范围是0,2πγ??∈ ???

，排除选项A,B,C,对于D 可根据

AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥，AB '是母线，再将异面直线所成的角，转化为相交直线所成的角，判断最大值和最小值. 【详解】

因为γ是异面直线所成的角，所以0,2πγ??

∈ ??

?

A.当4

π

αβ-≥

时，αβ+的范围有可能超过

2

π，比如，3,46ππ

αβ==，所以不正确； B.当4

π

αβ-<-时，当3,46

ππ

βα=

=，此时[],γβααβ∈-+，也不正确； C.当4

π

αβ+≥，当3,46

ππ

αβ=

=，此时[],γαβαβ∈-+，故也不正确； D. 4

π

αβ+<

时，AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥，AB '是母线，如图，

过点A 作BC 的平行线AD ，且CAD β∠=，'AB 与BC 所成的角γ转化为AB '与AD 所成的角，由图象可知，当AB '是AB 时，角最大，为αβ+，当AB '在平面ABC 内时，不与AB 重合时，角最小，此时为αβ-

故选：D 【点睛】

本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB 绕AC 旋转，形成以AC 为轴的圆锥.

11．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】

当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.

12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则

sin α的最大值为（ ）．

A．

2

2

B

．

25

C．

26

5

D．

26

6

【答案】B

【解析】

【分析】

连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到1A M与平面1

1

1

1

D

C

B

A所成的角，进而得到sinα的最大值.

【详解】

连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱1111

A B EHA D C FGD

-为

1

V，三棱柱EBH-FCG为

2

V，设M点

为2V的任一点，过M点作底面1

1

1

1

D

C

B

A的垂线，垂足为N，连接

1

A N,则

1

MA N

∠即为1

A M与平面

1

1

1

1

D

C

B

A所成的角，所以

1

MA N

∠=α，因为sinα=

1

MN

A M,要使α的正弦最大，必须MN最大，1A M最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为11

=

MN HN

A M A H=

25

,

故选B

【点睛】

本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.

13．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所

示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（）

A．441斛B．431斛C．426斛D．412斛

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．

【详解】

解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．

∴体积117127812714

V=???+??=，

2

∴粮仓可以储存的粟米714441

=≈斛．

1.62

故选：A．

-所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法错14．四棱锥P ABCD

误的是（）

MN平面PBC

A．MN与PD是异面直线B．//

⊥

C．//

MN AC D．MN PB

【答案】C

【解析】

【分析】

画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A、B、C的正误，由线线垂直可判断选项D．

【详解】

由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，

M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确； 取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，

四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，

M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且1

2

MH AB =，

N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ?平面PBC ，CH ?平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确；

若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ?=，C 选项错误；

PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.

故选：C ． 【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.

15．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ．

64

B ．

62

C ．

32

D ．

34

【答案】A 【解析】 【分析】

根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】

如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，

1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2

119244

EC =+=，

∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ，

1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ，

且1136

222BDE S BD OE ?=

=??=

g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为6

. 故选:A .

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.

16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13，此三棱柱的高为23 A ．

323

π

B ．

163

π

C ．

83

π D ．

643

π

【答案】A 【解析】 【分析】

求得该直三棱柱的底面外接圆直径为2221(3)2r =+=，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】

由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为2221(3)21r r =+=?=， 根据球的性质，可得外接球的直径为22222(2)2(23)4R r h =+=

+=，解得

2R =，

所以该三棱柱的外接球的体积为343233

V R ππ==，故选A. 【点睛】

本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题

的能力，属于中档试题.

17．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）

A ．2

B ．5

C ．13

D ．22

【答案】D 【解析】 【分析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ??==，22PAC S ?=，2ABC S ?=，故最大面的面积为22.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

18．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为

A ．2

B ．1

C ．

32 D ．

52

【答案】C 【解析】 【分析】

判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可． 【详解】

由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：

可得其面积为：1113

222111122222

?-??-??-??=，故选C ． 【点睛】

本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.

19．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α?，m β?，则（ ） A ．若//αβ，则//l m B ．若//m a ，则//αβ C ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则//l m

【答案】C 【解析】 【分析】

根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】

A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.

B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.

C. 若m α⊥，由m β?，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α?，m β?，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确. 【点睛】

本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.

20．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α?，直线b β?，条件:p a 与b 没有公共

qαβ，则p是q的（）

点，条件://

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

∵a与b没有公共点时，a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）

∴命题p：a与b没有公共点?命题q：α∥β，为假命题

又∵α∥β时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点

∴命题q：α∥β?命题p：a与b没有公共点，为真命题；

故p是q的必要不充分条件

故选B