集合专题

集合
一．集合的概念：
集合没有确切定义，是一个基本概念。

对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。

符号表示为{}，表示的意思为全体。

这些对象我们称之为元素。

集合通常用大写字母A、B、S……表示，元素通常用小写字母a、b、c……表示。

【典例分析】：
1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）
A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题
C 所有的数学容易题
D 所有的有理数
2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）
（1）不超过 的正整数；
（2）高一数学课本中所有的难题；
（3）中国的大城市
（4）平方后等于自身的数；
（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.
A.（1）（2）（3）
B.（3）（4）（5）
C.（1）（4）（5）
D. （1）（2）（4）
二．元素的特性
a、确定性（有一个确定的衡量标准）
b、互异性（集合里的元素都不一样）
c、无序性（没有顺序）
（确定性）
例题1：下列各组对象能否构成一个集合
（1）著名的数学家
（2）某校2006年在校的所有高个子同学
（3）不超过10的非负数
（4）方程240
x-=在实数范围内的解
（5）2的近似值的全体
例题2：下列各对象不能够成集合的是（）
A 某校大于50岁的教师
B 某校30岁的教师
C 某校的年轻教师
D 某校的女教师
（互异性）
例题3：已知集合S中的元素是a,b,c,其中a,b,c为△ABC的三边长，则△ABC 一定不是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a2+4},求实数a的值，并求此时的实数集。

（集合三要素）
b，b}，则b-a=
例题5:a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0，
a
三．几种集合的命名
自然数集：N；
正整数集：N*或N+；
整数集：Z；
有理数集：Q；
实数集：R。

（应用，三角函数，数列）
四．集合的分类
有限集：含有有限个元素的集合；
无限集：含有无限个元素的集合；
空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；
（区分∅、{ ∅}、{ 0 }）解题的陷阱，一定要记得空集
例1.下面集合是有限集还是无限集？
（1）不超过10的非负偶数的集合；
（2）大于10的所有自然数组成的集合；
（3）方程x2-4=0的解集
（4）在平面上到两定点A、B距离相等的点的集合
五．元素与集合之间的关系与运算
集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉）
【典例分析】：
1 用符号∈或∉填空：
（1）0__N*；2__Z；(-1)0__N*；
（2）{x x<；{}0
x x>；2+5__{x|x≤2+3}；（3）3____2
{x|x=n+1,n N*}
∈
∈；5____2
{x|x=n+1,n N*}
（4）(-1,1) _____{y|y=x2}；（-1,1）____{（x，y）|y=x2}
2 非空集合M 中的元素只能是1，2，3，4，5中的某些数，若a ∈M,则（6-a ）
∈M,试求符合条件的M 的个数。

3 设A={a},则下列各式中正确的是（ ）
A.0∈A
B.a ∉A
C.a ∈A
D.a=A
4 方程组⎩⎨⎧=-=+9,1y x y x 的解集是（ ） A.(5,4)
B.{5,-4}
C.{(-5,4)}
D.{(5,-4)}
5 已知集合M={m|m=a+2b,a,b ∈Q},则下列元素中属于集合M 的元素个数是（ ）
○1m=1+2π；○2m=1227+； ○3m=221
+；○4m=32-+32+
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
六．集合的表示方法
1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；
注 意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

例题1：设集合{}k k k A 2,2-=，求实数k 的取值范围。

例题2：3.含有三个实数的集合可表示为,,1y x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，也可表示为{},,0x x y +，则53x y -的值为（ ）
A.0
B.1
C.-1
D.1±
2、描述法：有以下两种描述方式
1）代号描述：例 方程x ²-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x ²-3x+2=0}。

x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。

（代号不一样，所表示含义也不一样）】
例题1：已知集合(){}
,0A x y y =≤，集合()(){}22,1,B x y x y a =+-≤若A B B =，则a 的取值范围是（ ）
A.[)2,+∞
B.(],2-∞-
C.[]2,2-
D.(][),22,-∞-+∞
例题2：.已知集合A={}2640,x R ax x a R ∈-+=∈,若A 中的元素至多有一个,求实数a 的取值范围
2） 文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。

例 {大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。

3、区间表示法：数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思。

例 （2,3），[2,3],(2,3]，[2,3）……
例题1．集合{}{}260,22,A x R x x B x R x =∈--<=∈-<则______.A B = 例题2．设{}{}2230,,S x x x P x x q =--<=<若P S ⊆，则q 的取值范围是（ ）
4、图像表示法：数轴、坐标系、维恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。

数轴表示法：常与区间法表示同时使用
坐标系表示法：
例题1.已知集合(){},30A x y y x =≤，集合()(){}22,1,B x y x y a =+-≤若A B B =，则a 的取值范围是（ ）
A.[)2,+∞
B.(],2-∞-
C.[]2,2-
D.(][),22,-∞-+∞
题型 1:表示集合
2：画图（a 、常规(标数) b 、创新）
常规：例题2：设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1⋃S 2⋃S 3=I ,则。