高中数学集合专题突破

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高中数学专题突破练习《函数的极值》含详细答案解析

5.3.2　函数的极值与最大(小)值第1课时　函数的极值基础过关练题组一　函数极值的概念及其求解1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)　( )A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点x2,则f(x)( )3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12A.有极小值,无极大值B.无极小值,有极大值C.既有极小值,又有极大值D.既无极小值,又无极大值4.函数f(x)=x+2cos x在0,( )A.0B.π6C.π3D.π25.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=2xx2+1-2;(3)f(x)=x2-2ln x.题组二　含参函数的极值问题6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+ax(a≠0),则( )A.当a<0时,f(x)存在极小值f(a)B.当a<0时,f(x)存在极大值f(a)C.当a>0时,f(x)存在极小值f(a)D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=e x-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是( )A.m<12B.0<m<12C.m>12D.0<m<18.(2020浙江杭州七校高二下联考)若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 .9.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m= ,n= .10.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.题组三　函数极值的综合应用11.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.912.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·e x,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是( )A.4e-2B.4e2C.e-2D.e213.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+12(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为( )A.52B.3C.72D.214.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)= .15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值;(2)求x0及函数f(x)的表达式.16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.深度解析17.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.能力提升练题组一　函数极值的求解及其应用1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.()已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0)点,则f(x)的极小值为( )A.0B.-427C.-527D.13.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.f(x)在(-3,1)上是增函数B.f(x)在(1,3)上是减函数C.f(x)在(1,2)上是增函数D.当x=4时,f(x)取得极小值4.(2019北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=x-aln x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a的值;(2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.题组二　含参函数的极值问题5.(2019福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( )A.0B.1C.2D.46.(2020浙江杭州高三检测,)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( )A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,又无极小值7.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=x 2-(3m+1)x+3,x≤0,mx2+xln x,x>0恰有三个极值点,则m的取值范围是( )A.-12,-B.-12,0C.-1,-D.-1,-8.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=ax+x2的极值点,则实数a的值为 .易错9.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.10.(2020江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=1x2-ax+ln2x(a∈R).(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;(2)设a<e+1,m,n分别是f(x)的极大值和极小值,且S=m-n,求S的取值e范围.题组三　函数极值的综合应用11.(2020福建三明高二上期末质量检测,)函数y=1-x2的图象大致是x( )12.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)A.(-e,e)B.[-e,e]C.(-1,1)D.[-1,1]13.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=1上xax2-ax-ln x的两个极值两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=12+y2=1的位置关系是( )点,则直线AB与椭圆x24A.相离B.相切C.相交D.不确定14.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是( )A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>015.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是( )A.若a≤0,则函数f(x)没有极值B.若a>0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是-∞,D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]16.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.求证:(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.答案全解全析基础过关练1.B 由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x 0,则f'(x 0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.2.C 设y=f'(x)的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则f(x)在x=x 1,x=x 3处取得极大值,在x=x 2,x=x 4处取得极小值,故选C.3.B 由题可得, f'(x)=1x -x=1―x 2x (x>0),当x>1时, f'(x)<0,当0<x<1时, f'(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值.故选B.4.B 由题意得, f'(x)=1-2sin x,令f'(x)=0,得x=π6,当0<x<π6时, f'(x)>0;当π6<x<π2时, f'(x)<0.∴当x=π6时, f(x)取得极大值.5.解析　(1)由题意得, f'(x)=3x 2-6x-9,令f'(x)=0,即3x 2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+-+f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x=-1时,函数f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且f(3)=-22.(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2(x 2+1)―4x 2(x 2+1)2=-2(x -1)(x +1)(x 2+1)2.令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x 变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘∴当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.(3)由题意得, f'(x)=2x-2x ,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),当x ∈(0,1)时, f'(x)<0,当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值.6.C 由题意得, f'(x)=1x -a x 2=x -ax 2,且函数f(x)的定义域是(0,+∞).当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a,令f'(x)<0,解得0<x<a,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(a),无极大值,当a<0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.7.B 由y=e x -2mx,得y'=e x -2m.由题意知e x -2m=0有小于零的实根,即e x =2m,得m=12e x .∵x<0,∴0<12e x <12,∴0<m<12.8.答案　[0,3]解析　由f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R),得f'(x)=3x 2+2ax+a.∵函数f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x ∈R 恒成立,∴Δ=4a 2-12a ≤0,解得0≤a ≤3,∴a 的取值范围是[0,3].9.答案　2;9解析　由题可得, f'(x)=3x 2+6mx+n,∴f '(-1)=3-6m +n =0,f (-1)=-1+3m -n +m 2=0,解得m =1,n =3或m =2,n =9.当m =1,n =3时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,不满足题意.故m=2,n=9.10.解析　(1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=1x +1,则切线斜率k=f'(1)=2,又f(1)=1,所以切点坐标为(1,1),所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax 2+(1-a)x+1(x>0),所以g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1―a)x+1x(x>0),当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.当a>0时令g'(x)=0,得x=1a或x=-1(舍去),所以当x∈0,,g'(x)>0;当x,+∞时,g'(x)<0,所以当a>0时,函数g(x)的单调递增区间是0,单调递减区间是,+∞,所以当x=1a 时,g(x)有极大值=12a-ln a,综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值12a-ln a,无极小值.11.D　f'(x)=12x2-2ax-2b,∵f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.又a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴2ab≤6,∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,∴ab的最大值为9.12.A　因为函数f(x)=(x2-m)e x,所以f'(x)=e x(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=e x(x2+2x)=e x(x+2)x,因为e x>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e -2.故选A.13.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,所以k+12=0,所以k=-12,所以f(x)=x 3+12x 2-2x+1,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1),+∞上单调递增,在-1,,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.14.答案　1解析　由题意得,m ≠0,且f'(x)=3mx 2+2nx+p,由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,由f '(-1)=3m -2n +p =0,f '(2)=12m +4n +p =0,解得p =―6m ,2n =―3m ,∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,∴f '(1)f '(0)=1.15.解析　(1)由题意可得f'(x)=3x 2+2ax+b.∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),∴b =0,12+4a +b =0,解得a =―3,b =0.(2)由(1)知f'(x)=3x 2-6x,令f'(x)>0,得x>2或x<0,令f'(x)<0,得0<x<2.∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴f(x)在x=2处取得极小值.∴x 0=2.由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1.16.解析　(1)由题意得,f'(x)=6x2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f'(1)=6+6a+3b=0,f'(2)=24+12a+3b=0,解得a=―3,b=4,经检验a,b均符合题意.(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,f'(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),令f'(x)=0,得x=1或x=2,当x<1或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,∴f(1)=5+c>0,f(2)=4+c<0,解得-5<c<-4.方法技巧　解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系.17.解析　(1)由题可得,f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=b=4,f'(0)=a+b-4=4,解得a=4, b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x, f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)e x-令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).能力提升练1.A　设y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,x4.由题图知,当a<x<x1时,f'(x)>0,当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以x1是极大值点;同理,x2是极小值点,x4是极大值点.又当x2<x<x3时,f'(x)>0,当x3<x<x4时,f'(x)>0,所以x3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.2.A　由题知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,联立3―2p-q=0,1―p-q=0,解得p=2,q=―1.∴f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.令f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=13,经检验知x=1是函数f(x)的极小值点,∴f(x)极小值=f(1)=0.3.CD　f'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B错误;由题图可知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C 正确;当x ∈(2,4)时, f'(x)<0,当x ∈(4,5)时, f'(x)>0,所以当x=4时, f(x)取得极小值,因此D 正确.故选CD.4.解析　(1)因为f(x)=x -aln x,所以f'(x)=12x -ax (x>0),所以f'(1)=12-a.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以12-a=12,解得a=0.(2)f'(x)=12x -a x =x -2a2x .①当2a ≤1,即a ≤12时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递增,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;②当2a ≥2,即a ≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递减,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;③当1<2a<2,即12<a<1时,令f'(x)=0,得x=4a 2.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (1,4a 2)4a 2(4a 2,4)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗因此, f(x)的单调递减区间为(1,4a 2),单调递增区间为(4a 2,4),所以当x=4a 2时, f(x)在[1,4]上取得极小值,且极小值为f(4a 2)=2a-2aln 2a,无极大值.5.D 由题意得, f'(x)=3ax 2-b,设方程3ax 2-b=0的两个根分别为x 1,x 2,则f(x)在x 1,x 2处取到极值,则M+m=4-b(x 1+x 2)+a(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2],又x 1+x 2=0,x 1x 2=-b3a ,所以M+m=4,故选D.6.C 由题意得, f'(x)=2(x-a)ln x+(x -a )2x =(x-a)2ln x +1―令f'(x)=0,得x=a 或2ln x+1-ax =0.作出g(x)=2ln x+1和h(x)=ax 的图象(图略),易知g(x)=2ln x+1和h(x)=a x 的图象有交点,所以方程2ln x+1-ax =0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2ln x 既有极大值又有极小值,故选C.7.A 由题可知f'(x)=2x -(3m +1),x ≤0,2mx +ln x +1,x >0,当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=ln x +1x,令g(x)=ln x +1x,则g'(x)=-ln xx 2,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示,所以当0<-2m<1,即-12<m<0时, f'(x)=0有两个不同的根.当x ≤0时,令f'(x)=0,得x=3m +12<0,解得m<-13.综上,m ∈-12,-13.8.答案　2解析　由f(x)=ax +x 2,得f'(x)=-ax 2+2x.因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2.此时f'(x)=2(x3-1)x2,当x<1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x>1时,f'(x)>0.因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.易错警示　已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.9.解析　(1)由已知得f'(x)=e x(ax2+2ax+1),因为f(0)=1,f'(0)=1,所以所求切线的方程为y=x+1.(2)证明:f'(x)=e x(ax2+2ax+1),令g(x)=ax2+2ax+1,则Δ=4a2-4a.(i)当Δ≤0,即0<a≤1时,∀x∈R,f'(x)≥0,所以函数f(x)在R上是单调递增函数,此时函数f(x)在R上无极小值. (ii)当Δ>0,即a>1时,记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根,不妨设x1<x2,则x1+x2=―2<0,x1x2=1a>0,所以x1<x2<0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞) f'(x)+0-0+ f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数y=f(x)的极小值为f(x2),又因为函数y=f(x)在[x2,0]上单调递增,所以f(x2)<f(0)=1.所以函数y=f(x)的极小值小于1.10.解析　(1)由已知得f'(x)=x+1x-a(x>0,a∈R).①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a ≤x+1x 在(0,+∞)上恒成立,又x+1x ∈[2,+∞),所以a ≤2.②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a ≥x+1x 在(0,+∞)上恒成立,又x+1x ∈[2,+∞),所以a ∈⌀.因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a ∈(2,+∞).(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2.又a<e+1e ,所以2<a<e+1e .设f'(x)=x+1x -a=x 2-ax +1x=0的两根分别为x 1,x 2,即x 2-ax+1=0的两根分别为x 1,x 2,于是x 1+x 2=a,x 1x 2=1.不妨设0<x 1<1<x 2,则f(x)在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增,所以m=f(x 1),n=f(x 2),所以S=m-n=f(x 1)-f(x 2)21-a x 1+ln x 122-a x 2+ln x 2=12(x 21-x 22)-a(x 1-x 2)+(ln x 1-ln x 2)=-12(x 21-x 22)+ln x 1x 2-+ln x 1x 2.令t=x 1x 2,t ∈(0,1),则-t.又t+1t =x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2=a 2-2∈2,e 2+所以1e 2<t<1.所以++1t-12<0,所以-t ,1上为减函数.所以S ∈0,11.D 令y=1x -x 2=0,得x 3=1,解得x=1.因此选项A 、C 中的图象不正确;y'=-1x 2-2x,令y'=0,得2x 3+1=0,解得x=-312,因此,x=-312是函数y=1x -x 2的唯一的极大值点,因此,当x<-312时,y'>0,当-312<x<0时,y'<0,故B 错误,D 正确.故选D.12.A 当x>0时, f'(x)=ln x+1-2e x , f″(x)=1x +2ex 2>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.f(x)的大致图象如图所示.由g(x)=f(x)-m 存在四个不同的零点知,直线y=m 与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m ∈(-e,e),故选A.解题模板　利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.13.C 由f(x)=12ax 2-ax-ln x,得f'(x)=ax-a-1x =ax 2-ax -1x,因为A,B 的横坐标x 1、x 2是函数f(x)=12ax 2-ax-ln x 的两个极值点,所以x 1、x 2是方程ax 2-ax-1=0的两根,因此x 1+x 2=1,x 1x 2=―1a ,a ≠0,又点A,B 为曲线y=1x 上两个不同的点,所以k AB =1x 1-1x2x 1-x 2=-1x 1x 2=a,因此直线AB 的方程为y-1x 1=a(x-x 1),即y=ax-ax 1+1x 1=ax-ax 1-ax 2=ax-a(x 1+x 2)=ax-a=a(x-1),即直线AB 恒过定点(1,0),显然点(1,0)在椭圆x 24+y 2=1内,因此直线AB与椭圆x 24+y 2=1必相交.故选C.14.AD ∵函数f(x)=xln x+x 2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,易得f'(x)=ln x+1+2x 在(0,+∞)上单调递增=2e >0,∵当x →0时, f'(x)→-∞,∴0<x 0<1e ,∴A 正确,B 错误.∵f'(x 0)=ln x 0+1+2x 0=0,∴f(x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,∴C 错误,D 正确.故选AD.15.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-1x =ax -1x,当a ≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值.又当x 趋近于0时, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于-∞,∴f(x)有且只有一个零点.当a>0时,在0,f'(x)<0, f(x)单调递减,,+∞上f'(x)>0, f(x)单调递增,当x=1a 时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(x)min =1+ln a,当x 趋近于0时,ln x 趋近于-∞, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于+∞,当1+ln a=0,即a=1e 时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即0<a<1e 时, f(x)有且仅有两个零点,综上可知ABD 正确,C 错误.故选ABD.16.证明　(1)设g(x)=f'(x)=1x -1+2cos x,当x ∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-1x 2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,又因为=3π-1+1>0,g=2π-1<0,所以g(x),α,即f'(x)在(0,π)上存在唯一零点α.(2)①由(1)知,当x ∈(0,α)时, f'(x)>0,f(x)在(0,α)上单调递增;当x ∈(α,π)时, f'(x)<0, f(x)在(α,π)上单调递减,所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点<α<所以=ln π2-π2+2>2-π2>0,又因为=-2-1e 2+2sin 1e 2<-2-1e 2+2<0,所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点,又因为f(π)=ln π-π<2-π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点,②当x ∈[π,2π)时,sin x ≤0, f(x)≤ln x-x,设h(x)=ln x-x,则h'(x)=1x -1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减,所以h(x)≤h(π)<0,所以当x ∈[π,2π)时, f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立,所以f(x)在[π,2π)上没有零点.③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤ln x-x+2,-1<0,设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1x所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.。

【高中数学名师精华荟萃总结】《解析几何大题》专题突破

专题突破解析几何（学生版）•一、轨迹问题•二、求值•三、最值（范围）问题•四、定点、定位、定值问题•五、存在性问题恒成立与有解问题一、轨迹问题问题一: 利用直接法求轨迹方程直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程.具体步骤为通过建立适当的坐标系, 设点、列式、化简从而得出轨迹方程.线段与互相垂直平分于点, , , 动点满足, 求动点的轨迹方程．问题二: 利用定义法求轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时, 就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.2. , 为动点, 、为定点, , , 且满足条件,求动点A的轨迹方程.3.已知动圆与两定圆和都外切, 求动圆圆心的轨迹方程.问题三: 利用转移法求轨迹方程动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的, 这时我们可以用动点坐标来表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫相关点法。

转移法(也称代入法,相关点法): 转移法求轨迹方程的步骤:（1）设两个动点坐标为, 其中动点在已知曲线上, 动点为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系, 把用表示；将用表示的代入已知曲线方程, 整理即得所求.4.已知点为圆上的一个动点, 点的坐标为, 试求线段中点的轨迹方程．问题四: 利用待定系数法求轨迹方程待定系数法求轨迹方程的步骤: (1)设出所求的曲线方程；(2)求出字母参数；(3)代入所设. 5.在面积为的中, ．建立适当坐标系, 求以为焦点且过的椭圆方程．问题五: 参数法求轨迹方程6.设椭圆方程为 ,过点的直线交椭圆于两点, 是坐标原点,点满足 .当绕点旋转时, 求: 动点的轨迹方程.7、（2011安徽理）设 , 点的坐标为 , 点在抛物线上运动, 点满足 , 经过点与轴垂直的直线交抛物线于点 , 点满足 , 求点的轨迹方程．8. (2013四川) 已知椭圆 : 的两个焦点分别为 , 且椭圆经过点 . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点, 点是线段上的点, 且 , 求点的轨迹方程. 9、如图, 动点到两定点、构成 , 且 , 设动点的轨迹为。

高考数学破题36大招

目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分专题5 第1讲直线与圆(小题)

(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－
2 3
，
则直线l的方程是
A.－3x＋2y＋1＝0
√C.2x＋3y－5＝0
B.3x－2y＋1＝0 D.2x－3y＋1＝0
解析解方程组2x＋x－y＝y＝21，，得yx＝＝11，，
所以两直线的交点为(1,1). 因为直线 l 的斜率为－23，所以直线 l 的方程为 y－1＝－23(x－1)，即 2x＋3y－5＝0.
(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C： xm2－y22 ＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为_x_2_＋__(_y－__3_)_2_＝__1_0_.
解析 ∵P(3,4)为 C 上一点，m9 －126＝1，解得 m＝1，则 B(1,0)，∴kPB＝42＝2， PB 的中垂线方程为 y＝－12(x－2)＋2，令x＝0，则y＝3，设外接圆圆心为M(0，t)，
△FPM为等边三角形⇒△FPM外接圆圆心与重心重合，
∴外接圆圆心坐标为－2
3－2 3
3＋0，3－13＋1，即－4
3
3，1，
外接圆半径为 r＝
பைடு நூலகம்
－4
3
3＋2
32＋1＋12＝4
3
3，
同理可得当 x＝2
3时，圆心坐标为4
3
3，1，半径为4
3
3，
∴外接圆方程为x±4
3
32＋(y－1)2＝136.
跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则
的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的

【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式-专题突破(含答案)

【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．21x x<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>02.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－315.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>0【答案】C【解析】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C.2.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先展开，移项，合并同类项，分解因式可得－≤x≤1，故选D.3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}【答案】A【解析】3x2－7x＋2<0⇒（3x－1）（x－2）<0⇒<x<2.4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．【答案】原不等式可变形为（x－a）（x－a2）>0，方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，有a>a2，∴x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a>1时，有a2>a，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，有x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.【答案】（1）根据题意，由于x2＋x－1≥1，结合二次函数图象可知不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．（2）（a＋2）x2＋4x＋a－1>0，a＝－2不符合；当a≠－2时，由a＋2>0且Δ<0，得a>2.故a>2. （3）ax2＋x－a－1>0，即（x－1）（ax＋a＋1）>0.因为a<0，所以（x－1）<0，因为1－＝，所以当－<a<0时，1<－，解集为；当a＝－时，（x－1）2<0，解集为∅；当a<－时，1>－，解集为．6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.【答案】（1）原式可化为（x2－3x）a－2x＋6≤0，设f（a）＝（x2－3x）a－2x＋6≤0，则f（a）为关于a的一次函数，由题意∴解得∴x＝3.（2）原不等式可化为（x－3）（ax－2）≤0.那么由于a＝0表示的为一次函数，a≠0为二次函数，那么分为两大类，结合开口方向和根的大小和二次函数图形可知，需要整体分为a>0，a＝0，a<0来求解，那么对于a与的大小将会影响到根的大小，∴要将a 分为0<a<和a＝以及a>来得到结论，那么可知有：当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥3}；当0<a<时，原不等式的解集为；当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝3}；当a>时，原不等式的解集为．题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}【答案】C【解析】∵不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，∴a＝5，b＝－6，∴不等式bx2－ax－1>0，即为－6x2－5x－1>0，∴6x2＋5x＋1<0，∴（3x＋1）（2x＋1）<0，∴－<x<－.8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}【答案】C【解析】由f（－1）＝f（3），知b＝－2，∴f（x）＝x2－2x＋1，∴f（x）>0的解集是{x|x≠1}，故选C.9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2【答案】C【解析】∵不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，∴－2，－为方程ax2＋bx－2＝0的两根，则根据根与系数关系可得－2＋（－）＝－，（－2）·（－）＝－，∴a＝－4，b＝－9，故选C.题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）【答案】D【解析】因为A＝{x|x≥或x≤－2}，B＝{x|x≥0或x<－3}，∴A∩B＝（－∞，－3）∪[，＋∞），故选D.11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}【答案】C题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）依题意得解得又n∈N*，所以n＝6.（2）s＝＋≤12.6⇒v2＋24v－5 040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？【答案】税率为P%时，销售量为（80－10P）万件，销售金额为f（P）＝80（80－10P），税金为g（P）＝80（80－10P）·P%，其中0<P<8.（1）由解得2≤P≤6.（2）∵f（P）＝80（80－10P）（2≤P≤6）为减函数，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额．（3）∵0<P<8，g（P）＝80（80－10P）·P%＝－8（P－4）2＋128，∴当P＝4时，国家所得税金最多，为128万元．题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－3【答案】C【解析】ax≥－(x2＋1)，a≥－(x＋)对一切x∈(0，]恒成立，当0<x≤时，－(x＋)≤－，∴a≥－，故选C.15.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)【答案】B【解析】由可求得－2<a<2.又当a＝2时，原不等式化为－4<0，恒成立，∴－2<a≤2.16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)方法一⇒∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当m＝3时，x2－x－m＋1>0，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，故不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．(2)∵1>0，∴对任意的实数x，不等式x2－x－m＋1>0恒成立，则必须有(－1)2－4(－m＋1)<0，解得m<，∴实数m的取值范围是m<.19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)根据题意，由于－3<4x－4x2≤0，那么等价于－3<4x－4x2且4x－4x2≤0，先分析方程的根，结合二次函数图象可知，不等式的解集为(－，0]∪[1，)．(2)由于不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，那么可知，当m＝0时，－4<2x2＋4x，由于判别式小于零可知成立，恒大于零，不等式对任意x均成立；当m≠0时，要使不等式恒成立，只要开口向上，判别式小于零即可，得到－2<m≤2，且m≠0.综上可知－2<m≤2.。

高中数学小问题集中营专题1.2 突破点集合运算中的参数问题

问题2 突破点集合运算中的参数问题一、问题的提出所谓集合中的参数问题，是指集合{|p p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题，已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)，一般常和方程、不等式、函数等知识结合在一起进行考查，综合性比较强，解法多样，故难度较大.对思维的严谨性要求较高.是同学们学习集合的一个难点。

二、问题的探源解含参数的集合运算问题，首先应分清集合中的元素是数集还是点集，然后根据元素的特点考虑对参数进行分类讨论。

下面总结集合中几类常见的参数问题1. 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．2.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围由集合间关系求解参数的三部曲第一步:弄清两个集合之间的关系,谁是谁的子集;，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形; 第二步:看集合中是否含有参数,若A B第三步:将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组),求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想,借助数轴解答.3.根据集合运算的结果确定参数的取值范围方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.方法二：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式（组）；(4)解不等式（组）；(5)检验.注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；(2)千万不要忘记考虑空集。

三、问题的佐证(一)根据元素与集合的关系求参数的值例1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3(二)根据集合与集合的关系求参数的值例2.已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3【解析】由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1，故选B.【评注】在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． (三)根据集合与集合的关系求参数的取值范围已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．例3.已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ⊆，求实数m 的取值范围为。

高考数学之函数专项重点突破-专题20 函数嵌套问题(解析版)

专题20函数嵌套问题一、单选题1．已知函数()e ,02,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则方程()20f f x ⎡⎤-=⎣⎦的根个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】令()20y f f x =-=⎡⎤⎣⎦，即()2f f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，设()f x t =，所以()2f t =，即0,e 2t t ≥=或0,22t t <-=，解得ln 2t =或1t =-，即()ln 2f x =或()1f x =-，即0,e ln 2x x ≥=或0,2ln 2x x <-=，解得ln 22x =-；或0,e 1x x ≥=-或0,21x x <-=-，无符合题意的解.综上所述：程()2y f f x =-⎡⎤⎣⎦的根个数为1个.故选：A.2．已知函数()232,1,42,1,x x x f x x x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩则函数()()3y f f x =-的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】作出()f x的图象，如图所示：则()f x 的值域为R ，求()()3y f f x =-的零点，即求()()30f f x -=，即()()3f f x =，对应方程的根.设()m f x =，则m R ∈，则()()3f f x =等价于()3f m =，如图所示：()3f m =有3个交点，则m 有三个解，当1m £时，有2323m m --=，解得0m =或2m =-，当1m >时，有423m m+-=，解得4m =或1m =（舍）故m 的值分别为2-，0，4，则()m f x =对应解如下图()m f x =对应5个交点，分别为点Q ，M ，K ，E ，T ，综上所述：()()3y f f x =-的零点个数为5个.故选：D3．已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，()f x ¢是()f x 的导函数，若对()0,x ∀∈+∞都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则方程()40f x x'-=的解所在的区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()5,8【解析】由题意可知，对任意的()0,x ∞∈+，都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦.则()2x f x -为定值.设()2x t f x =-，则()2xf x t =+.又由()3f t =，即23t t +=.可解得1t =.则()21xf x =+，∴()2ln 2xf x '=.∴()442ln 2x f x x x'-=-.令()42ln 2xh x x=-，()2242ln 20x h x x '=+>，故()h x 在()0,+∞上单调递增，又由()12ln 240h =-<，()24ln 210h =->.故()h x 的唯一零点在区间()1,2之间.则方程()40f x x'-=的解在区间()1,2上.故选:A.4．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e<<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞，所以，()g x 的零点等价于()f t 与2y =-交点横坐标t 对应的x值，如下图示：由图知：()f t 与2y =-有两个交点，横坐标11t =-、201t <<：当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e 上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个.选：B5．已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【解析】因为()21,0212,02122,2x x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()()()2210f x k xf x kx -++=可得()()0f x x f x kx -⋅-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，关于x 的方程()f x x =、()f x kx =共有3个不同的实数解.①先讨论方程()f x x =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x x =+=，可得0x =，当102x <≤时，由()2f x x x ==，可得x ∈∅，当12x >时，由()22f x x x =-=，可得23x =，所以，方程()f x x =只有两解0x =和23x =；②下面讨论方程()f x kx =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x kx =+=可得102x x k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得0x =或12x k =-，当102x <≤时，由()2f x x kx ==，可得2k =，此时方程()f x kx =有无数个解，不合乎题意，当12x >时，由()22f x x kx =-=可得22x k =+，因为0k >，由题意可得10221220k k k ⎧-<⎪⎪⎪≤⎨+⎪>⎪⎪⎩或10222230k k k ⎧-<⎪⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩或10221222223k k k ⎧-≥⎪⎪⎪>⎨+⎪⎪≠⎪+⎩，解得112k ≤<或12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．函数()22,02,0x x x x f x x x e⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+-=恰有四个不同的实数根，则实数a 范围为（）A ．e 21,e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 21,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22e 21,e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．e 21,e +⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数()f x 的图像如下所示，当0x >，2xx y e =时，22e x xy -'=，所以()0,1x ∈时递增，当()1,x ∈+∞时递减，所以当0x >时，2x xy e =在=1x 处取最大值为：2e（如下图所示平行于x 直线）；因为()()210f x af x a -+-=，即()()+110f x a f x ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x a =-，当()1f x =时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于x 的方程()()210f x af x a -+-=恰有四个不同的实数根，则需要()1f x a =-与图像有三个不同交点，只需要201ea <-<，即e 21e a +<<.故选：D.7．已知函数()3,133,1xx f x elnx x x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若函数2[()]4=+y f x 与()y af x =的图象恰有8个不同公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．(4,5)B ．(4,10)C ．292,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．294,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】当1x >时，()e ln xf x x=，2ln 1()e ln x f x x -'=，由1e x <<时，()0f x '<，得()f x 单调递减，由e x >时，()0f x '>，得()f x 单调递增，故e x =时，min ()(e)1f x f ==；当1x ≤时，()()32()33,()33311'=-+=-=-+f x x x f x x x x ，由11x -<<时，()()()3110'=-+<f x x x ，得()f x 单调递减，由1x <-时，()()()3110'=-+>f x x x 得()f x 单调递增，所以1x =-时，()f x 有极大值(1)5f -=，当1x =时，(1)1f =，作出()3,1eln 33,1⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩xx f x x x x x 的大致图象如图：函数()24⎡⎤⎣=+⎦y f x 与()y af x =的图象恰有8个不同公共点，即方程()()204-=⎡⎤⎣⎦+f x x af 有8个不同的根，令()f x t =，根据其图象，讨论2)40(=*-+t at 有8解情况如下：令2()4=-+t t at g，当()*在()1,5有两个解时，满足题意，即2(1)50(5)2950152160=->⎧⎪=->⎪⎪⎨<<⎪⎪∆=->⎪⎩g a g a a a ，解得45a <<，故选：A.8．定义在R 上的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x ，则12345()f x x x x x ++++=（）A．2B．1C．12D．14【解析】作出函数1,11 ()1,1xxf xx⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，如图所示，令()f x t=，由图象可知，当1t=时，方程()f x t=有3个根，当01t<<或1t>时，方程()f x t=有2个根，则方程2()()0f x mf x n++=等价于20t mt n++=，因为方程2()()0f x mf x n++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x，所以等价于方程20t mt n++=有两个实数解11t=，或201t<<，或21t>，可得这5个根也关于直线1x=对称，所以123455x x x x x++++=，所以1234511()(5)514f x x x x x f++++===-，故选：D9．设函数()431,0log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x的方程()()()2230f x a f x-++=⎡⎤⎣⎦恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．()2,2--B．32,2⎛⎤-⎥⎝⎦C．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．()2,+∞【解析】画出函数()431,0log,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下图所示，令()f x t=，则方程()()()2230f x a f x-++=⎡⎤⎣⎦可化为()2230t a t-++=.由图可知：当(]1,2t∈时，()y f x=与y t=有3个交点，要使关于x的方程()()()2230f x a f x-++=⎡⎤⎣⎦恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同实数根，∴()()()222Δ212021221213022230a a a a ⎧=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得322a <≤，∴实数a的取值范围为32,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：B 10．已知()()221,1,log 1,1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,3C ．51,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出()f x 的图像如图所示，由()g x 的图像可知，()g x 的极大值为()02g m =+，极小值为()23g m =-，()()y f g x m =-有9个零点，令()t x g =，结合()f x 和()g x 的图像可知，()f t m =有3个解，分别设为123,,t t t ，且123t t t <<，且每个t 对应都有3个满足()g x t =，欲使()()y f g x m =-有9个零点，由图可知：03m <<，且112,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，21,12t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()32,9t ∈，由函数()f x 的解析式知：112m t +=-，212m t -=，321m t =+，由()g x 图像可知，()123,,3,2t t t m m ∈-+，则13221322321203mm m m m m m m m m +⎧-<-<+⎪⎪-⎪-<<+⎨⎪-<+<+⎪⎪<<⎩，解得5533550103m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪-<<⎨⎪<<⎪<<⎪⎩，得01m <<，故选：A.11．已知函数()1,0,ln ,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩（0a >且1a ≠），若函数()()y f f x a =-的零点有5个，则实数a 的取值范围为（）A ．2a =B ．ln 21a ≤<或12a <<C ．0ln 2a <≤或12a <<或2a =D ．ln 21a ≤<或2a =【解析】依题意函数()()y f f x a =-的零点即为方程()()f f x a =的根，①当01a <<时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有两个根1t ，2t （101t <<，21t >），而()1t f x =对应2个根，所以需要()2t f x =对应3个根，所以22t ≥，即e 2a ≥，解得ln 21a ≤<；②当2a >时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有两个根1t ，2t （101t <<，22t >），而()1t f x =对应2个根，()2t f x =对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；③当2a =时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有三个根121et =，22e t =，30t =，从而()2e f x =，()21ef x =，()0f x =，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；④当12a <<时函数()f x的函数图象如下所示：所以()f t a =有三个根1t ，2t ，3t ，（101t <<，21t >，30t <），而()1t f x =，()2t f x =，()3t f x =分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；综上可得实数a 的取值范围为ln 21a ≤<或2a =；故选：D12．已知函数()3e ,1e ,1x x x xf x x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（e 为自然对数的底数），函数()()g x xf x =，若关于x 的方程()()220g x ag x -⎤⎣⎦=⎡有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）．A ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．222e ,e 8⎛⎫⎪⎝⎭C ．()222e e ,0,,e 82⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题设22e ,1()e ,1x x x x g x x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，且方程的根分别为1()0g x =、2()2g x a =，当1x <时()(2)e x g x x x '=+，在(,2)-∞-、(0,1)上()0g x '>，在(2,0)-上()0g x '<，所以()g x 在(,2)-∞-、(0,1)上递增，在(2,0)-上递减，则极大值24(2)e g -=，极小值(0)0g =，在各单调区间上恒有()0>g x ；当1≥x 时32())(e xx x xg -'=，在[1,2)上()0g x '<，在(2,)+∞上()0g x '>，所以()g x 在[1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，且2e()(2)4g x g ≥=，(1)e g =；综上，()g x的图象如下：显然1()0g x =时有一个解，而原方程共有2个实数根，所以，由图知：2224e ()2(,)(e,)e 4g x a =∈⋃+∞，即222e e(,(,)e 82a ∈⋃+∞.故选：D二、多选题13．已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<【解析】∵()()231321log log log log x x a ==，∴31log 2a x =，21log 3ax =，∴23132aax ==.设()2332ttf t =-，∵()()0110f f ==>，()2815120f =-<，2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，∴()1,2a ∈.∵()()242422log log log log x x b ==，∴42221log log 22b x x ==，22log 4bx =，∴142b b +=，∴1b =.∵()()343433log log log log 0x x c ==>，∴34343ccx ==设()3443ttg t =-，∵()010g =>，()1170g =-<，3443xxy =-在()0,∞+上先增后减，∴()0,1c ∈.∴c b a <<.故选：BC.14．已知函数()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，方程()()220(0)f x f x m m +-=>有四个不同的实数根，从小到大依次是1234,,,,x x x x 则下列说法正确的有（）A ．13x <-B ．122x x +<-C ．342x x =D ．m 可以取到3【解析】由题设，2222,0()log ,01log ,1x x f x x x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩，其函数图象如下：而2()2()y f x f x m =+-的对称轴为()1f x =-且440m ∆=+>，即1m >-，所以0y =必有两个零点1()f x 、2()f x 分别在()1f x =-的两侧，由上图知：10()1f x <≤且23()2f x -≤<-，满足原方程有四个实根，故123()()0f x f x m -≤=-<，则03m <≤，D 正确；所以13222x --≤-<-：21log 52x -≤<-；且210x -<≤；230log 1x <-≤：3112x ≤<；且240log 1x <≤：412x <≤.；所以212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤且341x x =，则122x x +<-，故A 、C 错误，B 正确.故选：BD15．已知函数()224,0,21,0,xx x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩若关于x 的方程()()244230f a f x a x -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为（）A ．32-B ．43-C ．65-D ．76-【解析】令()f x m =，记2()4423g m m am a =-++的两个零点为12,m m ，则由()f x 的图象可知：方程()()244230f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根⇔12,y m y m ==与()f x 的图象共有5个交点121m ⇔-<≤-，且210m -<<（不妨设12m m <）.则()()()221019016700230Δ230g a g a g a a a ⎧-=+>⎪-=+≤⎪⎨=+>⎪⎪=-->⎩解得3726a -<≤-.故选：BCD16．已知函数()()2lg ,0,64,0,x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩若关于x 的方程2()()40f x mf x +-=有6个不同根，则整数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】作出函数f (x )的图象如图：关于x 的方程2()()40f x mf x +-=有6个不同根，令()t f x =，240t mt +-=，即方程240t mt +-=有2个不同的解，可能一个在(0,4]上，一个在(5,0)-上，也可能两个都在(4,)+∞上.令2()4g t t mt =+-，若()g t 在(0,4]上和(5,0)-上各有一个不同的零点，所以()()()500040g g g ⎧->⎪<⎨⎪≥⎩，解得2135m -≤<，所以整数m 的取值可以是-3，-2，-1，0，1，2，3，4.若()g t 在(4,)+∞有两个不同的零点，所以()24216040m m g ⎧->⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，该不等式组无解，故选：ABC17．设函数()41,14,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈，则下列命题正确的是（）A ．当0k =时，{}0,4,6M =B ．当1k >时M =∅C ．若集合M 有三个元素，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则4412a b c d +++=【解析】A ：0k =时，{|()0M x f x ==或()2}f x =-，结合()f x 解析式：()0f x =时有0x =或4x =，()2f x =-时有6x =，所以{}0,4,6M =，正确；B ：1k >时，由2240k ∆=-<，知方程()()220f x f x k ++=无解，则M =∅，正确；由()f x解析式可得其函数图象如下图示：令()()22y fx f x k =++，开口向上且对称轴为()1f x =-，若{},,M a b c =，则440k ∆=->，即1k <，有以下情况：1、()f x m =(13)m ≤<，()f x n =(0)n <：此时，令2()2g x x x k =++，则()g x 在[1,3)x ∈上有一个零点，∴(1)(3)(15)(3)0(3)01g g k k g k =++≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩，可得153k -<≤-，2、()0f x =，()2f x =-，由A 知：0k =.综上：(15,3]{0}k ∈--⋃，故C 错误；若{},,,M a b c d =，由函数y 的性质及()f x 图象知：必有()f x m =(01)m <<，()f x n =(23)n -<<-.此时，()4141a b-=--，()()()442f c f d c d +=-++-+=-，所以442a b +=，10c d +=，所以4412a b c d +++=，故D 正确.故选：ABD18．若()11f x x =--，则关于x 的方程()()()20f x af x +=的实数解的个数可能为（）A ．2B ．3C ．5D ．6【解析】由已知(),0,01112,122,2x x x x f x x x x x x -≤⎧⎪<≤⎪=--=⎨-<≤⎪⎪->⎩，作出函数图象如图所示，又()()()20f x af x +=，所以()0f x =或()f x a =-，因为()0f x =，有2个实数解，当0a -<，即0a >时，()f x a =-无解，()()()20f x af x +=共有2个实数解；当0a -=，即0a =，()()20f x =，共有2个实数解；当01a <-<，即10a -<<时，()f x a =-有4个实数解，()()()20f x af x +=共有6个实数解；当1a -=，即1a =-时，()f x a =-有3个实数解，()()()20f x af x +=共有5个实数解；当1a ->，即1a <-时，()f x a =-有2个实数解，()()()20f x af x +=共有4个实数解；故选：ACD.三、填空题19．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是_______．【解析】原方程可化为[()][()(1)]0f x m f x m --+=，解得1()f x m =，2()1f x m =+，因为713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5112,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，()[]1,2f x ∈-，()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象如图所示：因为方程()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有两个不同的实数根，所以当1m <-时，则110m -<+≤，解得21m -<<-；当1m =-时，10m +=，此时方程有三个不同的实数根，不成立；当10m -<≤时，则12m +>，此时无解；当02m <≤时，则012m <+≤，解得01m <≤；当2m >时，此时方程无实数根，不成立；综上：21m -<<-或01m <≤20．已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.【解析】令()g x t =，则方程转化为()f t λ=，画出()y f x =的图象，如图可知()f t λ=可能有1,2,3个不同解，二次函数()g x t =可能有0,1,2个不同解，因为(())f g x λ=恰好有6个不同的实数根，所以()g x t =有2个不同的实数根，()f t λ=有3个不同的实数根，则01λ<<，因为|1|0,t t λ+=<，解得121,1t t λλ=-+=--，()lg 0t t λ=>，解得310t λ=，所以22221x x λλ-+-=-+，22221x x λλ-+-=--，222210x x λλ-+-=每个方程有且仅有两个不相等的实数解，所以由22221x x λλ-+-=-+，可得2210x x λ-+-=，即144(1)0λ∆=-->，解得02λ<<；由22221x x λλ-+-=--，可得22310x x λ-+-=，即244(31)0λ∆=-->，解得203λ<<；由222210x x λλ-+-=，可得2222100x x λλ-+--=，即()34422100λλ∆=--->，而10320λλ+->在20,3λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，综上，实数λ的取值范围为203λ<<.21．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是_________.【解析】22[()](21)()0f x m f x m m -+++=等价于[()(1)][()]0f x m f x m -+-=，解得()1f x m =+或()f x m =，因为713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5112,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()[1,2]f x ∈-，如图，绘出函数()f x 的图象，方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=有三个不同的实数根等价于()1f x m =+有一个实数解且()f x m =有两个不同的实数解或()1f x m =+有两个不同的实数解且()f x m =有一个实数解，①当1m <-或2m >时，()f x m =无解，不符合题意；②当1m =-时，则10m +=，()f x m =有一个实数解，()1f x m =+有两个不同的实数解，符合题意；③当10m -<≤时，则012m <+≤，()f x m =有两个不同的实数解，()1f x m =+有一个实数解，符合题意；④当02m <≤时，则113m <+≤，()f x m =有一个实数解，()1f x m =+至多有一个实数解，不符合题意，综上，m 的取值范围为[1,0]-.22．已知函数()22ln ,04,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数2[()](21)()2=-++-y a f x a f x a （其中0a >）有6个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________．【解析】画出函数()22ln ,04,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩的图像，如下图所示：设()f x t =，则当0t <时，方程()f x t =有一个根，当02t ≤<时，方程()f x t =有两个根，当2t =时，方程()f x t =有三个根，当24t <<时，方程()f x t =有四个根，当4t =时，方程()f x t =有三个根，当4t >时，方程()f x t =有两个根，所以，若2t =和4t =为方程2(21)20at a t a -++-=的两根时，原函数有6个不同的零点，则得到方程组222(21)2204(21)420a a a a a a ⎧⨯-+⨯+-=⎨⨯-+⨯+-=⎩，方程组无解；若02t ≤<，24t <<为方程2(21)20at a t a -++-=的两根时，原函数有6个不同的零点，得不等式组22200(21)0202(21)2204(21)420a a a a a a a a a a >⎧⎪⨯-+⨯+-≥⎪⎨⨯-+⨯+-<⎪⎪⨯-+⨯+->⎩，解得24a ≤<.故答案为：[)2,4.四、解答题23．已知函数212log (1)0()log (1)0x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数x 、x ，且120x x +>，求证：()()120f x f x +>；（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 的取值范围．【解析】（1）2(0)log (10)0f =+=．当0x >时，0x -<，有122()log [1()]log (1)()f x x x f x -=--=-+=-，即()()f x f x -=-．当0x <时，0x ->，有212()log [1()]log (1)()f x x x f x -=+-=--=-，即()()f x f x -=-．综上，函数()y f x =在R 上是奇函数．（2）因为函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，函数1u x =+在R 上也是增函数，故函数2log (1)=+y x 在[0,)+∞上是增函数．由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数．由奇函数的单调性知，函数12log (1)y x =-在(,0)-∞上也是增函数，从而函数()y f x =在R 上是增函数．由120x x +>，得12x x >-，所以()()()122f x f x f x >-=-，即()()120f x f x +>．（3）由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=．令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>．原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2304t at a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有两个不相等的正根，即23401,343001,343344a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫⎧∆=--> ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪>⇔>⇔<<>⎨⎨⎪⎪⎪⎪->>⎩⎪⎩或因此，实数a 的取值范围为3,1(3,)4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．24．已知向量()2,2m a a b =+ （其中0a >），()()πsin 2,16n x =+- ，函数()f x m n =⋅ ，当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，函数f （x）的值域为1⎡⎤-⎣⎦.(1)求实数a ，b 的值；(2)设函数()()g x f x λ=-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数λ的取值范围；(3)若对R x ∀∈，都有()()()2840f x k f x k +--≤恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)()2sin 226f x m n a x a b π⎛⎫=⋅=+-- ⎪⎝⎭ ，当π3π[,]44x ∈时，π2π5π2[,633x +∈，πsin(2[]62x +∈-，因为0a >，所以()[42)]f x a b a b ∈---，依题意可得)4321a b a b --=-⎧⎪⎨--⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩.(2)由（1）知，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π[0,2x ∈时，函数()f x 的图象如图：因为函数()()g x f x λ=-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，所以()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与y λ=有两个交点，由图可知，01λ≤<.(3)因为π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[3,1]∈-，所以对任意的[3,1]t ∈-，都有()2840t k t k +--≤恒成立，设2()(8)4h t t k t k =+--，则()()3010h h ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩,即93(8)401840k k k k ---≤⎧⎨+--≤⎩，解得95k ≥.25．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，求a 的取值范围．【解析】(1)因为图象相邻两对称轴之间的距离是2π，所以函数的最小正周期2T ππω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，因为()ππsin 2φsin 2φ63g x x x 轾骣骣犏琪琪=-+=-+琪琪犏桫桫臌为奇函数，所以3πφkπ-+=，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)因为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]0,1f x ∈，当2332x πππ≤+≤时，解得012x π≤≤，223x πππ≤+≤时，解得123x ππ≤≤，即()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()0sin 3f π==sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如下所示：因为关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，令()t f x =，即20t t a --=，[]0,1t ∈，若21t =为方程20t t a --=的根，此时0a =，则10t =，不符合题意；依题意方程20t t a --=在[]0,1有两不相等实数根1t 、2t ，不妨令12t t <，且2t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，1t ⎡⎫∈⎢⎣⎭；若22t =为方程20t t a --=的根，此时342a =-，则112t =-，此时符合题意；若22t ≠时，令()2g t t t a =--则()()001002Δ0g g g ⎧>⎪>⎪⎪⎛⎨< ⎪ ⎝⎭⎪⎪>⎩，即003042Δ140a a a a ->⎧⎪->⎪⎪⎨--<⎪⎪=+>⎪⎩，解得304a <<，综上可得304a ≤<。

【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题专题突破(含答案)

【高中数学专项突破】专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0,2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0,2]∪[3，＋∞）2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋14.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－15.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0,1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0,1）8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3,1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.410.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0,1]D.（－∞，1]12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.专题13 分段函数问题题组4 分段函数1.函数f（x）＝的值域是（）A.RB.（0，2）∪（2，＋∞）C.（0，＋∞）D.[0，2]∪[3，＋∞）【答案】D【解析】画出函数f（x）的图象如图所示，由图可知f（x）的值域为[0，2]∪[3，＋∞）.2.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝则f（x）的值域是（）A.[0，＋∞）B.[－，＋∞）C.[－，0]∪（1，＋∞）D.[－，0]∪（2，＋∞）【答案】D【解析】由题意，可知f（x）＝因此问题就等价于求二次函数在给定区间上的取值范围，∴若x∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），则f（x）∈（2，＋∞），若x∈[－1，2]，则f（x）∈[－，0]，∴f（x）的值域为[－，0]∪（2，＋∞）.3.已知f（x）＝则f（f（f（－2）））等于（）A.πB.0C.2D.π＋1【答案】D【解析】f（－2）＝0，f（0）＝π，f（π）＝π＋1.4.设f（x）＝则f（f（0））等于（）A.1B.0C.2D.－1【答案】C【解析】5.设函数f（x）＝若f＝4，则b等于（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵<1，∴f＝3×－b＝－b.若－b<1，即b>，则f＝3－b＝－4b<－≠4.若－b≥1，即b≤，则f＝2＝5－2b＝4，b＝.故选D.6.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（）A.x＝60tB.x＝60t＋50C.x＝D.x＝【答案】D【解析】由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.7.已知函数f（x）＝则f（x）－f（－x）>－1的解集为（）A.（－∞，－1）∪（1，＋∞）B.[－1，－）∪（0，1]C.（－∞，0）∪（1，＋∞）D.[－1，－]∪（0，1）【答案】B【解析】①当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f（x）＝－x－1，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x－2>－1，解得x<－，则－1≤x<－.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时f（x）＝－x＋1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1，∴f（x）－f（－x）>－1化为－2x＋2>－1，解得x<，则0<x≤1.故所求不等式的解集为[－1，－）∪（0，1].8.已知符号函数sgn x＝则不等式（x＋1）sgn x>2的解集是（）A.（－3，1）B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）【答案】B【解析】原不等式可化为或或（不成立，舍去），解得x>1或x<－3. 9.设函数f（x）＝若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2可得⇒当x≤0时，f（x）＝x⇔x2＋3x＋2＝0⇔x1＝－1，x2＝－2，有两个解，当x>0时，f（x）＝x显然有一个解x＝2，故选C.10.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为（）A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米【答案】A【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13（立方米）.11.已知g（x）＝ax＋a，f（x）＝对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使g（x1）＝f（x2）成立，则a的取值范围是（）A.[－1，＋∞）B.[－，1]C.（0，1]D.（－∞，1]【答案】B【解析】由题意知函数g（x）在区间[－2，2]上的值域是函数f（x）在区间[－2，2]上的值域的子集；因为当x∈[0，2]时，－1≤x2－1≤3，当x∈[－2，0）时，－4≤－x2<0，所以函数f（x）的值域是[－1，3]∪[－4，0）＝[－4，3]，所以解得－≤a≤1.12.定义在R上的函数f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且x≥1时，f（x）＝＋1，则f（x）的解析式为________.【答案】f（x）＝【解析】设x<1，则2－x>1，且f（x）＝f＝f（1－（x－1））＝f（2－x）＝＋1.∴f（x）＝13.已知函数f（x）＝（1）求f（f（f（5）））的值；（2）画出函数f（x）的图象.【答案】（1）因为5>4，所以f（5）＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f（f（5））＝f（－3）＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f（f（f（5）））＝f（1）＝12－2×1＝－1.（2）f（x）的图象如下：14.已知函数f（x）＝（1）求f，f，f（4.5），f；（2）若f（a）＝6，求a的值.【答案】（1）∵－∈（－∞，－1），∴f＝－2×＝3.∵∈[－1，1]，∴f＝2.又2∈（1，＋∞），∴f＝f（2）＝2×2＝4.∵4.5∈（1，＋∞），∴f（4.5）＝2×4.5＝9.（2）经观察可知a∉[－1，1]，否则f（a）＝2.若a∈（－∞，－1），令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈（1，＋∞），令2a＝6，得a＝3，符合题意.∴a的值为－3或3.15.已知实数a≠0，函数f（x）＝（1）若a＝－3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1－a）＝f（1＋a），求a的值.【答案】（1）若a＝－3，则f（x）＝所以f（10）＝－4，f（f（10））＝f（－4）＝－11.（2）当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，解得a＝－，不符合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－，符合.综上可知，a＝－.16.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示.则：（1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式.【答案】（1）由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点（100，40），得解析式为y ＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20元.（2）当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60. 则有解得所以解析式为y＝x＋20，故所求函数关系式为y＝17.已知f（x）＝（1）画出f（x）的图象；（2）若f（x）＝，求x的值；（3）若f（x）≥，求x的取值范围.【答案】（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示.（2）f（x）＝等价于①或②解①得x＝±，②解集为∅.∴当f（x）＝时，x＝±.（3）由于f＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是∪.18.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P＝商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q＝－t＋40（1≤t≤30，t∈N）.求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天.【答案】设日销售金额为y元，则y＝P·Q，所以y＝即y＝当1≤t≤24，t∈N时，t＝10，y max＝900；当25≤t≤30，t∈N时，t＝25，y max＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大.19.某工厂生产一批产品，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，产品的市场售价与上市时间的关系用如图（1）所示的一条折线表示；生产成本与上市时间的关系用如图（2）所示的抛物线表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图（2）表示的生产成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）认定市场售价减去生产成本为纯利益，则何时上市产品的纯收益最大？（注：市场售价和生产成本的单位：元/件，时间单位：天）【答案】（1）由图（1）可得f（t）＝g（t）＝（t－150）2＋100（0≤t≤300）.（2）设从2月1日起的第t天的纯收益为h（t），则h（t）＝f（t）－g（t）＝＝故h（x）在区间[0，200]上的最大值为h（50）＝100，在区间（200，300]上的最大值为h（300）＝87.5，由100>87.5可知，h（t）在[0，300]上的最大值为h（50）＝100，这时t＝50，即从2月1日起的第50天上市，产品的纯收益最大.20.已知函数f（x）＝（1）试比较f（f（－3））与f（f（3））的大小；（2）画出函数的图象；（3）若f（x）＝1，求x的值.【答案】（1）∵－3<1，∴f（－3）＝－2×（－3）＋1＝7，∵7>1，∴f（f（－3））＝f（7）＝72－2×7＝35，∵3>1，∴f（3）＝32－2×3＝3，∴f（f（3））＝3，∴f（f（－3））>f（f（3））.（2）函数图象如图所示：（3）由f（x）＝1的函数图象综合判断可知，当x∈（－∞，1）时，得f（x）＝－2x＋1＝1，解得x＝0；当x∈[1，＋∞）时，得f（x）＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－（舍去）.综上可知x的值为0或1＋.。

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数学集合专题突破
一集合与函数知识
集合定义特征一组对象的全体形成一个集合确定性、互异性、无序性表示法分类列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集数集关系自然数集N、正整数集、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ 元素和集合的关系是如集合与集合之间的关系是运算性质
A. {x | x=1}
B. {x | x-1=0}
C. {x =1}
D. {1}
6 ．用下列符号“”填空
① {a,e}_______{a,b,c,d,e}；② ；③ ；
④ {菱形}____{平行四边形}；⑤。
7 ．设集合A＝｛1，a，b｝，B＝｛a，a2，ab｝，且A＝B，则实数a＝
_____________，b＝_____________.
似值的全体。其中能构成集合的组数有（）
A. 2组 B. 3组 C.
4
组 D. 5组
2 下列关系式表达正确的个数是（）
①０∈Ф；②Ф∈｛Ф｝；③０∈｛０｝；④Ф｛a｝。
A. １
B. ２
C. ３
D. ４
3 ．在以下五个写法中：① {0}{0,1,2}； ② φ{0}； ③ {0,1,2}
8．某班50名同学中，参加数学课外兴趣小组的有26人，参加物理课外兴
趣小组的有20人，两者都参加的有８人，则参加数学或物理兴趣小组
的同学至少有_____________人.
9 . 不等式的解集为________________.
10 ．计算：_____________.
11 集合U、M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ4.
③ 对于任意集合，则；；
④ 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非
空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
例：已知其中若，求之值。
例：用列举法表示集合
7 应用函数的思想例：设当时，求的取值范围。
8 巧用数轴直观解题例：已知集合若求的取值范围
9 等价转化例：若集合且求实数满足的条件。
三集合经典习题
1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近
（）
A MU（N∩P） D M∩CU（N∪P）
12 ．定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（）
A．0
B．2
C．3
D．6
13 定义集合A、B的一种运算：
，若
，
，则
中的所有元素数字之和为（
A．9
B. 14
C.18
）. D.21
14 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都
2已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。
3 设，集合，，且A=B，求实数x，y 的值 4 设,其中,如果，求实数的取值范围．
5已知奇函数
是定义在
上的减函数，若
，求实数
的取值范围． 6若是奇函数，且在
内是增函数，又
，求
的解集． 7设，，.
①=，求a的值；② ，且=，求a的值 8设集合
，若
，求实数
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
补集＝{x|xA且x∈U}，U为全集 AA； φA；若AB，BC，则AC； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ； A∪CA＝I；C( CA)＝A
方法
韦恩示意图
数轴分析
注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
{1,2,0}； ④ 0φ；⑤ 0∩φ=φ，写法正确的个数有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
4 ．已知集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，集合A∩B中共有
4个元素，则集合A∪B中共有（）个元素
A.14
B.16
C.18
D. 不确定
5 下列集合中不同于另外三个集合的是（）
取值范围． 9已知集合
，
，若
，求实数的取值范围.
有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集
Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数
域；③若有理数集QM,则数集M必为数域；④数域必为无限集。其中正
确的命题的序号是
（把你认为正确的命题的序号都
填上）.
四集合综合题 1 已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m219=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二集合解题方法 1 取特殊值应用列举法已知则（）。 2 取特例应用特殊化法例：设均为非空集合，且满足则下列各式中错误的是（）。 3 应用有限集合子集个数公式对于有限集合中共有个元素，常有下面四个结论：的子集个数有个；的非空子集个数有个；的真子集个数有个；的非空真子集个数有个。适当应用上述四个结论，可以很容易的解有关问题。例：已知为常实数，那么集合的子集的个数是 4 分类逐一验证法例：集合若则实数的值为 5 分类讨论例：已知。（1）若A 中只有一个元素，求的值，并求出这个元素。（2）若A 中至少有一个元素，求的取值范围。 6 应用方程的思想利用集合关系，建立一些方程关系式，通过解方程或应用方程有关性质结合集合中元素的互异性等解决某些问题，是一种重要的思想方法。