仿射变换在初等几何解题中的应用

仿射变换在初等几何解题中的应用…………摘 要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用.关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何Abstract: Affine transformation, namely parallel projection, is an important transformation in geometry. It is the bridge from the motion converting to the projective transformation. This article will start with the concept of affine transform, to understand the geometry of affine geometry research by affine transformation invariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship, and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry.Key words ：affine transformation ；affine invariance ；elementary geometry1 仿射变换的基本概念及相关性质1.1 仿射变换的概念定义1.1[1] 设同一平面内有n 条直线1a ，2a ，3a ，…n a ， 1T ，2T ，3T ，…1-n T 顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1-n a 到n a 的透视仿射，经过这一串平行射影，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，称为1a 到n a 的仿射或仿射变换如图1-1.T =1-n T 122T T T n ⋅⋅⋅⋅- ，T 称为1T ，2T ，3T ，… 1-n T 按这个顺序的乘积.)(A T = 1-n T 122T T T n ⋅⋅⋅⋅- )(A = 1-n T )(22A T T n '⋅⋅⋅- =…=n A ，)(B T =n B 等图1-1定义1.2 设A ，B ，C 为共线三点，这三点的简比()ABC 定义为下述有向线段的比：()BCAC ABC = 其中AC ，BC 是有向线段AC ，BC 的代数长，A ，B 叫基点，C 叫分点.当C 在A ，B 之间时，()ABC <0；当C 不在A ，B 之间时，()ABC >0；当C 与A 重合时，()ABC =0；当C 与B 重合时，()ABC 不存在.1.2 仿射变换的性质（1）仿射变换保持同素性：即仿射变换将点变成点，直线变成直线；（2）仿射变换保持结合性：即仿射变换保持点与直线的结合关系；（3）仿射变换将向量变成向量，且保持向量的线性关系v u λ=.定理1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.推论1 两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线.推论2 共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线.定理2 两条平行线段之比是仿射不变量. 1a 2a 3a na A 'B 'C 'A B C D 'n A n B n C n D A ''B ''C ''D ''D推论一直线上两线段之比是仿射不变量.定理3两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量.2仿射变换与初等几何的相关联系从总体上看,高等几何对初等几何具有多方面的指导意义.在此,笔者择要阐述两种,以此说明高等几何对初等几何普遍指导意义[2].一是学习高等几何能深化对初等几何的认识和理解.几何学是一种研究在相应的变换群下图形保持不变的质和量的科学,射影群、仿射群、正交群所对应的是射影几何、仿射几何、欧氏几何,根据普遍性包含于特殊性的原理可知,射影几何包含于仿射几何包含于欧氏几何,这其中,射影几何内容最少,欧氏几何内容最丰富.不同的几何课程在内容上的侧重点不同,解析几何主要研究图形的性质,将空间几何结构代数化是其本质特征;欧氏几何主要研究整个空间的几何结构,它利用图形的直观形象启发人类的想象思维,从而促使人们不断探索发现图形间的关系与性质；高等几何尤其是其中的射影几何则包含、融合了上述两者的内容.也就是说,学习高等几何能使我们站得更高一些,看得更远一些,能进一步认清几种几何学间的关系,进一步开阔几何学的视野,从而更好地理解和把握初等几何的本质和精髓.二是学习高等几何能有效扩充初等几何的研究方法.从实用主义的角度看,数学与应用数学专业的学生或中学数学教师学好高等几何,一方面可扩展几何学的认知范畴,在更高的水准上搞好教学工作,另一方面可用高等几何的理念和观点来指导和反思初等几何的教学内容与研究方法,从而不断改进初等几何的教学方式,优化其研究手段和教学模式,切实提高中学几何的教学质量.3仿射变换在初等几何解题中的应用根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为等腰梯形或直角梯形.因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题，如果能证明它在特殊图形中成立，则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立.利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用.3.1 平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类.因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质.解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量.例3.1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F .求证：1=++CFPF BE PE AD PD .B C图 3-1 证明 如图3-1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影.P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得 ：DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=，所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例3.2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真.（梅涅劳斯定理 ）[3]分析 如图3-2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBAN MA CM LC BL 。

其逆命题亦成立. N B A L'(L)A'C B A M MNA'L C（1） （2）图 3-2证明 （1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便.如图3-2 (1)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立. （2）证明逆命题成立，即： 当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线.设直线MN 交BC 于L '，如图3-2 (2) ,由已知条件知，1''-=⋅⋅NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线.3.2 三角形的仿射等价性任一三角形可以经过平行投影变成正三角形.因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立.而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多.例3.3 在ABC ∆的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC .D 'C 'D B B'图 3-3证明 如图3-3，作仿射变换T ，使得ABC ∆对应正C B A '''∆，由仿射性质可知，点D 、P 、E 、F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''∆的中线。

在正C B A '''∆中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''，由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ∆中EF ∥BC .3.3 四边形仿射性质的应用3.3.1 证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可.例3.4 平行四边形ABCD 的一组邻边上有点E ，F 两个点，且EF ∥AC .求证：AED ∆和CDF ∆面积相等[4].CBF 'A'B'A DEF E'图 3-4证明 作仿射变换，使平行四边形ABCD 对应正方形CD B A ''，则有E 对应E '，F 对应F '，如图3-4，在正方形CD B A ''中，由F E ''∥C A '，故C A F E C B F B B A E B '''='''=''''， 因为C B B A '=''，所以F B E B ''=''，故F C E A '=''，因⎪⎩⎪⎨⎧'=''='∠='∠'=''C B B A B DC B A D F C E A 90'，所以F CD D E A '∆≅''∆，又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有1=='∆'''∆∆∆F CD D E A CDF AED S S S S ， 所以CDF AED S S ∆∆=. 例3.5 已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 在AD 上，DF AF 21=，EF 交AC 于G ，求证：AC AG 51=.E'A''B'图 3-5证明 如图3-5，作仿射变换f ，使得，平行四边形ABCD 对应正方形D C B A ''''，则由仿射性质可知，点E 、F 、G 分别对应E '、F '、G '，且E '是D A ''的中点，F D F A ''=''21. 在正方形D C B A ''''中，取D C ''的中点P '，过B '、D '、P '作F E ''的平行线，分别交C A ''于点H '、M '、N '.由平面几何知识易证，C A G A ''=''51，由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形ABCD 中，AC AG 51=.3.3.2 证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可.例3.6 在梯形ABCD 中，BC AD //，E ，F 分别为上、下底边的中点.AC 、BC 交于G ，BA 、CD 交于M ，证明：F G E 、、、M 共线[5]. 分析 此题为点共线的问题，考虑梯形的上底和下底平行，考虑是否能由特殊的等腰梯形来转化，进一步考虑是否能在一个等腰三角形中截取？证明 任作一个等腰三角形C B M '''，因为任意两个三角形是仿射等价的，所以一定存在唯一的一个仿射变换T ，使T(△C B M ''')=△MBC ，其中M '→M ，B '→B ，C '→C ，在B M ''上取一点A '，使(A B M ''')=(MBA ).过A '作D A ''//C B ''与C M ''交于D '.M B A C D G EF M`B`A`C`D`G`E`F`图 3-6连D B ''、C A ''，F M ''容易证明，在等腰梯形中，两底中点，两对角线交点，两腰交点，这四点共线，即F G E M '''',,,共线.根据以上作法，仿射变换保同素性和结合性。