矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
矩阵的初等变换及其应用
在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。
在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。
作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。
关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的广义初等变换及应用
设 A, B, C , D ∈ M n ( F ) ,证明
A B C D B A D C C D A B D C B A
M =
=
1 8 2 0 −2 14 2 − 2 11 = 1 ⋅ 14 − 20 11 8 − ⋅ [0 − 20 2 2] −2 = 14 −5 = 118 − 24
−
1 B, 2
A 0
0 A B → B 0 B
→
A 0
A + B B
万方数据
芜湖职业技术学院学报 2005 年第 7 卷第 2 期
57
A 0 A A + B ∴ r ≥ r(A+B) 0 B =r 0 B
对此分块矩阵
则
A B C D
实施一次广义初等变换后得到的矩阵称为广义初等 矩阵 广义初等矩阵有下面三种形式 1
0 E n Em 0
B A 广义初等变换 → −1 0 D − CA B
由行列式的性质知在此变换过程中矩阵 M 作成的行 列式的值不变,即
→
−E E
− ( A − B) ( A − B) 1 1 [( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ] [( A + B ) −1 + ( A − B ) −1 ] 2 2
−1 −1
r(A)+r(B) ≤ n 证明 构造分块矩阵
E B E 0 E → → → B E A − AB 0 0 0 0 0
B −1 = 1 B B = 1 A − B −1 4 B − B 4
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。
它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。
矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。
本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。
讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
第三章 矩阵的初等变换
第三章 矩阵的初等变换矩阵是数学中一个重要的概念，它在科学和工程应用中有着广泛的用途。
矩阵的初等变换是矩阵学中的一项基本操作，对矩阵进行初等变换可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及矩阵的特征值与特征向量等问题。
本章将从初等变换的定义、性质、分类以及应用方面进行阐述。
一、初等变换的定义及性质1. 初等变换的定义初等变换是矩阵学中对矩阵的一种基本操作，它包括三种类型的变换：（1）交换矩阵的任意两行或两列；（2）用非零常数乘矩阵的任意一行或一列；（3）把矩阵的任意一行或一列加上另一行或一列的某个倍数。
这三种变换分别称为行变换、列变换和倍加行变换 （或倍加列变换）。
通过对矩阵进行这三种变换，可以使得矩阵的某些特性变得更加清晰，可以方便地进行矩阵运算、矩阵求解等操作。
2. 初等变换的性质（1）初等变换不改变矩阵的秩。
（2）初等变换不改变矩阵的行列式的值。
（3）若矩阵A经过一次初等变换得到矩阵B，则存在一个可逆矩阵P，使得P·A=B。
（4）由矩阵A经过若干次初等变换得到的矩阵B和矩阵A之间可通过一系列的初等矩阵相乘得到，即B=E1·E2·...·En·A，其中Ei为第i种初等矩阵。
二、初等变换的分类根据初等变换的不同类型，我们可以把初等变换分为三类：行初等变换、列初等变换和整体初等变换。
1. 行初等变换行初等变换是对矩阵的一行进行变换，包括以下三种类型：（1）交换矩阵的两行；（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行；（3）把矩阵的某一行加上另一行的某个倍数。
对于一个n阶矩阵A，我们可以用行向量$(a_{1i} ,a_{2i} ,...,a_{ni})^{T}$表示A的第i行，例如A的第1行可以表示为$(a_{11} ,a_{12} ,...,a_{1n})^{T}$。
那么通过上述变换，我们可以得到新的矩阵A'，它的第i行表示为：（1）若把矩阵第i行和第j行交换，则$A'_{i}=A_{j}$，$A'_{j}=A_{i}$，其余行不变；（2）若用非零常数k乘以矩阵的第i行，则$A'_{i}=kA_{i}$，其余行不变；（3）若把矩阵的第j行的k倍加到第i行上，则$A'_{i}=A_{i}+kA_{j}$，其余行不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三类 变换 并 不会 改 变 方 程组 的解 ， 们 称 这 三 种 我
Ａ。（ ） 兰 一
例 １ 将矩阵 Ａ 一
方 程 的运 算 为方 程 组 的初 等变 换 ． 这 三类 初 等 把
变换 转移 到 矩 阵上 ， 就是矩 阵的初 等变 换 。 定 义 １ 对 矩 阵进 行 下 列 三种 变 换 ， 为 矩 称 阵 的初 等行 变 换 ： 对 换 矩 阵 两 行 的 位 置 ； 用 ① ②
根 性 ３ Ｌｓｔ 据 质 ． ｒ 一 ￣ ｉ］ ｎ
一
一 号
（） ４ｒ
０
￡
ｔ
ａｒ ａｎ ｃｔ Ｓ
所 以
（） ５ｒ ＝！ ｅｔ Ｊ －ｄ Ｓ￡
解：
—
ｃ 一ｒ ｎ）ｊ＝号 号 ａｔ Ｉ ｃ ｓ一 ａ 。
（） ， ￡ ５ 设 （）一 １ ｃｓ 一 ｏ
（）设 ， ￡ １ （）一 ｓ ｔ 则 Ｆ（）一 Ｌ 厂 ￡］ ｉ ３， ｎ ｓ ［ （）
１ ４ １ １ ４
因此可 利用 矩 阵的初 等变换 解线性 方程 组 。 例 ４ 解方 程组
ｆ １一 ｘ２一 ｘ３ ２，
４ 用初等 变换 法求 解矩阵 方程
． ｘ — ２ ３ ３— １ ｛ ｌ — ｘ ２ ，
【ｘ１ ２ ２ ５ ３ ＋ ｘ — ｘ３— ０ ．
设 矩阵 Ａ可 逆 ， 求解 矩阵方 程 Ａｘ — Ｂ等 则 价 于求 矩 阵 Ｘ ： Ｂ， 这此 可采 用类 似于初 等行 变 换 求逆矩 阵 的方 法 ， 构造 矩 阵 （ ； ） 对 其 施 Ａ Ｂ ，
Ｂ ＝ ＝
ｂ ２
，
●
则 利用 矩阵 的乘法 ， 线性 方程组 （ ） １ 表
：
ｂ
示 为矩 阵形 式 ： ｘ ＝ Ｂ Ａ
５ １ ４
１
由逆矩 阵 的运 算 性 质 可知 ， 矩 阵 方程 的解 此
为 Ｘ ＝ Ａ～Ｂ。
１ ４ ５ １ ４
１ ４ ３ １ ４
３
．— —
则 据 质１ （ 一 ［￡ ＝ 根 性 ， ５ Ｌ（ ＝ 有Ｆ） 厂） ＝ ］ ÷一
ｓ １
ｓ＋ ９ 。
可以看出 广义积分Ｉ ２ ： ３ ｔ 信 目且 Ｉ喜 、 ， 和 ｆ ＋ 。 ｔ 的值 即是 ｎ ｓ ｄ ｉ ｎ
，
ｓ ＋１ ｓｓ＋１ 。 。 十 （ 十 ）
２ １ ０２
１
１ １
２ ～ １ 的 １
例 ２ 求方 阵 Ａ 一
２
逆
１ — ２
一
…
。
矩阵。
Ａ Ｅ）一 解 （
１ ２ １ １
—
２ １ １ ２
１ ０ Ｏ １
０ ０
—
２ ｌ＋ ｒ ｒ ２ 一 ｎ ＋ ｒ ３
种 变 换 ： 交 换 方程 组 中某 两 个 方程 的 位 置 ； ① ② 用 一个 非 零 常数 ｋ乘 以某 一 个 方 程 ； 将 某 一 个 ③ 方 程 的 忌倍 （ 忌≠ Ｏ 加 到另 一个 方程 上 。 然 ， ） 显 这
定理 １ 任 意矩 阵 Ａ 一 （ 都 可通过 初 ｎ）
一
［ ｉ为 等 ］ 化
１
—
个 非 零 的数 ｋ遍 乘矩 阵 的某 一 行 元 素 ； 将 矩 ③
解 Ａ 一 Ｉ ｆ １ ２ ｌ ２ ０ ３ ４
阵某 一 行 的 志 数 加到 另一 行上 。 称 ① 为对 换 倍 并 变换 ， ② 为倍 乘 变换 ， ③ 为倍 加 变换 。 称 称 在 定义 中 ， 把 对 矩 阵 施 行 的 三 种 “ ”变 若 行 换 ， 为 “ ”变 换 ， 改 列 我们 就 能 得 到 对 矩 阵 的 三 种 列 变换 ， 将其 称 为矩 阵 的初等 列变 换． 并 矩阵 的初 等行 变 换 和初 等列 变换 统称 为初 等变 换 。 为 了方便 ， 入记 号 ： 引
的初 等行 变 换 将 （ Ｅ）化 为 （ ； ） Ｃ即 为 Ａ Ａｉ Ｅ Ｃ，
的逆 阵 Ａ～。
收 稿 日期 ： ０ １１ —５ ２ １—２０ ． 作 者 简介 ： 祥 云 （ ９ ９ ） 男 ， 陈 １ ６ 一 ， 广西 河 池 人 ， 师 ， 究 方 向 ： 学 教 学 法 讲 研 数
Ｏ
０ — ３ — １
１
０ 一 — 一５ 二 ０１ － 一 ２ 一； １卜 ３ ４ ９ ＇ ｆ Ｉ 一 一ｌ。一 ０ ３ 一 一 。１１ 一 １１ ｌ １ ｌ０２ １ ０ ３ — Ｉ 一１３ Ｉ ０
２ ０ ４ ６
，
Ｊ０
Ｆ（ ） 也 就 是 ： ２， ｅ２ ｉ ｔ￡ 两 －ｔ ｎ３ｄ 一 ３ ｓ
（ ）设 ， ｔ ２ （）一 ｔ 。
。。
再 根 据 性 质 ３ 得 Ｌ［ ，
］ 一
则 Ｆ㈤ 一 Ｌ［ （） ， ￡］一 一 ６
ｄ 丢 ｌ一 － ｓ ・ 号 一ｎ ｎ 令 ｓ＝ ３ 得 ， Ｊ 半‘ ｑ 丢 訾 ‘＝厶 ｄ ｌ ｎ
ｈ 一
［ ］ 费 定 晖 ． 等 数 学 （ 一 版 ） 北 京 ： 械 工 业 出 版 １ 高 第 ． 机
社 ，０ ０ ２０．
（ ）设 厂 ｆ ４ （）一 ｓ ，则 Ｆ（） 一 Ｌ［ （） ｉ ｔ ｎ ｓ 厂 ￡］
一
［ ］韩新社． ２ 高等数学． 国科学技术大学 出版社 ，０ ６ 中 ２０．
关 键 词 ： 等 变换 ；矩 阵 标 准 形 ；逆 矩 阵 ；线 性 方 程 组 初
中 图分 类 号 ： ４ ３ Ｇ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６ ３３ ２ １ ）２ ０ ７ － ０ １ ０ —７ ５ （ ０ ２ ０ — ０ １ ２
１ 矩 阵的初 等 变换 在 解 线 性 方 程 组 时 ， 常对 方 程 实 施 下 列 三 经
１ — ２ １ １
２
５
１
—
Ｏ Ｏ
］
Ｏ 一 １ — ５
２ １ ０
Ｏ 一 ３ — １ １ Ｏ １ １ ２ ５
—
１ ０ １ １
０
— —
３ ２－ ｎ ｒ ４ －
ｒ２十 ｒ１
２
—
１
第 ２ ５卷 第 ２期 ２１ ０ ２年 ３月
高等 函授学 报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥ ｕ ａｉ （ ｔ ｒ ｌ ｉ ｃ ｓ ｏ ｏ Ｓ ｅ
③ ｋ ＋ ２ 利 用初 等行 变 换把 矩 阵化为等 价 标准 形
ｌ １１ ｆ 一～ ： Ｊ １ ］ ｏ
１
。
２
３
。
。
３ 利用 初等行 变 换求逆 矩 阵 可 以证 明 ： 由方 阵 Ａ 作 矩 阵 （ ； ） 用 矩 阵 Ａ Ｅ ，
定 义 ２ 如果 矩 阵 Ａ经过 若干 次初 等 变换 后 变 为 Ｂ， 称 Ａ 与 Ｂ 是等 价 的 ， 则 记作 ： 兰 Ｂ Ａ 显然 ， 等价 是 同型矩 阵 间 的一 种关 系 ， 具有反
１ — １ — １ ０ １
２
—
— １ — ３
３
２
—
０
５
— ２ — ６
初等行 变换 （ ｉ Ｅ Ａ Ｂ）
（ 转 第 ７ 页） 下 ４
第 ２ ５卷第 ２期 ２１ ０ ２年 ３月
，＋ ∞ ’
高等 函授学报 （ 自然科 学版）
洁。
参 考 文 献
１ １ —１ ｌ ０
３
２
—
；
～
３
一
１ ２ ５
—
１
Ｏ
１
所 以 Ｘ ＝
—
２ １
３ ３
了ｎ
— １ ０ — ３ １ １ — １ ３
Ｏ
—
０
。 。
１ ４
—
５ 利用矩 阵的初 等变 换解 线性 方程 组 对 线性 方程组
５ ｓ 吨 ｒ＋
行 初 等 变换 表 示 为 ： ① — ｒ； ｒ（ ②ｋ 愚≠ Ｏ ； ） ③ ＋
２ｉ ］ ３堂
１
’— 。
【 —３ —６ ０
ｌ ２ Ｉ １ —２ —３ｌ ０ 。 ３ Ｊ
—
列初 等 变 换 表 示 为 ： ｉ ｆ； ①ｃ ② （ — 愚≠ Ｏ ； ）
ｓ ０＋ 】
当然 ， 线 性 方 程 组 的 方 法 很 多 ， 解 比如 消 元
一
［ １一 ３ ］ ］
一
＝＝
Ｉ ｆ ０ — ２ １
法、 克莱 姆法 则等方 法 ， 但如果 方 程组 中未知 数较 多时 ， 择矩 阵 的初 等 变 换 法来 解 则 解 法 将会 简 选
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉｈ ｒＣ０ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ２ １２ ．
２ １ ０ ２
（ ） ｔｏ ｔ ３ ｌ ｃ ｓ４ｄｔ
Ｖ０． ５Ｎｏ ２ １２ ．
２ ２ Ｏ１
・
高职 高专教 学 ・
矩 阵 的初 等 变 换 及 其 应 用
陈 祥 云
（ 西 现 代 职 业 技 术 学 院 ， 西 河 池 ５ ７０ ） 广 广 ４ ０ ０
摘 要 ： 文 主 要 探 讨 矩 阵初 等 变换 在 把 矩 阵 化 为 等 价 标 准 形 、 逆 矩 阵 、 解 矩 阵 方 程 、 本 求 求 解 线性方程组等 方面的应用。
ｓ ０ 只要 ｓ 足这个 条件 ， 应 的广义 积分就 都 ＞ ， 满 相 是存 在 的。