矩阵初等变换及应用
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
矩阵的初等变换及其应用
在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。
在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。
作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。
关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
分块矩阵的初等变换及其若干应用
4
Em O
O⎞ .对上述分块 En ⎟ ⎠
矩阵进行分块矩阵的初等行变换，将“ T ”的部分变为单位矩阵:
⎛A O ⎜C D ⎝
第1块行左乘A−1
Em O O
O ⎞ 第1块行左乘-CA−1加到第2块行 ⎛ A O Em ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ ⎟ −1 En ⎠ ⎝ O D −CA A−1
⎛E （1） 交换分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m
用此矩阵左乘 T ，有
3
⎛ 0t × m ⎜ ⎝ Em
Et ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ C D ⎞ ⎟ ⎟=⎜ ⎟, 0m×t ⎠ ⎜ ⎝C D⎠ ⎝ A B ⎠
这正是交换 T 的两块行得到的矩阵.
⎛E （2） 用 P 乘分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟ 的第一块行，得分块初等矩阵 Et ⎠ ⎛ P ⎜ ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟. Et ⎠
⎛ En1 ⎜O ⎜ ⎜O ⎜ ⎜O ⎝ O En2 O O O ⎞ O O ⎟ ⎟ % O ⎟ ⎟ O E ns ⎟ ⎠ O
1
的分块矩阵称为分块单位矩阵. 定义 分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换后得到分块矩阵就叫 做分块初等矩阵.因为分块矩阵的初等变换有三种形式，因此分块初等矩阵也相 应的有以下三种类型： （1）交换分块单位矩阵的第 i , j 块行（或块列）得到的分块矩阵.例如,
T 的左边乘上相应的 2×2 分块初等矩阵.同理可证对一个 2×2 分块矩阵
⎛A B⎞ T =⎜ ⎟ 作一分块矩阵的初等列变换就相当于在 T 的右边乘上相应的 2×2 分 ⎝C D⎠ 块初等矩阵. 2．分块矩阵初等变换的应用 ⎛ A O⎞ 例 求T = ⎜ ⎟ 的逆,其中 A 是 m 阶可逆矩阵, B 是 n 阶可逆矩阵. ⎝C D⎠
矩阵的广义初等变换及应用
设 A, B, C , D ∈ M n ( F ) ,证明
A B C D B A D C C D A B D C B A
M =
=
1 8 2 0 −2 14 2 − 2 11 = 1 ⋅ 14 − 20 11 8 − ⋅ [0 − 20 2 2] −2 = 14 −5 = 118 − 24
−
1 B, 2
A 0
0 A B → B 0 B
→
A 0
A + B B
万方数据
芜湖职业技术学院学报 2005 年第 7 卷第 2 期
57
A 0 A A + B ∴ r ≥ r(A+B) 0 B =r 0 B
对此分块矩阵
则
A B C D
实施一次广义初等变换后得到的矩阵称为广义初等 矩阵 广义初等矩阵有下面三种形式 1
0 E n Em 0
B A 广义初等变换 → −1 0 D − CA B
由行列式的性质知在此变换过程中矩阵 M 作成的行 列式的值不变,即
→
−E E
− ( A − B) ( A − B) 1 1 [( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ] [( A + B ) −1 + ( A − B ) −1 ] 2 2
−1 −1
r(A)+r(B) ≤ n 证明 构造分块矩阵
E B E 0 E → → → B E A − AB 0 0 0 0 0
B −1 = 1 B B = 1 A − B −1 4 B − B 4
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。
它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。
矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。
本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。
讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
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矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。
本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。
在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。
尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。
本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。
关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。
应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。
此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。
因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。
目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。
在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。
2 矩阵及其初等变换2.1 矩阵由n m ⨯个数)j ,,,2,1(==m i a ij（i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列的数表 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵。
2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换(1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ↔ )(j i c c ↔；(2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +；(3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。
定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
有以下3种形式(1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101111011),( j i P ；(2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111))(( c c i P ； (3)把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行，有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111))(, k k j i P （。
定义3 如果B 可以由A 经过一系列初等变换得到，矩阵A 与B 称为等价的。
2.3 矩阵初等变换的若干性质矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质（1）对矩阵A 施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。
（2）对矩阵A 施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。
（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。
（4）初等变换不改变矩阵的秩。
3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。
矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。
3.1 求多项式的最大公因式3.1.1 基本概念以][x P 表示数域P 上的一元多项式环。
定义1（最大公因式） 设)()(x g x f ，是][x P 中两个多项式，][x P 中多项式)(x d 称为)()(x g x f ，的一个最大公因式，如果它满足(1) )(x d 是)()(x g x f ，的公因式；(2) )()(x g x f ，的公因式全是)(x d 的因式。
定义2 以][x P 中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。
定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换(1) 交换多项式矩阵的某两行；(2) 用零次多项式(P 中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行；(3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。
且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。
所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。
3.1.2 主要结果在高等代数中，求数域P 上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。
由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。
同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。
考虑][x P 中的多项式)0()()0()(01110111≠++++=≠++++=----m m m m m n n n n n b b x b xb x b x g a a x a x a x a x f 其中i a j b ∈P (0,1,2,;0,1,2,)i n j m ==,引入如下记号 当m n =时,（)(x f ,)(x g ）↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡--011011b b b b a a a a n n n n；当m n >时，（)(x f ,)(x g ）↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-010111000b b b a a a a a a m m m n n。
由于多项式的最大公因式具有以下基本性质（1） （)(x f ,)(x g ）=（)(x g ,)(x f ）；（2） 若（)(x f ,)(x h ）=1，则（)(x f ,)(x g ）=（)(x f ,)()(x h x g ）；（3）（)(x f ,)(x g ）=（)()(x kg x f +,)(x g ）, P k ∈；因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实（1）交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；（2）二行矩阵某一行的k 倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。
上述事实意味着数域P 上多项式的最大公因式（)(x f ,)(x g ）可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。
具体实施步骤为（1）根据多项式的系数作出（)(x f ,)(x g ）对应的二行矩阵；（2）利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；（3）向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。
这表明（)(x f ,)(x g ）的次数在降低。
反复利用（1）、（2）、（3）直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。
3.1.3 计算举例例1 已知数域P 上的一元多项式7787)(346+-+-=x x x x x f ，7373)(235-+-=x x x x g求))(),((x g x f 。
解 构造二行矩阵A 并实施初等行变换⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-070370373140731400070370377087012131r r A−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−−−−−−−→−+12149070370300731407314r r 首项不为零将第一行元素轮换使其14147070033990707022⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将第二行元素轮换使其首项不为零1228271414777070000000332727999970700707002222r r +⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦212431477000002727997070022r r +⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将第一行元素轮换使其不为零770000027270700700⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−−→⎢⎥--⎣⎦将第二行元素轮换使其首项不为零1212777000000000000272770070007007000r r -⎡⎤--⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎣⎦700000001001000-⎡⎤−−−−−−→⎢⎥⎣⎦第二行除以（）第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为1)(3+=x x d 。
例2 求多项式3442)(234-+--=x x x x x f ，3452)(23+--=x x x x g ，6116)(23-+-=x x x x h 的最大公因式。
解 构造三行矩阵A 并进行初等行变换12r 12443109000254302543161160161160r A +----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦01090025430161160-⎡⎤⎢⎥−−−−−−−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦对第二行进行轮换，使其首项不为21312,1090010900051430514300062060620600r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦轮换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−++⨯⨯001031000054251400090100131010053514100901131221,61,51r r r r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯⨯0003-10006-2009-01003100062000901103,7532轮换r r1212039003900026000260001300013000r r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦轮换所以3))(),(),((-=x x h x g x f 。
3.2 求逆矩阵 解矩阵方程3.2.1 可逆矩阵定义若对n 级矩阵A 有n 级矩阵B 使E BA AB ==则称A 是可逆的，B 称为A 的可逆矩阵。
其中E 为n 级单位矩阵。
3.2.2 初等变换求逆的原理和步骤由于可逆矩阵A 可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由E A A =-1有⎩⎨⎧==EA P P EA P P S s 11因此有如下求逆步骤（1）构造n n 2⨯的矩阵[]E A ｜；（2）对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A 化为单位阵，则E 的位置变成A 的逆矩阵，即[]E A ｜→ []1-A E ｜需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。