信息光学线性系统分析
信息光学第03章
3.1.2
系统的概念
光学与通信的很多现象与问题都可抽象为使函数 f 通过一定的变换，形成函数 g 的运算
165
过程。这种实现函数变换的运算过程，称为系统。在这种意义下的系统，既可以是特定功能 的元器件组，如通信网络、光学透镜组等，也可以是与实际无关的物理现象。所以，广义地 说，系统是若干相互作用和相互依赖的事物组而成的具有特定功能的整体。一个具有特定功 能的完整系统可以分为三大部分：输入 系统 输出。输入是指施加于系统的作用，称为系 统的输入激励(excitation)。输出是要求系统完成的功能，称为系统的输出响应(response)。可 见，系统的特性决定对某一输入激励会产生什么样的输出响应。当研究一个系统的性质时， 不必过多地关心系统内部的结构，只需知道其输入端和输出端的性质就行了。 分析一个系统，首先要对系统建立数学模型，然后运用数学方法进行求解，最后又回到 系统，对结果做出物理解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性的抽象， 以数学表达式或具有物理特性的符号图形来表征系统特性。系统的分类比较复杂，从数学模 型的差异来看，可划分为：
(3.1.5)
对于线性空不变系统，其输入和输出的变换关系是不随空间位置而变化的。例如，成像系统 就是一个线性空间不变系统， 空间不变特性是理想成像系统必备的。 图 3.1.2 以一维函数为例， 说明了这一平移不变性。
图 3.1.2
LSI 系统对一维函数的平移不变效应
168
3.2
线性系统的分析方法
可以利用线性系统的叠加性质来方便地求出系统对任意复杂输入的响应。首先把一个复
g ( x2 , y2 ) ，两函数之间满足下列关系：
166
g ( x2 , y2 ) L{ f ( x1 , y1 )}
信息光学第二章——线性系统
五、级联系统
f1(x,y)
h1(x,y)
f2(x,y) g1(x,y)
h2(x,y)
g2(x,y)
g1 ( x, y) f 2 ( x, y) f1 ( x ( x, y) h2 ( x, y) f1 ( x, y) h1 ( x, y) h2 ( x, y) f1( x, y) h( x, y)
§2—2 线性不变系统
一、线性不变系统定义 当
ℒ f ( x, y) g ( x, y)
ℒ f ( x x0 , y y 0 ) g ( x x0 , y y 0 )
有
由于
ℒ ( x , y ) h x, y; ,
则对于线性不变系统有
f ( x, y)
f ( ,) ( x , y )dd
ℒ
输出函数
g ( x, y ) ℒ f ( x, y)
f ( ,)ℒ ( x , y )dd
f ( , ) ( x , y )dd
总系统的传递函数为
H ( f x , f y ) H1 ( f x , f y )H2 ( f x , f y )
G( f x , f y ) F ( f x , f y )H ( f x , f y )
把H(fx,fy)称为线性不变系统的传递函数。
三、线性不变系统的本征函数
设输入函数为
f ( x, y; f a , f b )
ℒ f ( x, y; f a , f b ) H ( f a , f b ) f ( x, y; f a , f b )
第二章
第二章 线性系统分析
f x1 , y1
f , x
1
, y1 dd
即：输入函数 f(x1, y1) 可以看成是无穷多个不同位 置 (, )的δ函数以 f(, ) 为权重的线性叠加。
由线性系统的叠加性和均匀性，可知，线性系统对 输入函数f(x1,y1) 的输出响应为：
证明：输入函数
f x, y exp j 2 ux vy
g x, y f x , y h x, y
f , hx , y dd
exp j 2 u v hx , y dd
2-2 线性平移不变系统
一、线性平移不变系统的定义： 平移不变性
S f x1 , y1 g x2 , y2
S f x1 x0 , y1 y0 g x2 Mx0 , y2 My0
则称该系统具有平移不变性。 所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生 平移，形式不变。对于空间函数来讲，也称之为空间平 移不变性。 线性平移不变系统: 既具有线性又具有平移不变性的 系统称为线性平移不变系统。
则称该系统是线性系统。 2）叠加性： 若 g1 x2 , y2 S f1 x1 , y1 g2 x2 , y2 S f 2 x1 , y1
S f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 S f1 x1 , y1 S f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2
hx2 , y2 ; , S x1 , y1
对于线性平移不变系统应该有：
信息光学导论第三章
线性系统概论◆引言在信息光学系统中光学装置被看成收集、传递或变换信息的系统。
一个光学系统的理想成像，就是将无空间的物体信息传递、变换物空间，在像面上形成不变的物体的像。
这样的理想光学系统显然是一线性系统。
虽然实际光学成像系统由于不可避免的存在相差，总会产生失真，是非线性的，但在把研究的问题看成线性的而不会引起明显误差，或只在某个小范围满足现行性质时，就可以将其当作现行未提来处理。
所以线性系统理论与傅立叶分析方法一样，是研究信息光学中成像系统和信息处理系统的重要理论基础。
本章主要介绍线性系统特别是空间不变线性系统的定义、特点和分析方法。
3.1线性系统的基本概念◆系统及其分类所谓系统，是指一组相互关联的事物构成的总体。
这样的系统可分为物理系统和非物理系统。
这里仅讨论物理系统。
如图所示一个物理系统，它是这样的装置，当对其作用一个激励时，他就产生一个响应。
从数学上着眼，很多现象都可抽象为使函数)(x f 通过一定的变换，形成)(x g 函数的运算过程．这种实现函数变换的运算过程称为系统．这种意义下的系统，既可以是特定功能的 元器件组合，例如电子线路、光学透镜组等，也可以是与实际元件无关的物理现象，如光学系统，通讯系统，管理系统和指挥系统等。
系统论的引入，使得我们在研究一个光学系统时，所关心的是系统对于给定的激励产生什么样的响应，而不去考虑系统内部的具体结构和具体工作原理。
线性系统理论是从总体上研究系统输入输出之间的对应关系和他们的共同特性。
◆线性系统的定义及其算符表示假设一个激励)(1x f 作用于某系统产生的响应为)(1x g ，而激励)(2x f 作用于某系统产生的响应为)(2x g ，用符号表示为)()(),()(2211x g x f x g x f →→如果系统满足可加性)()()()(2121x g x g x f x f +=+和奇次性（均匀性）)()(),()(22221111x g c x f c x g c x f c →→则这样的系统为线性系统。
信息光学习题答案及解析
信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。
1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。
于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。
当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。
线性系统分析
L {af1 ( x1 , y1 ) bf 2 ( x1 , y1 )} aL { f1 ( x1 , y1 )} bL { f 2 ( x1 , y1 )} ag1 ( x2 , y2 ) bg 2 ( x2 , y2 )
则称该系统为线性系统。
四、平移不变性
若一物函数在物平面上有一位移，其像函 数形式也不变，只在像平面上有一相应的 位移，则称为平移不变性。同时满足线性 性和平移不变性的系统称为平移不变线性 系统，或者空不变线性系统（Linear Space Invariant System）。 输 入
3.可分离变量性质
( x, y) ( x) ( y)
4.偶函数性质
x, y x, y x, y x, y
5.乘积性质(又称为采样性质 )
f ( x, y) ( x x0 , y y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
函数f(x1,y1)通过系统后的输出为：
g ( x2 , y2 ) L {
f ( , ) ( x , y
1
1
)dd}
这里的L {}作用的变量是x1,y1。根据线性 系统的叠加性质，算符L {}与对基元函数 积分的顺序可以交换
g ( x2 , y 2 )
( x) 1
例题：求 F {rect ( x)rect ( y)}
解：由矩形函数定义
1 1 x rect ( x) 2 0 其他
F {rect ( x)} exp( j 2x)dx
1 1 exp( j 2x) 2 1 j 2 2 1 2 1 2
1
信息光学chap1线性系统分析1
性质：
eax2 dx
－
a
0 eax2 dx 1
－
2a
ex2 dx
1
0
2
光学意义：光学上梳状函数表示点光源的阵列，或者 小孔阵列的透过率函数
1.3 二维傅里叶变换
1.3.1 傅里叶级数
一 即个函周 数期 在一函个数周f(t)期，内周有期有限＝个1 极，值满点足和狄第里一赫类利间条断件， 点，则f(t)可展开成三角函数
xa / 2
d
ax
a(1
x
)
a
a
a / 2
a
0 x a
rect( x )*rect( x )
a/2
d a x a(1
x )
a
a
xa / 2
a
合并写成
x
rect( x ) * rec,
x a 其它
＝a( x ) a
故 rect(x)*rect(x) (x)
对于一些理想化的函数，如余弦函数、阶跃函数、 常数、δ函数不存在经典意义下的傅里叶变换，但存在 广义的傅里叶变换。
3、极坐标系内的二维傅里叶变换
（1）定义式
设xy平面上的极坐标为r,θ；ξη平面上的极坐标为ρ,φ,有 以下关系
x r cos , y r sin cos, sin
F(,) f (x, y) exp{ j2 ( x y)}dxdy -
当f和g皆为实数时，
Rg f (x, y) Rfg (x, y)
2
（2） Rfg (x, y) Rff (0, 0)Rgg (0, 0)
根据该不等式可以认为，以x,y为自变量的互相关函数
Rfg (x, y) 描述了f(α-x,β-y)和g(α,β)两者之间的相关性。
现代光信息处理(2)
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
g( x , y )
f ( , )L{d ( x , y )} d d f ( , )h( x , y; , ) d d
叠加 积分
上式描述了线性系统输入和输出的变换关系
1) 线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征
即:只要知道系统对位于输入平面上所有可能点上的脉冲的响应,就可以通 过叠加积分完全确定系统的输出
2) 假若系统的输入函数f(x,y)和输出函数g(x,y)之间存在着 叠加积分所描述的关系,可认为这是一个线性系统
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
叠 加 积 分
g( x , y )
f ( x , y )
f ( , )
d ( x , y ) d d
叠加 积分
f ( , )h( x , y; , ) d d
h(x, y;α,β )表示系统输出平面(x,y)点对位于输入平面(α,β) 点的δ 函数激励的响应,称为系统的脉冲响应.
对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数 仅等于输入函数与一个复常数 的乘积，此输入函数就是 此系统的本征函数。 通过系统时不改变函 f ( x , y ) af ( x , y ) 数形式，仅被衰减或 放大，或产生相移。 例 输入函数：
f ( x, y ) exp[ j 2 ( x y )]
x U ( P, t ) A( P) cos[ (t ) 0 ] v
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n
g ( x) Gauss函数
Gauss函数最光滑？
9、卷积下的面积
一个卷积下的面积等于被卷函数的面积之积
g ( )d [
f ( )d ][ h( )d ]
10、二元函数的卷积
g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
1、矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
体积|bd|
2、三角形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 tri( , ) tri ( )tri ( ) b d b d
体积|bd|
f ( )h( x )d
h(x) 1
2
0
3
x
-1
3
x
卷积性质
1、交换性
f ( x ) * h( x ) h( x ) * f ( x )
2、线性性质
[av( x) bw( x)] * h( x) a[v( x) * h( x)] b[w( x) * h( x)]
3、平移不变性
1．矩形函数（Rectangle function）
定义:
rect (
x x0 1 0, b 2 x x0 x x0 1 rect( ) 1, b b 2 x x0 1 1 , b 2 x x0
b )
rect (
Area=|b|
x2 ) 3
2.坐标缩放性质
1 (ax, by) ( x, y) | ab |
3.可分离变量性 ( x, y) ( x) ( y) 4.与普通函数乘积的性质
f ( x, y) ( x x0 , y y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
若 则
f ( x) * h( x) f ( )h( x )d g ( x)
f ( x x0 ) * h( x) g ( x x0 ) f ( x) * h( x x0 ) g ( x x0 )
f ( x x1 ) * h( x x2 ) g ( x x1 x2 )
x0=y0 b=2d
体积|bd|
5、宽边帽函数
r som b( ) d 2J1 (
r
d r d
)
体积
d
4
2
圆形光瞳 相干脉冲响应
圆形光瞳 非相干脉冲响应
1.5 卷积 线性系统的输出＝输入与系统脉冲响应的卷积
定义
g ( x ) f ( x ) * h( x )
f(x)
f ( , )h( x , y )dd
与δ 函数的卷积
f ( x, y) ( x x0 ) f ( x x0 , )d
f ( x, y) ( y y0 ) f ( , y y0 )d
1.6 互相关与自相关
定义：f(x)与g(x)的互相关为 f(x) ★ g(x) f ( x) g ( )d 若 x f(x) ★ g(x)
f ( ) g ( x)d
互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度
一般地
f(x) ★ g(x) ≠ g(x) ★ f(x)
x x0 tri ( ) b
Area=|b| 1
x2 ) 1
Area=1
0
x0
2|b|
x
0
1
2
3
x
作用:表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数
4. 符号函数（Sign function） 定义：
x0 x 1, b b x x0 x0 x sgn( ) 0, b b b 1, x x0 b b
教学目的及要求
信息光学以傅里叶积分变换为数学基础，利用 光波频率高波长短的事实简化物理光学的电磁 模型，从系统的观点分析光学成像过程的信息 传递机制，利用光学方法进行信息处理、计算 和存储。通过本课程的学习，掌握信息光学的 基本理论、解决光信息处理的科学方法和了解 信息光学的应用领域；具体来说，要掌握线性 系统理论、标量衍射理论和光学成像系统理论， 初步掌握全息技术、光信息处理技术，了解数 字光计算、光学三维传感等前沿领域的技术原 理。
3、sinc函数
x x0 y y0 x x0 y y0 sin c( , ) sin c( ) sin c( ) b d b d
x0=y0 b=2d
体积|bd|
4、高斯函数
x x0 y y0 x x0 y y0 Gaus ( , ) Gaus ( )Gaus ( ) b d b d
x 1 sgn( ) 1
x x0 sgn( ) b
1 1
0 -1
x0
x
-2 -1 -1
0
1
2
x
作用：可在x0处逆转某一函数的极性
5. 阶跃函数 （Step-function）
定义:
x0 x 0, b b x x0 x0 1 x step( ) , b b 2 b 1, x x 0 b b
6．δ 函数的卷积
f ( x) * ( x) f ( x)
δ 函数与任何函数卷积仅重新产生该函数 严格再生
7、卷积的光滑作用
脉冲响应函数h(x) 是对光学系统性能 的定量评价 若h(x)为δ 函数 理想线性系统 无像差、无点扩散 h(x)越宽 成像质量越差
卷积的宽度近似等于被卷函数宽度之和 若两个被卷函数都具有紧凑底座 则严格成立 有限区间外恒为零 具有紧凑底座的两个函数的卷积
v( x ) * [h( x ) * w( x )]
h( x) * v( x) * w( x)
5．坐标缩放性质
若
f ( x ) * h( x ) g ( x )
x x x f ( ) * h( ) b g ( ) 则 b b b x x x 注意： f ( ) * h( ) g ( ) b b b
8、重复卷积
g ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
e step( x) 的重复自卷积
x
多个函数卷积产生一个比任一被卷函数 都光滑得多的函数 当被卷函数越来越多时 卷积结果越来越象高斯函数
g ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
g x , y dxdy 1 n lim g n x, y 0, x 0, y 0 n
和:
x, y x, y dxdy 0,0
2.性质 1.筛选性质
f x, y x x0 , y y0 dxdy f x0 , y0
课程内容
1. 线性系统分析
2.
3. 4. 5. 6.
标量衍射理论
光学成像系统的传递函数 光学全息 空间滤波 相干光学处理
参考书目：
1．苏显渝等，信息光学，科学出版社
2．扬震寰著，母国光等译，光学信息处理，南开大学出版社 3．清华大学光学仪器教研组，信息光学基础，机械工业出版社
4．于美文，光学全息及信息处理，国防工业出版社
3.作用：描述质点、点电荷、点光源及瞬时脉冲等
1.3 梳状函数
1. 一维梳状函数
Com b ( x)
n
( x n)
Comb(x) 1
-2
-1
0
1
2
x
作用:梳状函数可在另一函数中取样
2.二维梳状函数
comb ( x, y ) comb ( x)comb ( y)
1．4 二维特殊函数
在极坐标系下
1,0 r a r circ( ) a 0, r a
体积
a 2
作用:表示圆孔的透过率
7．Gauss 函数 （Gauss function）
x x0 x x0 2 Gauss( ) exp ( ) b b
x0 :中心点； b:宽度 1：光滑函数， 导数连续 2：傅立叶变换也是 高斯函数
互相关不对易
互相关与卷积关系 f(x) ★ g(x) f ( x) g ( x) 若f(x)＝g(x) 则为自相关
2
1
A
B
透镜透过函数（脉冲响应函数）：h(x) 像平面光场分布：g(x)=f(x)*h(x) 平移x0 像平面光场分布：g(x- x0)=f(x- x0)*h(x)
卷积平移 大小形状不变
4．结合性
[v( x ) * w( x )] * h( x )
v( x ) * [ w( x ) * h( x )]
5．黄婉云，傅立叶光学教程，北京师范大学出版社 6．康辉，映像光学， 南开大学出版社
7．华家宁，现代光学技术及应用， 江苏科学与技术出版社
8．朱自强，现代光学教程， 四川大学出版社 9．谢建平 ，近代光学基础， 中国科学技术出版社
10．陈家壁，光学信息处理技术原理及应用，高等教育出版社
11．加塔克，近代光学，高等教育出版社 12.吕乃光，傅里叶光学，机械工业出版社
x2 step ( ) 1
x x0 step ( ) b
1
1
0
x0
x
-2
-1
0
1
2
x