机器人避障问题
机器人路径规划与避障算法设计与实现
机器人路径规划与避障算法设计与实现随着人工智能技术的飞速发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛。
机器人路径规划与避障是机器人导航和定位中的核心问题，对于机器人能否正常完成任务具有关键性的影响。
本文将介绍机器人路径规划与避障算法的设计与实现方法。
1. 问题描述机器人路径规划与避障是指在给定环境下，机器人需要找到从起点到目标点的最优路径，并且在路径上避开障碍物。
在实际应用中，机器人所处的环境通常是复杂且动态变化的，因此路径规划与避障算法需要具备高效、稳定、实时的特点。
2. 基本概念与方法2.1 基本概念在路径规划与避障中，需要明确几个基本概念：- 机器人自身状态：包括位置、朝向等参数，用于确定机器人当前所处的位置和姿态。
- 环境地图：用于描述机器人所处环境的信息，包括障碍物的位置、大小等。
- 目标点：机器人需要到达的目标位置。
2.2 基本方法路径规划与避障算法的基本方法可以分为离散方法与连续方法。
- 离散方法：将环境分割为离散的网格，采用搜索算法，如A*算法、Dijkstra算法等，通过遍历网格来搜索最优路径。
- 连续方法：将环境表示为连续的空间，采用优化算法，如启发式搜索算法、遗传算法等，通过优化目标函数来寻找最优路径。
3. 常见的路径规划与避障算法3.1 A*算法A*算法是一种经典的路径规划算法，它基于图搜索的思想，通过计算启发式函数来评估下一步移动的优先级。
A*算法综合考虑了路径长度和启发式函数的信息，能够找到最优路径。
3.2 Dijkstra算法Dijkstra算法也是一种常用的路径规划算法，它通过计算距离来选择下一步移动的优先级。
Dijkstra算法适用于无权图的路径规划，可以找到最短路径。
3.3 动态规划算法动态规划算法是一种优化计算的方法，可以求解具有重叠子问题性质的问题。
在路径规划与避障中，动态规划算法可以用来求解最优路径问题。
4. 避障算法设计与实现避障算法需要根据实际环境中的障碍物来确定机器人的行动策略。
基于机器人避障问题的数学模型
长
春
大
学
学
报
第２ ３卷
短 的三 个 圆弧 的圆心 。那么 求 Ｄ — 一Ｂ ｃ的最 短路 径就 与求 Ｄ — ， Ｄ — ｃ最 短路径 的方法 一样 。
图７ ０ —Ａ 一 一Ｃ 一 ０的 最 短 路 径 图
图８ 求过点 』 ４ 且 路 径 最 短 圆 弧 的 圆 心 ０方 法 图
ＡＣ ＝ ，
同理Ｏ Ｄ＝ ｊ（ ｘ ２ 一 ３ ） ＋ （ ｙ ２ 一 Ｙ ３ ） 一 ｒ 。又０ ＝ ２ ￣ ｒ 一／ ＿ Ａ Ｐ Ｃ 一 ／ ＿ Ｄ Ｐ Ｏ 一 ／ ＿ Ａ Ｐ Ｏ ， 贝 ０
０ ＝ ２ ７ ｒ — ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ — √ （ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 一 ａ ｃ ｏ ｓ — ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 二 ＿ ｒ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ） ＋ （ ｙ 一 ｙ ） √ （ 一 ） ＋ （ ｙ ｚ — ｙ ｓ ）
最后 ， 比较 ４种路 径 的长度 ， 得到 Ｄ — 的最 短路 径 。
以下为转弯圆弧公切线中点 Ｅ （ ｍ， ｎ ） 的求法 ： １ ． 转弯圆弧公切线为平行型
设 圆心 Ｐ 。 （ 。 ， 。 ） ， Ｐ ２ （ ， ） ， ） ， Ｅ到 Ｐ １ 的距 离 为 １ ０， 当 ｍ＜ ， 凡＞ 时得 到
度， 并 比较 大小 ， 即可求 出 Ｄ 最 短路 径 。 以下 为 Ｄ － ÷ Ａ绕 过一个 障碍物 的路径 ｘ ２ ， ｙ ２ ）
图３ 从 Ｄ — 的Ｌ Ｉ 。 １ ＿ ２ 两条 路径 图
图４
角 图
设Ａ （ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｐ（ ｘ ３ ， Ｙ ３ ） ， Ｄ （ Ｙ ２ ） ， ０ ＝／ ＿Ｃ Ｐ Ｄ（ 图４ ） ， 则由Ａ Ｐ ２ ：Ｃ Ｐ ２ ＋ Ａ Ｃ ， 得 到
扫地机器人的自动避障系统优化
扫地机器人的自动避障系统优化随着科技的不断发展和人们生活水平的提高，扫地机器人在家庭中得到了广泛的应用。
它能够自动巡航并清扫地面，极大地减轻了人们的家务负担。
然而，目前市场上存在的扫地机器人仍然存在一些问题，其中之一就是自动避障系统的优化。
自动避障系统是扫地机器人的重要组成部分，它能够通过传感器等设备检测到障碍物，并采取相应的措施避免碰撞。
然而，现有的自动避障系统在一些特定环境下仍然存在一些不足之处。
首先，针对某些特定形状的障碍物，现有的自动避障系统可能无法有效识别和规避。
比如，一些特殊形状的家具或装饰物容易被扫地机器人视为平整地面，从而无法准确判断是否需要绕行。
为解决这一问题，可以考虑在扫地机器人上安装多种类型的传感器，比如红外线传感器、激光传感器等，以提高对障碍物形状的检测能力。
其次，自动避障系统在面对复杂环境时可能会出现误操作的情况。
比如，当扫地机器人在狭小的空间内运行时，传感器可能会受到干扰或误判，导致机器人无法正确识别出周围的障碍物。
为解决这一问题，可以通过引入更高级的人工智能算法和深度学习技术，提高机器人对环境的理解能力和判断能力。
此外，自动避障系统还存在一些响应速度较慢的问题。
当扫地机器人行驶速度较快时，现有的自动避障系统可能无法及时做出反应，从而导致碰撞发生。
为解决这一问题，可以考虑通过优化机器人的硬件设备，比如提高传感器的采样频率，加快系统的响应速度。
另外，一些特殊场景下，如地毯或深色地板等，现有的自动避障系统的检测能力有限。
在此情况下，扫地机器人可能无法将地面上的障碍物有效地识别出来，进而可能发生碰撞或卡住的情况。
为解决这一问题，可以考虑引入更高级的视觉识别技术，如深度学习算法，以提高机器人对不同地面材质的障碍物的识别能力。
总的来说，扫地机器人的自动避障系统优化是一个不断发展和完善的过程。
通过引入更先进的传感器、人工智能算法、深度学习技术以及优化硬件设备等措施，可以提高扫地机器人自动避障系统的性能和可靠性，进一步提升用户的使用体验。
机器人避障策略综述
机器人避障策略综述
机器人避障策略是机器人自主导航的重要组成部分，它指的是机器人在运动过程中如何避免与障碍物发生碰撞。
以下是一些常见的机器人避障策略：
1. 全局规划：通过预先规划机器人的路径，使其避开已知的障碍物。
这种方法通常需要对环境进行建模，并使用搜索算法或路径规划算法来找到最优路径。
2. 局部避障：当机器人在运动过程中遇到未知的障碍物时，通过实时感知周围环境并做出反应来避开障碍物。
这种方法通常使用传感器（如激光雷达、摄像头等）来获取环境信息，并使用算法（如人工势场法、模糊逻辑等）来决定机器人的运动方向。
3. 动态避障：当机器人在运动过程中遇到动态障碍物 （如移动的人或车辆）时，通过实时感知和预测障碍物的运动轨迹来避开障碍物。
这种方法通常需要使用传感器和机器学习算法来预测障碍物的运动轨迹。
4. 协同避障：当多个机器人在同一环境中运动时，通过相互通信和协作来避免碰撞。
这种方法通常需要使用通信协议和协调算法来实现。
5. 基于地图的避障：通过使用预先构建的地图来避开障碍物。
这种方法通常需要使用传感器和地图匹配算法来实现。
不同的避障策略适用于不同的场景和机器人类型，选择合适的避障策略需要考虑机器人的运动能力、传感器配置、环境复杂度等因素。
机器人避障问题
ａ ＝ 、 厂 ６ ＝ 、 厂
， ，
Ｅ
ｃ ＝ 、 ／ ｒ
如图 ５ ． １ ， 设Ａ 。 ， Ｙ 。 ） 为起点， Ｂ 。 ， ｙ ２ ） 为 目标
点， 延长直线 Ｏ到． Ｃ Ｄ中点交圆弧 Ｃ Ｄ于 日 ， 过 圆心 作Ｏ Ｈ 的垂线分别 交 Ａ Ｃ 、 Ｃ Ｄ于 Ｆ 、 ，圆心 ０ 舢 ｃ ， ， 和Ｄ ， 为机器人经过拐点分别于 脱离危 险线 拐角 小 圆弧 的切 点 ，圆的半径 为 ｒ ，
其 中Ｐ是转弯 半径． 若超过该速度 ， 则机器人无法 完成行走 ： （ ３ ） 机器人变速和转身瞬间完成． ３模型假设 （ １ ） 机器人能够抽象成点来处理： ｃ ２ ） 机器人的性能足够好， 能准确地沿圆弧转弯； （ ３ ） 机器人行走过程 中不会意外停止； （ ４ ） 机器人行走不小于最小转弯半径和最小安 全距 离 ； （ ５ ） 机器人不会进 入 两个相接触的障碍物的死角． ４ 定义 与符 号说 明 ｒ ， Ｐ ： 转弯半径 ． ， 啦 ： 直线倾角或夹角． ｔ ： 时间． Ｌ ： 最 短路 径 总长 ． ５模 型 的建 立 查 阅相 关文 献 知 ，具有 圆形 限定 区域 的最短 路 径是由两部分组成的， 一部分是平面上的 自 然最短 路径 （ ａ Ｐ 直线段） ，另一部分是限定区域的部分边 界， 这两部分是相切 的， 这两条直线段是 由圆弧连 接的． 对于 问题 １ ， 我们经过深入分析知， 起 点到 目标 点无论中间障碍物有 多少 ， 最短路径都应该是若干 个线 圆结构所组成．在本题 中存在障碍物的状况 ， 且障碍物在拐点处 的危 险区域 是一个半径为 ｒ的 圆弧， 而求两点之间的最短路径 中的转弯半径我们 应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优． ５ ． １基本线 圆结构的数学模型
机器人避障问题模型研究
２ 模 型假 设
１ ） 假设绕过障碍物我们均走最小半径的圆弧 ； ２ ） 假设 机 器人 能够 抽象 成点 来处理 ；
３ ） 假 设不 考虑 弧度 计算 ；
圆相 切 ， 切点 分别 为 Ｅ和 Ｆ， 当 Ｙ趋 近 于 Ｙ 时 ， 显 然 Ａ Ｃ Ｂ是这 种折 线 路 径 中最 短 的。 因 为 当 ： ０＜ Ｏ ｔ ＜
１ ８
数
字
通
信
第４ ０卷
与障碍 物 问的最 近距离 为 １ ０个单 位 ， 否则将 发 生碰 撞， 若碰 撞 发生 ， 机 器 人则无 法完 成行 走 。 建立 机器人 从 区域 中一点 到达 另一 点 的避 障最 短路径 和 最短 时问路 径 的数 学模 型 。场 景 图 中有 ４ 个 目标 点 ０（ ０ ， ０） ， ４（ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ） ， Ｂ（ １ ０ ０ ，７ ０ ０ ） ， Ｃ （ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 。具 体分 别计算 ：机 器人 从 ０（ ０ ， ０ ） 点
出发 ， Ｄ 一４， Ｄ —Ｂ， Ｄ — Ｃ和 Ｄ —Ａ —Ｂ —Ｃ — Ｄ 的最 短路 径及 长度 。
问题 ： 证 明绳 子拉 紧时 的情况 ， 则 为 ２个 点 之 间
的最 短路 径 。 假设 在平 面 中有 Ａ（ ａ ， ０ ） 和 曰（一ａ ， ０ ） ２点 ， 中
间有 １ 个半圆形的障碍物 ， 证 明从 到 Ｂ的最路径
分析 中的绳子拉到最紧时的情况 。
Ｔ Ａ Ｅ Ｆ Ｂ是 满足 条件 Ａ到 的最短 路径 。
第 ６期
侯学 慧 ： 机器人避 障问题模型研究
ｌ ９
３ ． ２ 模型 准 备 １
所 以，
＝２ 一Ｏ ｔ 一卢 一
扫地机器人避障技术的进一步优化
扫地机器人避障技术的进一步优化扫地机器人的出现极大地方便了人们的生活，无需人工操控，它能够自主地进行清洁工作。
然而，在实际应用中，机器人在面对复杂环境时，避免障碍物成为了一个关键的问题。
本文将探讨扫地机器人避障技术的现状以及可能的进一步优化方法。
一、扫地机器人避障技术现状目前的扫地机器人避障技术主要基于传感器和算法的结合。
传感器可以通过感知环境中的物体和障碍物，从而提供实时的环境信息。
常用的传感器包括红外传感器、超声波传感器、摄像头以及激光雷达等。
1. 红外传感器：红外传感器是最常见的一种传感器，可以通过发射和接收红外信号来检测障碍物。
然而，红外传感器的检测范围有限，对于某些小尺寸或者透明的障碍物难以有效检测。
2. 超声波传感器：超声波传感器可以发射超声波并接收超声波的回波，从而计算出物体与机器人的距离。
相比于红外传感器，超声波传感器的检测范围更宽广，但是在一些特殊情况下，例如高频回声干扰，会导致误判。
3. 摄像头：摄像头通过实时拍摄环境中的画面，并通过计算机视觉算法来识别和检测障碍物。
摄像头可以获得更多的环境信息，但是对于光线暗或者复杂背景的情况下，摄像头的检测效果可能不理想。
4. 激光雷达：激光雷达通过发射激光束并利用回波来计算物体与机器人的距离和角度。
激光雷达具有高精度、高速度的优势，但是成本较高。
综上所述，当前的扫地机器人避障技术虽然能够实现一定的效果，但是仍存在一些局限性和问题，需要进一步进行优化。
二、进一步优化的可能方法1. 多传感器融合：通过同时使用多种传感器，将它们的优势进行整合，可以更全面地感知环境，提高避障的准确性。
例如，将红外传感器与超声波传感器相结合，可以克服它们各自的局限性，提高障碍物的检测范围和准确度。
2. 智能算法的应用：利用机器学习和人工智能的技术，对大量的障碍物数据进行分析和学习，可以提高扫地机器人的避障能力。
这样的算法可以通过反复学习和不断优化，逐渐提升机器人的智能水平，使其更好地适应复杂环境。
机器人避障问题论文
D题机器人避障问题摘要本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。
针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。
针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。
圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。
关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型一.问题的重述图是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
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精心整理机器人避障问题摘要本文研究了在一个800800⨯平面场景里，机器人通过直线和圆弧转弯，绕过障碍物，到达目标点的问题，解决了到达目标点路径最短，以及到达A 点时间最短的问题。
文章将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。
对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了在拐点和节点最小转弯半径的形式.O A →O →B O →C O →A →B 10个单位为50=v对场景图中4(1)(2)1.出发，分别做圆的切线，直到终点。
对于经过路径中的目标点的问题，我们采用最小转弯模式，建立优化模型，最终求的最短路径。
2．问题二要求从起始点到达A 点所用的时间最短，从题意以及生活经验可得，拐弯半径越大，所用时间越短，拐弯半径越小，所用时间越大。
半径最小不低于10，取最大值时机器人应刚好未碰到4、6三角形，可通过几何解法计算出来，并对时间进行优化处理。
三、模型假设假设机器人可以抽象成点来处理假设机器人的能源充足，且在整个行走过程中无故障发生四,符号说明】5（为起点，，OA圆弧的切点，角度1OO A ∠=,11OO M ∠=,11AO N ∠=，111M O N θ∠=.设这段路程机器人的总路程为L. 解法如下：如上图可得有以下关系：1 AOO ∆在中：在11Rt OO M ∆：222arccos(2b c a bcα+-=在11Rt AO N 中：所以：从而可得：结果如下：机器人行走路线1OM =1N A 弧11M N =224.7221；b=237.6973c=O 同理了解比较可得，O 从上面绕到到目标点A 的距离最短，最短路径为471.0372。
→2.O B→有多条路径，可以从O到正方形5的右下角直接到8的右上角，再绕到B。
1）O B2）可以从O到正方形5的右下角直接到8的右下角，再绕到8的左下角，绕到B。
3）可以从O到正方形5的左下角到左上角绕过6的右下角再8的右上角绕到B。
4）可以从O到正方形5的左下角到左上角绕过6的右下角再8的右下角，再绕到8的左下角，绕到B。
5）可以从O到三角形6的左下角再到三角形6的上顶点，绕到矩形7右下角，到矩形7右上角，再到8的右上角，绕到B。
6）可以从到8图2第二、第三、→只不过增加了路径的长度和情况。
经上面分析发现，机器人行走路线与出发点到目标与上面两种情况类似，O C点连线段越近，越趋于最短路。
于是，我们着重看了以下几种情况：1）可以从O到三角形4右下角绕到矩形12左上角，到正方形11右下角，到11右上角，再绕到C。
2）可以从O到正方形5左上角绕到3左上角，到圆2，到11右下角，到11右上角，再绕到C。
O→→在这个过程中，机器人不仅要绕过障碍物，还要经过A B C、、三点，以A点为例，在经过A点时，机器人要转弯，转弯圆弧要经过A，圆弧以10为半径。
在此，要用到准备知识2.二、最短时间路径根据题目和经验判断，拐弯越大速度越快，也就是拐弯时半径可以增大，但不能碰到上面的三角形。
所以对半径有范围要求。
最大半径的确定：图(150,435) G，(235,300)M由此能够计算出GM的直线方程，D的纵坐标为290，由直线方程可以判断出D的横坐标。
D那么AD6.1n边算法6.21线。
于是我们对模型做了以下修正：1、检验切线两个端点是否在障碍物内部。
2、检验切线是否障碍物的对角线相交。
3、检验圆弧所对应的圆心，即障碍物的顶点到切线的距离是否小于1。
如果以上三种情况满足其一，我们规定对应这段切线的顶点为M（M为无穷大）。
4、另外还有如下图所示的一种特殊情况：两个大小相同在同一水平或者竖直位置上，不考虑切线满足1、2、3的状况它们由2条内公切线，8条外公切线，但是有6条外公切线是重复的。
因此我们作如下规定:如果某条切线与某段圆弧相切，且切点不在切线的端点上，则该切线为不合法。
权值矩阵中表示它的顶点也为M 。
转化成如7.21所示的形式。
假设转化过后有m 条合法切线，那么就有m 个顶点，设这些点的权值i E （1i m ≤≤），即第i 条合法曲线的长度。
j D 为边的权值，即第j 条弧的长度。
3）然后把路径图转化成如图6.21所示，按照求得权值矩阵给图中的顶点及边长赋值。
4）最后依据Dijkstra 算法求得最短路径。
七、模型评价一、模型优点1、运用多个方案对路径进行优化，在相对优化之中取得最优解。
2、模型优化后用解析几何进行求解，精确度较高。
3、3、模型简单易懂，便于实际检验及应用。
45、12[1][2]4][5][6][7]年 出版社《数附录1>>x1=0;>>y1=0;>>x2=80;>>y2=210;>>x3=300;>>y3=300;>>a=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2);>>b=((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)^(1/2);>>c=((x1-x3)^2+(y1-y3)^2)^(1/2);>>a,b,ca=224.7221b=237.6973c=424.2641>>q=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a))q=2.3231>>R=10;>>r=acos(R/a);>>s=acos(R/b);L=471.0372附录2>>%1为%6为X1=0;Y1=0;X2=60;Y2=300;X3=150;Y3=435;X4=220;Y4=470;X5=220;Y5=530;X6=150;Y6=600;X7=100;Y7=700;r=10;h=acos(r/a);q=acos((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b));%OCD度数t1=2*pi-q-h-1/2*pid=[((X4-X3)^2+(Y4-Y3)^2)^(1/2)]/2;%DE/2的长u=(d^2-r^2)^(1/2);%MH(MP/2)的长J=2*ui=acos(r/d);e=((X4-X2)^2+(Y4-Y2)^2)^(1/2);%CE的长p=acos(((2*d)^2+b^2-e^2)/(2*(2*d)*b));t2=2*pi-p-i-1/2*pif=((X5-X3)^2+(Y5-Y3)^2)^(1/2);%FD的长g=((X5-X4)^2+(Y5-Y4)^2)^(1/2)%FE的长z=acos(((2*d)^2+g^2-f^2)/(2*d*2*g));h=acos(r/d);t3=2*pi-z-h-1/2*pii=((X5-X6)^2+(Y6-Y5)^2)^(1/2);%GF的长j=((X4-X6)^2+(Y6-Y4)^2)^(1/2);%GE的长y=acos(r/i);x=acos((i^2+g^2-j^2)/(2*i*g));t4=2*pi-y-x-1/2*pil=2*((i/2)^2-r^2)^(1/2)%SW的长b=162.2498t1=0.4233J=75.6637t2=0.7776g=60t3=1.3656t4=0.8866l=96.9536t5=1.2267I=111.3553H=305.7777L=816.6798附录3>>%1为O(0，0)2为D3为E4为F5为G6为H7为CX1=0;Y1=0;X2=180;Y2=210;X3=400;Y3=330;X4=550;Y4=450;X5=720;Y5=520;X6=720;Y6=600;X7=700;Y7=640;r=10;r2=80;i=((X6-X5)^2+(Y6-Y5)^2)^(1/2)%HG的长k=((X6-X4)^2+(Y6-Y5)^2)^(1/2);%HF的长q7=acos((j^2+i^2-k^2)/(2*j*i));t4=2*pi-q7-1/2*pi-1/2*pim=((X7-X6)^2+(Y7-Y6)^2)^(1/2);%CH的长n=((X7-X5)^2+(Y7-Y5)^2)^(1/2);%CG的长p=(m^2-r^2)^(1/2)%CT的长q8=acos((m^2+i^2-n^2)/(2*m*i));q9=acos(r/m);t5=2*pi-q8-q9-1/2*pi精心整理页脚内容L=d+t1+b+t2+g+t3+j+t4+i+t5+p b=250.5993d=276.4055t1=0.3990g=249.7999t2=0.2797t3=1.7187i=80t4=1.7382p=43.5890t5=0.6892L=>>。