大连理工大学非线性分析报告第三次作业

1）分叉图为：
程序为：
muv=0:0.002:3; %%%分叉参数
m=length(muv);
for k=1:m
mu=muv(k);
n=1000;x=zeros(n,1);x(1)=0.1;
for kk=2:n
x(kk)=mu*x(kk-1)*(1-x(kk-1)*x(kk-1)); %%%映射end
figure(5)
plot(zeros(50,1)+mu,x(301:350),'r.'); hold on; xlabel('a');ylabel('x_n');title('分叉图')
grid on
end
Lyapunov 图
程序为：
n=400;
xn=zeros(1,n);
aa=2.4:0.01:4;
N=1;
hold on ;box on ;xlim([min(aa),max(aa)]);
XL(1)=ylabel('\itx');
for a=aa;
x=0.1;
for q=1:80;
x=a*x*(1-x);
end
s=0;
for q=1:n;
xn(q)=x;
df=a-2*a*x;
s=s+log(abs(df));
x=a*x*(1-x);
end
L(N)=s/n;
N=N+1; 2.4 2.6 2.83 3.2 3.4 3.6 3.84
a
a,pause(0.01)
end
plot(aa,L);
hold on ;box on ;
grid on;
xlim([min(aa),max(aa)]);
2
求解方程131n n n n n n
x y y bx dy y ++=⎧⎪⎨=-+-⎪⎩ 可得到固定点 ()()11,0,0x y = 当10d b -->时，
(
)22,y x =，(
)(33,y x =，
求得特征值表达式为
， 利用相图，观察strange attractor ：
当b=0.2，d=2.5或2.65时，不存在奇异吸引子；
当b=0.2，d=2.77时，存在奇异吸引子，奇异吸引子图为：
234)3(222d y b d y ----±=
λ
程序为：
clear all
N=1000;
b=0.2;
d=2.5;
q=1;
for k=1:N;
x=zeros(1,N);
y=zeros(1,N);
x(1)=rand;
y(1)=rand;
for L=1:N-1;
x(L+1)=y(L);
y(L+1)=2.77*y(L)-0.2*x(L)-y(L)*y(L)*y(L);
end
if abs(x(end))<2; % if abs(x(end))<2;
Xp(q)=x(end);
Yp(q)=y(end);
q=q+1;
end
end
% Draw figure for Henon maping:
figure(1); plot(Xp,Yp,'b.','markersize',3);
grid on;
xlabel('x_n');
ylabel('y_n');
title('Strange attractor')
2）当b=0.2，d=2.77时，对于平衡点(1.2530,1.2530)，调节参数d，
Jacobi矩阵为
01
-0.2-1.94
æ
èç
ö
ø÷，
其特征值为l s=-0.1092,l u=-1.8307，
其中g=
¶x
F
¶p
¶y
F
¶p
æ
è
ç
ö
ø
÷=
1.2530
æ
èç
ö
ø÷
，
f u =
l
u
-l s)
-l u-l s)ùûl s
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
=-1.2117
-0.1323
æ
èç
ö
ø÷
，
K=
l
u
l
u
-1
f
u
T
f
u
T g
= 4.72640.5161
()
，
控制律为d
n =2.77+4.7264(x
n
-1.2530)+0.5161(y
n
-1.2530)；
3）由于d=2.65,b=0.2时，系统为Period-4的周期轨道，由 Lyapunov exponent的性质可知，周期性对应的指数l
1
=0，
又l
1+l
2
=log(det J)=log(b)=-1.6094,所以l2=-1.6094。

3.
1）因为该系统的Lyapunov exponent有大于0和小于0的指数。

大于0的指数使系统进入混沌，小于0的指数使不同初始值的轨道相互吸引。

所以形成奇异吸引子。

固定a,b，变化c，得到相应的相图，观察吸引子：
C=1相迹图
程序为：
t0=[0,40];
[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),'y',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x 黄色 y 绿色 z 蓝色') ;
xlabel('t');
subplot(1,2,2);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
title('c=1相图');
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
% pause
function r=rossler(t,x)
a=0.25;
b=1;
c=1;
r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];
end
C=6相迹图
程序为：
t0=[0,40];
[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),'y',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x 黄色 y 绿色 z 蓝色') ;
xlabel('t');
subplot(1,2,2);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
title('c=6相图');
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
% pause
function r=rossler(t,x)
a=0.25;
b=1;
c=6;
r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)]; end
2）分岔图：由方程组可以得到c 与x,y,z 间的表达式为，
分岔图为：
3）
当c=5.5时，解得l 1=0.064285,l 2=0.015416,l 3=-5.103405； lyapunov 指数谱图为：
414114z z x x y y c +=+=--=。