2018-2019学年高中数学北师大版必修四课件：第二章 §1 从位移、速度、力到向量
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《位移、速度和力》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
课程讲解
F
G
起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力 作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用。 拉力的大小超过重力时，物体被吊起。
课程讲解
F θ
汽车爬坡时，牵引力大小为F. 方向倾斜向上，与水平方向成θ角.
课堂小结
位移、速度和力这些物理量都是既有 大小，又有方向的量，在物理中称为矢量。
再见
北师大版·统编教材高中数学必修4
第二章 ·第2课
位移、速度和力
课程讲解
思考？
老鼠由A向西北逃窜，猫 在B处向东追去。猫能否 追到老鼠？
A
B
不能，因为方向错了。
课程讲解
民航每天都有从北京飞往上
海、广州、重庆、哈尔滨等
地的航班。每次飞行都是民
航客机的一次位移.
北京
哈尔滨
重庆
上海
由于飞行的距离和方向各不相
同,因此,们是不同的位移. 广州
课程讲解
从家到学校,可能有长短不同的几条路
北 学校
30
家
东
无论走哪条路,你的位移都是向东偏北30° 方向移动了2000m
课程讲解
飞机向东北飞行了150km,飞行时
间为半小时,飞行的速度为?
北
东
大小是300km/h,方向是东北.
课程讲解
某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度是： 平均出手角度θ=43.242° 平均出手速度大小为v=28.35m/s
2.1从位移、 速度、 力到向量 线上课程课件-北师大版高中数学必修4
如何表示这两次的位移？
用带箭头的线段表示，
箭头的方向表示位移的方向， 线段的长度表示位移的大小.
广州
2.类比“位移”的表示方法，思考如何表示向量呢？
用带箭头的线段表示
上海
二.向量的表示
1.几何表示：向量常用有向线段（带箭头的线段）表示.
有向线段的长度表示向量的大小,
B（终点）
箭头所指的方向表示向量的方向. 2.符号表示：
问题2：向量可以比较大小吗？
不能
B（终点） A（起点）
探究3 特殊向量
1.零向量：长度为0的向量称为零向量，记作 0 . 思考1：零向量有方向吗？ 零向量有方向，零向量的方向是任意的.
2.单位向量：长度为单位1的向量叫做单位向量. 思考2：单位向量唯一吗? 单位向量有无数个.
探究4 向量间的特殊关系
向量可以在平面内平行移动，起点可以任意选取. 数学中的向量是自由向量
A F
E
探究4 向量间的特殊关系
2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， B
A
向量CB ,AD ,OA, FE有怎样的关系？ C
F O
D
E
表示向量CB, AD,OA, FE的有向线段所在的直线平行或重合.
向量间的特殊关系 2.平行（共线）向量
E
D
F
C
O
A
B
×
(3)若 a 5，b =3，则 a>b ； ×
(4)若 a b ，b c ，则 a c ；√
(5)若a//b ,b//c ，则 a//c . ×
解：(1)a b，只能说明两个向量的模相等， 但方向未必相同；
(2)单位向量的模长为单位1，长度相等， 但对方向没有要求；
高中数学北师大版必修4第2章1《从位移、速度、力到向量》ppt课件
[解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、 丙地、丁地，依题意知，△ABC为正三角形，
∴AC＝2000(km)． 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2(km)， ∴△ACD 为直角三角形，即 AD＝1000 2(km)，∠CAD＝ 45°. 故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km.
D．4
• [错解] D
• [辨析] 认为①正确是忽略了0和0的区别．由|a|＝ 0可知a是零向量，但是a≠0，之所以出现这样的错
• (2)要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模 型，“数学建模”是今后能力培养的主要方向，需 要在日常学习中不断积累经验．
已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙 地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从 丙地按西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲地的什 么方向？丁地距甲地多远？
_→_______，它的方向与任一向量平行．
0
• (叫2作)与a向 方量向a上_同的_方_单_向_位__向_，量且，长记度作为单_位____1__________．_的向量，
• (3)长度________且方a向0 ________的向量叫作相等向
量，向量a相与等b相等，记作相a同＝b．规定所有的零向量
(2)写出分别与A→B、B→C、A→C、B→D共线的向量． [思路分析] (1)要找出具体相等向量，只需在正方形 ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可； (2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可．
[规范解答] (1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝ |g|＝1，
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
∴AC＝2000(km)． 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2(km)， ∴△ACD 为直角三角形，即 AD＝1000 2(km)，∠CAD＝ 45°. 故丁地在甲地的东南方向，距甲地 1000 2km.
D．4
• [错解] D
• [辨析] 认为①正确是忽略了0和0的区别．由|a|＝ 0可知a是零向量，但是a≠0，之所以出现这样的错
• (2)要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模 型，“数学建模”是今后能力培养的主要方向，需 要在日常学习中不断积累经验．
已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙 地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从 丙地按西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲地的什 么方向？丁地距甲地多远？
_→_______，它的方向与任一向量平行．
0
• (叫2作)与a向 方量向a上_同的_方_单_向_位__向_，量且，长记度作为单_位____1__________．_的向量，
• (3)长度________且方a向0 ________的向量叫作相等向
量，向量a相与等b相等，记作相a同＝b．规定所有的零向量
(2)写出分别与A→B、B→C、A→C、B→D共线的向量． [思路分析] (1)要找出具体相等向量，只需在正方形 ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可； (2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可．
[规范解答] (1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝ |g|＝1，
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
2017-2018版高中数学 第二章 平面向量 1 从位移、速度、力到向量课件 北师大版必修4
解答
(2)写出与 E→F 的模大小相等的向量；
解 与E→F模相等的向量有F→E，B→D，D→B，D→C，C→D.
解答
(3)写出与 E→F 相等的向量.
解 与E→F相等的向量有D→B，C→D.
解答Leabharlann (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
反思与感悟
已知A，B为平面上不同两点，那么向量A→B 和向量 B→A相等吗？它 们共线吗？ 答案 因为向量 A→B 和向量B→A方向不同，所以二者不相等.又表示 它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.
答案
思考2
向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于 任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫 作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.
答案
梳理
向量与数量 (1)向量：既有 大小 ，又有 方向 的量统称为向量. (2)数量：只有 大小 ，没有 方向 的量称为数量.
知识点二 向量的表示方法
思考1
向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示.
答案
思考2
0的模长是多少？0有方向吗？ 答案 0的模长为0，方向任意.
答案
思考3
单位向量的模长是多少？ 答案 单位向量的模长为1个单位长度.
答案
梳理
(1)向量的表示 ①具有方向 和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向 线段记作A→B，线段AB的长度也叫作有向线段 A→B 的长度，记作|A→B|. ②向量可以用 有向线段 来表示.有向线段的长度表示 向量的大小，即长度 (也称模).箭头所指的方向表示 向量的方向 .
(2)写出与 E→F 的模大小相等的向量；
解 与E→F模相等的向量有F→E，B→D，D→B，D→C，C→D.
解答
(3)写出与 E→F 相等的向量.
解 与E→F相等的向量有D→B，C→D.
解答Leabharlann (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
反思与感悟
已知A，B为平面上不同两点，那么向量A→B 和向量 B→A相等吗？它 们共线吗？ 答案 因为向量 A→B 和向量B→A方向不同，所以二者不相等.又表示 它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.
答案
思考2
向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于 任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫 作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.
答案
梳理
向量与数量 (1)向量：既有 大小 ，又有 方向 的量统称为向量. (2)数量：只有 大小 ，没有 方向 的量称为数量.
知识点二 向量的表示方法
思考1
向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示.
答案
思考2
0的模长是多少？0有方向吗？ 答案 0的模长为0，方向任意.
答案
思考3
单位向量的模长是多少？ 答案 单位向量的模长为1个单位长度.
答案
梳理
(1)向量的表示 ①具有方向 和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向 线段记作A→B，线段AB的长度也叫作有向线段 A→B 的长度，记作|A→B|. ②向量可以用 有向线段 来表示.有向线段的长度表示 向量的大小，即长度 (也称模).箭头所指的方向表示 向量的方向 .
高中数学 2.1从位移、速度、力到向量教学课件 北师大版必修4
思考2
数量、向量、有向线段三者有何 异同？
A B a
三注、：向平零量行向的向量有量与关可零概以向念在量同相一等直；线任上何，两这个与相两等条的线非段零平向行量不，同都； 可共1.用 线向同向量一量的条可长有以度向互(模线相):段称来平表行示，，这并与且共与直有线向的线段的不起同点. 无关.
向量 A B 的大小叫做 A B 的长度(或称模).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
练习2.P73/练习·1、2.
a 思考3 | a | 的含义是什么？
五. 小结
1. 向量的定义
2.向量的表示 （1）几何法:用有向线段表示.
（2）代数法:用字母表示. 3. 向量的有关概念
（1）向量的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度(模) （2）零向量
（3）单位向量
（4）平行向量
注意！
（5）相等向量 （6） 共线向量
速度是既有大小又有方向的量
B
A
东
南
§1 从位移、速度、力到向量 一、向量的定义： 既有大小又有方向的量叫向量.
思考1 (1) 你能举出哪些量是符合上述要求的量?
(2) 温度是不是向量?
二、向量的表示：
1. 几何法:用有向线段表示.
有向线段: 规定了方向和长度的线段. a 2. 代数法:用字母表示. A B 或
A
B
F
E
P
D
C
6.物理学中的作用力和反作用力是模____相__等____且方向 ___相__反____的共线向量
7.一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地， 可以用什么方式表示小船的位移？(用1:500 000的比例尺)
B
北
2019-2020年数学北师大必修四课件：第二章 平面向量 2.1
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)因为点 A 在点 O 北偏东 45°处,所以在坐标纸上点 A 距点 O
的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|������������|=4√2,小方格边长为 1, 所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4,于是点 A
位置可以确定,画出向量������������如图所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)所作向量如图所示. (2)由题意,易知������������与������������方向相反,∴������������与������������共线. ∵|������������ |=|������������ |, ∴在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD. ∴四边形ABCD为平行四边形. ∴|������������|=|������������|=200 km,且 AD∥BC, ∴������������与������������同向,即������������的方向也是西偏北 50°,且|������������|=200 km.
正确的序号是
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:①正确,模等于0的向量就是零向量; ②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不 一定相等; ③错误,由于零向量与任一向量共线,但其方向任意,因此,当a与b 共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反; ④错误,向量的模是非负实数,可能是零; ⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任 意移动的,因此相等向量可以起点不同; ⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不 要求两个向量必须在同一直线上. 答案:①⑤
2018秋新版高中数学北师大版必修4：第二章平面向量 2.2.1
答案:B
123
3.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 名师点拨向量的加法满足交换律和结合律,其和仍然是一个向量, 它的几何表示形式可以由向量加法的三角形法则或平行四边形法 则得到,因此,其意义与实数不同.
【做一做 2-1】 已知正方形 ABCD 的边长为
123
名师点拨三角形法则与平行四边形法则的区别与联系: 区别:(1)三角形法则中强调的是“首尾相连”,平行四边形法则中
强调的是“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则
仅适用于不共线的两个向量求和. 联系:平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种
求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情 况而定.
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反 答案:A
123
【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|������������ + ������������ + ������������|
等于( )
A.0
B.1
C. 2D. 3
解析:|������������ + ������������ + ������������| = |������������ + ������������| = |������������| = 1.
1, ������������ =a, ������������ =c, ������������ =b,则|a+b+c|等于( )
A.0
B. 2 C. 2 2 D. 3
高中数学 第二章 从位移、速度、力到向量课件1 北师大版必修4
从位移、速度、力到向量
一、教学目标
1.知识与技能：
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间
的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的
几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概 括能力和逻辑思维能力。
一、教学目标 2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学 生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与 向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲 解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于 独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
(× )
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相 反的向量)不相等； (× )
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(× )
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。 （2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是 四边形ABCD是平形四边形的充要条件。 其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
2、向量的字母表示：（1）a , b , c , ... （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ( 注:向量不能比较大小
）
）
)
长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
一、教学目标
1.知识与技能：
（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间
的区别；
（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的
几何表示，并体会学科之间的联系.
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概 括能力和逻辑思维能力。
一、教学目标 2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学 生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与 向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲 解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于 独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
(× )
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相 反的向量)不相等； (× )
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(× )
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。 （2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是 四边形ABCD是平形四边形的充要条件。 其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
2、向量的字母表示：（1）a , b , c , ... （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ( 注:向量不能比较大小
）
）
)
长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
2018-2019学年高一数学北师大版必修4课件：第二章 平面向量
x2－x12＋y2－y12.
5．二法解决平面几何问题，强化向量意识 (1)向量的运算可以解决平面几何中的平行、垂直、长度、角度 等问题，关键是掌握向量中的相关公式． 有两种方法：一是选取基底，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算；二是建立坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化 为代数运算． (2)由于物理中的很多量都是向量，因此可以用向量解决力、位 移、速度、做功等问题，关键是掌握向量的分解方法.
∴|A→C|＝4，|B→D|＝8. ∴S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|＝16；
当 y＝－1 时，x＝2.此时有 B→C＝(2，－1)，A→C＝(8,0)，B→D＝(0，－4)． ∴|A→C|＝8，|B→D|＝4. ∴S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|＝16.
∴xy＝ ＝－ 3，6， 或xy＝ ＝2－，1， S 四边形 ABCD＝16.
能力挑战 2 已知 a，b，c 在同一平面内，且 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c；
(2)若|b|＝ 25，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求 a 与 b 的夹角．
【解析】 (1)因为 c∥a，所以设 c＝λa，则 c＝(λ，2λ)． 又|c|＝2 5，所以 λ＝±2，所以 c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0. 因为|a|＝ 5，|b|＝ 25，所以 a·b＝－52. 设 a 与 b 的夹角为 θ，cosθ＝|aa|·|bb|＝－1，所以 θ＝180°.
∴a2＋2a·b＋b2＝13，
又|a|＝ 3，|b|＝2，则( 3)2＋2a·b＋22＝13，得 2a·b＝6.
∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝( 3)2－6＋22＝1.∴|a－b|＝1.
5．二法解决平面几何问题，强化向量意识 (1)向量的运算可以解决平面几何中的平行、垂直、长度、角度 等问题，关键是掌握向量中的相关公式． 有两种方法：一是选取基底，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算；二是建立坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化 为代数运算． (2)由于物理中的很多量都是向量，因此可以用向量解决力、位 移、速度、做功等问题，关键是掌握向量的分解方法.
∴|A→C|＝4，|B→D|＝8. ∴S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|＝16；
当 y＝－1 时，x＝2.此时有 B→C＝(2，－1)，A→C＝(8,0)，B→D＝(0，－4)． ∴|A→C|＝8，|B→D|＝4. ∴S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|＝16.
∴xy＝ ＝－ 3，6， 或xy＝ ＝2－，1， S 四边形 ABCD＝16.
能力挑战 2 已知 a，b，c 在同一平面内，且 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c；
(2)若|b|＝ 25，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求 a 与 b 的夹角．
【解析】 (1)因为 c∥a，所以设 c＝λa，则 c＝(λ，2λ)． 又|c|＝2 5，所以 λ＝±2，所以 c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0. 因为|a|＝ 5，|b|＝ 25，所以 a·b＝－52. 设 a 与 b 的夹角为 θ，cosθ＝|aa|·|bb|＝－1，所以 θ＝180°.
∴a2＋2a·b＋b2＝13，
又|a|＝ 3，|b|＝2，则( 3)2＋2a·b＋22＝13，得 2a·b＝6.
∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝( 3)2－6＋22＝1.∴|a－b|＝1.
高中数学北师大版必修四《1从位移、速度、力到向量》教学课件
变式训练 1 判断下列说法是否正确，不正确的说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； (5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
谢谢大家
知识点 2 特殊向量及向量之间的关系 (1)零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0，它的方向 是任意的．
(2)单位向量：长度(或模)为 1 的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平 行向量，也叫共线向量记作 a∥b. ①记法：向量 a 平行于 b，记作 a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行．
类型三 共线向量和相等向量 【例 3】如图，O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中： (1)分别找出与A→O，B→O相等的向量； (2)找出与A→O共线的向量； (3)找出与A→O模相等的向量； (4)向量A→O与C→O是否相等？
变式训练 3 如图，D，E，F 分别是正三角形 ABC 各边的 中点．
解析：(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和 方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它 们的方向关系．
(3)正确．∵|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件， 可得 a＝b.
(4)不正确．依据规定：0 与任意向量平行． (5)不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其 方向不定.
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5.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起 点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．
6.我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬” 来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理
意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的
经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路， 但后来大多更名．设某城市的地图如图(街道刚好分布在一个 方形格纸中且距离都为1个单位)：请作出某人从经1纬2路口走 到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大
起点的位置无关.
[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可 以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的， 所以，向量只有相等与不相等的关系．
1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不
同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以
任给两个向量都不能比较大小． 2．对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向 量． 3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意 性．
1．位移、速度和力
位移、速度和力这些物理量都是既有 大小，又有 方向 的量，
在物理中称为“ 矢量 ”，它们和长度、面积、质量等 只有大小 的 量是不同的． 2．向量的概念 (1)向量的定义：在数学中，把既有 大小，又有 方向 的量统 称为向量．
(2)向量的表示法
①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段． ②向量的表示法 (ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A， 终点为B，则该有向线段记作 AB： .
(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用 表示． ，… a ，b， c向量的模 (3) (长度) 向量 (或a)的 ，称为向量 (或a)的长度，也叫模， AB ． 大小 记作 AB | |(或|a|) AB (4) 与向量有关的概念 零向量 长度为 零 的向量称为零向量，记作
与向量a 同方向，且长度为单位1的向量，叫作a 单位向量 方向上的单位向量，记作 a0 . 由大小 和方向 确定，而与起点位置无关的向量 自由向量 称为自由向量
1．给出下列命题 (1)若|a|＝0，则a＝0； (2)若a＝b，则|a|＝|b|；
(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量； 其中正确命题的个数是( A．1 B．2 C．3 ) D．4
解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量 是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系； (2)正确．两向量相等，其长度必然相等； (3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定 的； (4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同， 则 终点必相同； (5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或 相反．
寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．
解析：选C 由题意知，AB＝EF，∴A成立； 又AB∥FH，DC与EC共线都成立， ∴B，D成立． 而BD不一定等于EH，故C不一定成立．
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路
程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有(
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如直角三角形的解法、平行四边形的性质等 .
2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下
图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都
是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，
AA 1 AA2、 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C 用向量
处走了一步的所有情况．
相等向量
长度 相等 且方向 的向量，叫作相等向 量．向量a与b相等，记作 a＝b .
如果表示两个向量的有向线段所在的直线 平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b 平行向量 __________ 平行或共线，记作a∥b .零向量与 任一向量平行
1．有向线段就是向量，对吗？ 提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与 起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说 有向线段就是向量． 2．相等向量的起点相同，对吗？ 提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所 以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与
2. 小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿 南偏西60°走4 km，到达C点，又改变方向向西走2 km到达D
点．
(1)作出 AB ，BC，CD ； (2)求小李到达D点时与A点的距离．
1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向， 最后依据模的大小确定向量的终点．
2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，
)
解析：选D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向 量，就是看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，因为② ③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥ ⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．
2．给出下列命题：
①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起
点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零 向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共 线．其中正确的是( )
解：如图，以点C为起点作向量(共 8个)，以点B为起点作向量(共3个)．
3. 如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、 OCFB都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与 (2)写出与 相等的向量； 共线的向量．
1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意 分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等 与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质． 2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；
A．①② B．② C．②③ D．③④
解析：选B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度 不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个 非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向
相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点
不