第1章地震偏移成像基础
反射偏移成像的基本原理
方法原理地震勘探中的反射共偏移方法，利用该方法进行有效的相位对比与追踪可获得反射界面的位置及厚度关系。
现对其方法原理作以简单介绍。
反射共偏移法又称陆地声纳法，依据反射波勘探原理，在单边排列的基础上选定最佳偏移距，即最佳反射窗口，采用单道或多道叠加小步长顺移前进观测系统（图1）。
“偏移成像”功能指在给定速度等参数后将地震时间剖面转换成空间剖面一种数据处理技术。
它最大限度地将反射同相轴归位到空间反射点上，同时消除了由于倾斜界面、尖灭点等引起的反射相位“偏移”现象，因而有利于地震剖面的解释和应用。
它所应用的原理就是多次覆盖原理。
所谓多次覆盖就是共反射点水平叠加，简称水平叠加，它是20世纪60年代初期发展起来的地震勘探方法。
它的实质是对反射界面上同一反射点进行重复观测，而激发点和接收点是在不断改变。
从而达到增强有效波、压制干扰波。
单边排列观测系统(如图1所示)指仅在接收点排列一侧激发的观测形式。
设某一单边排列接收道数为R 、道间距为I 、偏移距为O 、移动步距为P ，由几何地震学知当界面水平时其反射段长度为：2)1(-*=R I L 当整个排列移动步距P 小于反射段L 时出现反射段重复即多次覆盖。
图1 单边排列多次覆盖示意图资料的处理与解释反射共偏移探测数据在自行研制开发的KDZ2.8软件平台上进行，其中时间域里主要处理过程包括：信号录入、格式转换、预处理、数字滤波、修饰处理和偏移剖面形成与显示等内容，其中预处理包括道集重排、振幅平衡、静校正、二次采样等，修饰处理包括空间混波等。
处理的结果是由获得偏移时间剖面，根据剖面中反射相位同相轴的连续追踪与对比，结合已知地质资料及地质体的各种特征进行解释，最终形成地质剖面。
不同地质体在时间剖面中具有不同的反射波同相轴特征，即反射时间不同。
其界面的具体位置要根据每一组反射波旅行时间进行深度计算。
偏移成像技术
1、偏移技术分类【叠前/后偏移】可根据不同的标准对目前的地震偏移成像技术进行简单分类：按照所依据的理论基础，可以分为射、线类偏移成像和波动方程类偏移成像；根据输入数据类型，可以分为叠前偏移和叠后偏移；根据实现的时空域，可以分为时间偏移和深度偏移；按照维数，可以分为二维偏移以及三维偏移等；1.1叠前偏移使CSP道集记录或COF道集记录中的反射波归位，绕射波收敛。
●叠前偏移有椭圆切线法【手工方法，不适用】、Rockwell偏移叠加法【波前模糊法的拓展，计算量也很大】和Paturet-Tariel偏移叠加法【为了进行偏移，我们应当把的曲线上的地震能量（即采样点振幅）送到零炮检距绕射双曲线的顶点M上去叠加。
这样, 把各个相同炮检距的剖面偏移后叠加在一起即得偏移叠加剖面】等1.2叠后偏移基于水平叠加剖面，采用爆炸反射面的概念实现倾斜反射层归位和绕射波收敛。
●叠后偏移有波前模糊法、绕射曲线叠加法【两种方法原理简单，都是基于惠更斯原理提出的，前者将一个道上的波场值送到各个道上去叠加—输出道法，后者把各个道上的相应值取来在一道上叠加—输入道法，但是计算量很大】2、偏移成像特点●具有地震勘探本身的特征●计算机使其研究由地震波运动学特征过度到地震波动力学特征●提高地震空间分辨率和保真度●偏移成像是使反射界面最佳成像的一种技术●处理反射波，使之成为反映地下界面位置和反射系数值的反射界面的像3、偏移成像原理图偏移过程定量分析【Chun and Jacewitz ，1981】2(tan )/4t dx v t θ=221/2{1[1(tan )/4]}t dt t v θ=--221/2tan tan /[1(tan )/4]t t t v θθθ=-3.1 偏移前后的图例4、偏移方法分类5、实际中应用的一些偏移算法5.1 Kirchhoff 积分法【波场外推】适用条件：只满足均匀介质的情况。
[]111'1111(,,,)'4S R u u u x y z t u dS vR n t n R R n π⎧⎫-∂⎡∂⎤∂⎡∂⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤'''⎡⎤=-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰式中的[[u]]不再是推迟场，而是超前场。
偏移成像技术
1、偏移技术分类【叠前/后偏移】可根据不同的标准对目前的地震偏移成像技术进行简单分类：按照所依据的理论基础，可以分为射、线类偏移成像和波动方程类偏移成像；根据输入数据类型，可以分为叠前偏移和叠后偏移；根据实现的时空域，可以分为时间偏移和深度偏移；按照维数，可以分为二维偏移以及三维偏移等；1.1叠前偏移使CSP道集记录或COF道集记录中的反射波归位，绕射波收敛。
●叠前偏移有椭圆切线法【手工方法，不适用】、Rockwell偏移叠加法【波前模糊法的拓展，计算量也很大】和Paturet-Tariel偏移叠加法【为了进行偏移，我们应当把的曲线上的地震能量（即采样点振幅）送到零炮检距绕射双曲线的顶点M上去叠加。
这样, 把各个相同炮检距的剖面偏移后叠加在一起即得偏移叠加剖面】等1.2叠后偏移基于水平叠加剖面，采用爆炸反射面的概念实现倾斜反射层归位和绕射波收敛。
●叠后偏移有波前模糊法、绕射曲线叠加法【两种方法原理简单，都是基于惠更斯原理提出的，前者将一个道上的波场值送到各个道上去叠加—输出道法，后者把各个道上的相应值取来在一道上叠加—输入道法，但是计算量很大】2、偏移成像特点●具有地震勘探本身的特征●计算机使其研究由地震波运动学特征过度到地震波动力学特征●提高地震空间分辨率和保真度●偏移成像是使反射界面最佳成像的一种技术●处理反射波，使之成为反映地下界面位置和反射系数值的反射界面的像3、偏移成像原理图偏移过程定量分析【Chun and Jacewitz ，1981】2(tan )/4t dx v t θ=221/2{1[1(tan )/4]}t dt t v θ=--221/2tan tan /[1(tan )/4]t t t v θθθ=-3.1 偏移前后的图例4、偏移方法分类5、实际中应用的一些偏移算法5.1 Kirchhoff 积分法【波场外推】适用条件：只满足均匀介质的情况。
[]111'1111(,,,)'4S R u u u x y z t u dS vR n t n R R n π⎧⎫-∂⎡∂⎤∂⎡∂⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤'''⎡⎤=-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰式中的[[u]]不再是推迟场，而是超前场。
论偏移成像技术方法
论偏移成像论文摘要地震偏移成像技术是现代地震勘探数据处理的三大基本技术之一，主要包括射线偏移和波动方程偏移两大类，主要目的是实现反射界面的空间归为和恢复反射界面空间的波场特征、振幅变化和反射系数，提高地震空间分辨率和地震保真度。
偏移技术具有地震勘探本身的特点，但是地震偏移方法本身由于使用计算机而引起了许多革命性的变化。
这就使得它从研究简单的探测目标的几何图形进而发展成研究反射界面空间的波场特征、振幅变化和反射率等，在本论文中主要介绍地震偏移成像技术的基本原理，地震剖面的偏移和叠加偏移，叠前部分偏移。
时间偏移和深度偏移等方面来介绍。
正文一、偏移成像的基本原理在水平叠加时间剖面上显示出来的反射点位置是沿地层下倾方向偏离了反射点的真实位置的，这种现象就称为偏移。
反射地震方法是根据在地面上以一定方式进行弹性波激发，并在地面的一定范围（孔径）内记录来自地下弹性分界面的反射波来研究地下地质岩层结构及其物性特征的一种方法。
因此，也可以把它看作一种反散射问题。
就反射地震观测方式的特点，它的成像问题要分作两步，第一步是按照一定的方式记录到达地面的反射波，第二步用计算机按一定的计算方法对观测数据进行处理，使之成为反映地下地质分层面位置及反射系数值的反射界面的像。
而地震偏移技术就是在第二步过程使反射界面最佳地成像的一种技术。
地震偏移可在叠前做也可在叠后做。
叠前偏移是把共炮点道集记录或共偏移距道集记录中的反射波归位到产生它们的反射界面上并使绕射波收敛到产生它的绕射点上。
在把反射波回投到反射界面上和绕射波收敛到绕射点上时要去掉传播过程的效应，如扩散与衰减等。
最后得到能够反映界面反射系数特点的并正确归位了的地震波形剖面，即偏移剖面。
叠后偏移是在水平叠加剖面的基础上进行的，针对水平叠加剖面上存在的倾斜反射层不能正确地归位和绕射波不能完全收敛的问题，采用了爆炸反射面的概念来实现倾斜反射层的正确归位和绕射波的完全收敛。
地震偏移的部分类型见表1-1。
02-地震勘资料处理与解释_地震偏移与成像
θ
P
1 1 ∂ϕ ∫∫ cosθds 2π s vr ∂t
1 ϕ x p , y p , z p , t = ∫∫ ϕ s ( x , y , z , t )ds s r
(
)
第三节 克希霍夫积分法偏移
克希霍夫积分公式:
ϕ ( x, y, z, t ) ≈
1 1 ∂ϕ cosθds ∫∫ t 2π s vr ∂
ϕ ( x, y, z, t ) ≈
1 1 ∂ϕ cosθds ∫∫ t 2π s vr ∂
第三节 克希霍夫积分法偏移
主要问题：
1）双曲线求和只适应于常速介质； 2）若更精确确定绕射曲线的形态，需要进行射线追踪； 3）保持振幅能力较差
第四节 波动方程偏移的成像原理
横向分辨率与菲涅尔带
2 2 2
由成像点的位置和速度决定 了迭加剖面上绕射双曲线的 轨迹，沿双曲线轨迹求和的 振幅作为成像点的振幅
偏移结果是成像剖面上的各 点沿叠加剖面上绕射双曲线 求和的结果
第二节 射线理论偏移
2.2 绕射扫描叠加法
振幅最强
r0 r
ϕ ( p, t )
θ
A0
二次震源与点源的区别：
方向性
问题：沿双曲线直接求和，没 有考虑二次震源的方向性问题， 即没有对双去向轨迹上的振幅 进行处理
v t ∆t dx = 4 ∆x
2
v∆t 1 1 dt = t − − t ∆ 2 x
2
∆τ ∆t = ∆x ∆x
1 v∆t 1− 2∆x
2
第一节 水平叠加存在的问题
地层倾斜时，反射同相轴不能代表地下界面的形态和位置
地震映像方法PPT课件
3、面波
4、绕射波
在介质中存在局部异常体或断层的断点、 岩性分界面时会产生绕射波
地震映像的野外工作方法
1）测量方法
共偏移距法
2）记录点的位置
激发和接收的中点，反映中点两侧射线传播范围 内地下的岩层、岩性的变化
3）最佳偏移距
不局限于反射波的最佳，而是扩展到全波列而言
地震映像法的应用
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
2、反射波
2、反射波
资料解释：
主要也是根据反射波同相轴的变化 反射波的传播时间主要是与界面深度有关
T 4z2 L2 V1
2、反射波
适用条件：
适用于存在波阻抗差异的各种地质条件 当界面深度发生变化时，反射波的传播时间会发
生变化，如在断层两侧现为突变；如果是倾斜 界面，反射点的位置会偏离记录点向界面的上倾 方向移动。同样可以可根据反射波同相轴的变化 情况定性推断界面的起伏情况。
1、洞穴的探测 2、岩石中溶洞 3、岩溶塌陷 4、基岩面起伏 5、 管线探测 6、 大型混凝土构件的质量检测 7、 水上连续探测 8、 断层的探测
1、人工洞穴的探测
人工土洞上的 地震映象图
1、人工洞穴的探测
岩溶作用形成 的土洞
2、岩石中溶洞的探测
以破碎带形式存 在的岩溶通道
较完整的石灰岩 中的岩洞
3、岩溶塌陷
桂林市中心广场
3、岩溶塌陷
黎塘水泥厂试验剖面
3、岩溶塌陷
溶沟
4、基岩面起伏：利用反射波
贵港某办公楼
4、基岩面起伏：利用反射波
贵港某办公楼
4、基岩面起伏：利用折射波
云南楚雄垃圾场试验剖面
4、基岩面起伏：利用折射波
地震偏移
地震正演
地震偏移
地震正演与反演结合、多源信息综合有利于储层的确定性解释和预测
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地震正演和反演的联合应用研究
地震剖面 (资料来自塔里木油田)
速度模型
零偏移距剖面
深度剖面
19
4.成像原理与实现方法
偏移有两个基本步骤：延拓与成像。延拓 又称外推，是将地面记录的波场值通过运算，
此时波的旅行时 t 2 AS / V ，反射记录放 在A’处，且 S A OS ，新的偏移距为OA’. 随着观测面向地下深处移动，具有特征： （1）偏移距愈来愈小； （2）旅行时间愈来愈短。 当偏移距缩小为零，则实现偏移归位
a. 为什么要做叠前偏移
b. 为什么要做叠前时间偏移 c. 如何做叠前时间偏移
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a.为什么要做叠前偏移
(1) 消除水平叠加过程中速度不正确的影响。提高偏移归位和成像质
量。水平叠加剖面质量如果存在问题，再好的偏移方法也无力回天；
(2) 消除水平叠加过程中的“倾角歧视”作用；提高横向分辨率，使陡
倾角界面和断面得以显现；
从理论上看,叠前深度偏移要优于叠前时间偏移。做叠前时间偏移主要是 从应用角度和偏移策略来考虑，因为： 1. 叠前深度偏移对速度模型的依赖程度高，若速度模型不正确，深度偏移效 果比时间偏移的效果还差； 2. 叠前深度偏移的成本高，因为：
a）要同时考虑绕射项和薄透镜项，计算时间长；
b）速度模型的调整要多次迭代，反复进行； c）若速度出现强的横向变化，叠前深度偏移常采用有限差分法或频率-波 数域法实现，但计算时间长。 3. 克希霍夫求和法属于时间偏移类，易处理起伏地形和三维偏移问题，且计 算效率高； 4. 利用层替换和基准面延拓等技术也可用时间偏移处理强横向速度变化问题。
地震数据处理 第一章：地震数据处理基础
3.速度分析(velocity Analysis)；
4.动校正(Normal Moveout Correction)消除由于炮检距不同引起同一
反射波达到时间的差异;
5.叠加(Stack)； 6.显示叠加剖面 (Display) (有波形、变面积、波形+变面积三种显示方式)；
从波形可看出波的振幅、周期、频率等动力学特点；从变面积的角度，它又突出了 反射层，较直观地反映地下构造形态的特点
ICTFT
f (t )
时 域 恢 复 时 域 抽 样
LT
F ( s)
S j j S
F ( j )
截 取 主 周 期 频 域 周 期 延 拓
ILT
j j n F ( e ) f ( n ) e n- DTFT : j j n f ( n) 1 F ( e ) e d 2
地震波不是简谐波，从波剖面中可得到相邻两峰或谷 间的距离称为视波长，其倒数为视波数。
地 震 波 场
地 震 波 场 时 间 切 片， 即 波 动 图
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ付里叶变换
一个正弦运动要用频率、振幅和相位才能完整 的描述。
在计算机中用快速算法实现付里叶变换（FFT）。
付里叶变换：
正变换：时域信号 分解 频域信号；
时 间 （s）
频率（Hz）
图1.1－11 几个没有相位延迟但峰值振幅相同的正弦波的总和产生一个带限对称子波， 表示在右边一道上(由星号标出)，这是一个零相位非对称子波
图1.1—12表示给在图1.l-11中的各正弦 波一个线性相位移所产生的结果。线性相 位移在频率域定义为：
时 间 （s）
模拟与数字信号 一道地震信号是一个连续的时间函数。在地震记录中，连续（模拟） 的地震信号在时间域按照固定的比例取样，叫做采样间隔。典型采样间 隔范围在1到4ms，高分辨率要求采样间隔小到0.25ms。 一般地说，给定采样间隔 ，则可恢复的最高频率为尼奎斯特（Niquist） 频率。公式如下：
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第一章地震偏移成像基础地震偏移技术是现代地震勘探数据处理的三大基本技术之一。
它是在过去的古典技术上发展起来的，其它两大技术都是从其它相关学科引进到地震中来的。
所以，偏移技术具有地震勘探本身的特征。
但是，地震偏移方法本身由于使用计算机而引起了许多革命性的变化。
这就是把它从研究简单的探测目标的几何图形进而发展成研究反射界面空间的波场特征、振幅变化和反射率等。
本章主要介绍地震偏移成像技术的基础知识。
首先给出偏移成像的概念；第二节介绍有限差分法的基础知识；第三节叙述基于波动方程的波场外推与地震成像原理；第四节讨论波场外推的Kirchhoff积分法；第五节简单分析Born近似和Rytov近似；最后阐述基于De Wolf近似、薄板近似、屏近似和相屏传播算子计算反向散射波场的方法。
§1.1 偏移成像的概念反射地震方法是根据在地面上以一定方式进行弹性波激发，并在地面的一定范围（孔径）内记录来自地下弹性分界面的反射波来研究地下地质岩层结构及其物性特征的一种方法。
因此，也可以把它看做是一种反散射问题。
就反射地震观测方式的特点，它的成像问题要分做两步，第一步是按照一定的方式记录到达地面的反射波，第二步用计算机按一定的计算方法对观测数据进行处理，使之成为反映地下地质分层面位置及反射系数值的反射界面的像。
而地震偏移技术就是在第二步过程使反射界面最佳地成像的一种技术。
地震偏移可在叠前做也可在叠后做。
叠前偏移是把共炮点道集记录或共偏移距道集记录中的反射波归位到产生它们的反射界面上并使绕射波收敛到产生它的绕射点上。
在把反射波回投到反射界面上和绕射波收敛到绕射点上时要去掉传播过程的效应，如扩散与衰减等。
最后得到能够反映界面反射系数特点的并正确归位了的地震波形剖面，即偏移剖面。
叠后偏移是在水平叠加剖面的基础上进行的，针对水平叠加剖面上存在的倾斜反射层不能正确地归位和绕射波不能完全收敛的问题，采用了爆炸反射面的概念来实现倾斜反射层的正确归位和绕射波的完全收敛。
地震偏移的效果见图1-1和图1-2。
地震偏移的类型见表1-1。
地震偏移技术在二十世纪六十年代以前是用手工操作的一种制图技术，只是用来求得反射点的空间位置，而不考虑反射波的特点。
它是一种古典的偏移方法。
早期的计算机偏移方法是在古典的偏移方法的基础上提出来的。
其中有的成功了，有的失败了。
成功的是那些符合波的传播特征的方法。
尽管这些方法使用了波前、绕射等地震波传播的惠更斯原理，但只是定性的、概念性的。
偏移剖面的质量虽然能够满足最基本的要求，但归位的精度和成像时的波形特征都不是很准确的。
因此，研究更有效的地震偏移方法是很迫切的。
二十世纪七十年代初J.Claerbout教授首先提出了用有限差分法解单程波动方程的近似式，用地面观测的地震数据重建地震波在地下传播过程中的波场，从这些传播过程的波场中提取使地震界面成像的那些数据，组成地震偏移剖面。
由于这种偏移方法在计算过程中要解波动方程或其近似式，所以被称为波动方程法偏移技术。
以后，French和Schneider等在绕射偏移法的基础上使用了波动方程解的Kirchhoff积分公式，发展为地震偏移的波动方程积分法。
使绕射偏移建立在可靠的波的基本原理上。
因而改善了偏移剖面，取得了良好的效果。
图1-1 (a)共中心点叠加剖面，(b)偏移剖面，(c)明显的绕射波D、偏移前的倾斜同相轴B和偏移后的倾斜同相轴A。
偏移使倾斜同相轴B归位到它的真实地下界面A，并使绕射波D收敛到其顶点P。
点画线指出了盐丘的边界。
图1-2 偏移前(a)及偏移后(b)弯曲反射界面(向斜和背斜)的形状。
详细情况见正文(模型据Union Oil Company)在二十世纪七十年代后期，Stolt和Gazdag等又先后提出了在频率-波数域解波动方程，外推地震波场的方法。
这种方法被称为F-K域偏移方法。
由于该方法计算简单，效率高，因而很快得到了推广。
上述三种波动方程偏移方法是同时并存的，因为它们各有自己的特点，因而不能用一个方法来取代其它方法。
使用时视具体条件和要求决定采用何种方法。
波动方程偏移方法在最近20年间迅速发展并不断完善，许多人对此做出了有益的贡献。
其中，Loewenthal等人的爆炸反射面的概念对于理解叠加剖面的偏移成像具有很大价值，Hubral，Larner等人提出的深度偏移的概念具有很大意义，Berkhout提出的偏移过程是一个空间褶积的概念对于偏移的横向分辨力的理解很有益处，马在田院士提出的高阶方程的分裂算法对提高有限差分法偏移的精度有很大贡献，Yilmaz等提出的双平方根法为解决叠前偏移奠定了基础。
现在仍有许多学者还在探索波动方程偏移技术，以期更加完善该方法。
表1-1 偏移方法分类§1.2 有限差分法的基础知识在计算机上进行数值运算，使用的是离散的和有限的数值，而不是连续的和无限的函数，为此要为离散数值的计算建立基本方法。
最基本和广泛使用的方法就是有限差分法，借助这一方法可以研究连续物理系统的性质，近似地、但相当精确地解出各种数理方程问题。
本节将概要地介绍有限差分法的基础知识，供以后各章解偏移方程使用。
一．差分方程的建立与求解1．有限差分的概念我们感兴趣的是用有限差分法解各类微分方程，因此，要把导数用有限差分来近似，所以我们这里只研究用有限差分近似导数的方法。
（1）一元函数差分法当一个函数u 和它的各阶导数是变量x 的单值的、有限的和连续的函数时，可以用泰勒原理展开为：⋅⋅⋅+∆+∆+∆+=∆+3332226121)()(dx u d x dx u d x dx du x x u x x u （1-1） 和⋅⋅⋅+∆-∆+∆-=∆-3332226121)()(dxu d x dx u d x dx du x x u x x u （1-2） 以上二式相加，得：)()(2)()(4222x dx u d x x u x x u x x u ∆O +∆+=∆-+∆+（1-3） 式中O(Δx 4)表示包含有Δx 的四阶和高于四阶以上的项。
从（1-1）~（1-3）式我们可以导出（图1-3）下列表示式：一阶向前差分：)]()([1x u x x u xu x -∆+∆=+δ )(x dxdu ∆O +=（1-4） 一阶向后差分： )]()([1x x u x u xu x ∆--∆=-δ )(x dx du ∆O +=（1-5） 一阶中心差分：)]()([21x x u x x u xu x ∆--∆+∆=δ)(2x dx du ∆O += （1-6）二阶差分：)]()(2)([122x x u x u x x u x u u x xx ∆-+-∆+∆==δδ)(222x dx ud ∆O +=（1-7） （2）多元函数差分法图1-3 一元函数差分法 图1-4 二元函数差分网格设有一个二元函数u(x, t)，我们用网格把它们离散（图1-4），令x=i Δx ，t=j Δti 和j 为整数。
用u i, j =u(i Δx, j Δt)表示各网格点上的函数值。
现在我们用泰勒级数展开下面各点之值为：),(],)1[(,1j i j i t x x u t j x i u u ∆+=∆∆+=+⋅⋅⋅+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=j i j i j i j i x ux x u x x ux u ,333,222,,)(61)(21)(（1-8）),(],)1[(,1j i j i t x x u t j x i u u ∆-=∆∆-=-⋅⋅⋅+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=j i j i j i j i x ux x u x x u x u ,333,222,,)(61)(21)(（1-9）由此可以求出对x 的一阶和二阶差分为：)(1,,1j i j i x u u xu -∆=++δ )(x x u ∆O +∂∂=（1-10） )(1,1,j i j i x u u xu ---∆=δ )(x x u ∆O +∂∂=（1-11） )(21,1,1j i j i x u u xu -+-∆=δ )(2x xu ∆O +∂∂=（1-12） )2(21.1,,12j i j i j i x xx u u u xu u -++-∆==δδ )(222x xu ∆O +∂∂= （1-13） 同理可求出对t 的一阶和二阶差分：)(1,1,j i j i t u u tu -∆=++δ )(t tu ∆O +∂∂=（1-14） )(11,,---∆=j i j i t u u tu δ )(t tu ∆O +∂∂=（1-15） )(211,1,-+-∆=j i j i t u u tu δ )(2t tu ∆O +∂∂=（1-16） )2(11,,1,22-++-∆==j i j i j i t tt u u u tu u δδ )(222t tu ∆O +∂∂=（1-17） 2．建立差分方程建立差分方程的方法很多，有积分法，物理量守恒法，变分法和最小平方法等。
对于常系数的微分方程来说，积分法是最简便的。
用积分法构造差分方程的过程见参考文献[1]。
3．差分方程的格式差分方程的格式基本可分为两大类：即显式格式和隐式格式。
在实际工作中又可以衍生出许多格式，甚至可以用显式与隐式联合形式的差分格式。
在这里我们仅以抛物型偏微分方程为例说明常用的显式格式和Crank-Nicolson 格式。
（1）显式格式设有抛物型偏微分方程：022=∂∂-∂∂x u t u σ （1-18） 经推导可具体写出差分方程为：)2(,1,,12,1,j i j i j i j i j i u u u x tu u -+++-∆∆+=σ （1-19）所用的差分网格如图1-5所示。
令γσ=∆∆2x t，则（1-19）式可写为：)2(,1,,1,1,j i j i j i j i j i u u u u u -+++-+=γ （1-20）其中j i u ,，j i u ,1-和j i u ,1+为已知值。
从第j 时间层上的已知值，可用（1-20）式直接计算出第1+j 时间层的值。
以此类推，可解出全时间上的物理量值。
图1-5 显式差分格式 图1-6 隐式差分格式（2）Crank-Nicolson 隐式格式虽然显式法计算上很简单，但它有一个严重的缺点，即时间步长t ∆一定要很小，必须满足2102≤∆∆<x tσ，才能保持计算上稳定并达到必要的精度。
Crank-Nicolson 在1947年提出了一个使所有的有限r 值都满足计算要求（收敛性和稳定性）的方法。
他们把22/xu ∂∂项用第j 和第j+1时间行上的平均差分来逼近。
求出下列的差分方程（图1-6）： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆+-+∆+-=∆--++-++++2,1,,121,11,1,1,1,222x u u u x u u u t u u j i j i j i j i j i j i ji j i σ （1-21） 由此得出下列等式：j i j i j i j i j i j i u u u u u u ,1,,11,11,1,1)1(2)1(2+-++++-+-+=-++-γγγγγγ （1-22） 其中，2x t∆∆=σγ。