有理数指数幂
幂函数、指数、对数、底数
符号 log 对数的意思是： 用几个 数与自己乘在一起会得到另一个数 指数为多少，会等于下面结果 ？
指数为 3 ， 会等于该结果，记做： 对数与指数相反。 用以上的例子：
指数用 2 和 3 来得到 8 （2乘3次为8） 对数用 2 和 8 来得到 3 （2 成为 8，当把3个2乘在一起时） 所以对数函数的答案是指数： 指数与对数时常用在一起，因为它们的效果是"相反"的（但底"a"要相同）：
那么幂函数的性质规律图像以及应用自然而然就成为数学中一个非常吸引人的话题
幂函数、指数、对数、底数
幂函数 、 指数 、 对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 、底数
参考文章
幂函数
y=xα（α为有理数） 8=23
8=2*2*2
幂函数一般形式
x称为底数 α称为指数 幂函数在高考数学 、高等数学 、工业化应用中有很大份量； 幂函数包含了数量丰富的各种函数，衍生出去，衔接了个数不菲的常用函数，譬如：一次函数、二次 函数、正比例函数、反比例函数、根式函数、立方函数.. ...那么，幂函数的性质、规律、图像以及应用，自然而然就成为数学中一个非常吸引 人的话题。
指数与对数互为"反函数"
实数指数幂和幂函数 教学设计-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
《实数指数幂和幂函数》教学设计 4.1.1有理数指数幂一.课程标准认识有理数指数幂mna 含义，掌握指数幂的运算性质.二.教学目标1.理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算性质；2.能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.三、教学重点：根式的概念及n 次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.四、教学难点：n 次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 五、教学过程一、创设情境，引入课题 1. 平方根和和立方根. 2.正整数指数幂的运算性质 二、归纳探索，形成概念 1. n 次方根若一个(实)数x 的n 次方,(2)n N n ∈≥等于a ，即n x a =，就说x 是a 的n 次方根。
那么如何表示n 次方根呢？我们分n 为奇数和n 为偶数两种情况来分别讨论n 次方根的表示方法。
例如，2=2=-；33x =-时，有x =若23x =，则x =43x =，则x =（1）当n 为奇数时，a ()a R ∈的n当a ＞00；当a ＝00；当a ＜00.（2）当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，即：其中正的n 0a <时, a 的n 次方根不存在。
（3）0的n 次方根为0=0. 2.根式,(2)n N n ∈≥，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．a =，问题3：n 与aa =是否一直成立？你能举出那些例子？7...===-7...=== 由此我们可得到1。
当na =。
2。
当na =。
问题4：那么，n 又能化简成什么呢？一直成立吗？预案：n a =，根据定义易知成立。
3.分数指数幂问题5：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。
,,(,0)(),()m n m n mm n nm n mn m m ma a a a a m n a aa a ab a b +-==>≠== 在这里,m n 均为正整数。
有理数指数幂知识点
有理数指数幂知识点一、有理数指数幂的概念。
1. 正整数指数幂。
- 定义：对于a∈ R，n∈ N^*，a^n=⏟a× a×·s× a_n个a。
例如2^3 = 2×2×2 = 8。
2. 零指数幂。
- 规定：a^0 = 1(a≠0)。
这是因为当a≠0时，a^m÷ a^m=a^m - m=a^0，而a^m÷a^m = 1。
3. 负整数指数幂。
- 定义：a^-n=(1)/(a^n)(a≠0,n∈ N^*)。
例如2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
4. 分数指数幂。
- 正分数指数幂：a^(m)/(n)=sqrt[n]{a^m}(a≥slant0,m,n∈ N^*,n > 1)。
例如4^(3)/(2)=√(4^3)=√(64) = 8。
- 负分数指数幂：a^-(m)/(n)=(1)/(a^frac{m){n}}=(1)/(sqrt[n]{a^m)}(a > 0,m,n∈N^*,n > 1)。
例如8^-(2)/(3)=(1)/(8^frac{2){3}}=(1)/(sqrt[3]{8^2)}=(1)/(4)。
二、有理数指数幂的运算性质。
1. 同底数幂相乘。
- a^m· a^n=a^m + n(a>0,m,n∈ Q)。
例如2^(1)/(2)×2^(1)/(3)=2^(1)/(2)+(1)/(3)=2^(3 + 2)/(6)=2^(5)/(6)。
2. 同底数幂相除。
- a^m÷ a^n=a^m - n(a>0,m,n∈ Q)。
例如3^(3)/(2)÷3^(1)/(2)=3^(3)/(2)-(1)/(2)=3^1 = 3。
3. 幂的乘方。
- (a^m)^n=a^mn(a>0,m,n∈ Q)。
例如(2^(2)/(3))^3=2^(2)/(3)×3=2^2 = 4。
数学高一知识点有理数指幂
数学高一知识点有理数指幂在数学高中第一年的学习中，有理数指数幂是一个重要的知识点。
有理数指数幂的概念和性质在学习数学过程中起到了至关重要的作用。
下面将就有理数、指数和幂三者分别进行阐述，并进一步探讨有理数指数幂的性质和运算规律。
1. 有理数：有理数指的是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
有理数可以用分数或小数形式表示，并且符合加法、减法、乘法和除法等运算规律。
例如，2、-5、0.25和-3/4都属于有理数。
2. 指数：指数是用来表示重复乘法的运算符号。
当指数为正整数时，表示将底数重复相乘；当指数为负整数时，表示将底数的倒数重复相乘。
指数还可以为零，此时结果为1。
例如，2³表示将2重复相乘3次，即2³=2×2×2=8；4⁻²表示将4的倒数重复相乘2次，即4⁻²=(1/4)×(1/4)=1/16。
3. 幂：幂是由底数和指数两个部分构成的数学运算。
底数表示被乘方的数，指数表示乘方的次数。
当指数为正整数时，幂表示底数连乘的结果；当指数为负整数时，幂表示底数连除的结果。
例如，2²表示将2连乘2次，即2²=2×2=4；3⁻³表示将3连除3次，即3⁻³=1/(3×3×3)=1/27。
4. 有理数指数幂的性质：- 有理数的任何正整数次幂都是正数，任何负整数次幂都是它的倒数。
- 有理数的零次幂为1，除零外的任何有理数的零次幂都等于1。
- 有理数的指数幂满足幂的运算规律，即底数相同时，指数幂相加得到幂的乘积，指数幂相减得到幂的除法，不同底数的指数幂相乘得到幂的乘积。
5. 有理数指数幂的运算规律：- 相同底数的指数幂相乘时，可以将指数相加，即aⁿ × aᵐ =aⁿ⁺ᵐ。
- 相同底数的指数幂相除时，可以将指数相减，即aⁿ ÷ aᵐ =aⁿ⁻ᵐ。
高一有理数指数幂知识点
高一有理数指数幂知识点有理数是指整数、分数和小数（有限小数和无限循环小数）。
而指数幂是数学中的一个重要概念，用于表示重复乘方的运算。
在高一的数学学习中，我们需要掌握有理数指数幂的基本概念、性质以及运算规则。
下面我们来逐一介绍。
一、有理数指数的概念和性质有理数指数表示以一个有理数作为底数，另一个有理数作为指数进行运算。
例如，a^b表示a的b次幂，其中a是底数，b是指数。
指数可以是正数、负数或零。
有理数指数的性质如下：1. 任何非零有理数的指数为零的幂等于1，即a^0 = 1（其中a≠0）。
2. 任何非零有理数的指数为正整数的幂等于自身乘以自身指数减一次方，即a^m = a^(m-1) * a（其中a≠0，m为正整数）。
3. 任何非零有理数的指数为负整数的幂等于其倒数的指数为相反数的幂，即a^(-n) = 1 / a^n（其中a≠0，n为正整数）。
4. 任何非零有理数的指数为两个正整数的比的幂等于底数的分子为该指数的幂，底数的分母为该指数的根，即a^(m/n) =(a^m)^(1/n) = (n√a)^m（其中a≠0，m、n为正整数且n ≠ 0）。
二、有理数指数幂的运算规则在进行有理数指数幂的运算时，需要掌握以下基本规则：1. 同底相乘：对于相同底数的有理数指数幂，底数不变，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 同底相除：对于相同底数的有理数指数幂，底数不变，指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 指数相乘：对于有理数指数幂的指数相乘，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 幂的乘方：对于幂的幂，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
5. 分式指数幂：对于分式指数幂，可以将指数分解成整数的形式，然后利用前面的运算规则进行计算。
需要注意的是，在进行有理数指数幂的运算时，如果底数为负数，指数为分数，需要考虑奇偶性和复数运算等特殊情况，具体应根据题目中的要求进行判断和计算。
有理数指数幂的运算
有理数指数幂的运算有理数指数幂是数学中的一个重要概念，它涉及到数的运算、指数、幂等基本概念。
在本文中，我们将讨论有理数指数幂的基本运算法则以及一些应用。
定义：有理数指数幂是指一个有理数作为底数，一个有理数作为指数，两者运算所得的结果。
有理数指数幂的基本运算法则如下：1. 同底数幂相乘，指数相加对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相加得到新的指数，即 am × an = am+n。
2. 同底数幂相除，指数相减对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相减得到新的指数，即 am ÷ an = am-n。
3. 幂的幂，指数相乘对于同一有理数a的幂am，当将其作为指数时，指数相乘得到新的指数，即 (am)n = amn。
4. 乘方与开方互为逆运算对于有理数a，m和n为任意整数，(am)n = amn。
5. 0的指数为1，1的任何指数为1任何有理数a的0次方都等于1，即 a^0 = 1；而1的任何指数都等于1，即 1^n = 1。
有理数指数幂的运算法则在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
应用一：科学计数法科学计数法是一种用于表示过大或过小数的方法。
它由两个因子组成，一个是大于等于1且小于10的实数，另一个是10的整数次方。
科学计数法可以简化大数或小数的书写和运算，并方便进行数字间的比较。
应用二：利息计算在金融领域，利息计算通常涉及有理数指数幂的运算。
例如，计算复利时，每年的利息是本金的一定比例，当利息再次投资时，利息也会得到增加。
这种增加的过程可以用有理数指数幂来表示和计算。
应用三：导数和微分在微积分中，导数和微分等运算都涉及到有理数指数幂的计算。
导数表示了函数在某一点处的变化率，微分则是对函数进行近似线性的变换。
这些运算常常会用到有理数指数幂的法则来简化计算过程。
总结：有理数指数幂运算是数学中一个重要的概念，它应用广泛，并且有着严格的运算法则。
通过熟悉和掌握这些运算法则，我们可以更加方便地处理数学问题，以及在实际生活中应用数学知识。
有理数指数幂
B. −4
B. －3
5.81的4次方根有（
A. 0个
C.
3
−8
D.
4
16
A ）.
4.81的4次算术根是（
A. 3
B ）.
C. ±3
D.没有意义
C. 2个
D. 4个
C ）.
B. 1个
二、填空题
1.－65的3次方根可以表示为
3
−65 ，其中根指数是
－65 .
2. 9＝
3 ， 3 8＝
2 ， 3 −64＝
个
1
＝ .
4.分数指数幂： ＝ （其中m、n∈N*且n＞1，当n为偶数时，a≥0）
−
＝
1
（其中 有意义，且a≠0）
一、选择题
1.计算－24，得（
A. －8
2.计算
A. －2
D ）.
B. 8
1
，得（
4
C. 16
D. －16
C ）.
B. 2
C.
1
2
1
2
D. ±
3.下列根式中，没有意义的是（
5
()6
2.化为分数指数幂的形式：
（1）
2
5
5
2
1
（2）
()3
3
()
−2
3.计算：
（1）
5
323
2
5
8
（3）27
1
9
（2）
4
25
2
−3
（4）
27
8
9
有理数指数幂
解析 (1)
(2)
3
4
3+
4
4
(3-3)4 (a≤1);
(1 − )4 .
根据根式的性质化简,注意被开方数的符号.
(3-3)4 =|3a-3|=3|a-1|=3-3a.
3+
4
(1 − )4 =a+|1-a|=
1, ≤ 1,
2-1, > 1.
课前预学
课堂导学
方法总结：根式化简求值解题思路:解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是
方法总结：指数幂运算的常用技巧:(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运
算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,
要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
提醒:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
(3)(ab)r=
(a>0,b>0,r∈Q).
有理数指数幂的运算性质的理解与巧记
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的,可以
用文字语言叙述:①同底数幂相乘,底数不变,指数相加;②幂的幂,底数不变,指数
相乘;③积的幂等于幂的积.
(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循:乘相加,除相减,幂相乘.
课前预学
课堂导学
问题 2: 问题 1 中没有 a<b<0 的限制条件,根号内的式子还能“穿墙”吗?
答案
能,但要注意讨论.
问题 3: ( a)n 中实数 a 的取值范围是任意实数吗?
答案 不一定,当 n 为大于 1 的奇数时,a∈R;
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13 6
a 5 a9
9 5
1
6
b13
3.用分数指数幂表示下列各式 （1） a 1 （2） 5 4
3 2
b
解： 2 3 a2 a 3 （1） 4 1 （2） 5 4 b 5
b
4.求值 1 （1） 492 1 （2）32 5 解： 1 （1） 492 （2） 32 1
n 次根试 二、
1、 次根式的概念
如果一个数的n次方等于a（n>1且n∈N*），那 么这个数叫做a的n次方根。即：若xn=a，则x叫 n 做a的n次方根，其中n>1且n∈N*。式子 a 叫 做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开放数。
n
2.根式的性质
1、当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数，负数的n次方根是一个负数，a的n 次方根用符号 n a 表示。 2、当n为偶数时，正数的n次方根有两个， 它们互为相反数，这时，正数的正的n次 n 方根用符号 a 表示，负的n次方根用符号 n a 表示。正负两个 n次方根可以合作为 （a>0 ）。 n a 4、负数没有偶次方根。 5、零的任何次方根都是零。
课堂练习
计算： （1） 0.013
3 2 ( ) （2） 2
（3）(3a )
2 2
解答
（1）
1 3 0.01 ( ) 100 3 10 6 1000000 100
3
（2） （3）
3 2 2 2 4 ( ) ( ) 2 3 9
1 1 (3a 2 ) 2 (3) 2 (a 2 ) 2 a 4 4 9 9a
例： （1）
4
81 3
4 81 3 （2）81的4次方根为：
三、分数指数幂
1.分数指数幂的概念
m n n m
a a
a
m n
(a 0)
(a 0)
1
n
a
m
2.用根式表示下列分数指数幂 9 （1） a 5 13 （2） b 6
解：（1） （2）
4.1有理数指数幂
一、整数指数幂
幂的概念 问：a2=a· a a3=a· a· a a4=a· a· a· a an=a· a· a…·a（n个a相乘） 解决办法： 我们把an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数， n叫做幂的指数。
2.正整数指数幂的运算性质 （1） am·an=am+n； （2） am÷an=am-n； （3）（am）n=am·n； （4）（a·b）n=anbn。 （5）a0=1（a≠0）； 1 -n ( a 0 , a N ) （6）a a = n
1 5
49 7
1 5
1 (2 )
1 5 5
32
1 2
四、归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？ 重点和难点各是什么？
五、自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？
六、继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节4.1； (2)书面作业： 学习与训练教材96页；