第一章习题答案
第一章 习题答案
第一章 习题答案1-1 根据题1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图(1) 将a ，b 与c ，d 用线连接成负反馈状态；(2) 画出系统方框图。
解 （1）负反馈连接方式为：d a ↔，c b ↔；（2）系统方框图如图解1-1 所示。
1-2 题1-2图是仓库大门自动控制系统原理示意图。
试说明系统自动控制大门开闭的工作原理，并画出系统方框图。
题1-2图 仓库大门自动开闭控制系统解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电解 c u 增高，偏差电压 r 。
此时，-=r e u u 使c u 过程：系统中，加热炉是被控对象，炉温是被控量，给定量是由给定电位器设定的电压r u （表征炉温的希望值）。
系统方框图见图解1-3。
1-4 题1-4图是控制导弹发射架方位的电位器式随动系统原理图。
图中电位器1P 、2P 并联后跨接到同一电源0E 的两端，其滑臂分别与输入轴和输出轴相联结，组成方位角的给定元件和测量反馈元件。
输入轴由手轮操纵；输出轴则由直流电动机经减速后带动，电动机采用电枢控制的方式工作。
试分析系统的工作原理，指出系统的被控对象、被控量和给定量，画出系统的方框图。
题1-4图 导弹发射架方位角控制系统原理图解 当导弹发射架的方位角与输入轴方位角一致时，系统处于相对静止状态。
当摇动手轮使电位器1P 的滑臂转过一个输入角i θ的瞬间，由于输出轴的转角i o θθ≠,于是出现一个误差角o i e θθθ-=，该误差角通过电位器1P 、2P 转换成偏差电压o i e u u u -=，e u 经放大后驱动电动机转动，在驱动导弹发射架转动的同时，通过输出轴带动电位器2P 的滑臂转过一定的角度o θ，直至i o θθ=时，o i u u =，偏差电压0=e u ，电动机停止转动。
这时，导弹发射架停留在相应的方位角上。
只要o i θθ≠，偏差就会产生调节作用，控制的结果是消除偏差e θ，使输出量o θ严格地跟随输入量i θ的变化而变化。
第一章习题参考答案
第一章自我检测题参考答案一、填空题1.PN结具有单向导电性，正向偏置时导通，反向偏置时截止。
2. 2.U T为温度的电压当量，当温度为室温时，U T≈m v。
26mV。
3. 3.半导体二极管2AP7是半导体材料制成的，2CZ56是半导体材料制成的。
N型锗，N型硅。
二、判断题1.二极管的反向击穿电压大小与温度有关，温度升高反向击穿电压增大。
（×）.2. .稳压二极管正常工作时必须反偏，且反偏电流必须大于稳定电流I Z。
（√）三、选择题1. 2CZ型二极管以下说法正确的是（B）A、点接触型，适用于小信号检波；B、面接触型，适用于整流；C、面接触型，适用于小信号检波2. 稳压二极管电路如图Z1.1所示，稳压二极管的稳压值U Z=6.3V，正向导通压降0.7V，则为U O(C)。
A.6.3VB.0.7VC.7VD.14V3.在图Z1.2所示各电路中，已知直流电压U I=3V，电阻，二极管的正向压降为0.7V，求U O=？解：(a)U O=0.7V (b)U O=1.5V (c)U O=4.3V第一章习题参考答案1.1判断题1.当二极管两端正向偏置电压大于死区电压，二极管才能导通。
（）2.半导体二极管反向击穿后立即烧毁。
（）1.√2.×1.2选择题1.硅二极管正偏时，正偏电压0.7V和正偏电压0.5V时，二极管呈现的电阻值（）A、相同；B、不相同；C、无法判断。
2.二极管反偏时，以下说法正确的是（）A、在达到反向击穿电压之前通过电流很小，称为反向饱和电流；B、在达到死区电压之前，反向电流很小；C、二极管反偏一定截止，电流很小，与外加反偏电压大小无关。
3.图P1.1所示电路，二极管导通时压降为0.7V，反偏时电阻为∞，则以下说法正确的是（ C ）。
A、VD导通，U AO=5.3V；B、VD导通，U AO=—5.3V；C、VD导通，U AO=—6V；D、VD导通，U AO=6V；E、VD截止，U AO=—9V。
电路理论习题解答 第一章
1.5
u /V
内阻不为零
+ us
R0
I
+
u
RL
−
伏安关系曲线
−
I/A 0.15
0
1.5
u /V
注：这里的伏安关系曲线只能在第一象限，原因也是，一旦出了第一象限， u 和 I 的比值就 变为负的了，反推出的 RL 就变为负值了，与题意不符。
V
V
1.5V
1.5V
R 内阻为零时 内阻不为零时
R
1-9 附图是两种受控源和电阻 RL 组成的电路。现以 RL 上电压作为输出信号,1)求两电路的电 压增益（A，gmRL）；2)试以受控源的性质，扼要地说明计算得到的结果。
1) 如果不用并联分压（在中学就掌握的东西），当然也可以用两个回路的 KVL 方程和顶部 节点的 KCL 方程，得出上面的 H(jω)的表达式，但是显然这样做是低效的。 2) 事实上，本课程的目的是希望学习者能够根据不同的题目，尽可能采用多种方法中的一 种最简单的方法去解决问题。因此， a) 只要没有要求，任意的逻辑完整的解题思路都是可取的； b) 学习者可以视自己的练习目的选择一种简单熟悉的方法、或者一种较为系统的方法、 或者多种方法来完成习题。
第一章习题答案 1-1 已知电路中某节点如图，I1=-1A,I2=4A,I4=-5A,I5=6A,用 KCL 定律建立方程并求解 I3 ( 4A )
图 1-1 解：由 KCL 定律：任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流入该节点的电流之和与 流出该节点的电流之和相同。 即： I1+I3+I4+I5=I2 =〉-1+（-5）+6+I3=4 =〉I3=4（A）
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经济学第一章习题集并课后习题-附(附答案)
课后习题答案：1、（1）P=3,Q=4; (2)|Ed|=3/2; (3)征税12、(1)X需求曲线为X=500/Px; (2)X=20, Y=50第一部分：需求和供给单选题0、生产可能性曲线上任何一点都隐含着资源配置是（）A.效率最大B.无效率C.有效率，但效率最低D.不一定1、影响需求量的主要因素中不包括( )A.产品价格B.消费者收入C.广告费用D.产品成本2、当需求的收入弹性为负值时，则这种产品应为( )A.低档货B.高档货C.正常货D.都有可能3、某企业生产甲、乙两种产品。
在企业现有资源的条件下，当生产甲产品12000单位时，可生产乙产品9000单位；当甲产品产量提高到14000单位时，乙产品的产量最大可达6000单位。
则乙产品转换为甲产品的边际转换率为( )A.0.15B.6.67C.1.5D.0.6674、影响供给量的主要因素不包括( )A.产品价格B.产品成本C.生产者对价格的预期D.消费者对未来价格的预期5、下列产品中，( )的收入弹性最大。
A.大米B.棉布C.高级工艺品D.食盐6、当某种商品处于( )时，不管价格上升还是下降，其销售收入均保持不变。
A.弹性需求B.单元弹性需求C.非弹性需求D.价格弹性大于17、下面哪种情况将导致供给的减少( )。
A.消费者收入的增加B.采用更加先进的技术C.消费者收入的减少D.生产成本的上升8、下列哪一项会导致粮食制品的均衡价格的下降?（）A.鸡蛋价格的增加B.良好的气候条件C.牛奶价格的下降D.收入的增加10、若需求曲线为一直线，则当价格从高到低不断下降时，卖者的总收益（）A. 不断增加B. 在开始时增加，达到最大值后趋于减少C. 不断减少D. 在开始时趋于减少，达到最小值后趋于增加11、收入和偏好是（）A. 影响供给的因素B. 影响需求的因素C. 在经济分析中可以忽略D. 上述都不准确12、导致需求量沿商品的需求曲线变动的现象发生的情况是（）A. 购买者的收入增加时B. 其它商品价格变化时C. 购买者的偏好变化时D. 当该商品价格下降时13、当社会上各种商品的供求平衡时，价格上涨( )A.能刺激生产，不能抑制需求B.不能刺激生产，能抑制需求C.能刺激生产，能抑制需求D.不能刺激生产，不能抑制需求14、提价1倍后，对需求量不会有很大影响的商品是( )A.彩电B.自行车C.食盐D.高级服装15、在得出某种商品的个人需求曲线时，不保持．．．为常数的因素是（）A. 个人收入B. 其余商品的价格C. 所考虑商品的价格D. 个人偏好16、销售收入与产品价格之间的关系为（）A. 产品价格上涨时，产品销售收入一定增加B. 产品价格上涨时，产品销售收入一定减少C. 产品价格上涨时，产品销售收入可能增加，也可能减少D. 产品价格上涨时，产品销售收入一定保持不变17、不会．．使需求曲线移动的因素是（）A.消费者收入的增加B.商品价格下降C.其他有关商品价格下降D.消费者偏好变化18、需求和供给同时减少的情况下（）A.均衡价格的变化无法确定，均衡交易量将下降B.均衡价格将下降，均衡交易量的变化无法确定C.均衡价格和均衡交易量都将下降D.均衡价格将上升，均衡交易量将下降19、在某一时期内彩色电视机的需求曲线向左平移的原因是（）A.彩色电视机的价格上升B.消费者对彩色电视机的预期价格上升C.消费者对彩色电视机的预期价格下降D.黑白电视机的价格上升20、下列哪种情况会导致需求曲线向左移?( )A. 互补商品价格涨价B.C. 消费者对该商品的偏好上升D.21、如果政府干预市场，并对某种竞争性商品实现最高限价，则会有( )A. 供大于求B. 排队购买该商品C. 厂商增加D.补21、高于均衡价格的现象说明（）A、市场处于一种供大于求的状态；B、市场处于一种供不应求的状态C、市场处于一种既不是供大于求，又不是供不应求的状态D、市场处于一种出清的状态22、某商品的价格从5美元下降到4美元，需求量增加了100单位，需求为（）A．缺乏弹性；B．富有弹性；C．不能确定； D. 单位弹性；23、收入的增加会导致( )。
物理初二第一章练习题答案
物理初二第一章练习题答案1. 速度和加速度的关系根据物理学的基本概念，速度是物体运动的一个重要参量，而加速度则表示物体速度变化的快慢。
在初二的物理学习中，我们常常需要研究速度和加速度之间的关系。
以下是第一章练习题的答案：题目1：一个从静止开始的物体以恒定的加速度3 m/s²沿着一条直线运动，求它在5秒后的速度是多少？答案：根据物理学中的加速度公式v = u + at，其中v是末速度，u是初速度，a是加速度，t是时间。
给定初速度u=0，加速度a=3 m/s²，时间t=5秒。
代入公式计算可得v = 0 + 3 × 5 = 15 m/s。
题目2：一辆汽车在道路上以25 m/s的速度匀速行驶，经过10秒后它的位置是多少？答案：根据物理学中的位移公式s = ut，其中s是位移，u是速度，t 是时间。
给定速度u=25 m/s，时间t=10秒。
代入公式计算可得s = 25 ×10 = 250 m。
题目3：一个物体的速度从10 m/s增加到20 m/s，经过2秒的时间，求它的加速度是多少？答案：根据物理学中的加速度公式a = (v - u) / t，其中a是加速度，v是末速度，u是初速度，t是时间。
给定初速度u=10 m/s，末速度v=20 m/s，时间t=2秒。
代入公式计算可得a = (20 - 10) / 2 = 5 m/s²。
2. 动量守恒定律在物理学中，动量守恒定律是一个重要的原理，它指出在一个系统内，所有物体的总动量在没有外力作用的情况下保持不变。
以下是第一章练习题中涉及到动量守恒定律的答案：题目1：一辆质量为1000 kg的小轿车以20 m/s的速度向东行驶，和一辆质量为1500 kg的卡车以15 m/s的速度向东行驶发生碰撞，碰撞后两车结合在一起，求结合后的速度是多少？答案：根据动量守恒定律，碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。
小轿车的动量为mv1，卡车的动量为mv2，碰撞后的总动量为(m1 +m2)v。
第一章课后习题答案
第一章课后习题答案1、5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？解：(a) 若女生在一起，可将5个女生看作一个整体参与排列，有8!种方式，然后5个女生再进行排列，有5!种方式，根据乘法法则，共有8!5!种方式。
(b) 若女生两两不相邻，可将7个男生进行排列，有7!种方式，考虑到两个男生之间的6个位置和两头的2个位置，每个位置安排一个女生均符合题意，故从中选出5个位置，然后5个女生再进行排列，按顺序安排到这5个位置，有C(8, 5)5!种方式，根据乘法法则，共有7!C(8, 5)5!=7!P(8, 5)种方式。
(c) 若两男生A和B之间正好有3个女生，可以按照顺序操作如下：首先将女生分为两组，一组3人，一组2人，有C(5, 3)种方式；将男生A和B看作一个整体，加上其他5个男生，2人一组的女生进行排列，有8!种方式；将3人一组的女生安排到男生A和B之间进行排列，有3!种方式；男生A和B进行排列，有2!种方式。
根据乘法法则，所求的排列方式为8!C(5, 3)3!2!=8!P(5, 3)2!2、求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
解：设介于3000到8000之间的奇整数表示为abcd，则a∈{3, 4, 5, 6, 7}, d∈{1, 3, 5, 7, 9}，对a进行分类如下：(1) 若a∈{3, 5, 7}，则d有4种选取方式，bc有P(8, 2)种方式，根据乘法法则，此类数字有3⨯4⨯P(8, 2)=672个(2) 若a∈{4, 6}，则d有5种选取方式，bc仍有P(8, 2)种方式，根据乘法法则，此类数字有2⨯5⨯P(8, 2)=560个根据加法法则，3000到8000之间数字不同的奇整数的数目为672+560=1232个3、证明nC(n-1, r)=(r+1)C(n, r+1)，并给出组合解释。
第一章复习题答案
复习题第一章一、单选题1、当两个异性带电物体互相靠近时，它们之间就会（）。
A、互相吸引B、互相排斥C、无作用力D、不能确定2、通过电磁感应现象可以知道，当导体的切割速度和磁场的磁感应强度一定时，导线的切割长度越短，则导体中的感应电动势( )。
A、越小B、不变C、越大D、不确定3、在电路中，电阻的联接方法主要有( )。
A、串联和并联B、并联和混联C、串联和混联D、串联、并联和混联4、一般规定参考点的电位为( )V。
A、-1B、0C、1D、25、已知一部分电路的端电压为10V，电阻为5ΩW，则电流的电流为（）A。
A、1B、2C、5D、106、磁感应强度B与垂直于磁场方向的面积S的乘积，称为通过该面积的（）。
A、电磁力FB、电场强度EC、磁通量FD、磁场强度H7、在直流电路中，电感元件的（）。
A、容抗值大于零B、感抗值大于零C、感抗值等于零D、感抗值小于零8、（）是衡量电源将其他能量转换为电能的本领大小的物理量。
A、电流B、电压C、电动势D、电功率9、在感性负载交流电路中，采用（）的方法可提高电路功率因数。
A、串联电阻B、并联电阻C、串联电容D、并联电容10、在纯电容交流电路中，电路的（）。
A、有功功率小于零B、有功功率大于零C、有功功率等于零D、无功功率等于零11、判定通电直导线周围磁场的方向，通常采用( )进行判定。
A、左手螺旋定则B、安培环路定理C、右手螺旋定则D、楞次定律12、规定在磁体外部，磁力线的方向是（）。
A、由S极到达N极B、由N极到达S极C、由N极出发到无穷远处D、由S极出发到无穷远处13、已知一段电路消耗的电功率为10W，该段电路两端的电压为5V,则该段电路的电阻为（）W。
A、10B、2C、5D、2.514、三相对称交流电源的特点是（）。
A、三相电动势的幅值和频率相等，初相位互差120°B、三相电动势的幅值和频率相等，初相位互差90°C、三相电动势的幅值和频率不相等，初相位互差120°D、三相电动势的幅值和频率不相等，初相位互差90°15、电功率的常用单位符号是（）。
第1章 习题答案
第一章习题答案1．问答题（1）计算机的发展经历了哪几个阶段？各阶段的主要特征是什么？答：根据计算机所采用的电子元件不同可划分为：电子管计算机、晶体管计算机、集成电路计算机和大规模超大规模集成电路计算机等四个阶段。
第一代计算机主要特点是：内存容量非常小；计算机程序设计语言为机器语言；尚无操作系统出现，操作机器困难。
它体积庞大、造价昂贵、速度低、存储容量小、可靠性差、不易掌握，主要应用于军事目的和科学研究领域的狭小天地里。
第二代计算机主要特点是：采用了晶体管的电子元件；内存储器容量扩大到几十万字节；计算机软件有了较大发展，出现了监控程序并发展成为后来的操作系统；推出了Basic、Fortran、Cobol高级程序设计语言。
主要应用范围由单一的科学计算扩展到数据处理和事务管理等其他领域。
第三代计算机的特点是：体积、重量、功耗进一步减小，运算速度、逻辑运算功能和可靠性进一步提高；软件在这个时期形成了产业；出现了分时操作系统；提出了结构化、模块化的程序设计思想，出现了结构化的程序设计语言Pascal。
这一时期的计算机同时向标准化、多样化、通用化发展。
第四代计算机的特点是：磁盘的存取速度和容量大幅度上升；体积、重量和耗电量进一步减少；计算机的性能价格比基本上以每18个月翻一番的速度上升；操作系统向虚拟操作系统发展，数据库管理系统不断完善和提高，程序语言进一步发展和改进，软件行业的发展成为新兴的高科技产业；计算机的应用领域不断向社会各个方面渗透。
（2）未来计算机发展的趋势是什么？答：现代计算机的发展表现为两个方面：一是巨型化、微型化、多媒体化、网络化和智能化5种趋向；二是朝着非冯·诺依曼结构模式发展。
（3）计算机的特点是什么？答：①处理速度快②计算精度高③存储容量大④可靠性高⑤工作过程的全自动化⑥适用范围广，通用性强（4）计算机的类型有哪些？答：①按其处理数据的形态分为：数字计算机、模拟计算机、混合计算机②按其使用范围分为：通用计算机、专用计算机③按其本身性能分为：超级计算机、大型计算机、小型计算机、微型计算机、工作站（5）简述计算机的应用领域。
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随机信号分析第一章答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()())0.210.520.33i i if x p x x x x x δδδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i iF x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（9.10. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae-=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 11. 12.13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
解：（1）()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijF x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijf x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑（2）X 的分布律为（i ij jP P ⋅=∑）()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+=（3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
14.15. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y V X Y =+⎧⎨=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为()()22221,,,2x y XY f x y ex y Rπ+-=∈由反函数 22u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 1112211222J ==--， ()()()22241,,,,4u v UV XY f u v f x y J eu v R π+-=⋅=∈由于,（3）22224441114u v u v ee e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈所以随机变量U 与V 相互独立。
16. 17. 18. 19.20. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设 3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。
（22()()D U EU EU =-）解：首先，22()()5EX D X EX =+=，22()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7XY E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=+⨯=于是(3)36EU E X Y EX EY =+=+=(2)25EV E X Y EX EY =-=-=-()2222222()()3()(96)()76D U EU EUE X Y EU E X XY Y EU =-=+-=++-=()2222222()()2()(44)()52D V EV EVE X Y EV E X XY Y EV =-=--=-+-=[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-(,)()40Cov U V E UV EU EV =-⨯=-21. 22.23. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。
随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试求（1） (),(0)E Y X X a ≤≤； （2） EY解：（1）对[0,]x a ∈有，()2a XE Y X +=（2）/23(())224a Xa a EY E E Y X E a ++⎛⎫====⎪⎝⎭24.25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。
进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此独立。
求：造成损坏的粒子平均数目。
解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示1,1,2,,0i X i N⎧==⎨⎩ 造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数1Nii Y X ==∑ ，于是()11(|)(|)|ni i ni i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑可合理地认为N 和i X 是独立的，于是()1(|)ni i E Y N n E X np====∑()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ====27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布：()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++（4）指数分布：303(),xx e f x -≥⎧=⎨⎩其他解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦， 如果c=0，则()1X v φ=。
（2）{}()()0001()!!jv jvjvX jvk X k kjv k jvk k k e e v E e e P X k e e e e k k e e e λλλλλφλλ∞=∞∞--==--⎡⎤===⎣⎦====∑∑∑（3）()11()0.40.60.40.6jv jvX jv jv jvX v E e e e e e φ--⎡⎤==⨯+⨯=+⎣⎦（4）3(3)003()333jvXjvx xjv xX v E e e e dx edx jv φ+∞+∞--⎡⎤==⨯==⎣⎦-⎰⎰28. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()v v v φφφ，求下列随机变量的特征函数：（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； （4）1232410X X X X =+++；解：（1）12X X X =+12()()()jvXX v E e v v φφφ⎡⎤==⎣⎦（2）123X X X X =++同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）12323X X X X =++123()()(2)(3)X v v v v φφφφ=（4）1232410X X X X =+++10123()(2)()(4)jv X v e v v v φφφφ=29. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。
（1）2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++；（2）()0.30.7jvjvv eeφ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=-；（4）()(sin 5)/(5)v v v φ=；解：（1）1()ikj v x i i v p eφ==∑()()1ki i i f x p x x δ==-∑2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X jφ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()()222222(0)20.340.220.240.1 6.8E Xj φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=（2）()11()0.30.7jv jv v eeφ⋅⋅-=+()()()0.310.71f x x x δδ=-++()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==⨯+-⨯=-()()()2222(0)10.310.71E Xj φ''=-=⨯+-⨯=()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-=（3）()4/(4)v jv φ=-()4/(4)v jv φ-=+利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，()44()xf x e u x -=()4/(4)v jv φ=-()()(0)k k k E X j φ⎡⎤=-⎣⎦()21(0)/4(4)4v E X j jv φ-='==-= ()231(0)8(4)8v E Xjv φ-=''=-=-= ()()22111()81616Var X E X E X =-=-=。
（4）()()sin /2()2/2x t p t sa τωτωτττωτ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭sin 51sin10/2()10()51010/2v v v v v v φφ⎡⎤==⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦ ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。