《微积分二》二重积分
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
《微积分二》二重积分
例 例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解 矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以
D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念 二、二重积分的计算
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一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
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二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
A(x0)
2 ( x0 )
设 f ( x, y ) 0 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
f (x0, y) d y
对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 2 2
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二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。
在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。
本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。
一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。
定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。
1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。
当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。
具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。
2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。
（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。
二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。
具体可以分为以下两种情况。
1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。
《微积分二》二重积分共45页PPT
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
谢谢！
39、没有不老Байду номын сангаас誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用二重积分是微积分中重要的计算工具之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍二重积分的定义、计算方法和应用。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在一个有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，则二重积分的定义如下：∬D f(x,y) dA = lim Δσ→0 ∑ f(xi,yi) Δσ,其中D是平面上的一个有界闭区域，Δσ是D中的一个小面积，Δσ=ΔxΔy，xi和yi是Δσ的中点。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系中的二重积分直角坐标系中的二重积分可以通过重积分法进行计算，即首先对其中的一个变量积分，再对另一个变量积分。
2.极坐标系中的二重积分对于极坐标系中的二重积分，可以将二元函数表示为极坐标形式，再进行积分计算。
设D是在极坐标系下的一个有界闭区域，则有：∬D f(x,y) dA = ∫θ1^θ2 ∫r1^r2 f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ,其中θ1和θ2是θ的取值范围，r1和r2是r的取值范围。
三、二重积分的应用二重积分在许多领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用。
1.面积计算二重积分可以用于计算平面区域的面积。
设D是平面上的一个有界闭区域，用f(x,y)=1表示D上每一点的函数，那么二重积分∬Df(x,y)dA就等于D的面积。
2.质量、质心和转动惯量二重积分可以用于计算平面物体的质量、质心和转动惯量。
设D是平面上的一个有界闭区域，其上的密度函数为ρ(x,y)，则二重积分∬Dρ(x,y)dA就等于D上物体的质量。
质心的坐标可以通过二重积分的计算得到，分别为Xc=∬Dxρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA，Yc=∬Dyρ(x,y)dA/∬Dρ(x,y)dA。
转动惯量的计算也可以类似地进行。
3.二维几何中心和弧长二重积分可以用于计算平面曲线的几何中心和弧长。
设曲线L由参数方程x=f(t)，y=g(t)表示，其中a≤t≤b，则曲线的几何中心的x坐标为Xc=1/L ∫a^b x(t) ds，y坐标为Yc=1/L ∫a^b y(t) ds，其中L=∫a^b √[f'(t)^2+g'(t)^2] dt。
二重积分的算法
二重积分的算法1. 引言在微积分中，二重积分是一种对平面上的函数进行求和的方法。
它可以用来计算平面上某个区域内函数值的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的算法，并详细说明如何进行计算。
2. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将闭区域D分成许多小区域ΔA i，其中i=1,2,…,n。
选择一个点(x i∗,y i∗)属于第i个小区域ΔA i，则二重积分可以定义为：∬f D (x,y)dA=limmaxi∥ΔA i∥→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i其中∥ΔA i∥表示小区域ΔA i的面积。
3. 计算二重积分的基本步骤计算二重积分的基本步骤如下：步骤1：确定积分区域首先需要确定要进行积分的区域D。
这个区域可以是矩形、三角形、圆形等等。
根据实际情况选择适当的坐标系，并确定区域的边界方程或者坐标范围。
步骤2：确定积分顺序根据实际情况，选择适当的积分顺序。
二重积分可以按照x先积分再积分y，也可以按照y先积分再积分x。
选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
步骤3：确定积分限根据积分区域和所选的积分顺序，确定每个变量的取值范围。
这些取值范围将成为二重积分的限制条件。
步骤4：进行二重积分计算根据所选的积分顺序和限制条件，将二重积分转换为一重积分或多个一重积分的组合。
使用数值方法或解析方法进行计算，得出最终结果。
4. 二重积分的常用算法在实际计算中，有几种常用的算法可用于求解二重积分。
矩形法矩形法是最简单直观的方法之一。
它将区域D划为若干个小矩形，并在每个小矩形的中心点处取样。
然后将每个样本值乘以对应小矩形的面积，再求和得到最终结果。
梯形法梯形法是一种改进的方法，它将区域D划分为若干个梯形，并在每个梯形的两个底边中点处取样。
然后将每个样本值乘以对应梯形的面积，再求和得到最终结果。
辛普森法则辛普森法则是一种更高级的方法，它利用了二次多项式的性质。
它将区域D划分为若干个小矩形，并在每个小矩形的四个顶点处取样。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
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D
n
其中D称为积分区域 f(x, y)称为被积函数 d 称为面积元素
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定义88(二重积分) 设f(x, y)是有界闭区域D上的二元函数 将D任意分成n个小区域n (i1, 2, , n) 在每个小区域i上任取一点(xi, yi) 作积分和
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例1. 利用二重积分的几何意义求下列二重积分.
(1) 2d , D : 由y x, y 2 x及y 2围成
D
(2) R 2 x 2 y 2 d , D : x 2 y 2 R 2
D
解： (1) 表示以平面z2 为顶、区域D为底的柱体的体积，
1 2 d =S 2 = 1 2 2 =2 D 2 D (2) 表示以球面z R 2 x 2 y 2 为顶，区域D : x 2 y 2 R 2 为底的曲顶柱体体积， 即半球的体积.
故 故
D
1 4 3 2 3 R x y d = R = R 3 2 3
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定义88(二重积分) 设f(x, y)是有界闭区域D上的二元函数 将D任意分成n个小区域n (i1, 2, , n) 在每个小区域i上任取一点(xi, yi) 作积分和
f (xi, yi ) i
i 1
n
如果当各小区域直径中的最大值d趋于0时 积分和的极 限存在 且与小区域的分割及点(xi, yi)的选取无关 则称此极 限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分 记作
0 0
1
1
e d x e y d y
x 0
1
( e d x)( e y d y)
x 0 0
1
1
(e1)2
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特殊地， Ⅰ. 若区域D是一矩形，即D {( x, y) | a x b , c y d}
f ( x, y)dxdy
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一、二重积分的基本概念
引例(曲顶柱体的体积) •用曲线网把D分成小区域 1 2 n •用小平顶柱体的体积近似代 替小曲顶柱体的体积Vi Vif(xi yi)i •用小平顶柱体的体积之和近 似代替整个曲顶柱体体积
2 ( x)
1( x)
f (x, y)d y]d x
提示 当 f(x, y)0 时 二重积分 f (x, y)d x d y 表示以曲面 截面是以区间[1(x0) 2(x0)] 为底、以曲线zf(x0 y)为曲 D 边的曲边梯形 zf(x, y)为顶 以闭区域D为底的曲顶柱体的体积V
0
1
1 x 2
0
x2 y d y
x2 d x
0 1
1
1 x2
0
yd y
2 y 1 x2 2 x ( )0 d x 0 2 1 1 x 2 (1 x 2)d x 2 0 3 5 1 1 x x 1 ( )0 2 3 5 15
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性质 3 如果闭区域 D 划分为两个闭区域 D1 与 D2 则
f ( x, y) d f ( x, y) d f ( x, y) d D D D
1 2
性质 4
1d d A (A 为 D 的面积) D D
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mA f (x, y) d MA
D
性质 7 设函数f(x, y)在闭区域D上连续 A 为D的面积 则 在D上至少存在一点( ) 使得
f (x, y) d f ( , ) A D
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二、二重积分的计算
2 2 2
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二重积分的性质 二重积分与一元函数定积分具有相应的性质 下面论及 的函数均假定在区域D上可积
性质 1 性质 2
kf (x, y) d k f (x, y) d D D
(k 为常数)
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y) d g(x, y) d D D D
§8.7 二重积分
一、二重积分的基本概念 二、二重积分的计算
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一、二重积分的基本概念
我们仿照求曲边梯形的面积的方法来求曲顶柱体的体积
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例 例2. 1 计算二重积分 e x y d x d y 其中区域 D 是由 x0
x1 y0 y1围成的矩形
D
解 矩形区域D可表示为 D{(x y)| 0x1 0y1} 且exyexey 所以
D
e
1 0
x y
d x d y d x e x e y d y
Vn f ( xi , yi ) i
i 1 n
•将分割加细 取极限 求得曲 顶柱体体积的精确值
V lim f ( xi , yi ) i
d 0 i 1 n
i (xiyi)
提示 其中d为各小区域直径的最大值
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一、二重积分的基本概念
引例(曲顶柱体的体积) 设函数zf(x, y)在有界闭区域D上连续 且f(x, y)0 试求 以曲面zf(x, y)为顶 以区域D为底 以平行z轴的直线为母线 的曲顶柱体的体积
y
D
o
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D D
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x
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f ( xi , yi ) i f (x, y) d lim d 0 i 1
D
n
二重积分的几何意义
zf(x, y) 在D上为正 在D上为负 在D上有正 有负
f (xi, yi ) i
i 1
n
如果当各小区域直径中的最大值d趋于0时 积分和的极 限存在 且与小区域的分割及点(xi, yi)的选取无关 则称此极 限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分 记作
f ( xi , yi ) i f (x, y) d lim d 0 i 1
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例 3. 2 计算二重积分 x 2 y d x d y 其中区域 D 是由 x0 y0
与x2y21所围成的第一象限的图形 解 D 可表示为 D{(x, y)|0x1, 0y 1 x2 } 所以
D
D
x 2 y d x d y d x
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1 在直角坐标系下二重积分的计算
(1)区域D为X型区域
b a
D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
2 ( x)
1 ( x)
y [ ff(( xx , ,yy ))d dyx ]d dx y f (x, y) d x d或写成
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二重积分的性质
性质 5 如果在区域 D 上总有 f(x, y)g(x, y) 则 f (x, y) d g (x, y) d
D D
特殊有 | f (x, y) d | | f (x, y)|d
D D
性质 6 设M与m分别是f(x, y)在D上的最大值和最小值 A 为D的面积 则有
1 在直角坐标系下二重积分的计算 ----化为两次定积分来计算
(1)区域D为X型区域 D{(x y)| axb 1(x)y2(x)}
(2)区域D为Y型区域 D{(x y)| cyd 1(y)x2(y)}
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二重积分的计算 (1)区域D为X型区域
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f (xi, yi ) i f (x, y) d lim d 0 i 1
D
n
以曲面zf(x, y) 为顶、区域D为底的 曲顶柱体的体积
以曲面zf(x, y) 为顶、区域D为底的 曲顶柱体的体积的负值 xy面上方的柱体体积与 xy面下方的柱体体积之差
1( x0 )
曲顶柱体体积为
V A(x) d x
a b
[
a
b
2 ( x)
1( x)
f (x, y)d y]d x
b
即
f (x, y) d x d y [
D
a
2 ( x)
1 ( x)
f ( x, y) d y]d x
注 计算一般二重积分只需取消f(x y)0的限制