计算二重积分的几种方法

- 1 - 计算二重积分的几种方法 摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法. 关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法

1 引言 本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。

2 积分的计算方法 2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法 定理1 若函数,fxy在闭矩形域,Raxbcyd可积，且,xab，定积分,dcIxfxydy

存在，则累次积分,bdacfxydydx也存在，且

(,)(,)bdacRfxydxdyfxydydx



证明 设区间,ab与,cd的分点分别是 011011iinkkmaxxxxxbcyyyyyd





这个分法记为T.于是，分法将T闭矩形域R分成mn个小闭矩形，小闭矩形记为 11(,),1,2,,;1,2,,.ikiikkRxxxyyyinkm - 2 -

设1sup,,inf,.,ikikiiiMfxymfxyxx，有1,,ikiikkkmfyMyyy.已知一元函数,ify在1,kkyy可积，有11,,kikkiikkkkkkmyfydyMyyyy.将此不等式对1,2,km…相加，有1111,kkmmmyikkiikkykkkmyfydyMy，其中11,,kkmydiiiyckfydyfydyI，即11mmikkiikkkkmyIMy

.再将此不等式乘以

ix，然后对1,2,in…相加，有11111nmnnmikikiiikikikiikmxyIxMxy.此不等式的

左右两端分别是分法T的小和()sT与大和()ST，即 1niiisTIxST. (1) 已知函数,fxy在R可积，根据定理有 00limlim(,),TTRSTsTfxydxdy 又不等式（1），有01lim,niiTiRIxfxydxdy，即,,.bbdaacRfxydxdyIxdxfxydydx



类似地，若,fxy在闭矩形域

,Raxbcyd可积，且,,ycd定积分存在，则累次积分,dbcafxydxdy，也存

在，且,,dbcaRfxydxdyfxydxdy. 也可将累次积分,bdacfxydydx与,dbcafxydxdy分别记为,bdacdxfxydy和,dbcadxfxydy

.

定义1 设函数12,xx在闭区间,ab连续；函数12,yy在闭区间,cd连续，则区域12,,,xyxyxxab和12,,,xyyxyycd分别称为x型区域和y型区域.如下图（1）和（2）所示 . - 3 -

定理2 设有界闭区域R是x型区域，若函数,fxy在R可积，且,xab，定积分21,xxfxydy存在，则累次积分



2

1,bxaxdxfxydy



也存在，且





2

1,,bxaxRfxydxdydxfxydy

.

利用极坐标计算二重积分公式：,cos,sinRRfxydxdyfrrrdrd 例1 计算二重积分sinRxydxdy，其中0,0.22Rxy 解 被积函数cosxy在R连续，则有 cosRxydxdy

=2200cosdyxydx

=2200(coscossinsin)dyxyxydx =20cossinyydy = 1+01

例2 计算二重积分22Dxdxdyy，其中D是由直线2,xyx和双曲线1xy所围成，D既是x型区域又是y型区域，如图（3）所示. - 4 -

解 先对y积分，后对x积分.将D投影在x轴上，得闭区间1,2.1,2x,关于y积分，在D内y的积分限是1yx到yx，然后在投影区间1,2上关于x积分，即 222231221194x

xD

xxdxdydxdyxxdxyy

.

先对x积分，后对y积分.因为D的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy和yx给出的，所以必须将图（3）所示的区域D分成两个区域1DPRS与2DPRQ，

分别在其上求二重积分，然后再相加，即

21222221222

1122222

1294y

yDDD

xxxxxdxdydxdydxdydydxdydxyyyyy

.

例3 设函数fx在0,1上连续，并设20,fxdxB求220.xIdxfxfydy 解 因为 222000yxIdxfxfydydyfxfydx

220000yxfydyfxdxfxdxfydy

所以 222222000002xxIfxdxfydyfxdxfydyfxdxfydyB

所以22BI. 2.2 换元法 求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算. - 5 -

定理3若函数,fxy在有界闭区域R连续，函数组 ,,,xxuvyyuv （2） 将uv平面上区域'R变换为xy平面上区域R.且函数组(2)在'R上对u与对v存在连续偏导数，,'uvR,

有,0,,xyJuv则',,,,,RRfxydxdyfxuvyuvJuvdudv （3） 证明 用任意分法T将区域R分成n个小区域：12,,,nRRR.设其面积分别是12,,,n.于是，在'R上有对应的分法'T,它将'R对应地分成n个小区域12',',,'nRRR.设其面积分别是

12',',,'n

.根据定理可得,'kuvR，有 ,','.,kkkxyJuvuv

,kkkR，在'kR对应唯一一点,kk，而,,,kkkkkkxy.

于是，11,,,,,'.nnkkkkkkkkkkkkffxyJ (4) 因为函数组（2）在有界闭区域R上存在反函数组,,,uuxyvvxy，并且此函数组在R一致连续，所以当0T时，也有'0T.对（4）取极限0T，有 ',,,,,RRfxydxdyfxuvyuvJuvdudv





.

例4 计算两条抛物线2ymx与2ynx和两条直线yx与yx所围成R区域的面积0,0Rmn

，如图（4）所示.

解 已知区域R的面积RRdxdy.