高考数学总复习 阶段性测试题八 新人教B版
2021届高考数学一轮复习单元质量测试8含解析新人教B版
单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C ．2．(2020·衡水中学期末)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人，用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )A ．8,14,18B ．9,13,18C ．10,14,16D ．9,14,17答案 C解析 因为25＋35＋40＝100，用分层抽样的方法从中抽取40人，所以每个个体被抽到的概率是P ＝40100＝25＝0.4，所以体育特长生25人应抽25×0.4＝10(人)，美术特长生35人应抽35×0.4＝14(人)，音乐特长生40人应抽40×0.4＝16(人)．3．(2019·河南濮阳模拟)设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，在[－6，9]内任取一个实数m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A ．215B ．715 C ．35 D ．1115答案 D解析 因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115.故选D ．4．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：YXy 1 y 2总计x 1 a 10 a ＋10 x 2c30 c ＋30总计6040100对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30答案 A解析 根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与cc ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差越大．故选A ． 5．已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2.5<n <m <6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )x 2 3 4 5 y6.5m n2.5A ．y ^＝0.8x ＋2.3B ．y ^＝2x ＋0.4C ．y ^＝－1.5x ＋8 D ．y ^＝－1.6x ＋10答案 D解析 由2.5<n <m <6.5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知x －＝3.5，y －＝14×(6.5＋m ＋n ＋2.5)∈(3.5,5.5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D ．6．已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 4＝－35，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．128 B ．64 C ．－63 D ．－64答案 B解析 解法一：由题意可知a 4＝C 37·(－m )3＝－35，解得m ＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝C 67·(－m )6＋C 47·(－m )4＋C 27·(－m )2＋C 07·(－m )0＝C 67＋C 47＋C 27＋C 07＝64.解法二：由题意可知a 4＝C 37·(－m )3＝－35，解得m ＝1.设f (x )＝(x －1)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x2＋…＋a 7x 7，则f (1)＝0＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，f (－1)＝－27＝a 0－a 1＋a 2－…－a 7，即a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝f 1－f －12＝64.7．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为( )A ．15B ．14C ．35D ．34答案 D解析 记“取到的2个数之和为偶数”为事件A ，“取到的2个数均为奇数”为事件B ，则P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 23C 25＝310.由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P ABP A ＝31025＝34.故选D ．8．若在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A ．1112－3π6B ．1－3π6C ．13D ．14答案 B解析 如图，正三角形ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，以a2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2234a 2＝1－3π6.故选B ．9．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫56105B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫56510C ．1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16510D ．1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16105答案 D解析 一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫1610，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1610.事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16105.故选D ．10．(2019·青海玉树高三第一次联考)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1＋a 5＝90.若(1－x )m 的展开式中含x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 D解析 数列{a n }为等差数列，所以a 3＝a 1＋a 52＝45；由二项式定理可知(1－x )m的展开式中含x 2项的系数为C 2m ，所以C 2m ＝a 3＝45，解得m ＝10.11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m >0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (b mod m )．若a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220，a ＝b (b mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2011B ．2014C ．2017D ．2020答案 A解析 ∵a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 010×1010－C 110×109＋C 210×108－…－C 910×10＋C 1010，∴a 被10除得的余数为1，而2011被10除得的余数是1.故选A ．12．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A ．420B ．200C ．180D ．150答案 D解析 由题意知，5名教师的指派分组可以为1,2,2或1,1,3两种不同的方法，当分组为1,2,2时，不同的分派方法种数为C 15C 24A 33A 22＝90，当分组为1,1,3时，不同的分派方法种数为C 35C 12A 33A 22＝60，所以不同的分派方法种数为90＋60＝150. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析 该题为长度型几何概型，所以概率P ＝17－1318－13＝45.14．(2019·江西上饶一模)若⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x6的展开式中的常数项为－160，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 4解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x6的通项公式为T r ＋1＝C r 6(ax )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－b x r ＝C r 6a 6－r (－b )r x 6－2r (r ＝0,1，…，6)，当r ＝3时，常数项为－C 36a 3b 3＝－160，解得ab ＝2，则a 2＋b 2≥2ab ＝4，即a 2＋b 2的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号．15．(2019·东北四市模拟)三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．答案 0.09解析 设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.16．(2019·佛山一模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示(并以此估计赔付概率)．B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为________元．答案 81.25解析 设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每份保单的利润为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望利润为E (X )＝a ⎝ ⎭⎪⎫1－105＋(a －50×104)×105＝a －5(元)，根据规定知，a －5≤0.2a ，解得a ≤6.25.设工种B 的每份保单保费为b 元，同理可得保险公司期望利润为(b －10)元，根据规定知，b －10≤0.2b ，解得b ≤12.5，设工种C 的每份保单保费为c 元，同理可得保险公司期望利润为(c －50)元，根据规定知，c －50≤0.2c ，解得c ≤62.5.则A ，B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机地在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m ，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次性购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：解 (1)由已知，得100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n ＋10＋30＝100×60%， 解得n ＝20，∴m ＝100－80＝20.故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×60100＝3000(件)．(2)设一次购物款为a 元，当a ∈[50,100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)， 当a ∈[100,150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，当a ∈[150,200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)， 当a ∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．∴估计该商场日均让利为52000元．18．(本小题满分12分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．解 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的频率/组距也成等差数列， 设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定w ＝2.5＋0.10.3≈3.(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，知X ～B (3,0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0270.1890.4410.343∵X ～B (3,0.7)，∴E (X )＝np ＝2.1.19．(本小题满分12分)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲、乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示．(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从如图所示的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天)，记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为ξ1，ξ2令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望．解 (1)由题意，得110×[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4， P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745；P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 14C 16C 27C 210C 210＝91225； P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13； P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225； P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225，∴η的分布列为η 0 1 2 3 4P745 91225 13 22225 2225E (η)＝0×745＋1×91225＋2×13＋3×22225＋4×2225＝75. 20．(本小题满分12分)某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布N (65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm ，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6～69.4 mm 为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6， ∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，∴P (X >71.6)＝1－P 58.4<X ≤71.62＝1－0.99742＝0.0013. ∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理． (2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X ≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y 的所有可能取值为0,1,2,3.P (Y ＝0)＝C 03C 357C 360，P (Y ＝1)＝C 13C 257C 360P (Y ＝2)＝C 23C 157C 360，P (Y ＝3)＝C 33C 057C 360，则次品数Y 的分布列为Y 0 1 2 3 PC 03C 357C 360C 13C 257C 360C 23C 157C 360C 33C 057C 360得E (Y )＝0×03357C 360＋1×13257C 360＋2×23157C 360＋3×33057C 360＝0.15.21．(2020·石家庄模拟)(本小题满分12分)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 投资金额x (万元) 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 年利润增长y (万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；(2)如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)(3)现从2013～2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，求这两年都是λ≥2(万元)的概率？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 参考数据：∑i ＝17x i y i ＝359.6，∑i ＝17x 2i ＝259.解 (1)由题意计算，得x －＝6，y －＝8.3,7x －y －＝348.6，又∑i ＝17x i y i ＝359.6，∑i ＝17x 2i ＝259，所以b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝359.6－348.6259－7×36＝117， 所以a ^＝y －－b ^x －＝8.3－117×6＝－7970，所以回归直线方程为y ^＝117x －7970；(2)将x ＝8代入方程，得y ^＝117×8－7970≈11.44， 即该公司在该年的年利润增长大约为11.44万元．(3)由题意可知，λ的概率是P ＝C 25C 27＝1021. 22．(2019·郑州二模)(本小题满分12分)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．某地区新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？(3)从选变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，2名男生选考方案不同，1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．P (K 2≥k 0)0.05 0.010.005 0.001 k 03.8416.6357.87910.828解 (1)由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2836×3660×840＝392人．(2)列联表如下，选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生16 4 20 总计201636由列联表中的数据得K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ＝36×4×4－12×16216×20×20×16＝36×162×11216×20×20×16＝1089100＝10.89＞10.828， 所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0,1.P (ξ＝1)＝C 28＋C 24＋C 22＋C 22C 216＝310，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)＝710⎝⎛⎭⎪⎫或P ξ＝0＝C 18C 18＋C 14C 14＋C 12C 12C 216＝710，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 P710310E (ξ)＝0×710＋1×310＝310.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学总复习9.8.2范围、最值问题演练提升同步测评文新人教B版(2021学年)
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2 范围、最值问题Ａ组专项基础训练(时间：４０分钟)1．(２016·吉林长春二模)过双曲线x2－错误!＝1的右支上一点P分别向圆C１:（x＋4)2+y2=4和圆Ｃ2:(ｘ－4)2＋y2＝1作切线,切点分别为M,N,则|PＭ｜2-｜ＰN|2的最小值为（）A.10 B．1３C．16 D．19【解析】由题意可知，|ＰM｜2－|ＰN|2=(|PＣ１|2－4)-(｜PC2|２-1)=|PC１|2-｜PＣ2｜2-3=(|PC１|－|PC2|）·（|ＰＣ1｜＋｜PC2|）－3=2（｜PC1|+|ＰC2|)-3≥2｜C1C2｜-3=13,故选B.【答案】 B2．(２0１７·台州模拟)已知P为双曲线C:＼ｆ(ｘ2，９)-错误!＝1上的点,点Ｍ满足|错误!|=1,且错误!·错误!=0，则当｜错误!|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )A。
＼ｆ(9，5) B。
12 5C．4 D．5【解析】由错误!·错误!=0，得OM⊥PＭ,根据勾股定理,求|MＰ|的最小值可以转化为求|O Ｐ|的最小值，当|ＯＰ|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±３，０)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0,∴所求的距离d＝＼f（12,5）,故选B.【答案】B3．（２017·江西南昌调研）已知圆O1：(ｘ－2)２+y２=16和圆Ｏ２：x2＋y2=r２（0<r＜2),动圆M与圆O1,圆O２都相切,动圆圆心Ｍ的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1,ｅ2(e1＞e２），则e1＋2e2的最小值是（)A.错误!Ｂ。
高中数学(人教B版 选修1-2)学业分层测评8 Word版含答案
学业分层测评(八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题.复数－的实部与虚部分别是( )，，.－，，－【解析】－的实部为，虚部为－.【答案】.若复数(－＋)＋(－)是纯虚数，则实数的值为( )或.－或－【解析】由得＝.【答案】.若，∈，是虚数单位，且＋(－)＝＋，则＋的值为( )【解析】由＋(－)＝＋，得＝，＝，所以＋＝.【答案】.在下列命题中，正确命题的个数是( )①两个复数不能比较大小；②若和都是虚数，且它们的虚部相等，则＝；③若，是两个相等的实数，则(－)＋(＋)必为纯虚数.【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设＝＋(，∈，≠)，＝＋(，∈，且≠)，因为＝，所以＝＋.当＝时，＝，当≠时，≠，故②错误；③当＝≠时，(－)＋(＋)是纯虚数，当＝＝时，(－)＋(＋)＝是实数，故③错误，因此选.【答案】.已知复数＝(－)＋(－)(，∈)，则“＝”是“为纯虚数”的( )【导学号：】.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分又不必要条件【解析】因为复数＝(－)＋(－)(，∈)为纯虚数⇔⇔＝±, 所以“＝”是“为纯虚数”的充分不必要条件.【答案】二、填空题.以－的虚部为实部，以＋的实部为虚部的复数是.【解析】－的虚部为，＋＝－＋，实部为－，故应填－.【答案】－.若是实数，是纯虚数，且(－)＋＝，则，的值为.【解析】由(－)＋＝，得∴＝，＝.【答案】＝，＝.给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足＝－的数只有；③形如(∈)的数不一定是纯虚数；④复数＋的实部一定是.其中正确说法的个数为.【解析】③中，＝时，＝不是纯虚数.故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－的数是±；④中，，不一定为实数，故①②④错误.【答案】。
新高考新教材一轮复习人教B版 第八章 第二节 两条直线的位置关系 作业
第八章 第二节 两条直线的位置关系基础夯实练1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1aB ．AC ．－1aD ．－1a或不存在解析：选D 设直线l 1，l 2的斜率分别是k 1，k 2， 当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1， ∴k 2＝－1a；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合， ∴直线l 2的斜率不存在． 故直线l 2的斜率为－1a或不存在．2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，且4a ＋1≠0，即a 2＋a －2＝0，a ≠－12，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0D ．10解析：选A 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得p ＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2)．又垂足在直线2x －5y ＋n ＝0上，得n ＝－12.4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A ． 2 B ．823C ． 3D ．833解析：选B 因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行， 所以a ≠0且a ≠2. 因为l 1∥l 2， 所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.5．(多选题)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析：选BCD 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．6．(多选题)点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2，－1)D ．(－2,1)解析：选AC设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选AC ．7．(多选题)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( ) A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是 2解析：选ABD 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0得2ax ＝0，不满足不论a 为何值时，2ax ＝0恒成立，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．故选ABD ．8．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是________.解析：在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝09．设光线l 从点A (－4， 3 )出发，经过x 轴反射后经过点B ⎝⎛⎭⎫0，33，则光线l 与x轴的交点为________，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________.解析：由点B ⎝⎛⎭⎫0，33关于x 轴的对称点为B ′⎝⎛⎭⎫0，－33， 可得直线AB ′的斜率为3＋33－4＝－33，方程为y ＝－33x －33， 令y ＝0，可得x ＝－1，即光线l 与x 轴交点的横坐标为－1；由入射光线AB ′可得入射角为90°－30°＝60°，则折射角为30°，折射光线的斜率为k ＝tan(30°＋90°)＝－3，折射光线的方程为y －0＝－3(x ＋1)， 令x ＝0，可得y ＝－3，则折射光线所在直线的纵截距为－ 3. 答案：(－1,0) － 3综合提升练10．(2021·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在的直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C ． 11．(2021·福建福州期末)已知点A (－2,1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( )A ．3或13B ．0C ．13D ．3解析：选B设点B (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得x ＝0，y ＝3，则B (0，3)，设直线m 的方程为y －1＝k (x ＋2)，与方程l ：x ＋y －1＝0联立，解得x ＝－2kk ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1.因为直线AB 的方程为y ＝x ＋3，且|AB |＝22，点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32＝|2－2k |2|k ＋1|，所以12×22×|2－2k |2|k ＋1|＝2，得|1－k |＝|k ＋1|，得k ＝0.故选B ．12．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5解析：选A 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离 d ＝ m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5 ≥ 5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号． ∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.13．(多选题)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：选AD 设C (x ，y )，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的外心为欧拉线方程x －y ＋2＝0与直线y ＝－x 的交点M (－1,1)， ∴|MC |＝|MA |＝10， ∴(x ＋1)2＋(y －1)2＝10，① 由A (－4,0)，B (0,4)，△ABC 重心为⎝⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x －y －2＝0，② 由①②可得x ＝2，y ＝0或x ＝0，y ＝－2. 故选AD ．14．已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5. 则点M 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，2 B ．⎝⎛⎭⎫13，3718 C ．⎝⎛⎭⎫19，2D ．⎝⎛⎭⎫19，3718解析：选D 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，不符合题意； 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.故选D ．15.(多选题)如图所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．下列四个命题中正确的有( )A ．若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个B ．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个D ．若p ＝q ，则点M 的轨迹是一条过点O 的直线解析：选ABC 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，A 正确．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(0，q )(q ≠0)或(p,0)(p ≠0)，因此满足条件的点有且仅有2个，B 正确．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个，如图所示，C 正确．若p ＝q ，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此D 不正确．故选ABC ．创新应用练16．在平面直角坐标系内，已知A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求点．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：25 (2,4)17．已知点A (4，－1)，B (8,2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________.解析：设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点， ∴|P 0A 1|＝|P 0A |， |P A 1|＝|P A |.|P A 1|＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |， ∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0,3)．∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝ 82＋(－1)2＝65.答案：65。
高三数学一轮(人教B版)阶段性测试题8 (平面解析几何)
阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·三峡名校联盟联考)直线x －y ＋1＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心[答案] B[解析] 圆心C (1,0)到直线的距离d ＝|1－0＋1|2＝2，∴选B.2．(文)(2015·内蒙赤峰市宁城县月考)抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝1，则实数a 的值为( )A ．－4B ．4 C.14 D ．－14[答案] A[解析] 由条件知－a4＝1，∴a ＝－4.(理)(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1 B.x 26＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1 [答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C.3．(2015·江西赣州市博雅文化学校月考)设集合A ＝{(x ，y )|x 216＋y 24＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] A[解析] 指数函数y ＝3x的图象与椭圆x 216＋y 24＝1有两个交点，∴A ∩B 中有2个元素，∴其子集有22＝4个．4．(2015·长春市十一高中阶段性测试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( ) A.52B ．352C.32 D ．3 5[答案] C[解析] 由条件知，|bc |a 2＋b 2＝53c ，∴b a 2＋b 2＝53， ∴4b 2＝5a 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴4c 2＝9a 2，∴e ＝c a ＝32.5．(2015·大连市二十中期中)已知圆C ：(x －4)2＋(y －4)2＝1和两点A (1－m,0)，B (1＋m,0)，m >0，若圆C 上存在点P ，∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4[答案] B[解析] 由条件知，以线段AB 为直径的⊙D 与⊙C 有公共点， ∵C (4,4)，D (1,0)，∴圆心距|CD |＝5， ∴|m －1|≤|CD |≤m ＋1，∴4≤m ≤6，故选B.6．(2015·洛阳市期中)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为( )A.5＋12B ．3＋12 C.53 D ．35[答案] A[解析] 由题意知b 2＝ac ， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12或e ＝－5＋12(舍去)．7．(2015·开封市二十二校联考)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.63 B ．2 C.63或2 D ．22或 3 [答案] C[解析] 根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3，当m ＝3时，e ＝c a ＝63，m ＝－3时，e ＝2，所以正确选项为C.8．(2015·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线在第一象限内交于M 点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴的垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为( )A.3－1 B ． 3 C.3＋1 D ．2[答案] C[解析] 由题意知点M 的坐标为M (c 2，3c 2)，代入双曲线方程可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，∵b 2＝c 2－a 2，e ＝ca，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23，∴e ＝3＋1.故选C.9．(2015·开封四中期中)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] D[解析] 设△OFM 的外接圆圆心为O 1，则|O 1O |＝|O 1F |＝|O 1M |，∴O 1在线段OF 的中垂线上，又∵⊙O 1与抛物线的准线相切，∴O 1在抛物线上，∴O 1(p 4，22p )，又圆面积为36π，∴半径为6，∴p 216＋12p 2＝36，∴p ＝8.10．(文)(2014·云南景洪市一中期末)点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内一条弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0[答案] C[解析] 圆心C (1,0)，由条件知PC ⊥AB ，∴k AB ＝－1k PC＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(理)(2014·银川九中一模)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[答案] B[解析] 设圆心C (x 0，－x 0)，则 |x 0－(－x 0)|2＝|x 0－(－x 0)－4|2， ∴x 0＝1，∴圆心C (1，－1)，半径r ＝2， 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.11．(2015·广东揭阳一中期中)曲线x 216＋y 212＝1与曲线x 216－k ＋y 212－k ＝1(12<k <16)的( )A ．长轴长与实轴长相等B ．短轴长与虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 [答案] C[解析] 对于椭圆x 216＋y 212＝1，c ＝2，对于双曲线x 216－k －y 2k －12＝1，c 21＝(16－k )＋(k －12)＝4，∴c 1＝2，故选C.12．(文)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( )A.34 B ．37C.38 D ．318[答案] C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴c ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38. (理)(2015·江西师大附中期中)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y ＝12a 1x ＋m 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线x ＋y －d ＝0对称，则数列{1S n }的前10项和为( )A.910 B ．1011C.89 D ．2[答案] B[解析] ∵直线y ＝12a 1x ＋m 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线x ＋y －d ＝0对称，∴直线x ＋y －d ＝0经过圆心，∴2＋0－d ＝0，∴d ＝2，∵直线y ＝12a 1x ＋m 与直线x ＋y －d ＝0垂直，∴12a 1＝1，a 1＝2，∴S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋1)，1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{1S n }的前10项和为1S 1＋1S 2＋…＋1S 10＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(110－111)＝1－111＝1011，所以选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2015·豫南九校联考)已知双曲线3y 2－mx 2＝3m (m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] 双曲线标准方程为y 2m －x 23＝1，∴c ＝m ＋3，∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴m ＋3＝2，∴m ＝1，∴e ＝2.14．(2015·遵义航天中学二模)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________．[答案] [－34，0][解析] 设圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，由弦长公式得，MN ＝24－d 2≥23，故d ≤1，即|3k －2＋3|k 2＋1≤1，化简得k (k ＋34)≤0， ∴－34≤k ≤0.15．(文)(2013·泗阳县模拟)两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．[答案]415[解析] ∵两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1,1＋2)[解析] ∵双曲线关于x 轴对称，∴A 、B 两点关于x 轴对称，∴|F 2A |＝|F 2B |，△ABF 2为锐角三角形⇔∠AF 2B 为锐角⇔∠AF 2F 1<45°⇔|AF 1|<|F 1F 2|，不妨设A 点在x 轴上方．∵F 1(－c,0)，∴A (－c ，b 2a )，即|AF 1|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴b 2a <2c ，∴c 2－2ac －a 2<0，∴e 2－2e －1<0， ∴1－2<e <1＋2， ∵e >1，∴1<e <1＋ 2.16．(2015·湖北武汉调考)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.[答案] 8[解析] 如图，设MN 的中点为P ，由题意可知，PF 1，PF 2分别为△AMN ，△BMN 的中位线，∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝2×4＝8.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·山西大同调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点B (1,0)，圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16，动点P 在圆A 上，线段BP 的垂直平分线与AP 相交于点Q ，设动点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点B (1,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于E 、F 两点，求弦长|EF |. [解析] (1)由已知|QP |＝|QB |，Q 在线段P A 上，所以|QA |＋|QB |＝|AQ |＋|QP |＝4， 所以点Q 的轨迹是椭圆，2a ＝4，a ＝2,2c ＝2，c ＝1，∴b 2＝3，所以C 点的轨迹方程为x 24＋y23＝1.(2)直线EF 的方程为：y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 24＋y 23＝1.消去y 整理得7x 2－8x －8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝87，x 1·x 2＝－87，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1227＝247.18．(本小题满分12分)(2014·云南省二测)已知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，斜率为12的直线l 经过点P (a,0)，与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D .(1)当a ＝12时，求证以AB 为直径的圆与直线y ＝2x ＋4相切；(2)是否存在实数a ，使△ABD 是直角三角形？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)当a ＝12时，直线l ：y ＝12(x －12)，即x ＝2y ＋12，代入y 2＝4x 中消去x 得y 2－8y －48＝0，∴y 1＝－4，y 2＝12，∴x 1＝4，x 2＝36，∴A (4，－4)，B (36,12)，∴以AB 为直径的圆的圆心M (20,4)，半径r ＝12|AB |＝85，圆心M 到直线y ＝2x ＋4的距离d ＝85，∵d ＝r ，∴以AB 的直径的圆与直线y ＝2x ＋4相切．(2)直线l ：y ＝12(x －a )，∴x ＝2y ＋a ，代入y 2＝4x 中得y 2－8y －4a ＝0，∴Δ＝24＋16a >0，∴a >－4，∴y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－4a ，∴x 1＋x 2＝2(y 1＋y 2)＋2a ＝16＋2a ，∴线段AB 的中点N (8＋a,4)，直线AB 的斜率k ＝12，∴线段AB 的中垂线方程为y －4＝－2(x －8－a )，当y ＝0时，x＝10＋a ，∴D (10＋a,0)，|AD |＝|BD |，∵△ABD 为直角三角形，∴∠ADB ＝π2，∴AD ⊥DB .∵DA →＝(2y 1－10，y 1)，DB →＝(2y 2－10，y 2)，∴DA →·DB →＝0，∴y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋20＝0，∴－4a －32＋20＝0，∴a ＝－3>－4，∴存在a ＝－3，使△ABD 为直角三角形．19．(本小题满分12分)(文)(2015·湖南浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．[解析](1)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可得A (－1，－32)，B (－1，32)，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．代入椭圆方程得， (3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12(k 2＋1)3＋4k 2.又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， ∴△AF 2B 的面积S ＝12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得，17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.(理)(2015·大连二十中期中)平面内动点P (x ，y )与两定点A (－2,0)，B (2,0)连线的斜率之积等于－13，若点P 的轨迹为曲线E ，过点(－1,0)作斜率不为零的直线MN 交曲线E 于点M 、N .(1)求曲线E 的方程； (2)求证：AM ⊥AN ； (3)求△AMN 面积的最大值．[解析] (1)设动点P 坐标为(x ，y )，由题意知：x ≠±2，由条件得： y x －2·y x ＋2＝－13，化简得x 24＋3y 24＝1.曲线E 的方程为x 24＋3y 24＝1，(x ≠±2)．(2)直线MN 斜率不为0，所以可设MN 方程为my ＝x ＋1，与椭圆方程联立得：(m 2＋3)y 2－2my －3＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－3m 2＋3.AM →＝(x 1＋2，y 1)，AN →＝(x 2＋2，y 2)，AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(m 2＋1)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－3(m 2＋1)m 2＋3＋2m 2m 2＋3＋1＝0，所以AM →⊥AN →，所以AM ⊥AN . (3)△AMN 面积为12|y 1－y 2|＝4m 2＋9m 2＋3＝4m 2＋3－3(m 2＋3)2， 当m ＝0时面积最大为1.20．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1.消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k2，由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2， 解得k 2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.21．(本小题满分12分)(2015·开封四中期中)如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．[解析] (1)由题意可得，e ＝c a ＝22，将点(1，2)代入椭圆方程得2a 2＋1b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程y 24＋x 22＝1.(2)证明：设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A ，B ，D 三点互不重合，∴m ≠0，设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0. 所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <2 2. x 1＋x 2＝－22m ①x 1x 2＝m 2－44②设直线AB ，AD 的斜率分别为k AB ，k AD ， 则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1－x 2＋1(*)将①、②式代入(*)整理得，22＋m ·－22m －2m 2－44＋22m ＋1＝22－22＝0，所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值0.22．(本小题满分14分)(文)(2015·韶关市十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2(其中a >0)上任意一点与点P (0，14a)的距离等于它到直线y ＝－1的距离．(1)求抛物线的方程；(2)若点M 的坐标为(0,2)，N 为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y 轴的直线l ，使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义知P (0，14a )是其焦点，且14a ＝1，∴a ＝14，抛物线方程为y ＝14x 2.(2)设N (2x ，x 2)，则MN 的中点H 的坐标为H (x,1＋x 22)．设直线l 的方程为y ＝c ，则点H 到直线l 的距离为d ＝|x 2＋22－c |，∴|MN |2＝4x 2＋(x 2－2)2＝x 4＋4， 设所求弦长为L ，则L 2＝|MN |2－4d 2＝x 4＋4－4(x 2＋22－c )2＝4x 2(c －1)＋8c －4c 2，若弦长L 恒为常数，即L 的值与x 的值无关， 则c ＝1，L ＝2.所以存在垂直于y 轴的直线l ，使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数，直线l 的方程为y ＝1.(理)(2015·武汉市调研)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB .设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m (其中m <2)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |<|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． [解析] (1)设M 的坐标为(x ，y )，显然有x >0，且y ≠0， 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)， 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ， 有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即|y |2－x＝2|y |x ＋11－(|y |x ＋1)2， 化简可得，3x 2－y 2－3＝0，而点(2，±3)也在曲线3x 2－y 2－3＝0上， 综上可知，轨迹C 的方程为x 2－y 23＝1(x >1)；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，x 2－y 23＝1，消去y 并整理得，x 2－4mx ＋m 2＋3＝0(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2>1，f (1)＝1－4m ＋m 2＋3>0，Δ＝(－4m )2－4(m 2＋3)>0.解得m >1，且m ≠2，又∵m <2，∴1<m <2，设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 由|PQ |<|PR |及方程(*)有x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)， ∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝2＋3(1－1m 2)2－3(1－1m2)＝－1＋42－3(1－1m2)，由1<m<2，得1<－1＋42－3(1－1m2)<7，故|PR||PQ|的取值范围是(1,7)．。
高考数学总复习 8-5 双曲线但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 8-5 双曲线但因为测试 新人教B 版1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1[答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝2＋32＋1－2－32＋1 ＝8＋43－8－43＝22， ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.(理)(2011·山东理，8)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案] A[解析] 依题意：⊙C 方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r ＝2，∴双曲线的右焦点F 2为(3,0)，即c ＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx±ay ＝0，∴|3b|a 2＋b2＝2，即b ＝2，∴a 2＝9－4＝5，故选A. 2．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．2 2[答案] A[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝22＝ 2.(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32 D.54[答案] B[解析] 因为椭圆的离心率e ＝32，即c a ＝32，也即a 2－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54，即a 2＋b 2a 2＝54，则双曲线离心率e′＝c′a ＝52，故选B.3．(文)(2011·南昌一模)设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN|－|FM||FA|的值为( )A.25B.52C.54D.45 [答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，|FN|－|FM||FA|＝810＝45，选D.(理)(2011·新泰一中模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)左支上的一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF 2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切[答案] A[解析] 如下图，取PF 2的中点M ，则2|OM|＝|F 1P|，且O 、M 为两圆圆心，OM 为圆心距．由双曲线定义可知|PF 2|－|PF 1|＝2a ， 即2|MF 2|－2|OM|＝2a ，∴|OM|＝|MF 2|－a ， 即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．4．(文)(2011·青岛一检)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] 如下图∵F 1、F 2为双曲线的左右焦点，∴F 1(－10，0)，F 2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝210，故选B.(理)(2011·湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB|＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB|＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.5．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k<1B ．k>0C ．k≥0D ．k>1或k<－1[答案] A[解析] 由题意知(1＋k)(1－k)>0， ∴－1<k<1.6．(文)(2010·湖南长沙雅礼中学)过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 [答案] B[解析] 过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.(理)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 [答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1. 7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则a的值为________．[答案] 2[解析] ∵焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±3a x ，又一条渐近线方程为32x ，∴a ＝2.8．(文)(2011·江西文，12)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.[答案] 48 [解析] ∵16＋m4＝2， ∴m ＝48.(理)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．[答案] 2[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1a 2＋b 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，∴a ＝1，c ＝2，∴e ＝ca＝2.9．(文)(2011·长沙二模)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．[答案] x 216－y 29＝1[解析] 由已知得在椭圆中a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，由此知道在双曲线中a ＝4，c ＝5，故双曲线中b ＝3，双曲线方程为x 216－y 29＝1.(理)(2011·宁波二模)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F ，O 为坐标原点．若以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线C 的渐近线y ＝ba x 交于点A(不同于O 点)，则△OAF的面积为________．[答案] ab[解析] 因为右焦点F(c,0)到渐近线y ＝b a x ，即bx －ay ＝0的距离为|bc|a 2＋b 2＝b ，所以|OA|＝2a ，故△OAF 的面积为12×2a×b ＝ab.10．(文)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0， 解得0<a<2且a≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a<2且a≠1，∴e>62且e≠ 2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2， ∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960，∵a>0，∴a ＝1713.(理)(2011·江西理，20)P(x 0，y 0)(x 0≠±a)是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上一点，M 、N分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．[解析] (1)点P(x 0，y 0)(x 0≠±a)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24，设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2 ①又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2， 化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， ② 又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c)(x 2－c)＝－4x 1x 2＋5c(x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2 得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x 2＝43y 的准线过双曲线x 2m 2－y 2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A.324B.3104C. 3D.33[答案] C[解析] 易知抛物线的焦点坐标为(0，3)，其准线方程为y ＝－3，∵双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3， ∴双曲线的离心率为e ＝ca＝ 3.(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B.3＋1C.2＋1D.22＋12[答案] C[解析] 由AF ⊥x 轴知点A 坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，代入双曲线方程中得，p 24a 2－p2b 2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴c ＝p2，即p ＝2c ，又b 2＝c 2－a 2，∴4c 24a 2－4c 2c 2－a2＝1，由e ＝ca 代入整数得，e 4－6e 2＋1＝0，∵e>1，∴e 2＝3＋22，∴e ＝2＋1.12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x.圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB|＝2a.不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ|＝13|AB|＝2a 3，∴|OP|＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1. ①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a 2＝112b 2＝12.故选C.(理)(2011·江西南昌调研)设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2－y 22＝1(a>0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截得的弦长等于2，则a ＝( )A.14B. 6C. 2 D ．2[答案] C[解析] 由条件知，圆心C(a 2＋2，0)，C 到渐近线y ＝2a x 的距离为d ＝2 a 2＋2 2＋a 2＝2为⊙C 的半径，又截得弦长为2，∴圆心C 到直线l ：x －3y ＝0的距离a 2＋22＝1，∴a 2＝2，∵a>0，∴a ＝ 2.13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] 由题意知双曲线方程可设为m 2x 2－y 2＝1，从而e ＝m 2＋1>3⇒m>22，故所求概率是79，故填79.14．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． [解析] (1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.因为点(3，m)在双曲线上， 所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m|＝3， 所以S △F 1MF 2＝6.15．(文)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)，当PQ →＝λ1QA →＝λ2QB →，且λ1＋λ2＝－83时，求Q 点的坐标．[解析] (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3. ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)解：如下图所示，由题意知，直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程为y ＝kx ＋4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 Q(－4k ，0)．∵PQ →＝λ1QA →，∴(－4k ，－4)＝λ1(x 1＋4k，y 1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＝λ1x 1＋4k ，－4＝λ1y 1，即⎩⎨⎧x 1＝－4kλ1－4k，y 1＝－4λ1.∵A(x 1，y 1)在双曲线C 上， ∴16k 2(1＋λ1λ1)2－163λ21－1＝0. ∴16＋32λ1＋16λ21－163k 2－k 2λ21＝0. ∴(16－k 2)λ21＋32λ1＋16－163k 2＝0. 同理有(16－k 2)λ22＋32λ2＋16－163k 2＝0. 若16－k 2＝0，则直线l 过顶点，不合题意． ∴16－k 2≠0.∴λ1、λ2是二次方程(16－k 2)x 2＋32x ＋16－163k 2＝0的两根．∴λ1＋λ2＝32k 2－16＝－83.∴k 2＝4.此时Δ>0，∴k ＝±2. ∴所求点Q 的坐标为(±2,0)．(理)(2011·临沂模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1，故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝－62k 2＋36 1－3k 2＝36 1－k 2>0，∴k 2≠13且k 2<1 ①设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k(x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3 ②由①②得13<k 2<1，∴33<k<1或－1<k<－33.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.1．(2011·天津文，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5[答案] B[解析] 由交点(－2，－1)得－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴F(2,0)， 又a ＋p2＝a ＋2＝4，∴a ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，且过点(－2，－1)，∴a －2b ＝0，∴b ＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，2c ＝2 5.故选B.2．若椭圆x 2m 2＋y 2n 2(m>n>0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －a B.12(m －a) C ．m 2－a 2 D.12(m 2－a 2) [答案] C[解析] (|PF 1|＋|PF 2|)2＝4m 2，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝m 2－a 2.∴选C.3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分 [答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR|. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR|＝2a ＝|RF 2|， 又|OP|＝12|RF 2|，∴|OP|＝a.4．(2011·广东揭阳市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±32xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x [答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝ca ＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23，∵双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x.故选D.5．(2011·新课标全国理，7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 依题意：|AB|＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2·2a ，即b 2a 2＝2， ∴e ＝1＋b 2a2＝3，选B.6．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n|2|m|＝±34.方程为y ＝±34x.7．(2011·浙江杭州月考)双曲线x 2－y 2b2＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案]5[解析] 双曲线x 2－y 2b 2＝1的右焦点F(c,0)到渐近线bx ＋y ＝0的距离：|bc|b 2＋1＝b ＝2，又a ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，c ＝ 5. ∴双曲线的离心率e ＝ca＝ 5.8．(2011·北京海淀期末)如下图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为A ，B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3，…，n ，….利用这两组同心圆可以画出以A ，B 为焦点的双曲线，若其中经过点M ，N ，P 的双曲线的离心率分别记为e M ，e N ，e P ，则它们的大小关系是________(用“<”连接)．[答案] e M <e P <e N[解析] 由图知|AB|＝10，经过M ，N ，P 的双曲线的半焦距均为5，由|MB|－|MA|＝7知过点M 的双曲线实半轴长为72，同理可知过N ，P 的双曲线的实半轴长分别为1,2，因此可知e N >e P >e M .。
高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 8-4 椭圆但因为测试 新人教B 版1.(文)(2011·东莞模拟)设P 是椭圆x 225＋y216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)(2011·浙江五校联考)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16. 2．(文)(2011·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 [答案] C[解析] 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. (理)(2011·广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A.22B.12C.32D ．以上都不是 [答案] A[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e ＝c a ＝cos45°＝22，故选A.3．“m>n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y 21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m>01n >01m <1n，∴m>n>0，故互为充要条件．4．(文)(2011·抚顺六校检测)椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3[答案] B[分析] 条件MF 1→·MF 2→＝0，说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，点M 又在椭圆上，通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到y 轴的距离．[解析] 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x|＝263，此即点M到y 轴的距离．[点评] 满足MF →·MB →＝0(其中A ，B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段AB 为直径的圆．(理)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )A.165 B ．3 C.163 D.253[答案] A[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°. 设P(x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.5．(文)(2011·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 [答案] D[解析] 2a ＝12，∴a ＝6，∵e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选D.(理)(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0得，(x －1)2＋y 2＝16， ∴r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故选A.6．(文)(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a>b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 等于( ) A.32B.133C.53D.13[答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5a·b ＝6，又因为a>b ，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2，所以椭圆的半焦距为c ＝5，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选C.(理)(2011·杭州二检、江西七校联考)如下图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1<c 2a 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] B[解析] 给出图形的题目，要充分利用图形提供的信息解题．∵P 点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F 是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点，∴|PF|＝a －c ，即a 1－c 1＝a 2－c 2，故②正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2得a 1－a 2＝c 1－c 2，c 1＝a 1－a 2＋c 2，∴c 1a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2＋c 2)a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2)a 2＋(a 2－a 1)c 2＝(a 1－a 2)(a 2－c 2)，又∵从图中可以看出，a 1>a 2，a 2>c 2，∴c 1a 2－a 1c 2>0，即c 1a 2>a 1c 2，故③正确，故选B.7．(文)(2011·南京模拟)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________．[答案]53[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2， 在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12， 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a 3，∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴x 2＋4x 2＝4c 2， ∴209a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53. (理)已知1m ＋2n ＝1(m>0，n>0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[答案]32[解析] ∵m>0，n>0 ∴1＝1m ＋2n≥22mn， ∴mn≥8，当且仅当1m ＝2n，即n ＝2m 时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4. 即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8， ∴离心率e ＝n 2－m 2n ＝32.8．(文)已知实数k 使函数y ＝coskx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>0，b>0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如下图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4， 即ab ＝2 3.因为0<a≤2,0<b≤3， 所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.9．(2011·湖南长沙一中月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为_ _______．[答案]2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝0中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63，∴|AB|＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB|·d ＝12×433×62＝ 2.10．(文)(2010·新课标全国文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4， 又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1. 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB|＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－b 2＋b 22－－2b 21＋b 2＝8b 4＋b 22.解得b ＝22. (理)(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m.x 212＋y 24＝1得 4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则 x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB|＝32，此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92.11.(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆x 249＋y224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．28[答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝25，代入椭圆方程得y 2＝24225，即|y|＝245，所以S △PF 1F 2＝12×10×245＝24，故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝14 (1)由△PF 1F 2为直角三角形及c ＝49－24＝5得|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF 1|·|PF 2|＝48，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(理)(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2[答案] D[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.12．(文)(2011·福建文，11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t(t>0)， 若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.(理)(2011·许昌月考)已知双曲线x 2a 21－y 2b 2＝1与椭圆x 2a 22＋y 2b 2＝1的离心率互为倒数，其中a 1>0，a 2>b>0，那么以a 1、a 2、b 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] B [解析] 12＝e 21e 22＝c 21a 21·c 22a 22＝a 21＋b 2a 21·a 22－b 2a 22，则a 21a 22＝a 21a 22＋(a 22－a 21)b 2－b 4，所以a 22－a 21＝b 2，则以a 1、a 2、b 为边长的三角形是以a 2为斜边的直角三角形，故选B.13．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝12，即e ＝22. 14．(2011·北京模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 ： 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a ：b ＝2：3c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P(x ，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x≤4.因为MP →＝(x －m ，y)， 所以|MP →|2＝(x －m)2＋y 2＝(x －m)2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m)2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m≥4，解得m≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．15．(文)(2010·山东省实验中学)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P(0，m)，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得， (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk)2－4(2－k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m)，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2x 1x 2＝－2x 22， ∴m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0得49<m 2<4，此时Δ>0 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. (理)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程． [解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A(2,3)∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P(x ，y)为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等． 即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x) 即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称． 由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k. 则直线AM 方程y －3＝k(x －2)． 由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k y2－3＝x 0＋22－解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)． ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称， ∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正， ∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0. 法三：∵A(2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)， ∴AF 1→|AF 2→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.[点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线，∴AF 1→与AF 2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF 1→、AF 2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．1．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12[答案] D[解析] S ＝12|OF|·|y 1－y 2|≤12|OF|·2b ＝12.2．(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n)在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n)在椭圆内，故过点(m ，n)的直线与椭圆有两个交点．4．(2011·金华十校)方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] D5．(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点M(x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得1－x 21＋x 2a 2＝2－y 12＋y 1b2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.6．(2011·江西理，14)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[答案] x 25＋y 24＝1[解析] 点⎝⎛⎭⎫1，12在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)， 设另一条切线的方程为y ＝m(x －1)＋12，由|－m ＋12|1＋m 2＝1得m ＝－34，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝⎛⎭⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.[点评] 直接设另一条切线的切点为(m ，n)，解得切点坐标(35，45)更简便．。
高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试 新人教B 版1.(2011·宁波十校联考)已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2[答案] C[解析] 设A (x 1,3－x 21)，B (x 2,3－x 22)，由于A 、B 关于直线x ＋y ＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 22－33－x 21＝－x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝－2，设直线AB 的斜率为k AB ， ∴|AB |＝1＋k 2AB |x 1－x 2|＝3 2.故选C.2．(2011·南昌检测(二))过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B[解析] 记|F 1F 2|＝2c ，则|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，所以椭圆的离心率为|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，选B. 3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，不妨设A 在x 轴上方， ∴A (4,4)，B (1，－2)，∵F 点坐标为(1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2， 由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22·|AF |·|BF |＝－45.5．(2011·台州二模)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] C[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－33p ，所以|AF ||BF |＝|y Ay B|＝3. 6．(2011·海南一模)若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b2[答案] B[解析] 解法一(直接法)：设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－b 2a 2x 20＋b 2－－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21 ＝－b 2a2.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A (a,0)，B (－a,0)，M (0，b )，可得k AM ·k BM＝－b 2a2.7．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a 2<2，即e 2<2，∵e >1，∴1<e < 2.8．(2010·安徽安庆联考)设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx ＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25，∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．9．(2011·海南五校联考)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. [答案] 30°[解析] 作NH 垂直于准线于H ，由抛物线的定义得 |NH |＝|NF |， ∴|NH ||MN |＝|NF ||MN |＝32＝sin ∠HMN ，得∠HMN ＝60°， ∴∠NMF ＝90°－60°＝30°.10．(2011·安徽模拟)点A 、B 分别为椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1x ＋6 x －4 ＋y 2＝0消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝52 3所以点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是 |m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得：m ＝2∵椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离是d ， ∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时d 取最小值15.11.(2011·新课标全国文，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线x ＝－p2，由|AB |＝2p ＝12，知p ＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，则椭圆的离心率e 等于( )A.－1＋52B.－1＋32C.12D.32 [答案] A[解析] 如上图，F 2(c,0)把x ＝c 代入椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1得A (c ，b 2a )．由OA →·OB →＝0结合图形分析得 |OF 2|＝|AF 2|，即c ＝b 2a⇒b 2＝ac ⇒a 2－c 2＝ac⇒(c a )2＋ca －1＝0⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝5－12.13．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4]C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10][答案] D[解析] 过点A (0，－2)作曲线C ：y ＝2x 2的切线，设方程为y ＝kx －2，代入y ＝2x 2得，2x 2－kx ＋2＝0，令Δ＝k 2－16＝0得k ＝±4， 当k ＝4时，切线为l ，∵B 点在直线x ＝3上运动，直线y ＝4x －2与x ＝3的交点为M (3,10)，当点B (3，a )满足a ≤10时，视线不被曲线C 挡住，故选D.14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎨⎧ca＝2，ab a 2＋b2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1 x >0y ＝k x －2得， (3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0. ① 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝4k 22－4 3－k 2－4k 2－3 >0，所以k 2>3. ②因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5. 又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3， 而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3.∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)． 即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.15．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b ＝c ＝1，a ＝ 2.所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)右焦点F (1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝x －1得，3y 2＋2y －1＝0， 解得y 1＝－1，y 2＝13.∴S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝23.(3)假设在线段OF 上存在点M (m,0)(0<m <1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k x －1 可得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．其中x 2－x 1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →＝0⇔(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0 ⇔(x 1＋x 2－2m )＋k (y 1＋y 2)＝0 ⇔⎝⎛⎭⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝⎛⎭⎫4k21＋2k 2－2＝0 ⇔2k 2－(2＋4k 2)m ＝0⇔m ＝k 21＋2k 2(k ≠0)．∴0<m <12.1．(2010·安徽江南十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，左、右焦点为F 1、F 2，直线AF 2与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆内存在动点P ，使|PF 1|，|PO |，|PF 2|成等比数列(O 为坐标原点)，求PF 1→·PF 2→的取值范围．[解析] (1)圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0化为(x －3)2＋(y －1)2＝3， 则圆M 的圆心为M (3,1)，半径r ＝ 3.由A (0,1)，F 2(c,0)，(c ＝a 2－1)，得直线AF 2： xc＋y ＝1， 即x ＋cy －c ＝0，由直线AF 2与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1＝3， 解得c ＝2或c ＝－2(舍去)．则a 2＝c 2＋1＝3，故椭圆C 的方程为：x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设P (x ，y )， 由题意知|PO |2＝|PF 1|·|PF 2|，即(x 2＋y 2)2＝x ＋22＋y 2·x －22＋y 2， 化简得：x 2－y 2＝1，则x 2＝y 2＋1≥1.因为点P 在椭圆内，故x 23＋y 2<1，即x 23＋x 2－1<1，∴x 2<32，∴1≤x 2<32，又PF 1→·PF 2→＝x 2－2＋y 2＝2x 2－3， ∴－1≤PF 1→·PF 2→<32.2．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )，依题意有，x －22＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.3．(2011·浙江文，22)如下图，设P 是抛物线C 1：x 2＝y 上的动点，过点P 做圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线，交直线l ：y ＝－3于A ，B ，两点.(1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离．(2)是否存在点P ，使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为抛物线C 1的准线方程为：y ＝－14， 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：|－14－(－3)|＝114. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 20)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D ，再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ，x B ，x D ；过点P (x 0，x 20)的抛物线C 1的切线方程为：y －x 20＝2x 0(x －x 0) ①当x 0＝1时，过点P (1,1)与圆C 2的切线P A 为：y －1＝158(x －1)， 可得x A ＝－1715，x B ＝1，x D ＝－1，x A ＋x B ≠2x D . 当x 0＝－1时，过点P (－1,1)与圆C 2的切线PB 为：y －1＝－158(x ＋1)， 可得x A ＝－1，x B ＝1715，x D＝1，x A ＋x B ≠2x D . 所以x 20－1≠0.设切线P A ，PB 的斜率为k 1，k 2，则P A ：y －x 20＝k 1(x －x 0)， ②PB ：y －x 20＝k 2(x －x 0)， ③将y ＝－3分别代入①，②，③得x D ＝x 20－32x 0(x 0≠0)； x A ＝x 0－x 20＋3k 1，x B ＝x 0－x 20＋3k 2(k 1，k 2≠0) 从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 20＋3)(1k 1＋1k 2) 又|－x 0k 1＋x 21＋3|k 21＋1＝1 即(x 20－1)k 21－2(x 20＋3)x 0k 1＋(x 20＋3)2－1＝0.同理，(x 20－1)k 22－2(x 20＋3)x 0k 2＋(x 20＋3)2－1＝0所以k 1，k 2是方程(x 20－1)k 2－2(x 20＋3)x 0k ＋(x 20＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k 1＋k 2＝2 3＋x 20x 0x 20－1， k 1·k 2＝3＋x 202－1x 20－1， 因为x A ＋x B ＝2x D .所以2x 0－(x 20＋3)(1k 1＋1k 2)＝x 20－3x 0，即1k 1＋1k 2＝1x 0. 从而2 3＋x 20x 0x 20＋3 2－1＝1x 0，进而得，x 40＝8，x 0＝±48. 综上所述，存在点P 满足题意，点P 坐标为(±48，22)．。
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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011～2012·北京四中期中)已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0垂直，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．10D ．2[答案] D[解析] 由条件知，4－m m ＋2·(－2)＝－1，∴m ＝2.(理)(2011～2012·浙江宁波市期末)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的值为( )A ．3或－1B ．0或3C ．0或－1D ．0或3或－1[答案] C[解析] 集合A 与B 都是直线上的点构成的集合， ∵A ∩B ＝∅，∴两直线平行，∴1a －2＝a 23a ≠62a ，∴a ＝－1，又a ＝0时，两直线显然平行，∴a ＝0或－1.2．(文)(2011～2012·泉州五中模拟)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6[答案] C[解析] ∵a 2＝4，∴a ＝2，设左、右焦点分别为F 1、F 2，则由定义知||PF 1|－|PF 2||＝4，∴||PF 1|－8|＝4，∴|PF 1|＝12或4.(理)(2011～2012·青岛市期末)以双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定[答案] C[解析] 双曲线的焦点F (－c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为d ＝|－bc |a 2＋b 2＝b ，故⊙F 与渐近线相切．3．(2011～2012·东营市期末)已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3 B ．2 3 C ．6 2 D ．3[答案] C[解析] 抛物线y 2＝－8x 的焦点F (－2,0)，根据抛物线的定义知，d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，显然当由点F 向直线x ＋y －10＝0作垂线与抛物线的交点为P 时，d 1＋d 2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2. 4．(2011～2012·大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( )A ．(4，－2)B ．(4，－3)C ．(3，32)D ．(3，－1)[答案] A[解析] 解法一：由条件知，点(10,0)与(－6,8)关于折线对称，故折线过点(2,4)，斜率k ＝－18－6－10＝2，故折线所在直线方程为y －4＝2(x －2)，即2x －y ＝0，与点(－4，2)重合的点M 和点(－4,2)的中点应在直线2x －y ＝0上，经检验知，只有A 适合，故选A.解法二：设与点C (－4,2)重合的点为D ，又A (10,0)，B (－6,8)，则必有AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ， ∵k AB ＝－12，∴k CD ＝－12，经检验知，只有A 适合．5．(文)(2011～2012·青岛市期末)点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0[答案] C[解析] 圆心C (1,0)，k PC ＝－1，∴k AB ＝1，排除A 、B 、D ，选C.(理)(2011～2012·重庆市期末)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切[答案] B[解析] 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1，∴倾斜角为135°，故直线l 的倾斜角α＝135°＋15°＝150°，斜率k l ＝tan α＝－33，方程为y ＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0， ∵圆心C (－3,0)到直线l 距离d ＝2，∴直线与圆相切．6．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12[答案] D[解析] 设F (c,0)，B (0，b )，则k FB ＝b－c， 由条件知b a ·(－b c)＝－1，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2－e －1＝0，∵e >1，∴e ＝5＋12. 7．(2011～2012·北京四中期末)曲线x 2＋y |y |＝1与直线y ＝kx 有且仅有两个公共点，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－1,1)D ．[－1,1][答案] C[解析] 方程x 2＋y |y |＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1y <0，其图形如图，若直线y＝kx 与此曲线有且仅有两个公共点，则－1<k <1.8．(2011～2012·厦门市质检)抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32 C ．2 D.52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2，∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.9．(2011～2012·山东苍山县期末)设椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，故选B.10．(2011～2012·绥化市一模)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] C[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心C (－1,2)在直线2ax ＋by ＋6＝0上，∴a －b －3＝0，由点P (a ，b )向圆引切线，设切线长为l ，则l 2＝|PC |2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2b 2＋4b ＋18＝2(b ＋1)2＋16≥16，∴l ≥4，当b ＝－1，a ＝2时，l min ＝4.11．(2011～2012·吉林省延吉市质检)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成75的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.63737 C.324D.31010[答案] C[解析] 由条件知，b2＋c2－b 2＝75，∴c ＝3b ，∵c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝9(c 2－a 2)，∴e 2＝98，∴e ＝324.12．(2011～2012·龙文中学、程溪中学、芗城中学三校联考)已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的一个焦点与抛物线x 2＝4y 的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为( )A ．5y 2－54x 2＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1[答案] A[解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1a ＝12b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15b 2＝45，∴双曲线方程为y 215－x 245＝1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011～2012·包头一中期末)经过点M (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．[答案] 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0[解析] 过原点时，直线方程为y ＝32x ，不过原点时，设方程为x a ＋y a ＝1，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5，∴方程为x ＋y －5＝0.14．(文)(2011～2012·江西赣州期末)若圆(x －2)2＋y 2＝2与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则双曲线的离心率是________．[答案]2[解析] 圆心(2,0)到直线y ＝b ax 的距离d ＝|2b |a 2＋b 2＝2，∴b 2＝a 2，∴c 2－a 2＝b 2，∵e >1，∴e ＝ 2.(理)(2011～2012·黄冈市期末)已知直线ax ＋y ＋2＝0与双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是_____ ___．[答案]255[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，由条件知a ＝±2，∴两平行线2x ＋y ＋2＝0与y ＝－2x ＝0之间的距离是d ＝25＝255.15．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z[解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2αcos α<0sin2α>0，化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )．16．(2011～2012·山东苍山县期末)已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[答案]x 24－y 212＝1 [解析] 在⊙C 方程中，令x ＝0得y 2－4y ＋8＝0无解，令y ＝0得x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝2或4，故双曲线方程中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝12，∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·广东广州一模)已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．[解析] (1)设P (x ，y )，则Q (x ，－2)， ∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1.当x ≠0时，得y x·－2x＝－1，化简得x 2＝2y .当x ＝0时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. ∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)． (2)解法一：∵直线l 2与曲线C 相切， ∴直线l 2的斜率存在． 设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0.∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.由(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1＝12(k 2＋1＋3k 2＋1) ≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3.当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立，此时b ＝－1.∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 解法二：由x 2＝2y ，得y ′＝x .∵直线l 2与曲线C 相切，设切点M 的坐标为(x 1，y 1)，其中y 1＝12x 21，则直线l 2的方程为：y －y 1＝x 1(x －x 1)，化简得x 1x －y －12x 21＝0.点(0,2)到直线l 2的距离 d ＝|－2－12x 21|x 21＋1＝12·x 21＋4x 21＋1＝12(x 21＋1＋3x 21＋1) ≥12×2x 21＋1·3x 21＋1＝ 3.当且仅当x 21＋1＝3x 21＋1，即x 1＝±2时，等号成立．∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. (理)已知动圆过定点P (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，若OA ⊥OB ，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)设圆心M (x ，y )．由题意知点M 到点P 的距离等于点M 到直线x ＝－1的距离，故点M 的轨迹C 是以P (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线． ∴轨迹C 的方程是y 2＝4x .(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．代入C 的方程并整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4－2kb k 2，x 1x 2＝b2k2. 故y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b ) ＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4b k.由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k 2＋4bk＝0，解得b ＝－4k 或b ＝0(舍去)． 此时，直线AB 的方程为：y ＝kx －4k ， 即y ＝k (x －4)．此时直线AB 过定点(4,0)．当直线AB 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 可知A 、B 两点的坐标分别是(4，－4)、(4,4)． 此时直线AB 也过定点(4,0)． 综上所述，直线AB 恒过定点(4,0)．18．(本小题满分12分)(2011～2012·山东日照模拟)设椭圆C 1和抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中点和C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：(1)求曲线C 12(2)设直线l 与椭圆C 1交于不同两点M 、N ，且OM →·ON →＝0，请问是否存在直线l 过抛物线C 2的焦点F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意(－2,0)，一定在椭圆C 1上，设C 1方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝2，∴椭圆C 1上任何点的横坐标|x |≤2. 所以(2，22)也在C 1上，从而b 2＝1， ∴C 1的方程为x 24＋y 2＝1.从而(3，－23)，(4，－4)一定在C 2上， 设C 2的方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p ＝2，即C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设直线l 过C 2的焦点F (1,0)． 当l 的斜率不存在时，则M (1，32)，N (1，－32)． 此时OM →·ON →＝1－34＝14≠0，与已知矛盾．当l 的斜率存在时设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)代入C 1方程并整理得，(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k2.y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)＝－3k21＋4k2， ∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴k 2－4＝0，k ＝±2，∴存在符合条件的直线l 且方程为y ＝±2(x －1)．19．(本小题满分12分)(2011～2012·宿州市质检)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求双曲线C 的离心率；(2)若双曲线C 的右焦点坐标为(3,0)，则以双曲线的焦点为焦点，过直线g ：x －y ＋9＝0上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．[解析] (1)由题设知：l 的方程为y －3＝1×(x －1)，即y ＝x ＋2，代入C 的方程，并化简得：(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 (*) 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b2b 2－a2，由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故4a2b 2－a 2＝2，即b 2＝3a 2.故c ＝2a ，∴e ＝2， 验证可知方程(*)的Δ>0.(2)双曲线的左、右焦点为F 1(－3,0)、F 2(3,0)，点F 1关于直线g ：x －y ＋9＝0 ①的对称点F 的坐标为(－9,6)，直线FF 2的方程为x ＋2y －3＝0② 解方程组①②得交点M (－5,4)，此时|MF 1|＋|MF 2|最小，所求椭圆的长轴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|FF 2|＝65， ∴a ＝35，又c ＝3，∴b 2＝36，故所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.20．(本小题满分12分)(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝121a 2＋94b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝01a 2＋94b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵a 2＝4，b 2＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2. 以PF 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＝2516，圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，半径为54.∵两圆心之间的距离为0－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－02＝34＝2－54， 故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．(理)(2011～2012·包头一中期末)已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为12.(1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R 、T ，且满足OR →·OT →＝8.若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得：b ＝23，e ＝c a ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝12a ＝2c ，∴c ＝2，a ＝4，故椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在满足题意的直线l .易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，故直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y ＝kx －4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4x 216＋y 212＝1可得：(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0，则Δ＝(－32k )2－4(3＋4k 2)×16>0，∴k 2>14，设R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k3＋4k2x 1x 2＝163＋4k2，∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16 ＝16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝－48－48k23＋4k 2， ∵OR →·OT →＝8，∴x 1x 2＋y 1y 2＝8，∴163＋4k 2－48－48k 23＋4k 2＝8，∴k 2＝12>14，∴k ＝±22， ∴直线l 的方程为：y ＝±22x －4，故存在直线y ＝±22x －4满足题意． 21．(本小题满分12分)(文)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，左焦点为F ，点M (x 0,0)且椭圆的长半轴长是－x 0与半焦距的等比中项，OM →＝4OF →.(1)求椭圆的离心率e ；(2)过左焦点F 且斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝－2，求椭圆的方程．[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，F (－c,0)，则由条件知，－x 0·c ＝a 2，∴x 0＝－a 2c，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0.由OM →＝4OF →得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0＝4(－c,0)．∴a 2c ＝4c ，∴e ＝c a ＝12. (2)设直线AB 的方程为y ＝2(x ＋c )，直线AB 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)可得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2.由⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2y ＝2x ＋c，消去y 得，11x 2＋16cx －4c 2＝0.x 1＋x 2＝－16c 11，x 1x 2＝－411c 2. OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2，且y 1·y 2＝2(x 1＋c )(x 2＋c )＝2x 1x 2＋2c (x 1＋x 2)＋2c 2. ∴3x 1x 2＋2c (x 1＋x 2)＋2c 2＝－2. 即－1211c 2－3211c 2＋2c 2＝－2.∴c 2＝1.则a 2＝4，b 2＝3.椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(理)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝2 2.记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．[解析] (1)解法1：由|PM |－|PN |＝22知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右支；其实半轴长a ＝2，半焦距c ＝2，虚半轴长b ＝c 2－a 2＝2，所以W 的方程为x 22－y 22＝1，(x ≥2)． 解法2：设动点P 的坐标为(x ，y )， 则|PM |＝x ＋22＋y 2，|PN |＝x －22＋y 2，由条件得x ＋22＋y 2－x －22＋y 2＝22，化简得W 的方程为x 22－y 22＝1，其中x ≥ 2.(2)解法1：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得 (1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0， 故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2 ＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0，从而OA →·OB →>2 综上，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 解法2：设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．再设直线AB 方程为x ＝my ＋r ，与W 的方程联立，消去x 得(m 2－1)y 2＋2mry ＋(r 2－2)＝0故y 1＋y 2＝－2mr m 2－1，y 1y 2＝r 2－2m 2－1所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 1y 2＋(my 1＋r )(my 2＋r ) ＝(m 2＋1)y 1y 2＋mr (y 1＋y 2)＋r 2＝(m 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2－2m 2－1＋mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mr m 2－1＋r 2＝－2m 2－2m 2－1＝－2－4m 2－1由x 1x 2>0不难得到0≤m 2<1于是OA →·OB →＝－2－4m 2－1≥－2－(－4)＝2当且仅当m ＝0时，上式中“＝”成立．因此当直线AB 的方程为x ＝r ，即AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.22．(本小题满分14分)(文)(2011～2012·南通市调研)设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切． (1)求证：1a 2＋1b2＝1；(2)P 是椭圆E 上异于A 1，A 2的一点，直线PA 1，PA 2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程；(3)直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，且OM →·ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．[解析] (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 1，A 2与B 分别为椭圆E 的左右顶点与上顶点，所以A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B (0，b )，直线A 2B 的方程是x a ＋y b＝1. 因为A 2B 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切， 所以11a 2＋1b 2＝1，即1a 2＋1b2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则直线PA 1，PA 2的斜率之积为kPA 1·kPA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝－13⇒x 20a 2＋3y 20a 2＝1，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以b 2＝13a 2.结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝43.所以，椭圆E 的方程为x 24＋3y 24＝1.(3)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．①若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，将y ＝kx ＋m 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得，x 2a 2＋kx ＋m2b 2＝1.化简得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0(Δ>0)．∴x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，x 1＋x 2＝－2a 2kmb 2＋a 2k2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝a 2k 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＋km (－2a 2km b 2＋a 2k 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2.因为OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 代入得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0. 结合(1)的1a 2＋1b2＝1，得m 2＝1＋k 2.圆心到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2＝1，所以直线l 与圆C 相切．②若直线l 的斜率不存在，设直线l ：x ＝n .代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b1－n 2a2. ∴|n |＝b1－n 2a2，∴a 2n 2＝b 2(a 2－n 2)． 解得n ＝±1，所以直线l 与圆C 相切．(理)(2011～2012·厦门质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点．过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．[解析] (1)∵椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得e ＝c a ＝22.∵椭圆经过点(6，1)，∴6a 2＋1b2＝1.又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2， ∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)解法一：连结OM ，OP ，OQ ，依题意可设M (－4，m )， 由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知 △OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， ∵|OP |＝22，∴|OM |＝42， ∴－42＋m 2＝42，又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)， ∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ，∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OPA ＝30°， 由|OP |＝22知|OA |＝2， 即点O 到直线PQ 的距离为2， ∴|n |12＋－12＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0. 解法二：同解法一求得M (－4,4)，设P (x 1，y 1)，则由圆的切线性质知∠OPM 为直角，故有k OP·k PM＝－1，即y1x1·y1－4x1＋4＝－1，整理得x21＋y21＝4y1－4x1，又点P(x1，y1)在圆O：x2＋y2＝8上，故有x21＋y21＝8，∴4y1－4x1＝8，即y1－x1＝2，同理设Q(x2，y2)，则有y2－x2＝2，∴直线PQ的方程为x－y＋2＝0.解法三：同解法一求得M(－4,4)，则以OM为直径的圆K的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8，与圆O：x2＋y2＝8联立消去x2，y2得直线PQ的方程为x－y＋2＝0.解法四：同解法一求得M(－4,4)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则过P，Q的圆O：x2＋y2＝8的切线方程分别为x1x＋y1y＝8，x2x＋y2y＝8，它们都过点M(－4,4)，故有－4x1＋4y1＝8，－4x2＋4y2＝8，∴直线PQ的方程为－4x＋4y＝8，即x－y＋2＝0.1．(2011～2012·北京西城区期末)设抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于( )A．8 B．6 C．4 D．2[答案] B[解析]抛物线准线l：x＝－2，P到l距离d＝4－(－2)＝6，∴|PF|＝6.2．(2011～2012·辽宁本溪一中、庄河高中联考)设平面区域D是由双曲线x2－y24＝1的两条渐近线和直线6x－y－8＝0所围成三角形的边界及内部，当P(x，y)∈D时，x2＋y2＋2x的最大值是( )A．24 B．25C．4 D．7[答案] A[解析]在双曲线方程中，a＝1，b＝2，渐近线y＝±2x，区域D为△OAB及其内部，令r＝x2＋y2＋2x，则(x＋1)2＋y2＝r＋1，则r＋1表示点P到(－1,0)点距离的平方，易求得A(1，－2)，B(2,4)，则点P与B重合时r取到最大值，此时r＝24.3．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|的值是________．[答案]22[解析] 由已知2bc ＝a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝c ＝22a . 设P (x 0，y 0)，则x 0＝－c ，|y 0|＝|PF 1|. ∵－c2a 2＋y 20b2＝1， ∴y 20b 2＝1－c 2a 2＝b 2a 2＝12， ∴|y 0|＝22b ，∴|PF 1||OB 2|＝22b b ＝22. 4．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110 [解析] 易知7－1≤|FP n |≤7＋1，若a 1＝7－1，a n ＝7＋1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒d ＝a n －a 1n －1＝7＋1－7－1n －1≤220＝110(n ≥21)，即0<d ≤110，当d <0时，－110≤d <0，故有d ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，过双曲线的右焦点F 作直线l ，使l 垂直l 1于P 点，且与双曲线交于点A .(1)当l 1与l 2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4时，求该双曲线方程； (2)若双曲线的离心率e ∈[2，3]时，求|AF →||AP →|的取值范围．[解析] (1)∵l 1与l 2的夹角为60°， ∴b a ＝tan30°或b a＝tan60°， ∴a ＝3b 或b ＝3a ，又c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝3b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1b ＝3，∴双曲线方程为x 2－y 23＝1或x 23－y 2＝1.(2)不妨设F (c,0)，直线l 的方程为：y ＝－ab (x －c )，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x y ＝－ab x －c得点P 的横坐标为a 2c，∴点P 在双曲线C 的右准线上，过点A 作右准线的垂线并交左准线于点Q ，则 |AF →||AP →|＝|AF ||AQ |·|AQ ||AP |＝e ·sin∠APQ ， 又∠APQ ＝∠POF ，且tan ∠POF ＝ba(O 为坐标原点)， ∴sin ∠APQ ＝ba 2＋b 2，∴|AF →||AP →|＝ba ，而e 2＝1＋b 2a 2，且e ∈[2，3]，∴ba∈[1，2]，∴|AF →||AP →|的取值范围是[1，2]． 6．(2011～2012·广东韶关调研)设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)当M 的坐标为(0，－1)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB 恒过定点(0，m )．[解析] (1)当M 的坐标为(0，－1)时，设过M 点的切线方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4＝0，令Δ＝(4k )2－4×4＝0，解得k ＝±1， 代入方程得x ＝±2，故得A (2,1)，B (－2,1)， 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4. 易知此圆与直线l ：y ＝－1相切．(2)证法一：设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为(y －y 1)＝k (x －x 1)，代入x 2＝4y ，整理得x 2－4kx ＋4(kx 1－y 1)＝0，Δ＝(4k )2－4×4(kx 1－y 1)＝0， 又因为x 21＝4y 1，所以k ＝x 12.从而过抛物线上点A (x 1，y 1)的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 214 ①即y 0＝x 12x 0－y 1，同理可得过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 224，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 22x 0－x 224 ② 即y 0＝x 22x 0－y 2，即点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足y 0＝x2x 0－y ，即x 0x ＝2(y 0＋y )，故直线AB 的方程为x 0x ＝2(y 0＋y )，又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任何x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．证法二：设过M (x 0，y 0)的抛物线的切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k ≠0)，代入x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4kx －4(y 0－kx 0)＝0，Δ＝(4k )2＋4×4(y 0－kx 0)＝0， 即k 2＋x 0k ＝y 0＝0，从而k 1＝－x 0＋x 20－4y 02，k 2＝－x 0－x 20－4y 02，此时x 1＝2k 1，x 2＝2k 2，所以切点A ，B 的坐标分别为A (2k 1，1k 21)，B (2k 2，1k 22)，因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝x 02，x 1＋x 22＝2k 1＋2k 22＝k 1＋k 2k 1k 2＝x 0，y 1＋y 22＝1k21＋1k 222＝k 1＋k 22－2k 1k 22k 1k 22＝x 20－2y 02， 所以AB 的中点坐标为(x 0，x 20－2y 02)，故直线AB 的方程为y －x 20－2y 02＝x 02(x －x 0)，即x 0x ＝2(y 0＋y )，又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任意x 0成立，所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．证法三：由已知得y ＝x 24，求导得y ＝x2，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故过点A (x 1，y 1)的切线斜率为k ＝x 12，从而切线方程为(y －y 1)＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 12x 0－x 214 ①即y 0＝x 12x 0－y 1，同理可得经过点B (x 2，y 2)的切线为y ＝x 22x －x 224，又切线过点M (x 0，y 0)，所以得y 0＝x 22x 0－x 224 ②即y 0＝x 22x 0－y 2，即点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均满足y 0＝x2x 0－y ，即x 0x ＝2(y 0＋y )，故直线AB 的方程为x 0x ＝2(y 0＋y )，又M (x 0，y 0)为直线l ：y ＝－m (m >0)上任意一点，故x 0x ＝2(y －m )对任意x 0成立， 所以x ＝0，y ＝m ，从而直线AB 恒过定点(0，m )．。