组合数的性质
组合数公式大全
组合数公式大全组合数是组合数学中的一个重要概念，它描述了从一个集合中选择出若干元素进行组合的情况，而不考虑元素的顺序。
组合数在数学中有着广泛的应用，涉及到概率论、统计学、排列组合等领域。
本文将为您全面介绍组合数的相关理论和公式。
**一、组合数的定义**组合数通常记作C(n, k)，表示从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数目。
组合数的主要特点是不考虑元素的顺序，也就是说，选择元素a、b和选择元素b、a被视为同一种组合。
组合数的计算涉及到阶乘的概念，具体公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)n!表示n的阶乘，即n的所有自然数乘积。
**二、组合数的递推公式**除了直接使用组合数的定义进行计算，还可以利用递推公式来快速计算组合数。
组合数有以下递推公式：C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)这个递推公式的意义在于，从n个元素中选取k个元素的组合数，可以分解成两种情况：一种是包含第n个元素的组合，另一种是不包含第n个元素的组合。
通过这种递推关系，可以快速计算出较大规模的组合数。
**三、组合数的性质**组合数有一些重要的性质，例如：1. 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)，也就是说，从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n个元素中选取n-k个元素的组合数。
2. 组合数的加法原理：C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1)，也就是说，从n个元素中选取k个元素的组合数加上选取k+1个元素的组合数，等于从n+1个元素中选取k+1个元素的组合数。
3. 组合数的乘法原理：C(m, k) * C(n, r) = C(m+n, k+r)，也就是说，从m个元素中选取k个元素的组合数乘以从n个元素中选取r个元素的组合数，等于从m+n个元素中选取k+r个元素的组合数。
**四、高级组合数公式**除了基本的组合数公式外，还有一些高级的组合数公式，如：1. Lucas定理：对于任意非负整数n和m以及质数p，Lucas定理表示C(n, m)对p取模的结果等于C(n%p, m%p)与C(n/p, m/p)的乘积对p取模的结果。
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
组合数常用公式
组合数常用公式摘要：一、组合数定义二、组合数公式1.二项式定理2.阶乘与组合数的关系3.组合数的性质4.组合数公式推导三、组合数的应用1.组合数的计算2.组合数的应用场景四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式2.常见递推关系举例五、组合数的性质与公式总结正文：一、组合数定义组合数（Combination）是离散数学中的一个概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
用符号表示为C(n, m)，即n 个元素中取m 个元素的组合数。
二、组合数公式1.二项式定理二项式定理是组合数计算的基础，它表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) 即为组合数。
2.阶乘与组合数的关系组合数与阶乘（n!）之间存在如下关系：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]3.组合数的性质组合数具有以下几个性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4.组合数公式推导根据阶乘与组合数的关系，可以推导出组合数的计算公式。
三、组合数的应用1.组合数的计算组合数的计算是组合数学中的基本操作，可以通过递推关系、二项式定理等方法进行计算。
2.组合数的应用场景组合数在实际生活中有很多应用场景，例如概率论、组合优化、密码学等。
四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式根据组合数的性质，可以得到递推关系的一般形式：C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)2.常见递推关系举例常见的组合数递推关系有：- C(n, 0) = 1- C(n, 1) = n- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)五、组合数的性质与公式总结组合数是组合数学中的基本概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
组合数定理
组合数定理组合数定理是组合数学中的重要定理之一。
在数学中，组合数是从给定集合中选择出特定个数的元素组成的集合的个数，通常用C(n, k)表示。
组合数定理主要研究的是这些组合数的性质和计算方法。
首先，我们需要了解一下组合数的定义。
给定一个n 元素的集合，从中选取k个元素，组成一个无序的集合，这样的集合个数即为组合数。
组合数的计算方法可以通过以下公式进行计算：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)其中n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1，0的阶乘定义为1。
组合数的计算方法还可以通过递推公式进行计算：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个递推公式的意思是，要么选择n作为组合的一部分，那么剩下的k-1个元素就要从剩下的n-1个元素中选择；要么不选择n，那么k个元素就要从剩下的n-1个元素中选择。
通过递推公式，我们可以通过计算相对较小的组合数，迭代地计算出较大的组合数。
组合数定理具有以下几个重要的性质：1. 对任意整数n和k，组合数C(n, k)满足对称性质：C(n, k) = C(n, n-k)。
这是由组合数的定义以及递推公式可以得到的结论。
2. 组合数满足递推关系：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
这个递推关系可以用来计算较大的组合数，通过计算较小的组合数，不断迭代得到结果。
3. 组合数的性质可以帮助我们解决很多实际问题。
比如，在排列组合数的计算中，组合数可以用来解决从n个元素中选择k个元素的问题；在概率论中，组合数可以用来计算事件的发生概率。
除了上述性质外，组合数定理还有一些重要的应用：1. 组合公式的应用：组合数定理可以用来简化复杂的组合公式，使得计算更加方便。
比如，通过组合数定理，我们可以证明等式(1+x)^n = C(n, 0)*x^0 + C(n, 1)*x^1 + ... + C(n, n)*x^n。
选修2-3《组合数的性质》辅导与练习(带答案)
选修2-3《组合数的性质》辅导与练习知识方法：1. 组合数的性质1：mn nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。
证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又)!(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+。
2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m n C 。
组合数及其性质和证明
组合数及其性质和证明组合数从n n 个不同元素中，任取m(m≤n)m(m≤n) 个元素并成⼀组，叫做从n n 个不同元素中取出m m 个元素的⼀个组合；从n n 个不同元素中取出m(m≤n)m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n n 个不同元素中取出m m 个元素的组合数，记作C m n Cnm。
注意：1. 线性⽂本中的C(n,m)C(n,m) 等价于本⽂中的C m n Cnm。
2. 特别地，∀n>0∀n>0 有C0n=0=1.组合数的性质1. （定义式）∀m,n∈N∀m,n∈N 有C m n=n!m!(n−m)!Cnm=m!(n−m)!n!2. ∀m,n∈N∗∀m,n∈N∗且m≠n m=n 有C m n=C n−mnCnm=Cnn−m 证明：由定义式易得。
3. ∀m,n∈N∗∀m,n∈N∗有C m n=C m−1n−1+C m n−1Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m证明：右边=(n−1)!(m−1)!(n−m)!+(n−1)!m!(n−m−1)!=(n−1)!×mm!(n−m)!+(n−1)!×(n−m)m!(n−m)!=(n−1)!×(m+n−m)m!(n−m)!=n!m!(n−m)!=C m n.右边=(m−1)!(n−m)!(n−1)!+m!(n−m−1)!(n−1)!=m!(n−m)!(n−1)!×m+m!(n−m)!(n−1)!×(n−m)=m!(n−m)!(n−1)!×(m+n−m)= m!(n−m)!n!=Cnm.Q.E.D..Q.E.D..Lucas 定理Lucas 定理是⽤来求Unexpected text node: '  'Cnm mod p，p p 是素数的值，Unexpected text node: '  'CNm mod p=Cpnpm×Cn mod pm mod p mod pLoading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js。
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
高二数学组合数的两个性质
高二数学组合数的两个性质组合数的两个性质 教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习1：求证：11--=m n m nC mn C． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C-与36C ；③511411C C +（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）二、新授内容：1m n nmnC C-=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n nmnC C-=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n Cmn n-=---=-又 )!(!!m n m n Cm n-=∴m n nm nC C-=注：1︒ 我们规定 10=nC2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算mnC 可变为计算m n nC -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C＝12002C =2002．4︒ y n x n C C =yx =⇒或n y x =+2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C⑵ 2127=C⑶ 3537=C引导学生发现：=38C+27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m nC 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3＝m nC +1-m nC ．证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C Cm n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n mm n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m mn )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴ m n C 1+＝m nC +1-m nC ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数． 2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 4．补充例题 ⑴ 计算：69584737C C C C+++⑵ 求证：n m C 2+＝n mC +12-n mC +2-n mC⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C⑸ 计算：4434241404C C C C C++++和554535251505C C C C C C+++++推广：nn n n n n n nC C C C C21210=+++++-Λ5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立： ⑴ （讲解）11321++---=+++++k nk k k k k n k n k n C C C C C C Λ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k kC C C C C Λ⑶ )(23210321nn n n nn n n nC C C n nC C C C+++=++++ΛΛ三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2# 课外作业：课本习题10.3；5#—8#四、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．酒钢三中高二数学组。
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C
x7 25 ,求x．
x=6或7
C （3）已知：
14 t
C ,求 C
4 t
t =190 20
引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球 和1个黑球． （1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑 球,有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球, 有多少种取法？ 解： ⑴
1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 m ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
C 56
3 8
2 ⑵ C7
21
3 7
⑶
C 35
3 7
我们发现： C
3 8
C C
2 7
这是为什么呢?
C C C
3 8 2 7
3 7
我们可以这样解释:从口袋内的8个球中 所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个
黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原
理,上述等式成立. 思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
3
3ห้องสมุดไป่ตู้
100
3
3
2
8
9
8
3
3
2
2
8
8
8
8
56 8
3
0 1 2 9 例2 （）计算 1 C4 C5 C6 C13 ；
（2）计算C C C C ；
2 2 2 3 2 4 2 10
常用的等式:
C C
0 k
0 k 1
C C
k k
k 1 k 1
1
练习：
7 7 8 若 C C C (1) n 1 n n , 则n _______
2010 例如:C 2011
说明：
C
2011 2010 2011
C
1 2011
2011
0 n
2、为了使性质1在m＝n时也能成立,规定 C
1
3、Cnx Cny x y或x y n
4、该性质又叫对偶法则
练习
97 （1）计算：C100 =161700
C （2）已知：
2x 25
m m个元素组成的，共有C n 个
由分类计数原理，得 m m 性质2 n 1 n
C
C C
m 1 n
性质2的证明
C
m n
m n 1
m 1 n
C C
m n
m 1 n
证明 :
n! n! m!( n m)! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n!m (n m 1 m)n! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! (n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!
(含元素a)
4 该性质又叫增一法则
化简（用 C 练习：
m n 形式表示）
C C
90 99 89 99
C990C989
C
9 2004
90 100
变式一：C
10 2005
C
C
90 99
10 2004
m Cn
变式二：C
90 100
7 m
-C C
89 99
变式三： C -C
8 m1
C 0
8 m
例 1 计算
(1)
C
198
; 200
C
2 99
2 200
200 199 21
19900
( 2 )
( 3)
C C ; 100 99 98 C 3 2 1 161700 2C C C . 2C (C C ) C C
99
C C
C
m n 1
C C
m n
而
m 1 n
的两个组合数之
注:1 公式特征:
和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大 的相同的一个组合数． 2 此性质的作用:恒等变形,简化运算. 3 等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
C
m n1
C (不含元素a) C
m n
m1 n
(6)计算C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
1
2
3
4
5
1、组合数的两个性质
C C
m n
nm n
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
2、数学思想：
⑴从特殊到一般的归纳思想．
⑵取法与剩法的一一对应的思想. (3)含与不含其元素的分类思想
一般地，从a1 , a2 , , an 1这n 1个不同的元素中取 出m个元素的组合数是C ，
m n 1
这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an 1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an 1这n个元素中取出
14
7 7 x , 则x （2）已知C12 = C11 + C11
6或5 3n 6 4n 2 （ 3）若C18 C18 , 则n 2 3 4 5 6 (4)计算 C7 C7 C8 C9 210
计算 A A A A （ 5）
2 3 2 4 2 5 2 100
从7位同学中 选出3位同学 对应
剩下的4位同 学构成一个组 合
构成一个组合 从7位同学中
选出3位同学 的组合数 C 3
7
3 7
从7位同学中选 出4位同学的组 合数
4 7
C
即： C
C
4 7
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后, 剩下n–m个元素,因此从n个不同元素中取出m个不 同元素的每一个组合,与剩下的n–m个元素的每一 个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出 个不 同元素的组合数, 从这n个元素中取出 个 元素的组合数.即
计算C C C C
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?
C 35
3 7
⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选 法?
C 35
4 7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动 都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
C C
m n
nm n
这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.
性质1
C C
m n
nm n
性质1的证明
n! n! nm C Cn m!(n m)! (n m)![n (n m)]!
m n
n n m m 1、为简化计算,当m＞ 时,通常将计算Cn 改为计算 Cn 2