高二数学组合数的两个性质
3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
组合数的性质和应用
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
小结
1.组合数公式:
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
共有多少条不同的路线
?
B A
将一条路经抽象为如下的一个
排法(5-1)+(8-1)=11格:
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
高二数学组合与组合数
課堂練習：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①
若取出6，则有2(A
2 8
+
C12C17C17 )
种方法；
②若不取6，则有
C17
组合数计算公式
复习
(1)C m
Am n
n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
An
m!
(2)C m m n!
n m!(n m)!
组合数性质1： C
m n
C nm n
c c c 组合数性质2： m m m1
n1
n
n
C
0 n
=1
常用的组合数性质公式还有：
补充
1、Cn0 Cn1 Cnn 2n 2、Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 3、kCnk nCnk11
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成 Cm2 Cn2 个平行四边形 .
5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成
Cm2 Cn2C
2 t
2 6
C
2 4
C
2 2
=
90
种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C16
C
2 5
C33
A
3 3
=
360
种方法；
③“1、1、4型”，有
【高中数学】组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
高二数学人选修课件时组合与组合数公式
02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求 该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计 算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该 事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落 在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方 法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因 此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的 点数。求事件A（出现偶数点）的概 率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中 目标的概率为0.8，现连续射击5次， 求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有 用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于 描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能 构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分 析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第五章-§3组合问题
§3
组合问题
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
学习目标
1.理解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数的性质，并会应用公式和性质进行计算.
3.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
新知学习
问题导入
北师大版
一 组合
一般地，从个不同元素中，任取（ ≤ ，且，∈N+）个元素为一组，叫作从个不同
元素中取出个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
排列与组合的区别与联系
①共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
②不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
种选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C43 ＝4种选法.
根据分类加法计数原理知，共有74种选法.
（方法二
间接法）从所有的9名学生中选出3名，有C93 种选法，其中全为男生的有C53 种选法.
所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C93 -C53 ＝74种.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
第1步，从，，，，这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为；
第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为A33 .
A35 5×4×3
3
3
因此，根据分步乘法计数原理，A5 ＝·A3 ，从而＝A3 ＝3×2×1＝10.
3
所以从5名候选人中选出3名担任代表，共有10种方案.
高中数学
选择性必校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如
组合、组合数 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
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高二数学组合数的两个性质
组合数的两个性质 教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；
掌握组合数的两个性质，
并且能够运用它解决一些简单的应用
问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
强调：排列——次序性；组合——无序性．
2．练习
1：求证：1
1--=
m n m n
C m
n C
． （本式也可变形为：
11
--=m n m n nC mC ）
2：计算：① 3
10
C 和710
C ； ② 2
637
C C
-与36
C ；③
511
411
C C +
（此练习的目的为下面学习组合数
的两个性质打好基础．）
二、新授内容
：
1
m n n
m
n
C C
-=．
理解： 一般地，从n 个不同元素中取出
m 个元素后，剩下n - m 个元素．因
为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素
的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n
m
n
C C
-=．在这里，
我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 证明：∵)!
(!!
)]!([)!(!m n m n m n n m n n C
m
n n
-=
---=
-
又 )!
(!!m n m n C
m n
-=
∴m n n
m n
C C
-=
注：1︒ 我们规定 1
0=n
C
2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3︒ 此性质作用：当2
n m >时，计算m
n
C 可变为
计算m n n
C -，能够使运算简化．
例如：20012002
C ＝200120022002
-C
＝12002
C =2002．
4︒ y n x n C C =y
x =⇒或n y x =+
2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴ 56
3
8
=C
⑵ 21
27
=C
⑶ 35
37
=C
引导学生发现：=38
C
+27C 3
7
C ．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从1
2
1
,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取
出m 个元素的组合数是m n C 1
+，这些组合可以分为
两类：一类含有元素1
a ，一类不含有1
a ．含有1
a 的
组合是从1
3
2
,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元
素与1
a 组成的，共有1
-m n
C 个；不含有1
a 的组合是从
1
32,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，
共有m n
C 个．根据分类计数原理，可以得到组合
数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3
＝m n
C +1-m n
C ．
证明： )]!
1([)!1(!
)!(!!1---+
-=
+-m n m n m n m n C C
m n m n
)!1(!!)1(!+-++-=m n m
m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m
n )!
1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1
+=
∴ m n C 1
+＝m n
C +1-m n
C ．
注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1
的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数． 2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化
运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 4．补充例题 ⑴ 计算：6
9
58473
7
C C C C
+++
⑵ 求证：n m C 2
+＝n m
C +12-n m
C +2-n m
C
⑶ 解方程：3213
113-+=x x C C
⑷ 解方程：3
33
22210
1+-+-+=
+x x x x x A C C
⑸ 计算：44
34241404C C C C C
++++和55
4535251505
C C C C C C
+++++
推广：n
n n n n n n n
C C C C C
21210
=+++++-Λ
5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立： ⑴ （讲解）11321
++---=+++++k n
k k k k k n k n k n C C C C C C Λ
⑵ （练习）11
21++++++=++++k k n k n k k k k k k k
C C C C C Λ
⑶ )(2
3210321
n
n n n n
n n n n
C C C n nC C C C
+++=
++++ΛΛ
三、作业
： 课堂作业：P 103 1#，2# 课外作业：课本习题10.3；5#—8#
四、小结
：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
酒钢三中高二数学组。