1.2.2组合(二)组合数的两个性质
人教版《组合数的性质》课件(共22张PPT)
性质2：(2)
Cm n1
Cnm
C m1 n
说明：
1.原理：从n+1个不同元素中取出m个元素的组合等于取 到元素a1的组合数与未取到元素a1的组合数之和.
组合数的两个性质
(1)Cnm
C n-m n
(2)Cnm1
Cnm
C m1 n
练习
1.已知 C1x0
C 3x6 10
，则
x
3或4
；
2.若 Cn8 Cn2 ，则 n
10
；
3.计算： C82 C83 C92
120
；
变式： C33 C43 C53 C130 330
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
有限制条件的组合问题
例1.在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出5人参加市 级培训.在下列条件下，各有多少种不同 的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有一人参加.
排列
联系
组合
组合是选择的结果； 排列是先选择后再排序的结果
组合的概念 组合数公式 组合数性质
1.组合公式
（1）
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
（2）
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数的性质
性质1:
Cm n
C nm n
性质2
:
Cm n1
Cm n
C m1 n
人教A版选修2-3 第一章
1.2.2 组合
第二课时 组合数的性质
高中数学选修2-3优质三段式学案1：1.2.2 组合(2)
高中数学选修2-3学案1.2.2组合（2）一、学习目标：1．掌握带有较复杂限制条件的组合问题的处理方法；2．掌握分组分配问题的处理方法．学习重点：带有较复杂限制条件的组合问题的处理方法；分组分配问题的处理方法．二、基本知识：1、组合的定义：2、组合数公式：3、组合与排列的区别：4、组合数的两个计算性质：三、典型例题例1、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．例2、(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？四、课堂练习1.从4名男生，2名女生中，选2人参加某项活动，至少有一名女生参加的选法有________种．2.从正方体ABCD－A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．3．(2013·课标全国卷)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.学习笔记高中数学选修2-3学案学习笔记4．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有________．5.“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？——★参考答案★——例1.解：(1)512C ＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有29C ＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有59C ＝126(种)不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有13C ＝3(种)选法，再从另外的9人中选4人有49C 种选法，共有1439C C ＝378(种)不同的选法． (5)方法一 (直接法)可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有1439C C 种； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有2339C C 种； 第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有3239C C 种． 共有1439C C ＋2339C C ＋3239C C ＝666(种)不同的选法． 方法二 (间接法)12人中任意选5人共有512C 种，甲、乙、丙三人不能参加的有59C 种，所以，共有512C －59C ＝666(种)不同的选法．例2.解 (1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有C 210＝10×91×2＝45(条)． (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有A 210＝10×9＝90(条)． 课堂练习1.[[解析]] 法一 分两类， ①一男一女，共有4×2＝8种； ②两女，只有1种，共有8＋1＝9种．法二 间接法C 26－C 24＝15－6＝9种．[[答案]] 92.[[解析]] 从8个顶点中任取4个有C 48种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C 48－12＝58个不同的四面体．[[答案]] 583.[[解析]] 由题意知n ＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P ＝2C 2n ＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8.[[答案]]84.[[解析]]先从12名同学选4个上第一个路口，再从剩下的8名同学选4个上第二个路口，那么剩下的4名同学上第三个路口，则不同的分配方案共有C412C48C44＝34 650种．[[答案]]34 6505.解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．方法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．方法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习： 练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充． 活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法． 解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756， 方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666， 方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种； 第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种． 根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种． 答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。
1.2.2组合
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中 9 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数 为（ C ） 3 2 3 3 2 3 A.(C8 C7 )(C7 C82 ) B.(C8 C7 ) (C7 C82 )
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C6 C4 C 18900 (2)
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C8 种（B） 8 种 （C） 9 种 （D） 11 种 C （A） C
组合和排列有什么共同和不同点？
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:
排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合是选择的结果，排列 组合问题
法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
2 2 6 4
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
导学案组合数的两个性质(日照实验高中导学案)
日照实验高中2007级导学案——计数原理1.2.2.2组合数的两个性质学习目标：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．学习重点难点：组合数公式的掌握。
自主学习:一．课堂引入：1．复习排列和组合的有关内容： 定 义 特 点 联系 公 式 排 列 组 合 强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一： 练习1：求证：11--=m n m n C m n C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C + 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二： ⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 答案：⑴45210=C （组合问题） ⑵90210=A （排列问题）二．新课探究1．组合数的 性质1：mn n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因 为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -= ∴m n n m n C C -=教师备课 学习笔记注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．2. 组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴ m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．3︒ y n xn C C =y x =⇒或n y x =+三．例题解析：例1． ⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C教师备课学习笔记⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++推广：________1210=+++++-nn n n n n n C C C C C 例2 求证： ⑴ 11321++---=+++++k nk k k k k n k n k n C C C C C C⑵ 1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C⑶ )(23210321nn n n n n n n n C C C n nC C C C +++=++++课堂巩固： 教师备课 学习笔记计算：（1）()2973100100101C C A +÷； （2）3333410C C C +++（3）11m n m n n m n m n nC C C C -++--归纳反思：合作探究：解方程432(1)140;x x A A =112311(2)n n n n n n n nC C C C +--+-+=++教师备课 学习笔记。
18-19版：1.2.2 第1课时 组合及组合数公式（步步高）
1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有顺序的，②中选取的两个数无需排列．梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商？答案A24＝4×3＝12.思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数？答案第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A22＝12.思考3你能得出C24的计算公式吗？答案因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.梳理(1)组合数的概念从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)组合数公式及其性质组合数公式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质①C m n＝C n－mn；②C m n＋C m－1n＝C m n＋1；③C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.(×)2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．(√)3．C35＝5×4×3＝60.(×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.(√)类型一组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)． 类型二 组合数公式与性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)求C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n 的值；(3)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. 考点 组合数性质题点 用组合数的性质计算与证明(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5 ＝210－210＝0.(2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N ，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031 ＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466. (3)证明 m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1. 反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！(n －m )！计算． (3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 98100＋C 199200＝________. (2)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015的值为( )A ．C 42 015B ．C 52 015 C ．C 42 016－1D ．C 52 015－1考点 组合数性质题点 用组合数的性质计算与证明答案 (1)5 150 (2)C解析 (1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150. (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 32 015－1＝…＝C 42 015＋C 32 015－1＝C 42 016－1.命题角度2 含组合数的方程或不等式例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m 8； (2)解不等式：C 4n >C 6n .考点 组合数性质题点 含组合数的方程或不等式问题解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！， 即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！ ＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！. ∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60， 即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84. (2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6， 又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N ＋.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N ＋，n ∈N ＋，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x －3)(x －6)＝5×4×2＝8×5.所以x ＝11或x ＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x ＝11.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 组合的概念题点 组合的判断答案 C解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选C.2．集合M ＝{x |x ＝C n 4，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( )A ．M ∪Q ＝{0,1,2,3,4}B ．Q ⊆MC ．M ⊆QD ．M ∩Q ＝{1,4}考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 D解析 由C n 4知，n ＝0,1,2,3,4，因为C 04＝1，C 14＝4，C 24＝4×32＝6，C 34＝C 14＝4，C 44＝1，所以M ＝{1,4,6}．故M ∩Q ＝{1,4}．3．若C 2n ＝21，则n ！3！(n －3)！的值为( ) A ．6 B ．7 C ．35 D ．70考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 C解析 ∵C 2n ＝21，∴n (n －1)2＝21， 解得n ＝7或n ＝－6(舍去)，∴n ！3！(n －3)！＝7！3！×4！＝7×6×53×2×1＝35，故选C. 4．不等式C 2n －n <5的解集为________．考点 组合数性质题点 含组合数的方程或不等式问题答案 {2,3,4}解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5， 即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5，由题设条件知n ≥2，且n ∈N ＋，则n ＝2,3,4，故原不等式的解集为{2,3,4}．5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；(2)不同的乘积结果有多少个？考点 组合数公式题点 组合数公式的应用解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a ，b )表示每一种取法，并且(a ，b )与(b ，a )是同一种取法．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算.。
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
1.2.2组合(第二课时)
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
C33C92 36
（（（（2345））））甲甲甲甲、 必 、 、乙 须 乙乙、 当 、、丙 选 丙丙三 ， 三三人乙人人不、只至能丙有多2当不一人选能人当；当当选选选；C；；30CC319C5 941C2311C76984 126
排列——先取 再排 组合——只取 不排
2. 排列与组合的联系:
组合是排列的一个步骤之一;
排列的本质是先组合后排列(全排列).
3. 排列数与组合数公式:
Anm
Ann A( n m )
( n m )
n! (n m)!
C
m n
Anm Amm
n! m!(n m)!
例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定理 1:
m
nm
n
n
c c c m m m1
n1
n
n
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标
较大的相同的一个组合数．
种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有 C61C52C33 A33 360 种方法；
③“1、1、4型”，有C64 A33 90种方法，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴原不等式化为C21n-4<C21n-2<C21n-1
∴原不等式化为:
21! (n-4)!(21-n+4)!
<
21! (n-2)!(21-n+2)!
<
21! (n-1)!(21-n+1)!
∴ (24-n)(25-n)>(n-3)(n-2) 23-n>n-1
n<12 又 n-5≥0
∴不等式的解集为{5，6，7，8，9，10，11}
组合数应用
例4、一个口袋内装有大小不同的7个白球和 1个黑球，
①从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？
③从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？
例5 在100件产品中，有98件合格品，2件 次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1） 一共有多少种不同的抽法？ （2） 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有
多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有
多少种？
例6：某医院有内科医生12名，外科医生8名，现 选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有
多少种不同的选法？ C138
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ C158
（2）求证：
Cmm Cmm1 Cmm2 Cnm3 Cnm2 Cnm1 Cnm1
例3： (1)若
C x2 x 16
C5x5 16
，求x.
先考虑条件，相当于先考虑函数的定义域。
（2）解不等式：C20n-5+C20n-4<C21n-2<C20n-1+C20n-2
C
m n
C m1 n
例1：计算(1)
C 198 200
(2) C939 C929
(3)
C 95 97
C 96 97
C 97 98
C 98 99
(4)C22 C32 C42
C2 100
(5)C31 C42 C53
C197 199
例2(1)证明:Cn0+C1n+1+C2n+2+…+Cm-1n+m-1=Cn+mm-1
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
C
C1 4
2 18
C 22 C138
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有
多少种选法？ 错解：C112C81C138
C112C84 C122C83 C132C82 C142C81
C
5 20
(C85
C152
)
[课堂小结]
1．
组合数的性质：
C
m n
C
n n
m
C
m n1
C
m n
C
m1 n
2．用途，求值及化简证明
3．注意公式左、右、上、下标字母特征。
[布置作业] 《作业本》P12-13+成才
1.2.2 组合(二)
一、复习回顾
1、组合数与排列数的区别？
2、组合数
C
m n
与排列数
Anm
的关系？
3、组合数公式
Cnm
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
组合数性质：
性质1：C
m n
C
n n
m
(规定：Cn0 1 )
性质2:
Cm n1