组合数的两个性质

组合数的两个性质

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

组合数的两个性质 作者：万连飞

教学目的：

1．使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2．使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。 教学过程：

一、 复习提问：

1．组合数公式的两种形式是什么：

2．利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：

（1） 组合数公式：

)!

(!!!

)1()1(m n m n m m n n n c

p

p c m n

m m

m n m n

-=

--???-=

=

}

(n,m ∈N,且m ≤

N)

二、新课讲授：

1．通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它

的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察： c 9

11与c 2

11， c 7

10与c 3

10， c 6

7与c 1

7

的关系，并能发现什么规律（可以逐个叫学生回答，板书）

∵

!210

11!2!9!119

11?==

c ，

又

!210112

11

?=c ， ∴c 9

11=

c

2

11

；

∵!

38910!3!7!107

10??==c 又

!38

9103

10??=

c

∴

c c 3

10

710=；

∵

!1!6!76

7=c 又

!171

7=

c

∴c 6

7=c

1

7。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。即

定理1：c m

n =c

m

n n -，(n,m ∈N,且m ≤N)

(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢（指明学生回答）

”。 我们知道，

)!(!!

m n m n c

m n

-=

，

!)!(!

)]!([)!(!m m n n m n n m n n c

m n n

-=

---=

-

显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!

m m n n -。于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!

m n m n c

m n

-=

，

又!)!(!

)]!([)!(!m m n n m n n m n n c

m n n

-=

---=

-，

∴

c m n

=c m

n n

-。

（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c m

n 等于

从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数

c

m n n

-，即

c m

n

=c

m n n

-。

（4）当

2

n m >

时，利用这个公式，可是c m

n 的计算简化。如：

36218

92

97

997

9=??===-c c c ，

4950

2199

1002

10098

100=??=

=c c 。

（5） 注意：当m=n 时，公式

c m n =c m

n n

-变形为

c c n n

n 0

=，

又

c

n n

=1，所以规定：c n 0

=1即 0！=1

（6）在这样的一组组合数：

c

n

0，c n 1，c n 2……c n n 2-，c n n 1-，c n

n

中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：

c n

=c

n n

，c n 1=c n n 1-，c n 2=c n n 2

-，……。

2．用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）

（1）用计算的方法考察组合数：

c 3

5

与

c c 2

4

34+，

c

5

8

与

c c 4

7

57+

的关系，你能由此发现什么规律吗（可指明学生回答，板书）

∵

10214

52

535=??=

=c c

10

642

41

42

43

4=+=+=+C C c c

∴

c 3

5

=

c c 2

4

34+

∵

56

3216

783

85

8=????=

=c c

5635213215

6721673

72

74

75

7=+=????+??=

+=+c c c c

∴c

5

8=c c 4

7

57+

规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则

c

c c m n

m n

m n 11

-++=，（或

c

c c m n m

n m n

11

1

---+=）

定理2

c c c m n

m

n m

n 1

1-++= (n,m ∈N,且m ≤N)

（2） 定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即

可。

证明：∵

)]!1([)!1(!)!(!!1---+

-=+-m n m n m n m n c

c m n

m

n

)!1(!)

1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=

-++-+=

c m

n m n m n 1

)!1(!)!1(+=-++=

∴

c

m n 1+=

c c m n

m n 1

-+

（3）对于定理2，还可以这样解释：从1a ， 2a ，….，1

+n a 这n+1个不

同的元素中取出m 个元素的组合数

c

m

n 1+，这些组合可以分成两类：一类含1a ，

一类不含1a 。含1a 的组合是从2a ，….，1

+n a 这n 个不同的元素中取出m-1个

元素的组合数为

c

m n

1-，不含1a 的组合是从2a ，….，

1

+n a 这n 个不同的元素中取

出m 个元素的组合数为

c

m n

。再由加法原理，得：

c c c m n

m

n m

n 1

1-++=。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合

数

c

m

n 1+，等于从

n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数

c m

n

与从n 个不同的元

素中取出m-1个元素的组合数c m n 1

-的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

二、 课堂练习： 1．计算

c

198200

与

c c

2

99

399

+；

2．求c c 2

7

3

8

-；

3．利用定理2证明：

c c c c

c c m n

m

m m

m m n m

n m

n 1

13

21

...++---=+++++

证明：c c c

m

n m n m n

11

11

-+-++=

c c c c c c c m n m

n m

n m

n m n m n m n 1

3

32112

21+----+---+++=++=

……

c c c c c m

m

m

m m n m

n m

n ++++++---=13

2

1

...

又证：将原式左边的各项写成：

c c c m n m n m n 1

1

11+-+--=，

c c c m n m n m

n 1

2

1

12+-+---=，

c c c m n m n m

n 1

2

1

13+-+---=， ……

c c c m m m m m

m 1

11

2

1

+++++-=，

c

c m m m m

11++=，

将上述的等式两边相加，得：

c c c c

c c m n

m m m m m n m n m n 1

13

2

1

...++---=+++++

四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性

质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求

c c c c c 5

5

4535251

5222++++

2. 证明:

c c c c c n m n n

m n n n n n n n

1

1

12

1

+++++++=+???+++

3.书上