组合数的两个性质
高中数学-组合数的两个性质-课标分析
对此部分，《教学大纲》要求是理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题，而《课程标准》要求，通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
与大纲比较，标准降低要求，不再要求掌握和应用“组合数的两个性质”。
因此教科书以选学内容的方式对它们进行介绍。
“组合数的性质”是学生学习了函数的图像与性质、数列以及组合数公式等知识的基础上提出来的，它与函数、数列、数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式定理的基础，并且能结合实际生产和生活中的问题。
本课题不仅能使学生系统掌握组合数的有关知识，而且能使学生掌握渗透于知识中的数形结合思想，特殊与一般的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；不仅对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点，而且对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；不仅具有培养学生爱国主义思想、献身科学精神以及合作意识和精神，而且能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生的创新精神。
1[1].2.2组合(二三)
![1[1].2.2组合(二三)](https://img.taocdn.com/s3/m/26fb405f804d2b160b4ec0d1.png)
四、组合数两个性质
性质一
, 探究 用计算器计算下列各组 组合数的值你发现了什 ? ? 么 你能解释你的发现吗
4 8 3 7 3 C12与C12 ;C18与C15 ;C10与C10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 18
不难发现各组的两个组合数都相 ,而且两个组合数的上 , 等 , 标之和等于下标 如 4 + 8 = 12, 3 +15 = 18,7 + 3 = 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
中任取四个点，其中不共面的情形共有 ______ 种。
4 不考虑限制条件共有 C10 = 210
4 共面情形在面上共有 4C 6 = 60
一棱上取三点， 取中点， 一棱上取三点，对棱上 取中点，共有 6种情形
取四棱中点情形有3种
共有 210－60－6－3＝141
练习： 个点， 个点在一直线上， 练习：（1）平面内有 个点，其中 个点在一直线上， ）平面内有9个点 其中4个点在一直线上 此外没有3点在一条直线上 点在一条直线上， 过这9个点可确定多 此外没有 点在一条直线上，①过这 个点可确定多 少条直线？ 过这9个点可以作多少个三角形 个点可以作多少个三角形？ 少条直线？②过这 个点可以作多少个三角形？
m+1
m−1+
m−1
m−1
n
)
组合（ 1.2.2 组合（３）
－－题型整合 －－题型整合
2010.7.8
”“至少 题型一： 至多”“至少” 题型一：“至多”“至少”问题
在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时, 100件产品中有98件合格品， 件次品。产品检验时, 件产品中有98件合格品 100件产品中任意抽出 件产品中任意抽出3 从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (1)一共有多少种不同的抽法? 一共有多少种不同的抽法 (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? 抽出的 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 抽出的
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
《组合数的两个性质》知识解读
《组合数的两个性质》知识解读性质一:C C m n mn n−=. 该性质反映了组合数的对称性,其组合意义是:从n 个不同的元素中取出m 个元素后,就剩下n m −个元素,因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法,与从n 个元素中取出n m −个元素的方法是一一对应的,它们是一样多的,就是说从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合,都对应着从n 个不同元素中取出n m −个元素的唯一的一个组合,反过来也一样.故从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ,等于从n 个不同的元素中取出n m −个元素的组合数C n m n −,也就是C C m n mn n −=. 性质二:11C C C m m m n n n −+=+.性质二的实际意义:一般地,从121,,,n a a a +这1n +个不同元素中取出m 个元素的组合数是1C m n +,这些组合可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a .含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出1m −个元素与1a 组成的,共有1C m n −个;不含有1a 的组合是从231,,,n a a a +这n 个元素中取出m 个元素组成的,共有C m n 个.在这里,主要体现了从特殊到一般的归纳思想和“含与不含某元素”的分类思想. 归纳总结 如何理解性质一?性质一表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合,与剩下的n m −个元素的组合是一一对应关系.性质一的应用:(1)简化计算:当2n m >时,通常将计算C m n 转化为计算C n mn −,如5388876C C 56321⨯⨯===⨯⨯;(2)列等式,C C x y n n x y =⇒=或x y n +=.如388C C 3xx =⇒=或3+8x =.如何理解性质二?性质二表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合,可以分为两类:第1类,取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合,只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可,有C m n 个组合;第2类,取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合,只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m −个后再取出元素a 即可,有1C m n −个组合. 要注意性质二11C C C m m m n n n −+=+的顺用、逆用、变形用:顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;变形用是变形为11C C C m m m n n n −+=−再使用,为某些项前后相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用.性质二的应用:恒等变形,简化运算.在后面学习二项式定理”时,我们会看到它的具体应用. 知识延伸 常见组合恒等式 (1)11C C m m n n n m m −−+=; (2)1C C m mn n n n m−=−; (3)11C C m m n n n m−−=; (4)1121C C C C C r r rr r r r r n n ++++++++=;(5)011C C C C r r m n m n −+++0C C C r rm n m n +=.说明:在后面学习“二项式定理”时,我们可以得到更多组合恒等式.。
组合数的两个性质
Ⅱ、形式公式往往有现实意义的解释；换一个角度来说，有时，也可 能从现实解释中，发现又一个形式公式.
Ⅲ、公式一有改变计数角度，简化运算的作用.（当时 m n，通常将计
算
C
m n
改为计算C
nm n
.）
2
例4：在8件产品（其中1件次品）中， ①随机抽取3件进行检验，有几种可能？ ②随机抽取3件进行检验，若次品一定抽到，有几种可能？ ③随机抽取3件进行检验，若次品一定不抽到，有几种可能？
探究与发现《组合数的两个性质》
复习：组合数两个公式
用学过的公式计算：（1）C19080 （2）C41, C43 及 C51, C52 , C53 , C54 的值
问题1：观察（2）中数值，看有什么发现？你会简化（1）的计算吗？ 问题2：能否有一个更一般的式子？ 问题3：能否用组合公式给出证明？
一种现实内容的解释 我们已证明了公式：公式是一种抽象的数量关系的形式.此公式恰有确切的现实 意义，反映了一类具体的现实关系. 例1：某班早晨派4名同学值日，要求3人扫地，1人打水，问有多少种分派方法？
例2：在a,b,c,d四个元素中任选3个，问有多少种选法？
例3：填空：
①C2107 =________；
② C19080 =_________;
③若
C
x 20
C
2x7 20
，则
x ___________.
思想方法小结 问题4：通过以上的学习，你对公式的获得和公式的理解有何看法？
Ⅰ、形式公式，有时可以从特例的计算中获得发现.
问题5：仿照上述例子，把组合数 C42 分两类进行叙述？并写出我们得到的一般结论？
Cnm1 Cnm Cnm1(n m 1)
探究与发现组合数的两个性质
3.若C138n6
C 4n2 18
,
则n
4.已知： C225x C2x57 ,求x．
1.思考并计算下面各题 (1)C83与C73 C72 (2)C53与C43 C42
在以上两组题目中，你能发现什么规律？能够得出什么猜想？
猜想:
Cnm+1 = C?n + C?n
Cnm+1
=
Cm-1
n
+
Cnm
猜想：
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的组合数 一一对应
从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的组合数
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于
从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
C
m n
C nm n
练习题
1.计算
C198 200
C 2005 2006
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
m
A m Cn
n m
n(n
1)( n
2)(n m!
m
1)
Am
Cm n!
n m!(n m)!
计算下列各式
(1) C53 与 C52
(2) C73 与 C74
解：C53
543 3 21
10
C52
54 21
10
C73
765 3 21
35
跟踪练习：
若C
7 n 1
Cn7
Cn8 .
求n
2024/8/1
C74
7654 43 21
35
在以上两组题目中，你能发现什么规律？能够得出什么猜想？
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
组合数的性质(2)
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。
教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。
（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。
由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。
即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。
要证明这个等式成立，即证明两个量相等。
那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。
我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。
于是可得下面的证明。
证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。
（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。
所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c mn 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数cm n n-，即c mn =cm n n-。
（4）当2n m >时，利用这个公式，可是cm n的计算简化。
如：3621892979979=⨯⨯===-c c c ，49502199100210098100=⨯⨯==c c 。
（5） 注意：当m=n 时，公式c m n =c mn n-变形为c c n nn 0=，又cn n=1，所以规定：cn0=1即 0！=1（6）在这样的一组组合数：cn0，cn1，cn2……cn n2-，cn n1-，cn n中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。
如：c n=cn n，c n1=cn n1-，c n2=cn n2-，……。
2． 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。
（1）（1）用计算的方法考察组合数：c 35与c c 2434+， c58与c c 4757+的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）∵1021452535=⨯⨯==c c106424142434=+=+=+C C c c∴c 35=c c 2434+∵563216783858=⨯⨯⨯⨯==c c563521321567216737274757=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+c c c c∴c58=c c 4757+规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则c c c m nmn m n 11-++=，（或c c cm n m n m n111---+=）定理2c c c m nmn mn 11-++= (n,m ∈N,且m ≤N)（2） 定理2的证明。
要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。
证明：∵)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n cc m nm n)!1(!)1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=-++-+=c mn m n m n 1)!1(!)!1(+=-++=∴cm n 1+=cc m nm n1-+（3）对于定理2，还可以这样解释：从1a ， 2a ，….，1+n a这n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，这些组合可以分成两类：一类含1a ，一类不含1a 。
含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为cm n1-，不含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数为cmn 。
再由加法原理，得：cc c m nm nm n 11-++=。
（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，等于从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 与从n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数cm n1-的和。
这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。
二、课堂练习： 1． 计算c 198200与c c299399+；2． 求c c2738-；3． 利用定理2证明：c c c cc c m nm m m m m n mn mn 11321...++---=+++++证明：c c cmn m n m n1111-+-++=c c c c c c c m n mn mn mn m n m n m n 133211221+----+---+++=++=……c c cc c mmm m m n m n m n ++++++---=1321...又证：将原式左边的各项写成：c c cm n m n m n 1111+-+--=，c c c m n m n mn 12112+-+---=，c c c m n m n m n 12113+-+---=， ……c c c m m m m m m 11121+++++-=，cc m m m m11++=，将上述的等式两边相加，得：c c c cc c m nm m m m m n m n m n 11321...++---=+++++四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求c c c c c 5545352515222++++2. 证明: c c cc c n m n n m n n n n n n n11121+++++++=+⋅⋅⋅+++3.书上。