组合数的性质和应用.ppt
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北师大版选择性必修第一册第五章3.13.2组合 组合数及其性质课件(32张)
!
=
=
知识点 3:组合数性质
- .
+ -
性质 2:+ =
性质 1: =
.
,叫作从 n 个
表示.
!
!(-)! .规定 =1.
数学
[思考2-1] 一个组合与组合数有何区别?
提示:一个组合与组合数是两个不同的概念,根据定义,一个组合是具体的一
件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清
=
!
=
-
-
·
-
!
·
(-)!
=
!
.
=
!(--)! !(-)!
·
!(-)!
!(-)!
所以 ·
-
;
!
(-)!
!
=
=
!
,
!(-)! !(-)!(-)!
= ·
.
.
(-)!(-)! !(-)!(-)!
数学
§3
组合问题
组
合
组合数及其性质
数学
核心知识目标
1.理解组合的概念.
2.能记住组合数的计算公式,
组合数的性质以及组合数与排
列数之间的关系,并能运用这
些知识解决一些简单的组合应
用题.
核心素养目标
1.通过学习组合的概念,培养数学抽象
的素养.
2.借助组合数公式进行计算,培养数学
运算的素养.
3.通过组合知识解决实际问题,提升逻
求组合还是组合数.
[思考2-2] 如何理解和记忆组合数的性质.
-
提示:从 n 个不同元素中取 m(m≤n,且 m,n∈N+)个元素,剩余(n-m)个元素,故 =
=
=
知识点 3:组合数性质
- .
+ -
性质 2:+ =
性质 1: =
.
,叫作从 n 个
表示.
!
!(-)! .规定 =1.
数学
[思考2-1] 一个组合与组合数有何区别?
提示:一个组合与组合数是两个不同的概念,根据定义,一个组合是具体的一
件事,它不是一个数;而组合数是所有组合的个数,它是一个数.解题时应分清
=
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(-)!(-)! !(-)!(-)!
数学
§3
组合问题
组
合
组合数及其性质
数学
核心知识目标
1.理解组合的概念.
2.能记住组合数的计算公式,
组合数的性质以及组合数与排
列数之间的关系,并能运用这
些知识解决一些简单的组合应
用题.
核心素养目标
1.通过学习组合的概念,培养数学抽象
的素养.
2.借助组合数公式进行计算,培养数学
运算的素养.
3.通过组合知识解决实际问题,提升逻
求组合还是组合数.
[思考2-2] 如何理解和记忆组合数的性质.
-
提示:从 n 个不同元素中取 m(m≤n,且 m,n∈N+)个元素,剩余(n-m)个元素,故 =
3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
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22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
6.2.4组合数课件(人教版)
因此， + − = − = − =
+
7. 计算： −
+
解：由题意可得
又
≥ −
+ ≥
解得
≤≤
∈ +
,得n=10
− ∈
+ ∈ +
(3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
解：(1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以
抽法种数为
100 99 98
3
C100
3 21
161700.
1
(2) 从2件次品中抽出1件的抽法有C2 种，从98件合格品中抽出2件的抽
2
法有C 98
种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
解：（1）从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法：
红球3个，红球2个和白球1个，
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有 = 种；
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.
10.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有 = 种选法.
抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产
人教版《组合数的性质》课件(共22张PPT)
性质2：(2)
Cm n1
Cnm
C m1 n
说明：
1.原理：从n+1个不同元素中取出m个元素的组合等于取 到元素a1的组合数与未取到元素a1的组合数之和.
组合数的两个性质
(1)Cnm
C n-m n
(2)Cnm1
Cnm
C m1 n
练习
1.已知 C1x0
C 3x6 10
，则
x
3或4
；
2.若 Cn8 Cn2 ，则 n
10
；
3.计算： C82 C83 C92
120
；
变式： C33 C43 C53 C130 330
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
有限制条件的组合问题
例1.在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出5人参加市 级培训.在下列条件下，各有多少种不同 的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有一人参加.
排列
联系
组合
组合是选择的结果； 排列是先选择后再排序的结果
组合的概念 组合数公式 组合数性质
1.组合公式
（1）
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
（2）
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数的性质
性质1:
Cm n
C nm n
性质2
:
Cm n1
Cm n
C m1 n
人教A版选修2-3 第一章
1.2.2 组合
第二课时 组合数的性质
组合与组合数公式(修改的)PPT
1.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品 中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
C．3 或 5
D．15
解析：选 C．由组合数的性质得 n＝2n－3 或 n＋2n－3＝12，解
得 n＝3 或 n＝5，故选 C．
3.若集合 A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合 A 中含有 4 个元素的 子集共有________个. 解析：共有 C45＝5 个. 答案：5
4.10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组 种数为________．(用数字作答) 解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有 C410＝210 种分法. 答案：210
1.2.2 组 合
第 1 课时 组合与组合数公式
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
组合数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 _所__有__不__同__组__合___的个数，叫做从 n 个不同元素
【解】 (1)3C38－2C25＝3×83××72××61－2×52××41＝148. (2)利用组合数的性质 Cnm＋1＝Cnm＋Cmn －1， 则 C34＋C35＋C36＋…＋C310 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44 ＝C45＋C35＋…＋C310－C44 ＝… ＝C411－1＝329.
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件4.3第1课时组合与组合数
(3)分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
类表达,逐类求解.
变式训练3
某医院从10名医疗专家中抽调6名参加某项义诊活动,其中这10名医疗专
家中有4名是外科专家.问:
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?
同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有 C95 =126种不
同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C31 =3
种选法,再从另外的 9 人中选 4 人,有C94 种选法,共有C31 C94 =378 种不同的选法.
(5)(方法 1 直接法)可分为三类:
!
kC =k·
!·(-)!
=
n≥2).
·(-1)!
-1
=nC-1 .
(-1)!·(-)!
探究点三 组合问题的实际应用
【例3】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人
去参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
2×1
=
2
C100
1
+ C200
=
100×99
+200=5
2×1
150.
-1
+1
(2)求证:C+1 + C +2C = C+2
(n,m∈N+).
分析 式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
!
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
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（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
分析:
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 C120 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 种C140方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各
有 C21种取法,所以一共有 C140C21C21C21C21 336种0 取法.
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
10! 7!3!
10
9 3!
8
C2 1110
11
2!
C3 10 9 8
10
3!
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法
一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
= Cnm
Cnnm
注 C (1)当m n 时,利用这个公式可使 m的计算简化
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
8
8
8
8
8
例2．计算：
C
3 7
C
4 7
C85
C96
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96
C84 C85 C96
(C84 C85 ) C96
C95 C96
C160 C140
1098 7 210 4!
变式：求证：Cnn
（A）C83 种（B）A83 种 （C）C93 种 （D）C131 种
• 变式1：为美化城市，现在要把一条路上7 盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路 灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求 相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色 的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装 方法？
114种
变式 2：某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？某人射击 8 枪，命中 4 枪， 且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？
变式、（1）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
（2） 10件不同奖品中选6件分成三份, 二份各1件 ,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？
(1)C160C64 3150 (2)C160C64 A33 18900
(3) 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班 级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分 配方法？
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
3.求值 : (1)C54 C64 C74 C84 C94 C140
(2)C31 C42 C53 C64 C4319
4.已知Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn K
六.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
(3)
计算
C 198 ; 200
C 2 200 199 19900
200
21
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C 3 3 2 .
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
组合数的性质和应用
莆田第二中学高二1班
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
得:C259
4095
变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同 盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
C63 20
变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子，每盒可空，不同的放法有多少种？
C130 120
五.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
横8竖构成的方格图,从
B
A到B只能上行或右行
a a a 从 , , 这n 1个不同的
12
n1
C 元素中取出 m个的组合数是 m n1
含有a1的
不含有a1的
a a a a a a 从
,
2
,
3
中取出m 1个
n1
从
,
2
,
3
中取出m个
n1
a C 元素与 组成,有 m1个
1
n
C 元素组成,有 m 个 n
C C C m m m1
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
多少种取法?
C
2 7
76 2!
21
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多
少种取法?
C
3 7
7
6 3!
5
35
C C C 3 袋内的8个球中所取出的3个球,可以
分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根
据分类计数原理,上面等式成立.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
七.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
C . m n1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 . 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今
后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
例1
(1) (2)
(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C130种
取法,3双鞋中取出1双有 C31种方法,另2双鞋中各取1只
有 C21C21种方法故共有 C130C31C21C21 1440种取法.
• 变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把 球全部放入盒内。（假设盒子足够大）
• （1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球， 有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有 几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种 放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法 ？
·2007·
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分成三份，每份两本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
分析:
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 C120 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 种C140方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各
有 C21种取法,所以一共有 C140C21C21C21C21 336种0 取法.
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
10! 7!3!
10
9 3!
8
C2 1110
11
2!
C3 10 9 8
10
3!
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法
一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
= Cnm
Cnnm
注 C (1)当m n 时,利用这个公式可使 m的计算简化
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
8
8
8
8
8
例2．计算：
C
3 7
C
4 7
C85
C96
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96
C84 C85 C96
(C84 C85 ) C96
C95 C96
C160 C140
1098 7 210 4!
变式：求证：Cnn
（A）C83 种（B）A83 种 （C）C93 种 （D）C131 种
• 变式1：为美化城市，现在要把一条路上7 盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路 灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求 相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色 的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装 方法？
114种
变式 2：某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？某人射击 8 枪，命中 4 枪， 且命中的 4 枪中恰有 3 枪连中，不同的结果有多少种？
变式、（1）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
（2） 10件不同奖品中选6件分成三份, 二份各1件 ,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？
(1)C160C64 3150 (2)C160C64 A33 18900
(3) 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班 级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分 配方法？
Cn n1
Cn n2
Cn n＋m
C . n1 nm1
3.求值 : (1)C54 C64 C74 C84 C94 C140
(2)C31 C42 C53 C64 C4319
4.已知Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn K
六.错位法： 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
(3)
计算
C 198 ; 200
C 2 200 199 19900
200
21
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C 3 3 2 .
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
组合数的性质和应用
莆田第二中学高二1班
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5
次测试是次品。故有：C43C61 A44 576 种可能。
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
得:C259
4095
变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同 盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
C63 20
变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子，每盒可空，不同的放法有多少种？
C130 120
五.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
横8竖构成的方格图,从
B
A到B只能上行或右行
a a a 从 , , 这n 1个不同的
12
n1
C 元素中取出 m个的组合数是 m n1
含有a1的
不含有a1的
a a a a a a 从
,
2
,
3
中取出m 1个
n1
从
,
2
,
3
中取出m个
n1
a C 元素与 组成,有 m1个
1
n
C 元素组成,有 m 个 n
C C C m m m1
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
多少种取法?
C
2 7
76 2!
21
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多
少种取法?
C
3 7
7
6 3!
5
35
C C C 3 袋内的8个球中所取出的3个球,可以
分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根
据分类计数原理,上面等式成立.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
七.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
C . m n1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 . 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今
后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
例1
(1) (2)
(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C130种
取法,3双鞋中取出1双有 C31种方法,另2双鞋中各取1只
有 C21C21种方法故共有 C130C31C21C21 1440种取法.
• 变式2：有4个不同的球和4个不同的盒子，把 球全部放入盒内。（假设盒子足够大）
• （1）共有几种放法？（2）每盒恰有1个球， 有几种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有 几种放法？（4）恰有2个盒子不放球，有几种 放法？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法 ？
·2007·
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分成三份，每份两本； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法