高考前三大题训练数列

高考前三大题训练——数列
一、 已知递推公式求通项公式
例1．已知数列
{}n a 满足：112a =
,121
1
n n a a n -=+-()2n ≥,则{}n a 的通项公式为n a = .
例2．（2005湖南卷文科第5题） 已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11
N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a = .
例3．设数列}{n a 满足关系:135(2)2n
n a a n -=+≥,1172
a =-. （1）令10+=n n a
b ,求证：}{n b 是等比数列;
（2）问数列}{n a 从第几项开始大于零？ （下列数据供计算时参考：4771.03lg ,3010.02lg ==）
例4．数列{n a }满足11a =且11816250(1)n n n n a a a a n ++-++=≥,记1(1)1
2
n n b n a =
≥-
.
（1） 求1234b b b b 、、、的值;
（2） 求数列{}n b 的通项公式及数列{}n n a b 的前n 项和n S .
二、 已知n S 求通项公式
例1．已知数列{}n a 有a a =1,p a =2（常数0>p ）,对任意的正整数n ,12n S a a =++L
n a +,并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=
.
（1）求a 的值;（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列,若是,求出其通项公式,若不是,说明理由.
例2．数列}{n a 的前n 项的和记为n S ,已知11=a ,n n S n
n a 2
1+=
+（Λ,3,2,1=n ）证明：
（1）数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等比数列;（2）n n a S 41=+.
例3．已知数列}{n a 的前n 项的和记为n S ,)1(3
1
-=
n n a S （*N n ∈）. （1） 求1a ,2a ；（2）求证数列}{n a 是等比数列.
例4．已知数列{}n a 的首项13a =,通项n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=⋅≥. （1）求证：}1
{
n
S 是等差数列,并求公差;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）数列{}n a 中是否存在正整数k ,使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在,求出最小的k 值;若不存在,请说明理由．
例5．已知数列{}n a 的前n 项和2
9n S n n =-,数列{}n b 满足：111
2,,()2
n n b b b n N ++==
∈,
（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T ;（3）求数列{(10)}n n a b -的前n 项和n P .
例6．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ,且*125()n n S S n n N +=++∈.
（1）证明数列{}1n a +是等比数列;（2）令212()n
n f x a x a x a x =+++L ,求函数()f x 在点1
x =处的导数(1)f ',并比较2(1)f '与22313n n -的大小.
例7．已知数列
{}n a 的前n 项和为21n S n =+,数列{}n b 满足：2
1n n
b a
=+,前n 项和为n T ,设21n n n C T T +=-.（1） 求数列{}n b 的通项公式;（2）求证：数列{}n C 是单调递减数列;
（3）若对n k ≥时,总有16
21
n
C <
成立,求自然数k 的最小值.
三、 与解析几何相关的数列问题
例1．由原点O 向三次曲线)0(32
3
≠-=a ax x y 引切线,切点为111(,)P x y (O ,1P 两点不重合),再由1P 引此曲线的切线,切于点2P ),(22y x （1P ,2P 不重合）,如此继续下去,得到点列：
)},({n n n y x P ．
（1）求1x ;（2）求n x 与1+n x 满足的关系式;（3）若0>a
,试判断n x 与a 的大小关系,并说明理由．
例2．以数列}{n a 的任意相邻两项为坐标的点))(,(1*
+∈N n a a P n n n 均在一次函数
)0(,2≠+=k k x y 的图象上,数列}{n b 满足条件：1()n n n b a a n N *+=-∈,
（1）求证：数列}{n b 是等比数列;
（2）设数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ,若46T S =,95-=S ,求k 的值．
例3．已知曲线2
:(0)C y x x =>,过C 上的点1(1,1)A 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点1B ,再过点1B 作
y 轴的平行线交曲线C 于点2A ,再过点2A 作曲线C 的切线2l 交x 轴于点2B ,再过点2B 作y 轴
的平行线交曲线C 于点3A ,……,依次作下去,记点n A 的横坐标为n a ()n N *
∈． （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证：1n n a S ⋅≤;
（3）求证：11413n n
i i i
a S =-≤∑．
例4．在直角坐标平面上有一点列ΛΛ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,对每个正整数n ,点n
P 位于函数
4133+
=x y 的图象上,且n P 的横坐标构成以2
5
-为首项,1-为公差的等差数列}{n x ． （1）求点n P 的坐标;（2）设抛物线列ΛΛ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,第
n 条抛物线n C 的顶点为n P 且过点)1,0(2+n D n ,记过点n D 且与抛物线n C 只有一个交点的直线的
斜率为n k ,求证：
10
111113221<+++-n n k k k k k k Λ; （3）设},2|{*
N n x x x S n ∈==,},4|{*
N n y y y T n ∈==,等差数列}{n a 的任一项n a ∈
S T I ,其中1a 是T S I 中的最大数,12526510-<<-a ,求}{n a 的通项公式．
四、 与函数相关的数列问题
1.由解析式构造出的递推数列
12122212110101001()[0,)12
1.()()2()1,()22
12()[,1]2
1
()()([,1])(),1,(),...,(),
2
{}1
()[0,),(),(),2
n n n f x x f x f x x f x x f x x I y f x x y g x a a g a a g a a II x x f x f x x x -⎧
∈⎪⎪==--+=-+⎨⎪∈⎪⎩=∈====∈== 例已知　其中
设的反函数为求数列的通项公式.
若求.
12111122.()0,{},2,(),...,
(),
(){}()8n n n n n
i i i x
f x x y a a a a f a x a
a f a I a II a a ++==+===+=<∑例已知的图象关于对称定义使求数列的通项公式.求证:.
2.由函数方程通过赋值构造出递推数列
3.()0,,,()()(),()(0)(1)()(2)2,(2)n f x R a b f ab af b bf a I f f II f f -=+=例已知是定义在上不恒为的函数且对于任意实数满足求及的值.
若求的解析式.
4.()()()()2()(),(0)0,(1)022
()()()(0,1,2,...),()x y x y
f x x R f x f y f f f f I f x II n N n f n +-∈+=≠=∈=例已知满足且求证是周期函数.
当求的解析式.
3.由函数图象上的点运动生成的数列
121211122111
5.,,...,,(0),,,...,,,,
,...,,(),(,0),
(){}1
()1n n n n n n n n n n
k k
B B B y x A A A x OB A x
A B A A B A B A x I x II x -==>>∑
V V V 例设顺次为曲线上的点顺次为轴上的点且均为等腰直角三角形为直角顶点设的坐标为求的通项公式.求证:.
4.由函数图象的切线迭代出的数列
3211111222116.3(0),(,),,(,),,{(,)},()()()0,,n n n n n n O y x ax bx a O P x y P P P x y P x y I x II x x III a x a -=-+≠>例由原点向曲线引切线切于异于点的点再由点引此曲线的切线切于异于点的点如此下去得到点列求.
求与的关系.
若比较与的大小并证明.。