高等数学应用题(参考答案)
高等数学练习题(附答案)
《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。
高等数学试题及答案2
《高等数学》专业 学号 姓名一、判断（每小题 2 分，共 20 分）1. f(x)在点x 0处有定义是f(x)在点x 0处连续的必要条件. ( )2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( )3. y=f(x)在x 0处可导,则y=|f(x)|在x 0处也可导. ( )4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x) 的驻点. ( )6. 对任意常数k,有⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )(. ( )7. 若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界. ( )8. 若f(x,y)在区域D 上连续且区域D 关于y 轴对称,则当f(x,y) 为关于x 的奇函数时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(=0. ( )9. )(y '2=-2x -e x的通解中含有两个独立任意常数. ( )10. 若z=f(x,y)在P o 的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P 0连续. ( )二、填空（每空 2 分，共20 分）1.∞→x lim [xsin x 1+x1sinx+(x x +2)x ]= . 2. 函数f(x)=x x -3在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值ξ= .3. 设f(x)=⎩⎨⎧≥+<00x x a x e x 当a= 时,f(x)在x=0处连续.4. 设z=e y x 22+ ,则dz | (0,0)= .5. 函数f(x)=e x -x -1在 内单调增加;在 内单调减少.6. 函数32y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值.7.dx d⎰ba x 2sin dx = 其中a,b 为常数.8. f '(x)=1且(0)0f =,则⎰dx x f )(= . 9.若I=⎰⎰102),(xx y x f dx dxdy 交换积分次序后得 .三、计算（每小题 5 分,共 40 分）1. 求0lim →x (21x -xtgx1) ； 2. dt t t x e ⎰1ln +dt t y )3(cos 1⎰+=2,求dy ； 3. 求dx x x ⎰+)1(1； 4. 求dx x ⎰--143111 ； 5. 求dx xe x ⎰∞+-02； 6. 设z=ln(x 2+y 2) 求x z ∂∂,y x z ∂∂∂2； 7. 计算 I=⎰⎰D xdxdy .其中D 是由圆x2+y 2=4围成的区域；8. 求微分方程-ydx+(x+y 3)dy=0的通解.四、应用题(每题7分,共14分)1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.2. 求由y=x1,x=1,x=2与x 轴所围成的图形的面积及该图绕x 轴旋转一周的旋转体的体积.五、证明(本题6分)证明:当x >0时,不等式1+x x +>121成立. 高等数学参考答案一、判断正误（每题2分，共20分）1 √ ；2 √ ；3 ╳ ；4 ╳ ；5 √ ； 6╳ ； 7 √ ； 8 √ ； 9 ╳ ； 10 ╳.二、填空题（每题4分，共20分）1. 21e +；2. 2 ；3. 1 ；4. 2dx ；5.[0)∞，+，,0]∞（- ；6. 230b ac -<；7.0； 8. 212x c + ； 9. 10(,)y dy f x y dx ⎰⎰ .三、计算题与证明题（共计60分）1. 2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=20tan lim tan x x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭=30tan lim x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭=20sec 1lim 3x x x →-⎛⎫= ⎪⎝⎭202sec tan 1lim 63x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2. 方程两边同时对x 求导得：则 ln (cos 3)0xx x e e y y e'++= (cos 3)0x y ++=cos 3x y y '=-+ cos 3x dy dx y =-+3. ⎰=21d x +⎰=2=c 4、 令212tx t dx tdt ==-=- 当 34x =时12t =；当1x =时0t = 原式=11221t dt t --⎰=112200122111t dt dt t t =+--⎰⎰ =1202[ln 112ln 2t t +-=- 5.⎰⎰∞+-∞+-'-=0202)21(dx e x dx xe x x ⎰∞+-+∞----=0202)21()21(dx e e x x x 414102=-=+∞-xe 6. 2222222)(1y x x y x y x x z +='++=∂∂ 2222222)(42)(2y x xy y y x x y x z +-=+-=∂∂∂ 7.令 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，⎰⎰⋅=πθθ2020cos rdr r d I 0]31[][sin cos 2032020202=⋅==⎰⎰r dr r d ππθθθ8.解： 21y x y dy dx =-)(121c dy e y e x dyy dy y +⎰⎰⎰=-)21(2c y y +=∴ 原方程的通解为：)21(2c y y x +=四、（每题7分，共14分）1.解：设长方形的长和宽分别为x 和y ，面积为s ，则202=+y x 即 y x 220-= 2220y y xy s -== )0(>y0420=-='y s ，得5=y04<-=''s∴当长10=x M ；宽5=y M 时，面积最大。
高等数学应用题.
第一章 函数 极限 连续问题1. 上岸点的问题有一个士兵P ，在一个半径为R 的圆形游泳池（图1—1）222x y R +≤内游泳，当他位于点（,02R-）时，听到紧急集 合号，于是得马上赶回位于A=（2R ，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为1v ，陆地上跑步的速度为2v ，求赶回营房 所需的时间t 与上岸点M 位置的函数关系。
图1-1解：这里需要求的是时间t 与上岸点M 位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M 的位置数字化，根据本题特点可设(cos ,sin )M R R θθ=其中θ为M 的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()t f θ=的问题。
由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()t f θ=的定义域为0θπ≤≤。
该士兵在水中游泳所花的时间为111PM t v === 而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：① 当03πθ≤≤时，有222M A t v '== ② 当3πθπ≤≤时，要先跑一段圆弧MB ，再跑一段且线段BA ，所以2221()(3R t MB BA v v πθ=+=-。
综上所述，可得121203(33t R v πθππθθπ≤≤=-≤≤问题2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。
把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。
解：设1()f t 为将x 美元兑换成的加拿大元数，2()f t 为将x 加拿大元兑换成的美元数，则1()12% 1.12,0f t x x x x =+⋅=≥ 2()12%0.88,0f t x x x x =-⋅=≥而21(())0.880.120.9856,f f t x x x =⨯=<故1()f t ，2()f t 不互为反函数。
高等数学试题及答案
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设，且函数的反函数，则（）f(x)=l nxϕ(x)1ϕ-2(x+1)(x)=x-1[]ϕ=f(x)....A B C Dx-2x+22-x x+2 l n l n l n l nx+2x-2x+22-x2．（ ）()2lim1cost txxe e dtx-→+-=-⎰A．0 B．1 C．-1 D．∞3．设且函数在处可导，则必有（）00()()y f x x f x∆=+∆-()f xx x=.lim0.0.0.xA yB yC dyD y dy∆→∆=∆==∆=4．设函数，则在点处（）,131,1xx x⎧≤⎨->⎩22xf(x)=f(x)x=1A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设，则（）C+⎰2-xxf(x)dx=e f(x)=2222-x-x-x-xA.xeB.-xeC.2eD.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+)+f(x-)的定义域是__________.14147．()()2lim1_________nna aq aq aq q→∞++++<=8．arctanlim_________xxx→∞=9.已知某产品产量为g时，总成本是，则生产100件产品时的边际成本2gC(g)=9+800100__g==M C10.函数在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.3()2f x x x=+11.函数的单调减少区间是___________.3229129y x x x=-+-12.微分方程的通解是___________.3'1xy y x-=+13.设___________.2ln,6aaπ==⎰则14.设则dz= _______.2cos xzy=15.设_____________.{}2(,)01,01yDD x y x y xe dxdy-=≤≤≤≤=⎰⎰，则三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设，求dy.1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭17.求极限0ln cot lim ln x xx +→18.求不定积分.19.计算定积分I=.a⎰20.设方程确定隐函数z=z(x,y)，求。
《高等数学基础》应用题大集中(完整版)
《高等数学基础》应用题实际问题的最大值和最小值——应用题（16分）例1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设圆柱体高h ，，底半径r因为222h r l +=，有222r l h =-圆柱体的体积公式为2V r h π=()()2223l h h l h h ππ=-=- ()223V l h π'=-令0V '=得3h =（唯一驻点），由实际问题知，底半径为3r =，高3h =时，圆柱体得体积最大。
例2：设一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。
解：设底半径为r ，则高为2V r π， 表面积为2222222V V S r r r r rππππ=+=+ 224V S r rπ'=-，令0S '=得r =例3：设一体积为V 的开口圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。
解：设底半径为r ，则高为2V r π， 表面积为22222V V S r r r r rππππ=+=+ 222V S r rπ'=-，令0S '=得r =时，表面积最小例4：欲做一个底为正方形，容积为108立方米的开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为2108h x=表面积222210843244y x xh x xx x x =+=+=+ 令243220y x x'=-=，解得6x =（唯一驻点） 由实际问题知道，当底边长为6，高210836h ==用料最省 例5：求曲线2y x =上的点，使其到点()3,0的距离最短解：曲线2y x =上的点(),x y 到点A （3，0）的距离公式为d == 令()()222359D x d x x x x ==-+=-+()25D x x '=- 令()0D x '=得52x =（唯一驻点）解出y = 因为d 与2d 在同一点上同时取到最小值，所以由实际问题知曲线2y x =上的点5,22⎛±⎝⎭到点A （3，0）的距离最短。
高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共30 分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ） 2f x ln x 和g x 2ln x （B）f x | x|和2 g x x（C）f x x 和2g x x（D）f x| x |x 和g x 1 sin x 4 2f x ln 1 x x 02．函数在x 0 处连续，则a （） .a x 0（A ）0 （B）14（C）1（D）23．曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程为（） .（A ）y x 1 （B）y (x1) （C）y ln x 1 x 1 （D）y x4．设函数 f x | x|，则函数在点x 0处（）.（A ）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微5．点x 0 是函数4y x 的（）.（A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线y1|x|的渐近线情况是（）.（A ）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线1 1 7． 2fdxx x 的结果是（）.（A ）1f Cx（B）1f Cx（C）1f Cx（D）1fCx8．dxx xe e的结果是（）.（A ）arctan x e C （B）arctan xe C（C）x x x x e e C （D）ln( e e ) C9．下列定积分为零的是（）.（A ） 44 arctan x1 2 x dx （B） 4x a rcsin x dx （C）4xx ee112dx （D）112x x sin x dx10．设f x 为连续函数，则 10 f 2x dx 等于（）.（A ）f 2 f 0 （B）12f 11 f 0（C）12f f （D）f 1 f2 0二．填空题（每题 4 分，共20 分）2 1xef x x x 01．设函数在x 0 处连续，则a .a x 02．已知曲线y f x 在x 2 处的切线的倾斜角为56 ，则f2 .3．yx2 1x的垂直渐近线有条.4．dx2x 1 ln x.5． 2 4 x sin x cosx dx .2三．计算（每小题 5 分，共30 分）1．求极限①limx 1 xx2x②limx 0x sin x2xx e12．求曲线y ln x y 所确定的隐函数的导数y .x 3．求不定积分①dxx 1 x 3 ②dx2 2x aa 0 ③xxe dx四．应用题（每题10 分，共20 分）1．作出函数3 3 2y x x 的图像.2．求曲线 2 2y x和直线y x 4所围图形的面积.《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C二．填空题 1．22．33 ３． ２４． arctan ln x c５．２三．计算题 １① 2 e② 1 62. yx1x y13. ① 1 x 1 ln | |2x 3C ②2 2xln | x a x | C③e x 1C四．应用题 １．略 ２． S 18《高数》试卷 2（上）一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内 , 每题 3 分, 共 30 分) 1.下列各组函数中 ,是相同函数的是 ( ). (A) f x x 和 2g xx(B)f x2 1 xx 1和 y x 1 (C)f xx 和 2 2gx x(sin x cos x)(D)2f x ln x 和g x2ln xsin 2 x 1 x 1 x 1 f x2x 12.设函数，则2x 1x 1l im x 1f x （）.(A)(B)1(C)2(D)不存在3.设函数 y f x 在点 x 0 处可导，且 f x >0, 曲线则 y f x 在点 x 0, f x 0 处的切线的倾斜角为 {}.(A)(B)(C) 锐角 (D) 钝角24.曲线 y ln x 上某点的切线平行于直线 y 2x 3 ,则该点坐标是 ( ).(A)2,ln 1 2(B)2, ln1 2 (C) 1 2 ,ln 2 (D) 1 2 , ln 25.函数2 xy x e 及图象在 1,2 内是().(A) 单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6.以下结论正确的是 ( ). (A) 若 x 0 为函数 y f x 的驻点 ,则 x 0 必为函数 y f x 的极值点 .(B) 函数 y f x 导数不存在的点 ,一定不是函数 yf x 的极值点 .(C) 若函数 y f x 在 x 0 处取得极值 ,且 f x 0 存在,则必有 f x 0 =0. (D) 若函数 yf x 在 x 0 处连续 ,则 f x 0 一定存在 .17.设函数 y f x 的一个原函数为 2 xx e ,则 f x=().1111(A)2x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D) 2 x e x8.若 f x dx F xc ,则 sin xf cos x dx ().(A)F sin x c (B) F sin xc (C) F cos x c (D) F cosx c9.设 F x 为连续函数 ,则1x fdx=().2(A)f 1 f 0 (B) 2 f 1 f 0 (C) 2 f 2f 0(D)1 2 f f210.定积分 b adxa b 在几何上的表示().(A) 线段长 b a (B) 线段长 a b (C) 矩形面积 a b 1 (D) 矩形面积 b a 1二. 填空题 ( 每题 4 分, 共 20 分)2ln 1x f xx1 cosx 01.设, 在 x 0连续,则a =________.ax 02.设 2y sin x , 则dy _________________ d sin x .x3.函数21yx 1的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分x ln xdx ______________________.5. 定积分1 12x sin x 1 dx21 x___________.三. 计算题 ( 每小题 5 分, 共 30 分)1.求下列极限 : ① 1lim 1 2x x②x 0lim x2 a rctan x 1xy2.求由方程y 1 xe 所确定的隐函数的导数 y x .3.求下列不定积分 :① 3tan x s ec xdx②dx22xaa 0③ 2 xx e dx四. 应用题 ( 每题 10 分, 共 20 分)1.作出函数 13 y x x 的图象 .(要求列出表格 )32.计算由两条抛物线：2, 2yx y x 所围成的图形的面积 .《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题： 1.－2 2. 2sin x 3.3 4. 1 12 2x ln x x c5.2 42三.计算题：1. ①2e ②12.yx yye23.①3sec3xc②2 2ln x a x c ③ 2 2 2 xx x ec四.应用题：1.略2. S 13《高数》试卷3（上）一、填空题( 每小题3 分, 共24 分)1. 函数y 9 12x的定义域为________________________.sin 4xf x x , x 02. 设函数, 则当a=_________时, f x 在x 0处连续.a, x 03. 函数f (x)2x12x 3x 2的无穷型间断点为________________.x4. 设f (x) 可导, y f (e ) , 则y ____________.5.2x 1lim _________________.2x x x2 56. 113 2x sin x4 2x x 1dx =______________.7. ddx2xte dt _______________________.8. 3 0y y y 是_______阶微分方程.二、求下列极限( 每小题5 分, 共15 分)1. limx 0xesin1xx; 2. lim 2x 3x39; 3.x1lim1 .x 2x三、求下列导数或微分( 每小题5 分, 共15 分)1. xy , 求y (0) . 2.x 2cos xy e , 求dy .3. 设x yxy e , 求dy dx .四、求下列积分( 每小题5 分, 共15 分)1. 1 2sin x dxx . 2. x ln(1x )dx .3. 1 2xe dx五、(8 分) 求曲线x ty 1 cost在t 处的切线与法线方程.2六、(8 分) 求由曲线2 1,y x 直线y 0, x 0 和x 1所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、(8 分) 求微分方程 y 6y 13y 0 的通解. 八、(7 分) 求微分方程y xy e x满足初始条件 y 10的特解.《高数》试卷 3 参考答案一．1． x3 2. a 43. x 24.'( )x xe f e5. 126.07.xe 8. 二阶x 22x 二.1. 原式= lim 1x 0x2. l imx x 311 3 63. 原式=1 112 x 22lim[(1) ] ex2x三.1.2 1 y ', y '(0)2(x 2) 22. cosxdysin xe dx3. 两边对 x 求写：'(1 ')x yyxy eyy 'x y e y xy y x yx e x xy四.1. 原式=lim x2cos x C2. 原式=22x x 12lim(1 x)d ( ) lim(1 x) x d[lim(1 x)] 2 x 2= 2 1 2 1 1 x x x lim(1 x) dx lim(1 x) ( x 1 )dx 2 2 1 x 2 2 1x = 2 2x1 x lim(1 x) [ x lim(1 x)] C2 2 23.原式= 1 1 2 1 2 1 1 2x x 1 1 21 2 1 1 2e d (2 x) e (e 1)222dydy五.sin 1 ,1t t ty 且dxdx22 切线：1,1 0yx即y x 2 2 法线：1( ),1 0 yx即y x 22六.121213 S(x1)dx ( xx)2 21 221 42V(x 1) dx ( x2x1)dx5x2 28 21( x x)5315七. 特征方程: 2r6r 13 0r 32i3xy e (C cos 2x C sin 2x)12八. 1 1 dx xdx xxy e( e e dx C)1 x x[( x 1)e C ] 由y x 1 0,C 0x 1 x y ex《高数》试卷 4（上）一、选择题（每小题 3 分） 1、函数y ln(1 x) x 2 的定义域是（）.A2,1B2,1C2,1D2,12、极限 xlim e 的值是（ ）.xA 、B 、 0C 、D 、 不存在sin( x 1)3、2limx11 x（）. A 、1B 、 0C 、1 2 D 、1 23x4、曲线 y x2 在点 (1, 0) 处的切线方程是（）A 、 y 2(x 1)B 、 y 4( x 1)C 、 y4x 1D 、 y 3(x 1)5、下列各微分式正确的是（ ）. 2A 、 xdx d(x )B 、 cos 2xdxd (sin 2x)C 、 dxd(5 x)D 、d (x dx2 ) ( ) 2 )( )2x 6、设f (x )dx 2 c osC ，则 f (x) （）.2A 、 sin x 2B 、sin x 2x C 、 sin CD 、22 sin x22 ln x 7、dxx （）.2 1 2A 、 2ln x C x21 2B 、(2 ln x)C 21 ln x C 、ln 2 ln x CD 、C2x8、曲线2y x ， x 1 ， y 0所围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积 V（）.A 、1 0xB 、 4dx 4dx1 0ydyC 、 1 0(1 y) d y D 、 1(1 x dx 4 )4 )9、 1 01xe xe dx （）.A 、ln1 e2 e 1 e 1B 、C 、D 、lnlnln22 32e210、微分方程y y y2x 2e 的一个特解为（）.A 、 y 3 72x e B 、 y 3 7 x e C 、 y272xexD 、 y 2 72xe二、填空题（每小题 4 分） 1、设函数 xy xe ，则 y； 2、如果3 s in mx limx 0x22 3, 则 m .3、 1 x； 3cos xdx 3 cos xdx14、微分方程 y 4y4y 0 的通解是. 5、函数f (x) x 2 x 在区间 0,4 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1、求极限limx 0 1 x 1 xx1 2；2、求y cot x lnsin x2的导数；3、求函数3x 1y 的微分；4、求不定积分3x 1dx1 x 1；5、求定积分e1 ln x dx ；6、解方程edydx yx1 x 2；四、应用题（每小题10 分）1、求抛物线2y x 与 2y 2 x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数2 3y 3x x 的图象.参考答案一、1、C；2、D；3、C；4、B；5、C；6、B；7、B；8、A；9、A ；10、D；二、1、x(x 2)e ；2、49；3、0 ；4、y 2x(C1 C x)e ；5、8，0226x三、1、1；2、cot 3 x ；3、dx3 2(x 1)1；4、2 x 1 2 l n(1 x 1) C ；5、2(2 )e2 2 12 ；；6、y xC四、1、83 ；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数1y 2 x 的定义域是（）.lg( x 1)A、2, 1 0,B、1,0 (0, )C、( 1,0 )(0, )D、( 1,)2、下列各式中，极限存在的是（）.A、lim c o s xx 0 B、lim arctan x C、lim sin x D、x xlimx2 x3、xx lim ( )（）. x 1 xA 、e B、2e C、1D、1e4、曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0的切线方程是（）.A、y xB、y (ln x 1)( x 1)C、y x 1D、y (x1)5、已知y x s in 3x ，则dy （）.A、( cos3x 3 s in 3x )dxB、(sin 3x 3x c os3x) d xC、(cos 3x sin 3 x)dxD、(sin 3x x c os3x)dx6、下列等式成立的是（）.11A、x dx x C1x lnx B、 a dx a x C1 C 、 cos x dxsin x CD 、 tan xdxC21 xsinxsin cos7、计算 e x xdx的结果中正确的是（）.sin B 、e sin x cos x CxA 、e C C 、ex Csin xsin D 、e sin x (sin x 1) C8、曲线 2yx ， x 1 ， y 0所围成的图形绕 x轴旋转所得旋转体体积V（）.A 、 1 0 xB 、 4dx 4dx 1 0ydy C 、 1 0 (1 y) d y D 、1 0 (1 x dx 4 )4 )a2（ ）.29、设a ﹥0 ，则ax dxA 、 2aB 、 22aC 、 1 4 2aD 、 1 4 a2 10、方程（ ）是一阶线性微分方程 .y 2xA 、 x y ln 0B 、 ye y 0 xC 、(1x )sin0 D 、 xy dx( y6 )0 2yyy2x dy二、填空题（每小题 4 分） 1、设 f ( x) x e ax 1, , b x x 0 0，则有 lim f (x)x 0 ， lim f (x)x 0；2、设 xyxe ，则y；23、函数f (x) ln(1 x ) 在区间 1,2 的最大值是，最小值是；4、 1x；3 cos xdx 3 cos xdx15、微分方程y 3y 2y 0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分） 13 1、求极限 lim() 2x1xxx 21；22、求y1 x arccosx 的导数；3、求函数xy的微分；21 x1 4、求不定积分dxx 2 ln x；5、求定积分e1 ln x dx ；e26、求方程x y xy y1满足初始条件y( ) 4 的特解.2四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线 2y 2 x 和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.3xx 22、利用导数作出函数y x694 的图象 .参考答案（ B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ；6、C ；7、D ；8、A ；9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ；2、( x2) e x ； 3、 ln 5 ，0 ； 4、0 ； 5、C e xC e 2 x1.2三、1、1 3 x ；2、arccosx 121 x1；3、dx(1 x x2 ) 122 )12；1 4、 22 ln x C ；5、 2(2 ) e；6、 y 2 x2 e 1x；四、1、 9 2 ； 2、图略。
高数应用题
⾼等数学应⽤题及解答题⽬⼀：⼀辆汽⻋以40km/h的速度⾏驶，突然发现前⽅有红灯停⻋，需要在3秒内停下来。
假设汽⻋的减速度为5m/s²，求汽⻋在3秒内停下来的距离是多少？答案：⾸先需要将速度的单位统⼀化，将40km/h转换为m/s，40km/h = 40/3.6 m/s ≈ 11.11 m/s。
根据物理学的运动学公式，汽⻋在匀减速情况下⾏驶的距离可以表⽰为：s = v0t + 1/2at²其中，s为⾏驶的距离，v0为初始速度，t为时间，a为减速度。
代⼊所给数据，得到：s = 11.11 m/s × 3 s + 1/2 × (-5 m/s²) × (3 s)² ≈ 33.33 m + 1/2 × (-5 m/s²) × 9 s² ≈ 33.33 m - 22.5 m ≈ 10.83 m因此，汽⻋在3秒内停下来的距离是约为10.83⽶。
题⽬⼆：⼀⽀⽕箭以初速度50m/s垂直升空，当它上升到⾼度1000m 时，速度已经减为40m/s，求⽕箭上升的时间和它上升时所受的平均加速度。
答案：根据物理学的运动学公式，⽕箭上升的时间可以表⽰为：t = (v - v0) / a其中，t为时间，v为末速度，v0为初速度，a为平均加速度。
代⼊所给数据，得到：t = (40 m/s - 50 m/s) / a = -10 m/s / a为了求解平均加速度，我们还需要知道⽕箭上升的距离，即：s = v0t + 1/2at²代⼊所给数据，得到：1000 m = 50 m/s × t + 1/2a × t²联⽴以上两式，可解得：a = -2v0/t t = -10/v0 s = -v0²/2a代⼊所给数据，得到：t = -10 m/s / 50 m/s = 0.2 ss = -50 m/s × 50 m/s / (2 × (-10 m/s²)) = 125 ma = -2 × 50 m/s / 0.2 s² = -500 m/s²因此，⽕箭上升的时间为0.2秒，所受的平均加速度为-500 m/s²。
高等数学试题及答案大全
高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。
A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。
2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。
三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。
求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。
2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。
答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。
2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。
检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。
二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。
2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。