δ函数在物理学中的应用研究

毕业论文题目：δ函数在物理学中的应用学生姓名：李梅学生学号：090841026系别：物理系专业：物理学届别：2013届指导教师：潘营利δ函数在物理学中的应用研究系别：物理与电子信息系作者: 李梅指导老师：张春早摘要：研究δ函数在物理学中的应用是利用数学方法处理物理问题的一个典例。

作为奇异函数的一种，它在解决物理问题时显示了其特有的优越性。

本文在介绍δ函数定义及性质的基础上，分析了δ函数的物理意义，着重讨论了δ函数在物理学中的应用。

列举了它在不同物理学科中的应用，从而对δ函数有更加全面的认识,以期对物理问题的数学处理有更高层次的理解和认识。

关键词：δ函数；安培环路定理；杨氏干涉；归一化；δ势The application research of Delta function in physicsDepartment: Physics and Electronic Information DepartmentAuthor：Li MeiTutor：Zhang ChunzaoAbstract: Delta functions is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of δ function, based on analysis of the physical meaning of δ function, focusing on the δ function in the applic ation of physics. It cited the application of different physical disciplines, and thus δ function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.key words: δ function; Ampere’s cycle law; Young’s interference; normalization; δ potential前言在物理学中经常要处理一些包含某种无穷大的量以及不连续函数的微分等问题，因而引入一种特殊的函数。

这种函数最初于本世纪三十年代，由英国著名物理学家狄拉克（P.A.Dirac）在量子力学研究中引入和定义的，即是现在的δ函数。

由于δ函数的一些特殊性质，例如局部无限突变，整体积分有限性等，为我们解决一些抽象的物理问题提供了一种量化模型，从而使复杂的问题变得简单。

在电磁学，电动力学，光学，量子力学，电路等物理学的几大分支领域中我们都能看到它的身影。

在物理学与数学联系日益密切的今天，大量的物理问题需要借助数学手段辅以解决，这无疑对我们用数学方法处理物理问题提出了更高的要求。

本文介绍了δ函数在物理学中的广泛应用，希望通过这些能够给我们今后解决物理问题提供一种新的思路，使我们能够更加灵活变通的运用知识。

1 δ函数的介绍1.1 δ函数的定义在经典意义下，δ函数的传统定义【1】是()0,0.0x x x δ≠⎧=⎨∞=⎩（1）()()()0,01.0baab x dx a b δ>⎧⎪=⎨<<⎪⎩⎰ （2）即δ函数的定义必须同时满足（1）和（2）两式。

数学性质上δ函数是很奇异的，没有一个平常的函数具有此奇异性。

严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布。

在物理上是一种理想的点模型。

δ函数除有一维形式，还有二维、三维等多维形式，这里只简单介绍二维形式：()()(),0,0,0.0,0x y x y x y δ∞==⎧⎪=⎨≠≠⎪⎩(),1x y dxdyδ∞-∞=⎰⎰1.2 δ函数的性质δ函数的性质【1】有：1、()x δ是偶函数,它的导数是奇函数()()x x δδ-=()()x x δδ''-=-2、研究积分()()xH x t dt δ-∞=⎰. 从δ函数的定义易知,当积分上限0x <,积分值为0；当0x >，积分值为1.()()()()0,01.0xx H x x dt x δ-∞<⎧⎪==⎨>⎪⎩⎰ ()H x 称为阶跃函数或亥维赛单位函数。

从而()H x 是()x δ的原函数，()x δ是()H x 的导数，()()dH x x dxδ=.3、δ函数的挑选性，()()()00.f t d f t τδττ∞-∞-=⎰证明：对于任何0ε>，()()()()()()000000t t t f t d f t d f t d εεετδτττδτττδττ∞-+-∞-∞--=-+-⎰⎰⎰()()00.t f t d ετδττ∞+-⎰根据1.1节（2）式，上式右边第一、三项为0.对中间一项应用中值定理，然后应用1.1节（2）式，即得()()()()()0000,t t f t d f t d f εετδττξδττξ∞+-∞--=-=⎰⎰其中ξ为()00,t t εε-+区间上的某个数值。

4、()()()1f x F ωδω=−−−−→=傅里叶变换原函数像函数5、δ函数的归一性，()10V r Vr r dVr Vδ''∈⎧'-=⎨'∉⎩⎰当当 1.3 δ函数在物理学中的重要意义在物理学和工程技术中，经常要考察质量、能量在空间或时间上高度集中的各种象。

例如，在电学中，要研究线性电路受到具有脉冲【2】性质的电势作用后所产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力后的运动情况等。

对于这类现象，人们设想了诸如质点、点电荷、偶极子以及瞬时源、瞬时脉冲、瞬时打击力等物理模型，δ函数就是专门用来描述这类物理模型的数学工具。

例一：表示质点密度【3】设有一质量为m 的质点，置于x 轴上的0x 点，则质点沿x 轴的分布密度可以表示为()()0.m x m x x ρδ=-验证：()()()()0000m x x x m x x x x ρδ≠⎧⎪=-=⎨∞=⎪⎩，且()0m m x x dxm ρ∞-∞-=⎰.例二： 表示脉冲电流设在电流为0的电路中，与时刻0t 通入电量为q 的脉冲，电路中的脉冲电流可以表示为()()0.I t q t t δ=-验证：()()()()0000t t I t q t t t t δ≠⎧⎪=-=⎨∞=⎪⎩，且()0q t t dtq δ∞-∞-=⎰.例三：表示持续力对于()12,t t 的持续力()F t ，将时间区间()12,t t 划分为许多小段，其中(),d τττ+小段中的力()F t 的冲量可以表示为 ()I F d ττ=.由于d τ取得很小，在这d τ时间作用的瞬时力可表示为()()()I t F t d δττδττ-=-，所以()12,t t 作用的持续力可以看作是这些瞬时力的积累，即 ()()()21t t F t F t d τδττ=-⎰.2 δ函数在物理学中的应用2.1 δ函数在证明电磁学两大定理中的应用高斯定理和安培环路定理是电磁学中的两个重要定理。

在教学中，它们既是重点，又是难点。

而证明这两个定理【4】的正确性，则是理解和掌握它们的前提。

大多电磁学教材中都是用无穷长载流导线的特例得出安培环路定理，然后说这个定理是普遍成立的，但不做证明。

只有少数较深的教材给出了证明归结起来有三种：磁壳法，矢位法【5】和立体角法。

繁琐而且不易理解。

而高斯定理的证明则是通常的立体角法【5】，也较繁琐。

本文借助δ函数的性质，用解析方法简洁证明了两大定理，方法简单，推导严密，便于理解。

2.1.1 用δ函数证明安培环路定理如图1，在有电流I 的闭合回路中任一点处的电流密度为()j r '，则由毕奥-萨伐尔定律【6】知，该回路中的电流在空间r 点产生的磁感应强度B 为()034V j r RB dV Rμπ''⨯'=⎰（1）图1 B 沿回路L 的积分曲线示意图式中r '是源点位矢; R r r '=-,为源点到场点的位矢,把B 对任意闭合回路L 求线积分,即得()LsB dL B dS ⋅=∇⨯⋅⎰⎰（2）由（1）式可得 ()()003144V V j r RBdV j r dV RR μμππ'''⨯⎡⎤'''∇⨯=∇⨯=-∇⨯⨯∇⎢⎥⎣⎦⎰⎰（3） 又因为()()()()()11111j r j r j r j r j r R R R R R⎡⎤⎛⎫⎛⎫'''''⎡⎤⎡⎤∇⨯⨯∇=∇⋅∇+∇⋅∇-⋅∇∇-∇⋅∇ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 由于算符∇是对r 的微分算符,与r '无关,故上式右端第一、四项为0,所以()()2001144V V B j r dV j r dV R R μμππ''⎛⎫''''⎡⎤∇⨯=⋅∇∇-⋅∇ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰上式右边第一项为0，因为()()()111V S V j r dV j r dS j r dV R R R ''⎛⎫'''''⎡⎤⎡⎤⋅∇∇=∇-∇⋅∇⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰ 上式中，由于积分区域V '包括所有的电流在内，没有电流流过区域的界面S ，因而上式中面积分为0；由于算符∇不作用于r '，故上式右端的体积分也为0.所以，()()()()()20001444V V V B j r dV j r R dV j r r r dV R μμπδμδππ'''⎛⎫'''''''∇⨯=-∇=⋅=⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰= ()0j r μ综上得：0000L SII L S B dL j dS j dS μμμ⎧⋅=⋅=⋅=⎨⎩⎰⎰⎰ 当电流通过回路围成的面时当电流I 不通过L 回路围成的面S 时 这正是安培环路定理。

2.1.2 用δ函数证明高斯定理如图2，q 为空间位置r '处的点电荷，设S 为空间任一闭合曲面，dS 为S 上的定向面元，以外法线方向为正向，通过闭合曲面S 的电通量则为E dS ⋅⎰，故有()304ESS q r R E dS dS R πε'Φ=⋅=⋅⎰⎰()()2001144S V q r q r dS dV R R πεπε''-⎛⎫=-∇⋅=∇ ⎪⎝⎭⎰⎰()()()00440V q r q r r V r r dV r V επδπε'⎧''∈⎪'=-=⎨⎪'∉⎩⎰当当 （注：若r '为空间某点处的位矢，R 为r '到空间任一点r 处的距离，则有()214r r Rπδ'∇=--）由此可得，若空间分布有多个电荷，则电场通过任一闭合曲面的电通量等于面内的总电荷除以，即图2 电通量图()0ii Sq E dS q S ε∑⋅=⎰在内这正是高斯定理，证毕。