三角函数在物理学中的应用
三角函数在物理情境中的应用
三角函数在物理情境中的应用三角函数是数学中的重要分支，它在物理学中的应用也十分广泛。
在物理学中，三角函数可以用于描述物体的运动、振动、波动等现象。
一、三角函数在描述运动中的应用在物理学中，我们经常需要描述物体的运动状态。
这时，三角函数可以用来描述物体的位移、速度和加速度等。
1、位移：位移是指物体在某一时间点的位置与初始位置之间的距离。
三角函数可以用来描述物体的位移及其变化情况。
例如，在匀加速直线运动中，物体的位移可以用位移函数s(t) = v0t + 1/2at^2来表示，其中v0是初始速度，a是加速度，t是时间。
这个函数中就包含了三角函数，如s(t)中的t^2就是t的平方，而三角函数中也常常用到平方。
2、速度：速度是指物体在某一时刻的位移变化率。
三角函数可以用来描述物体的速度及其变化情况。
例如，在匀加速直线运动中，物体的速度可以用速度函数v(t) = v0 + at来表示。
这个函数中就包含了常数v0和变化率a，而三角函数中常常也用到常数和变化率。
3、加速度：加速度是指物体在某一时刻的速度变化率。
三角函数可以用来描述物体的加速度及其变化情况。
例如，在匀加速直线运动中，物体的加速度是恒定的，可以用加速度函数a(t) = a来表示。
这个函数中就包含了恒定的加速度a，而三角函数中也常常用到恒定的量。
二、三角函数在描述振动中的应用在物理学中，振动是一种重要的物理现象。
三角函数可以用来描述物体的振动状态。
1、简谐振动：简谐振动是指物体在平衡位置附近做周期性的向返运动。
三角函数可以用来描述简谐振动的运动状态。
例如，弹簧振子的运动可以用简谐振动函数x(t) = A sin(ωt + φ)来表示，其中A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。
这个函数中就包含了正弦函数sin和余弦函数cos，而这两个函数是三角函数的基本函数。
2、阻尼振动：阻尼振动是指物体在受到阻力的作用下，做周期性的向返运动。
三角函数也可以用来描述阻尼振动的运动状态。
三角函数在物理学中的应用
三角函数在物理学中的应用
三角函数在物理学中有广泛的应用。
以下是几个例子：
1. 声波和光波的传播：声波和光波都可以用三角函数来描述它们的传播。
声波的振幅、频率和相位都可以用三角函数来表示。
而光波的干涉和衍射现象也可以通过使用三角函数来解释。
2. 振动和波动现象：振动和波动是物体周期性的运动，可以用正弦和余弦函数来描述。
例如，一维波动方程中的解就是正弦函数的形式。
3. 物体受到力的作用时的运动：牛顿定律中描述的物体的运动可以用三角函数来表示。
例如，一个弹簧的振动可以用正弦函数来描述。
另外，万有引力定律中的行星运动也可以用三角函数来解释。
4. 电路中的交流电：交流电是电路中常见的一种电流，其变化遵循正弦函数。
交流电的频率、振幅和相位差都可以用三角函数来描述。
5. 物体的周期性运动：物体的周期性运动可以用简谐振动来描述，而简谐振动可以用正弦和余弦函数来表示。
三角函数在物理学中是非常重要的工具，它们能够帮助我们描述和理解许多自然现象和物理现象。
三角函数最值问题在物理学科中的应用
三角函数最值问题在物理学科中的应用三角函数最值问题在物理学科中有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 炮弹轨迹问题在炮弹轨迹问题中，可以利用三角函数的最值来求解最大射程和最大高度。
假设炮弹的初速度为v，发射角度为θ，则炮弹的水平速度为v*cosθ，竖直速度为v*sin θ。
炮弹的水平位移为x=v*t*cosθ，竖直位移为y=v*t*sinθ-0.5*g*t^2，其中g为重力加速度，t为时间。
为了求解最大射程和最大高度，需要分别求解x和y的最大值。
由于cosθ和sinθ的最大值均为1，因此可以得到炮弹的最大射程为v^2/g*sin2θ，最大高度为v^2/2g*sin^2θ。
2. 摆锤问题在摆锤问题中，可以利用三角函数的最值来求解摆锤的最大速度和最大角度。
假设摆锤的长度为l，摆锤的初始角度为θ，摆锤的重量为m，则摆锤的运动方程为θ''+g/l*sinθ=0，其中g为重力加速度，θ''表示θ对时间的二阶导数。
为了求解最大速度和最大角度，需要分别求解θ'和θ的最大值。
由于sinθ的最大值为1，因此可以得到摆锤的最大速度为l*sqrt(2g*(1-cosθ))，最大角度为π/2。
3. 交流电路问题在交流电路问题中，可以利用三角函数的最值来求解电流和电压的最大值。
假设电路中的电阻为R，电感为L，电容为C，交流电源的电压为V，交流频率为ω，则电路的运动方程为L*i''+R*i'+1/C*i=V*sin(ωt)，其中i''表示i对时间的二阶导数，i'表示i对时间的一阶导数。
为了求解电流和电压的最大值，需要分别求解i和V的最大值。
由于sin(ωt)的最大值为1，因此可以得到电流的最大值为V/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2)，电压的最大值为V。
三角函数在物理中的应用
三角函数在物理中的应用在自然科学中，三角函数是一种非常重要的数学工具，经常被用于描述和解决各种物理问题。
本文将探讨三角函数在物理中的应用，并通过实例展示其在物理学中的重要性。
一、简谐振动中的三角函数应用简谐振动是物理学中经常遇到的一种运动形式。
它以正弦函数或余弦函数描述，因此三角函数在描述简谐振动的振幅、频率和相位等方面起到了重要作用。
以弹簧振子为例，其位移关于时间的函数可以表示为：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，A代表振幅，ω代表角频率，t代表时间，φ代表初始相位。
通过这个公式，我们可以计算出振子在任意时刻的位移情况，从而了解振动的特性。
二、力学中的三角函数应用1. 物体在斜面上滑动当物体沿着斜面滑动时，三角函数可用于描述力的分解。
在力学中，我们知道物体受到垂直于斜面的重力和平行于斜面的摩擦力。
通过将这两个力分解为斜面上的分量，我们可以使用三角函数来计算物体的加速度、速度和位移等关键参数。
2. 飞行物体的轨迹分析当物体在空中飞行时，三角函数可以用于确定物体的轨迹。
以投射运动为例，当物体以一定的初速度和抛射角度从地面上抛出时，我们可以通过使用三角函数来计算其在不同时间点的水平位移和垂直位移。
这有助于我们预测物体的轨道和最终落点。
三、波动现象中的三角函数应用波动是物理学中另一个重要的研究领域，也是三角函数应用的典型例子之一。
1. 声波的传播声波是一种机械波，可以通过物质中的分子振动来传播。
我们可以用正弦或余弦函数来描述声波的压力变化。
通过分析声音的频率、振幅和声速等参数，我们可以更好地理解声音如何在空气中传播，并解释声音的特点，如音量和音调。
2. 光的干涉和衍射在光学中，干涉和衍射是与波动性相关的现象。
通过应用三角函数的概念，我们可以推导出光的干涉和衍射方程，并解释这些现象的特点。
这些方程可以用于解释波动光的干涉条纹、衍射图样等现象，从而帮助我们研究光的行为和性质。
总结：三角函数在物理学中扮演着不可或缺的角色。
三角函数在物理力学中的运用
三角函数在物理力学中的运用
作者：王红晓
来源：《中学生数理化·学习研究》2016年第05期
数学是解决物理问题的工具，为物理的研究和发展提供了有力的保障，其思想、方法始终渗透于物理学习和研究过程中。
而此也恰恰成为物理难学的一个原因，成为同学们想学好物理的一个高高的门槛。
物理的实践验证观点经常被数学所用，同理数学的严谨推理，周密分析也常为物理所借鉴，因此寻找两门学科的结合点，跨学科点拨，对提高同学们的学习效率至关重要。
一、三角函数的基本应用
在力的合成与力的分解部分，依据矢量合成法则作出平行四边形，进而构建直角三角形，由三角函数的基本定义进行求解。
二、利用三角函数求物理极值
在静力学、动力学这些章节中，常常会遇到一些矢量的合成与分解问题，一般都要用到三角函数知识，即把物理问题转化为三角函数问题。
我们通过引入辅助角或应用有关三角函数公式，将物理表达式中的三角函数的形式进行恒等变形，把物理问题最终表达式变为三角函数问题，再利用三角函数的有界性求出极值。
以上只是数学在物理研究过程中应用的冰山一角，物理在研究物质的结构和运动基本规律时，始终要用到数学中研究物质之间的数量和空间位置关系的知识，所以能够把数学知识灵活的、准确的应用到物理解题过程中对于学好物理至关重要。
作者单位：河南省叶县第三高级中学对氢原子能级图的理解与应用。
三角函数在物理问题中的应用归纳
三角函数在物理问题中的应用归纳在物理学中，三角函数是一种非常重要的数学工具和公式，广泛应用于解决各种与角度有关的物理问题。
无论是描述物体的运动、光的传播还是波动现象，三角函数都能提供精确的描述和求解。
本文将归纳总结三角函数在物理问题中的应用，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数在物理问题中的应用1. 交替变化的物理量：正弦函数最常见的应用之一是描述交替变化的物理量。
例如，当物体进行简谐振动时，其位置、速度和加速度都可以用正弦函数来表示。
由于正弦函数具有周期性和交替变化的特点，因此非常适合描述振动现象。
2. 声音和光的传播：当声音和光传播时，它们的强度会随着距离的增加而减弱。
正弦函数可以用来描述声音和光的传播过程中的强度变化。
根据声音和光的衰减规律，可以得到与距离有关的正弦函数表达式，从而推导出声音和光的强度衰减公式。
二、余弦函数在物理问题中的应用1. 相位差和波动现象：余弦函数常用于描述波动现象中的相位差。
例如，在波动现象中，两个波源之间的相位差可以用余弦函数来表示。
余弦函数的性质使其在解决波动现象中的相位差问题时非常方便。
2. 电路中的交流电：在电路中，交流电的电压和电流都是随时间变化的。
而余弦函数可以很好地描述电压和电流的周期性变化。
交流电通过正弦电压和余弦电流的表示形式，可以方便地计算电路中的各种参数。
三、正切函数在物理问题中的应用1. 斜坡上的物体滑动：当物体沿着斜坡滑动时，滑动方向与斜坡的倾角有关。
正切函数可以用来描述物体在斜坡上滑动时的速度和加速度。
通过求解正切函数的值，可以计算出物体在斜坡上的运动特性。
2. 光的折射和反射：当光线从一种介质射入另一种介质时，会发生折射和反射现象。
正切函数可以用来计算入射角和折射角之间的关系，从而解决与光的折射和反射相关的物理问题。
综上所述，三角函数在物理问题中的应用非常广泛和关键。
正弦函数可用于描述振动和衰减，余弦函数常用于解决波动和电路问题，而正切函数则适用于斜坡和光的折射等。
三角函数的应用领域
三角函数是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域。
它不仅可以帮助我们理解和解决实际问题，还可以用于建模和预测。
在本文中，我们将讨论三角函数在几个主要应用领域中的作用。
首先，三角函数在物理学中的应用尤为突出。
物理学中常常涉及到角度、周期性和波动等概念。
三角函数可以描述物体的运动轨迹、力的作用方向和大小、波动的振幅和频率等等。
例如，当我们研究弹簧的振动时，三角函数可以帮助我们描述弹簧的位移、速度和加速度随时间的变化规律。
同样地，在电磁学中，三角函数可以描述电流的周期性变化，如交流电，以及光的波动模式，如干涉和衍射。
其次，三角函数在工程学中也有着广泛的应用。
在建筑工程中，我们经常需要计算斜坡、楼梯和天台的角度和长度。
三角函数可以帮助我们测量和计算这些参数，以确保建筑物的稳定和安全。
另外，三角函数还可以用于设计和分析桥梁、隧道和道路的几何形状。
在机械工程中，三角函数可以帮助我们计算力和力矩的大小和方向，从而优化机械系统的设计和运行。
此外，三角函数在地球科学中也有着重要的应用。
地球是一个复杂的自然系统，涉及到地壳运动、地震、气候和天气等现象。
三角函数可以帮助我们理解和解释这些现象。
例如，当我们研究地震时，三角函数可以帮助我们计算地震波传播的速度、路径和幅度。
在气候学中，三角函数可以描述太阳辐射和地球季节变化的规律。
最后，三角函数在计算机图形学和动画制作中也发挥着重要的作用。
计算机图形学涉及到计算机生成的图像和动画的创建和处理。
三角函数可以帮助我们计算光线的反射、折射和散射，以及物体的旋转、缩放和平移。
在动画制作中，三角函数可以描述角色的动作和运动轨迹，使得动画更加真实和生动。
综上所述，三角函数在各个领域中都有着广泛的应用。
无论是在物理学、工程学、地球科学还是计算机图形学中，三角函数都发挥着重要的作用。
通过理解和应用三角函数，我们可以更好地理解和解决实际问题，推动科学技术的发展。
因此，研究和应用三角函数在现代社会中具有重要意义。
三角函数在物理问题中的应用
三角函数在物理问题中的应用三角函数是数学中一类重要的函数，其广泛应用于物理学领域。
利用三角函数和其相关概念，我们可以解决很多与物理相关的问题，包括运动、波动、力等方面。
本文将介绍三角函数在物理问题中的应用，并探讨其在实际场景中的具体运用。
一、运动学中的三角函数应用1. 弧度制与角度制的转换在运动学中，常常需要将角度制的度数转换为弧度制，以便进行计算。
三角函数中的正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）等，可以帮助我们进行这种转换。
利用正弦函数和余弦函数，我们可以通过三角恒等式得到角度制与弧度制之间的转化关系。
2. 运动的分解在平面运动中，往往需要将一个运动分解为两个正交方向的运动，并分别研究其变化规律。
这时，三角函数可以派上用场。
我们可以利用三角函数表示位移、速度、加速度等与时间的变化关系，将运动分解为两个方向的单一运动，以便进行分析和计算。
3. 抛体运动抛体运动是物理学中一个经典的运动问题。
在抛体运动中，三角函数的正弦、余弦和正切等函数可以帮助我们分析研究物体的运动轨迹、最大高度、最大射程等相关参数。
利用这些函数，我们可以推导出抛体运动的动力学方程，并进一步研究其性质和特点。
二、波动学中的三角函数应用1. 简谐振动简谐振动是一种周期性的和谐振动，广泛应用于弹簧振子、钟摆、电磁波等物理系统中。
在简谐振动中，三角函数的正弦函数起到了关键作用。
正弦函数可以描述位移、速度、加速度等物理量随时间的变化规律，帮助我们深入理解和解决简谐振动问题。
2. 波动传播波动传播是另一类重要的物理问题。
在波动学中，三角函数可以用于描述波动的特性、传播过程和能量变化等。
对于一维波动，可以利用三角函数的正弦函数表示波函数，研究波的传播速度、频率、波长等相关性质。
对于二维和三维的波动，我们可以将三角函数的余弦函数和正弦函数用于研究波的幅度分布、相位关系等问题。
三、力学中的三角函数应用1. 牛顿第二定律的分解在力学领域中，牛顿第二定律是一个重要的理论基础。
三角函数的应用
三角函数的应用1.几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，通过正弦定理和余弦定理，我们可以计算任意三角形的边长或角度。
此外，三角函数也经常用于解决三角形的面积、高度和面积比较等几何问题。
2.物理应用三角函数在物理学中也起着重要的作用。
例如，我们可以利用正弦函数来描述物体的周期性振动，如钟摆的摆动、弹簧的拉伸等。
此外，通过余弦函数，我们还可以描述物体的匀速圆周运动，如行星绕太阳的运动等。
3.工程应用在工程学中，三角函数的应用十分广泛。
例如，在计算机图形学中，正弦和余弦函数可用于描述三维空间中的旋转和平移变换。
另外，在建筑和土木工程领域，三角函数可用于计算房屋的高度、角度和斜面的坡度等。
4.统计应用三角函数在统计学中也有一些应用。
例如，在时间序列分析中，我们可以利用三角函数来拟合和预测周期性数据，如季节性销售数据、股市走势等。
此外，三角函数还可以用于频谱分析和信号处理等领域。
5.日常生活中的应用除了学术和科学领域，三角函数还在我们的日常生活中有许多应用。
例如，我们可以利用三角函数来计算日出日落时间、倾斜角度和倾斜距离等。
此外，三角函数还可以用于导航、测量和建模等实际问题的解决。
综上所述，三角函数在几何学、物理学、工程学、统计学和日常生活中都有广泛的应用。
通过运用三角函数，我们可以解决各种与角度、周期和振动有关的问题，为实际应用提供有效的数学工具和方法。
参考文献:___。
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数学三角函数的应用研究。
数学的实践与认识。
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58-59.___。
(2015)。
三角函数及其应用研究。
数学教育。
(19)。
32-34.。
三角函数在处理物理问题中的应用
三角函数在处理物理问题中的应用
三角函数在物理问题中有着广泛的应用，其中包括古老的数学模型——圆、平面图形分析和理论物理学中的应用。
众所周知，圆是物理学界最常见的形状之一，而三角函数对圆的建模具有重要的意义。
三角函数的应用可以简化圆的建模，其中的信息连同圆的面积与周长可以简单地用正弦、余弦和正切函数来描述。
此外，三角函数还可以用来计算圆上任意一点的坐标，从而确定圆周上任意一点的位置。
在波形理论中，三角函数也可以用于描述波形的性质，如正弦波或余弦波，它们包含不同复杂度的信息，可以更加方便地描述物理学问题，因此也应用于被人们广泛熟知的微积分等理论中。
另外，三角函数可以用来解决多种物理学问题，如力学和质能定理，例如可以使用余弦定理来求解三角形的各边的长度。
此外，在光学领域，三角函数可以用来解决问题，如折射率问题，以及确定反射率和折射率之间的关系。
三角函数的知识和应用不仅可以帮助人们快速解决物理学问题，而且也可以为探索新理论提供依据。
正如此前引用的圆、平面图形及理论物理学范围中的应用，三角函数可以被广泛应用于许多物理问题，为物理学研究提供了重要的理论支撑。
也正是如此，三角函数在物理学研究中有着十分深远的影响。
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三角函数的应用高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。
借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。
高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。
下面对三角函数的应用做一小总结。
公式总结1．利用二倍角公式求极值正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin =如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2Ay = 当 045=θ时，y 有最大值 2max A y =2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为)cos sin (222222θθba b ba ab a y ++++=令φcos 22=+ba a ，φsin 22=+ba b则 )sin(22φθ++=b a y当 090=+φθ时，y 有最大值 22max b a y +=3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式2cosa -12a sin= 2cosa 12cos +=aa a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan+=-=+= aa a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot+=-=-+= 典型例题解析：1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ）【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S =有θθsin gt 21cos 2L 2⋅=，解得θθθ2s i n gL 2cos sin gLt =⋅=，当045=θ时，t 有最小值．【答案】C2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。
一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有221cos mv mgR =⋅θ ① Rv m mg N 2cos =-θ ②由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为θθθθ2sin 23cos sin 3sin mg mg N N x =⋅=⋅= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 23mg N f x == 从f 的表达式可以看出，当θ=450时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值图2图1mg f 23max =3、如图3所示，重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？【解析】木块受四个力的作用，即重力G ，地面的支持力F N ，摩擦力f F 和施加的外力F ，受力分析如图7所示，设力F 与x 轴夹角为θ，由于物体在水平面上做匀速直线运动，处于平衡状态，所以在x 轴和y 轴分别列平衡方程：f F F =θcos ①G F F N =+θsin ② 且有N f F F μ= ③联立①②③式，θμθμsin cos +=GF利用和差角公式变形为 )sin(12φθμμ++=GF (其中μφ1=tg )当1)sin(=+φθ 时，F 具有极小值 2min 1μμ+=GFF 与x 轴正方向间夹角μθ1-=tg4、用跨过定滑轮的绳牵引物块，使其从图4所示位置起沿水平面向左做匀速运动。
若物块与地面间的动摩擦因数为1<μ，绳与滑轮质量不计。
试分析运动过程中绳拉力的变化情况。
【解析】本题为讨论物理量的变化规律的问题， 设绳子拉力为F ，受力分析、列平衡方程、求解F 同上一例题。
θμθμsin cos +=GF利用和差角公式变形为 )sin(12φθμμ++=GF (其中μφ1=tg )∵1<μ，1>φtg ∴ 900≥φ≥450而随物块向左运动， 450≤θ≤900则 1800≥>+)(φθ900随θ增大，)sin(φθ+减小，F 增大，图4若变形为 )cos(12φθμμ-+=GF （其中μφ=tg ）则045<φ，据前面所述，φθ- 在第一象限，随θ增大，)cos(φθ-减小，F 增大。
由以上分析可知，两种变形得到的结果一样。
5、求带等量同种正电荷Q 的中垂线上的电场强度分布情况，并求出其最大值。
【解析】如图所示，设MN =2a ，θ=∠PMN ，θ22221cos E E aQ k r Q k=== 由平行四边形定则可得θθθsin cos 2sin 2221aQkE E == 令y=θθsin cos 2=θθsin sin -12）（=θθ3sin -sin θθθcos sin 3-cos y 2=' ）（θθ2sin 3-1cos = = 031sin 2=θ 33sin =θ时，E 有最大值2934akQ 所以从O 点经P 到无限远处，场强是先增大后逐渐减小的， 其中P 点距O 点为a 22处时电场强度最大，为2934a kQ6、20XX 年全国理综I 卷第25题：如图所示，与水平面成45°角的平面MN 将空间分成I和II 两个区域。
一质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的粒子以速度 从平面MN 上的 点水平右射入I 区。
粒子在I 区运动 时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E ；在II 区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里。
求粒子首次从II 区离开时到出发点的距离。
粒子 的重力可以忽略。
【解析】：设粒子第一次过MN 时速度方向与水平方向成α1角，位移与水平方向成α2角且α2=45°，在电场中做类平抛运动，则有：得出：，在电场中运行的位移在磁场中做圆周运动，且弦切角为α=α1－α2，，得出：在磁场中运行的位移为：所以首次从II 区离开时到出发点p 0的距离为：7、一帆船要向东航行，遇到了与航行方向成一锐角θ的迎面风，现在使帆面AB 与航行方向成角ϕ，且使ϕ＜θ，这时风力可以驱使帆船向东航行。
设风力的大小为F ，求船所受的与帆面垂直的力和驱使船前进的力。
【解析】：如图所示，AB 为帆面，船所受的与帆面垂直的力1F 是风力F 的一个分力，且）（ϕθ-Fsin F 1=，1F 又分解至航行方向和垂直于航行方向的两个力3F 和4F ，其中3F 驱使船前进，4F 使船身倾斜ϕϕθϕsin -Fsin sin F F 13）（==8、地面上有一堵高h 的墙，O 点离墙距离为d 。
又O 点以v0抛出一石子，要石子越过墙顶A ，v0至少多大？【解析】：d t v =⨯θcos 0 ⇒ θcos 0v dt =①2021sin gt t v h -⨯=θ ② 将①式代入②式得θθ2202cos 21tan v d g d h -= ⇒ θθθ220220cos 21cos sin hv gd d v =-⇒ 212cos 2122sin 20220+=-θθhv gd d v ⇒20202202cos 2sin hv hv gd d v +=-θθ ⇒220-2cos 2sin gd h h d v =-）（θθ ⇒ ）（h h d gd v -2cos 2sin 220θθ-= ③令ϕcos k d = ，ϕsin k h =则ϕθϕθθθsin 2cos cos 2sin 2cos 2sin k k h d -=-)2sin(ϕθ-=k （其中22h d k +=）所以0v 的最小值为）（h h d gd v -+=222）（h h d g v ++=2209、已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E ＝1.5×106V/m ，丝线长l ＝40cm ，上端系于O点，下端系质量为m ＝1.0×10－4kg ，带电量为q ＝＋5.0×10-10C 的小球，将小球从最低点A 由静止释放.（g 取10N/kg ） 求：（1）小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？（2）摆动过程中小球的最大速度是多大？【解析】：N 105.7N 105.1100.5qE F 4-610⨯=⨯⨯⨯==-N 10100.1m g G 4-⨯⨯==由动能定理有：）（θθcos -1mgL qELsin =将数据代入得 θθ4cos -43sin =令θsin =t ，则2t -1cos =θ代入上式得t 3-4t -142= 两边平方得t 24-t 916t 16-1622+= 解得2524t =即θsin =0.96 ，74=θ 方法2：θθ4cos -43sin =42sin 8-42cos 2sin 62=+θθθ2sin 82cos 6θθ=432tan=θ372=θ 74=θ 方法3: θθ4cos -43sin = 44cos 3sin =+θθ 4-5cos =）（ϕθ 37-=ϕθ43tan =ϕ 37=ϕ 所以74=θ 方法4：由43mg qE =， 可知合力方向即为小球处于平衡位置时的方向，与竖直方向成37度角。
那么小球能偏离竖直方向的最大角为74度。
第二问：由于重力，电场力方向大小都恒定，两者合成一个大小方向都不变的恒力。
这就相当于，小球只受到这一个力的作用，当这个合力的作用线通过O 向下时，这时小球速度最大。
这个点就是本题中等效最低点（和物体只受重力时的最低点一样的找法。
）43mg qE tan ==ϕ 37=ϕ 由动能定理得2mv 21cos -1mgL -qELsin =）（ϕϕ 代入数据得s /m 41.12v ==10、(15分) (20XX 年华约自主招生)明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg 的物体。
一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ ≈0.58。
试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值?【解析】：根据题述，拉力F=mg=500N 。
设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面夹角为ϕ，分析重物M 受力，如图所示。