最后一课中考数学易错题

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重庆市一中中考数学期末几何综合压轴题易错汇编

重庆市一中中考数学期末几何综合压轴题易错汇编一、中考数学几何综合压轴题1．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解:如图1,在ABC ∆中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=︒,试判断ABC ∆是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图2, ABC ∆是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ∆关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '∆,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是AA C '∆的重心,求AC BC的值. （3）应用拓展:如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ∆的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ''∆,A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.解析：（1）证明见解析；（2）13AC BC =（3）CD 21032 【解析】分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论；（2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ，再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称，得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC 13，即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：①当AB 2BC 时，再分两种情况讨论；②当AC 2时，再分两种情况讨论即可．详解：（1）是．理由如下：如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°．∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =12AC =3，∴ AD =BC =3，即ΔABC 是“等高底”三角形．（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ，∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°．∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ，∴由勾股定理得AC =13x ， ∴131322AC x BC x ==．（3）①当AB =2BC 时，Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ．∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2，l 1与l 2之间的距离为2， AB =2BC ，∴BC =AE =2，AB =22，∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25．∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°．设DF =CF =x ．∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴12DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =25，可得x =253，∴CD =2x =2103．Ⅱ．如图4，此时ΔABC 是等腰直角三角形，∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴ ΔACD 是等腰直角三角形，∴ CD 2AC =22②当AC=2BC时，Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，∴AC=2BC=2AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，点A′在直线l1上，∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．综上所述：CD 2103222．点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．2．问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE．问题解决：（1）图1中tan∠BPD的值为________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；思维拓展：（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．解析：（1）2；（2）22；（3）22 【分析】（1）由题意可得BE ∥DC ，则∠ABE =∠DPB ，那么∠BPD 就变换到Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，那么∠BPD 就变换到等腰Rt △ABE 中，由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）以BC 为边长构造网格，然后把PC 平移到AN ，则∠CPD 就变换成Rt △ADN 中的∠NAD ，再由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）由勾股定理可得：22222222112AE BE =+==+=，， ∵CD//BE ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠ABE ＝2222AE BE ==；（2）过点A 作AE //CD ，连接BE ，由图可知E 点在格点上，且∠AEB ＝90°，由勾股定理可得：22221251310AE AB =+==+=，，∴cos ∠BPD ＝cos ∠BAE ＝5510522102101010AE AB ⨯====⨯（3）如图3构造网格，过点A 作AN //PC ，连接DN ，由图可知N 点在格点上，且∠AND ＝90°，由勾股定理可得：22221310,2425,DN AD +==+=∴sin ∠CPD ＝sin ∠NAD ＝1010552225255DN AD ⨯=⨯【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（问题原型）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为直径作O．求证：点B、D在O上．请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．（发现结论）矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．（结论应用）如图，已知线段2AB=，以线段AB为对角线构造矩形ACBD．求矩形ACBD面积的最大值．（拓展延伸）如图，在正方形ABCD中，2AB=，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为_____________________解析：问题原型：见解析；结论应用：见解析；发现结论：2；拓展延伸：2【分析】问题原型：运用矩形对角线互相平分且相等，即可求证四点共圆；结论应用：根据结论矩形面积最大时为正方形，利用对角线的长求得正方形的面积；拓展延伸：由上一问的结论，可知四边形EGFH 为正方形, 证明四边形AEOH 是正方形，继而求得面积【详解】解：【问题原型】∵AC 为O 直径，∴OA 为O 半径.令OA r =.∵四边形ABCE 为矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，.12OB OD BD == ∴OB OD OA r ===.∴点B 、D 在O 上.【结论应用】连续CD 交AB 于点O ，过点D 作DE AB ⊥于点E .∴DE OD ≤.由【发现结论】可知，点D 在以AB 为直径的圆上，即112OD OA AB ===， ∴当1DE OD ==即AB CD ⊥时，矩形ACBD 的面积最大.2AB CD ==∴矩形ACBD 的面积最大值为22112222AB =⨯=. 【拓展延伸】如图，连接GH ,设AC 与EF 的交点为O四边形ABCD 是正方形2AB ∴=,90BAD ADC ∠=∠=︒，//AE DF点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点1AE EB CF FD ∴====,2EF =∴四边形AEFD 是矩形//EF AD ∴EF AB ⊥，由【结论应用】可知，2EF =时，矩形EGFH 的面积最大为2122EF = 此时四边形EGFH 为正方形，此时MN 最大，EF GH ∴⊥,112EO OF OH OG EF ===== ∴四边形AEOH 是正方形∴112AE AH AB === ∴2222112EH AE AH =+=+=∴正方形EGFH 的面积为：22(2)2EH ==【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，灵活运用矩形，正方形的性质和判定是解题的关键．4．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF 的取值范围．解析：（1）AM ＝BM ；（2）169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM AB BC AC == 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5PF PA FM =即可解决问题．【详解】解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为：AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ，∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴BC BM BA BC =， ∴6106BM =， ∴BM ＝185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255=， ∴321651895AM BM ==；（3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM CM AB BC AC==∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152． ②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′， ∴△PFA ′∽△MFC ，∴PF PA FM CM'=， ∵CM ＝5， ∴5PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．5．在ABC 中，点D ，E 分别是AB AC ，边上的点，//DE BC ．基础理解：（1）如图1，若43AD BD ==，，求AE AC 的值；证明与拓展：（2）如图2，将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，连接11,BD CE ； ①求证：11BD AD CE AE=； ②如图3，若90,6,BAC AB AC AD ADE ∠=︒<=，在旋转的过程中，点1D 恰好落在DE 上时，连接1113,4BD EE CE =，则11E D E 的面积为________．解析：（1）47；（2）①见详解；②13.44 【分析】（1）利用平行线分线段定理，直接求解即可；、（2）①先推出11AD AB AE AC=，从而得11ABD ACE ∽，进而即可得到结论；②先推出AE =AE 1 =8，DE =D 1E 1=10，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM = 3.6，D 1E =2.8，再证明∠D 1EE 1=90°，进而即可求解．【详解】解：（1）∵//DE BC ，43AD BD ==，， ∴AE AC =44437AD AB ==+；（2）①∵将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，∴1AD =AD ，1AE =AE ，∠BAD 1=∠CAE 1，∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC =，即AD AB AE AC=， ∴11AD AB AE AC=， ∴11ABD ACE ∽， ∴1111BD AD AD CE AE AE==；②由①可知11ABD ACE ∽， ∴111134BD AD CE AE ==， ∵将ADE 绕点A 逆时针旋转，得到11AD E △，点1D 恰好落在DE 上，∴AD 1=AD =6，∠D 1AE 1=∠DAE =90°，∴AE =AE 1=43AD 1=8，DE =D 1E 1=226810+=，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM =D 1M =AD ×cos ∠ADE = AD ×AD DE =6×610=3.6，∴D 1E =10-3.6 ×2=2.8，∵∠D 1AE 1=∠DAE =90°，∴∠DAD 1=∠EAE 1，又∵AD 1=AD ，AE =AE 1，∴∠ADE =11118018022DAD EAE AEE ︒-∠︒-∠==∠， ∴∠AED +1AEE ∠=∠AED +∠ADE =90°，即：∠D 1EE 1=90°，∴22110 2.89.6EE -，∴11E D E 的面积=12D 1E ∙EE 1=12×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．6．（了解概念）在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．（理解运用）（1）在邻等四边形ABCD 中，40A ∠=︒，60B ∠=︒，若CD 是这个邻等四边形的邻等边，则C ∠的度数为__________；（2）如图，凸四边形ABCD 中，P 为AB 边的中点，ADP PDC ∽，判断四边形ABCD 是否为邻等四边形，并证明你的结论；（拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，AB 为邻等四边形ABCD 的邻等边，且AB 边与x 轴重合，已知(2,0)A -，(,3)C m ，(2,4)D ，若在边AB 上使DPC BAD ∠=∠的点P 有且仅有1个，则m 的值是__________．解析：（1）130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由见解析；（3）﹣6【分析】（1）根据邻等四边形的定义即可求解；（2）由△ADP ∽△PDC ，可得AP AD PC PD =，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，由P 为AB 的中点，可得AP ＝BP ，则PB AD PC PD=，可证△BPC ∽△ADP ，由相似三角形的性质得出∠A ＝∠B 即可；（3）①若点B 在点A 右侧，如图，由AB 为邻等边，则有∠DAB ＝∠ABC ＝∠DPC ，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP ，设点P （n ，0），由等腰直角三角形可求∠BAD ＝45°，可求B 、C 横坐标之差为3，B （m +3，0），将AP ，BP ，AD ，BC ，代入得：4232n 2+（m +1）n +2m ﹣18＝0，由题意可知n 只有一个解，可求得m ＝﹣6；②若点B 在点A 左侧，可求得∠BAD ＝135°，可证△ADP ∽△BPC ，可得AP BC ＝AD BP ，可求得B 、C 横坐标之差为34232=m ＝﹣5﹣6．【详解】解：（1）∵CD 为邻等边，∴∠C ＝∠D ，又∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴∠C ＝∠D ＝（360°﹣∠A ﹣∠B ）÷2＝130°，∴∠C ＝130°．故答案为：130°；（2）四边形ABCD 是邻等四边形，理由如下：∵△ADP ∽△PDC ， ∴AP AD PC PD=，∠DAP ＝∠DPC ，∠APD ＝∠PCD ，∠ADP ＝∠PDC ，又∵P 为AB 的中点，∴AP ＝BP ，∴PB ADPC PD=，∴PB PCAD PD=，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四边形ABCD为邻等四边形；（3）若点B在点A右侧，如图，∵AB为邻等边，则有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴APBC ＝ADBP，设点P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵点C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝22(22)4++＝42，BC＝2233+＝32，代入APBC＝ADBP得：242332nm n+=+-，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由题意可知n只有一个解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±46，又∵点C在点D右侧，∴m＝﹣5+46；②若点B在点A左侧，如图，此时，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴APBC ＝ADBP，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝42BC＝32∴4232=，解得：m＝﹣6又∵点C在点D左侧，∴m＝﹣5﹣6；综上所述：m＝﹣6．【点睛】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证新定义图形，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，利用相似三角形的性质构造关于n 的一元二次方程是解题关键．7．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE 1S 2=S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x =；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论；（2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3＝3，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ 3，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF 22AP PF +＝7，CE 22EQ QC +19，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示：则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ；（3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝，∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,0.5)，点A 的坐标为(1,0)，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ，易知AOC CMB ∆∆≌，得到点B 的坐标为(0.5,1.5)．（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,)(0)m m >，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ．（1）求点B 的坐标．（用含m 的代数式表示）（2）求出BC 所在直线的函数表达式．（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 在y 轴上，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，连结BO 、BA ，则BO BA +的最小值为_______．解析：【探究】（1）点B 坐标为(,1)m m +；（2）1y x m m=+5【分析】探究:（1）证明△AOC ≌△CMB （AAS ），即可求解；（2）根据点B 的坐标为（m ，m+1），点C 坐标()0,m ，即可求解；拓展：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，即可求解．【详解】解：探究：（1）过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ．BMC 90∠∴=︒，MCB B 90∠∠∴+=︒．线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，BCA 90CB CA ∠∴=︒=，．MCB ACO 90∠∠∴+=︒．B ACO ∠∠∴=．ACO 90∠=︒，ΔAOC ΔCMB ∴≌，MC OA,MB OC ∴==．点C 坐标()0,m ，点A 坐标()1,0，∴点B 坐标为()m,m 1+（2）∵点B 的坐标为（m ，m+1），点C 为（0，m ），设直线BC 为：y=kx+b ，1b m km b m =⎧⎨+=+⎩，解得：1k m b m⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴1y x m m=+；则BC 所在的直线为：1y x m m =+；拓展：如图作BH ⊥OH 于H ．设点C 的坐标为（0，m ），由（1）知：OC=HB=m ，OA=HC=1，则点B （m ，1+m ），则：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m +++-++，BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，相当于在直线y=x 上寻找一点P （m ，m ），使得点P 到M （0，-1），到N （1，-1）的距离和最小，作M 关于直线y=x 的对称点M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，22(11)(01)5--++ 故：BO+BA 55【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA 的值转化点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，是本题的新颖点 9．问题背景如图1，点E 在BC 上，AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC ，求证：=AE BE DE DC ．尝试应用如图2，在▱ABCD 中，点F 在DC 边上，将△ADF 沿AF 折叠得到△AEF ，且点E 恰好为BC 边的中点，求FC FD 的值．拓展创新如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，∠AFE ＝∠D ，AE ⊥FE ，FC ＝2．EC ＝6．请直接写出cos ∠AFE 的值．解析：（1）见解析；（2）12FC FD =；（3）cos ∠AFE =25．【分析】(1) 根据相似三角形的判定定理证△ABE ∽△ECD 即可；(2) 在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE ，证△AGE ∽△ECF ，列比例式即可；(3) 作FM =FD ，FN ⊥AD ，同（2）构造△AMF ∽△FCE ，证△AEF ∽△FHD ，求出AM 长即可．【详解】解：（1）∵ AB ⊥BC ，AE ⊥ED ，DC ⊥DC∴∠B =∠C =90° ，∠BAE +∠AEB =90°，∠CED +∠AEB =90°，∴∠BAE =∠CED ，∴△ABE ∽△ECD∴AE BE DE DC =．（2）在AB 边取点G ，使GE =BE ，则∠B =∠BGE又∵∠B +∠C =180° ，∠BGE +∠AGE =180°∴∠AGE =∠C∵∠B =∠D =∠AEF又∵∠B +∠BAE =∠AEF +∠FEC∴∠BAE =∠FEC ，∴△AGE ∽△ECF∴FC EF EG AE =，即FC EG EF AE =∵EF =FD ， ∴FC EG FD AE = ∵GE =BE ，AE =BC =2BE ， ∴12FC BE FD BC == （3）cos ∠AFE =25如图：作FM =FD ，FN ⊥AD ，由（2）同理可证△AMF ∽△FCE ，∴3FM EC AM FC== 设AM =x ，FM =FD =3x ，则AD =CD =32x +，MD =22x +，ND =1x +∵∠AEF =∠FND =90°，∠AFE ＝∠D ，∴△AEF ∽△FND ，∴EF AF ND FD =，即EF ND AF FD =， ∵FC EF AM AF =， FC ND AM FD∴= ∴213x x x +=，解得，5x =，经检验，是原方程的解；∴ cos ∠AFE =25EF FC AF AM ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题．10．（探究函数y=x+的图象与性质）（1）函数y=x+的自变量x 的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展运用]（4）若函数y=，则y的取值范围．解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13【解析】试题分析：根据反比例函数的性质，一次函数的性质；二次函数的性质解答即可.试题解析：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）函数y=x+的图象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13∵（﹣）2≥0，∴y≥13．考点：1.反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质.11．（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心O ，作FG HP ⊥，将它分成4份．所分成的四部分和以BC 为边的正方形恰好能拼成以AB 为边的正方形．若12,5AC BC ==，求EF 的值；（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N 的边长为定值n ，小正方形,,,A B C D 的边长分别为a b c d ,,,．已知123α∠=∠=∠=，当角9(0)0αα︒<<︒变化时，探究b 与c 的关系式，并写出该关系式及解答过程（b 与c 的关系式用含n 的式子表示）．解析：（1）见详解；（2）EF =172或72；（3）c +b =n ，理由见详解【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得到结论；（2）设EF =a ，FD =b ，由图形的特征可知：a +b =12，a -b =±5，进而即可求解；（3）设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ，由相似三角形的性质可知：22e cn f bn ==，，结合勾股定理，可得222e f n +=，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．∴c 2＝12ab ×4＋（b −a ）2，化简得：a 2＋b 2＝c 2；（2）由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形，设EF =a ，FD =b ，∴a +b =12，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成， ∴E F EF ''=，KF FD '=，5E K BC '==，当EF >DF 时，∵E F KF E K ''''-=， ∴a -b =5，∴125a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：a =172， ∴EF =172；同理，当EF <DF 时，EF =72故EF =172或72（3）设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ，∵123α∠=∠=∠=，∴图中①与②与③，三个直角三角形相似，∴c e b f e n f n==，，即：22e cn f bn ==，， ∵图形③是直角三角形，∴222e f n +=，∴2cn bn n+=，即：c+b=n，【点睛】本题主要考查勾股定理及其证明过程，相似三角形的判定和性质，找准图形中线段长和面积的数量关系，是解题的关键．12．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC=．解析：（1）①四边形CEGF是正方形；22）线段AG与BE之间的数量关系为2；（3）5【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG 2CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AGGH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AGAHAC CH =可得a 的值．【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE =，GE ∥AB ，∴2AG CGBE CE ==，故答案为2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CECG 2CBCA 2，∴CG CE =2CACB =∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CA BE CB ==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ，∴AG GH AH AC AH CH==，设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GH AC AH =得6222AHa =， ∴AH=23a ，则DH=AD ﹣AH=13a ，CH=22CD DH +=103a ， ∴由AG AH AC CH =得2632103a a a =，解得：a=35，即BC=35，故答案为35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.13．如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AE BD = ；② 当时，AE BD = （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE DB 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.解析：（1）①52,②52.（2）无变化；理由参见解析.（3）45，1255. 【分析】（1）①当α=0°时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，分别求出AE 、BD 的大小，即可求出AE BD 的值是多少． ②α=180°时，可得AB ∥DE ，然后根据AC BC AE BD =，求出AE BD的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB ，再根据52EC AC DC BC ==，判断出△ECA ∽△DCB ，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AE BD的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A ，D ，E 所在的直线和BC 平行时；②点A ，D ，E 所在的直线和BC 相交时；然后分类讨论，求出线段BD 的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt △ABC 中，∠B=90°，∴AC=2222(82)845AB BC +=÷+=，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴45252AE ==,BD=8÷2=4， ∴25542AE BD ==． ②如图1，，当α=180°时，可得AB ∥DE ，∵AC BC AE BD =， ∴455AE AC BD BC =（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB ， ∴∠ECA=∠DCB ，又∵52EC AC DC BC ==， ∴△ECA ∽△DCB ， ∴52AE EC BD DC ==．（3）①如图3，，∵AC=45，CD=4，CD ⊥AD ，∴AD=2222(45)480168AC CD -=-=-=∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=45．②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，，∵AC=45CD=4，CD ⊥AD ，∴2222(45)480168AC CD ---，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得 52AE BD =， ∴BD=6125552=．综上所述，BD 的长为45或1255． 14．(1)问题发现如图1,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D 在一条直线上.填空:线段AD,BE 之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE 的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B 是线段PA 外一点,PB=5,连接AB,将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC 的范围.解析：(1) AD=BE ，AD ⊥BE ．(2) AD=BE ，AD ⊥BE ．(3) 5-32≤PC≤5+32．【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（问题）如图1，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点AB 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．解析：【探究发现】（1）见解析；【数学思考】（2）见解析；【拓展引申】（3）22AM =BQ 有最大值为2．【分析】根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得根据证明()CDP GDB ASA ≌即可推出DP DB =过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，连接,CM HQ ，可证明()AMH BNQ ASA ≌，再推出ACM BMQ ∽即可得AC AM BM BQ =42AM BQAM =-，则22AM = 【详解】证明：【探究发现】（1）∵90,ACB AC BC ∠=︒=∴45CAB CBA ∠=∠=︒∵CD AB∴45CBA DCB ∠=∠=︒，且BD CD ⊥∴45DCB DBC ∠=∠=︒∴DB DC =即DB DP =【数学思考】（2）∵,45DG CD DCB ⊥∠=︒∴45DCG DGC ∠=∠=︒∴,135DC DG DCP DGB =∠=∠=︒，∵90BDP CDG ∠=∠=︒∴CDP BDG ∠=∠，且,135DC DG DCP DGB =∠=∠=︒，∴()CDP GDB ASA ≌∴BD DP =【拓展引申】（3）如图4，过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，连接,CM HQ ，∵MH MN ⊥，∴90AMH NMB ∠+∠=︒∵,90CD AB CDB ∠=︒∥∴90DBM ∠=︒∴90NMB MNB ∠+∠=︒∴HMA MNB ∠=∠，且,45AM BN CAB CBN =∠=∠=︒∴()AMH BNQ ASA ≌∴AH BQ =∵90,4ACB AC BC ∠=︒==， ∴42,AB AC AH BC BQ =-=-∴CH CQ =∴45CHQ CQH CAB ∠=∠=︒=∠∴HQ AB ∥∴HQM QMB ∠=∠∵90ACB HMQ ∠=∠=︒∴点H ，点M ，点Q ，点C 四点共圆，∴HCM HQM ∠=∠∴HCM QMB ∠=∠，且45A CBA ∠=∠=︒∴ACM BMQ ∽ ∴AC AM BM BQ = ∴442AM BQ AM=- ∴2(22)24AM BQ --=+ ∴22AM =时，BQ 有最大值为2．【点睛】本题考查等腰三角形，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.16．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =；②推断：GF AE的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，210GF =，求CP 的长．解析：（1）①证明见解析；②解：结论：1GF AE=．理由见解析；（2）结论：FG k AE =．理由见解析；（3）955PC =．【解析】。

初三数学复习中的错题总结与整理

初三数学复习中的错题总结与整理数学是初中最重要的学科之一，也是让很多学生头疼的科目。

在初三的数学学习中，我们经常会遇到一些困难题和易错题，这些题目对我们的数学能力有很大的考验。

为了提高我们的数学能力，我们需要对这些错题进行总结与整理，找出问题所在，从而提高自己的解题水平。

一、直线与曲线1. 错题1：已知曲线的一条切线的斜率为5，求该曲线在该切点的切线方程。

解析：该题考查了直线与曲线的相关知识。

曲线的切线斜率等于曲线的导数，所以我们需要求出曲线的导数然后再求斜率。

然后，我们带入切点的坐标，利用点斜式即可求出切线方程。

2. 错题2：给定直线的一个点坐标为(2,3)，过该点作直线与曲线y=x^2的交点，求直线的方程。

解析：该题是直线与曲线的交点问题，我们可以先求出曲线与直线的交点坐标，然后利用两点式即可求出直线的方程。

二、二次函数1. 错题1：已知二次函数图像的顶点为(-1,3)，过点(-2,1)的直线与该二次函数的图像交于另外一个点，请求出该点的坐标。

解析：该题是关于二次函数的顶点和交点问题。

我们可以通过已知的顶点坐标和直线过点的坐标，利用二次函数的特点，写出函数的表达式，然后求解出交点的坐标。

2. 错题2：已知二次函数的图像经过点(1,4)和点(2,k)，求该二次函数的表达式。

解析：该题是关于二次函数的函数表达式问题。

我们可以利用已知的过点坐标，写出函数的表达式然后求解未知常数。

同时，根据过点的特性，我们可以列方程求解。

三、三角函数1. 错题1：已知sinθ=-1/2，求θ的终边位于哪个象限。

解析：该题考查了三角函数的象限问题。

根据三角函数的定义，我们可以求出sinθ的值，并根据正负值判断θ位于哪个象限。

2. 错题2：已知tanθ=√3，求θ所在的象限。

解析：该题也是关于三角函数的象限问题。

我们可以根据tanθ的值求出θ的候选解，然后根据题目要求来确定θ所在的象限。

四、概率1. 错题1：一个骰子抛掷一次，求抛出的点数是奇数或大于4的概率。

九年级数学易错题整理及解析

九年级数学易错题整理及解析九年级是中学阶段的关键时期，数学学科的学习尤为重要。

在这个阶段，同学们容易在一些特定题型上犯错。

本文将针对九年级数学中的易错题进行整理和解析，帮助同学们巩固知识点，提高解题能力。

一、易错题整理1.分式运算- 忽视分母为零的情况- 混淆乘除法则2.一元二次方程- 解题过程中符号错误- 忽视判别式的符号3.函数图像- 弄错函数图像的开口方向- 误判函数的增减性4.统计与概率- 概率计算不准确- 众数、平均数、中位数混淆5.解直角三角形- 错误使用三角函数- 忽视角度与边长的关系二、解析及注意事项1.分式运算- 解题前检查分母是否为零，避免无效计算。

- 掌握乘除法则，注意运算符号。

2.一元二次方程- 解题过程中注意符号的正确性，避免低级错误。

- 判别式大于零时，方程有两个实数根；等于零时，有一个实数根；小于零时，无实数根。

3.函数图像- 根据函数解析式，判断图像的开口方向和增减性。

- 注意掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图像特点。

4.统计与概率- 概率问题要注意事件的总数和满足条件的事件数。

- 区分众数、平均数、中位数，注意定义和计算方法。

5.解直角三角形- 掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质。

- 注意直角三角形中角度与边长的关系，避免错误使用三角函数。

总结：九年级数学易错题主要集中在分式运算、一元二次方程、函数图像、统计与概率以及解直角三角形等方面。

同学们在解题过程中要细心、认真，注意检查，避免低级错误。

人教版九年级数学易错题收集整理+常见数学易错题精选

人教版九年级数学易错题收集整理+常见数学易错题精选人教版九年级数学易错题成长系列1、二次函数2y ax bx c =++图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.20,0,0,40a b c b ac <<>-> B.20,0,0,40a b c b ac ><>-< C.20,0,0,40a b c b ac <><-> D.20,0,0,40a b c b ac <>>-> 如图，二次函数2y ax bx c =++的图像过（-1,1），（2，-1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A. 当0x =时，y 的值大于1B. 当3x =时，y 的值小于0C. 当1x =时，y 的值大于1D. y 的最大值小于02、二次函数2y ax bx =+的图像如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（）A. -3B. 3C. -5D. 94、设二次函数2y x bx c =++，当1x ≤时，总有0y ≥，当13x ≤≤时，总有0y ≤，那么c 的取值范围是。

5、已知抛物线212y x bx =+经过点A （4，0）。

设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD-CD|的值最大，则D 的坐标为。

6、已知：关于x 的方程2(13a)210ax x a --+-=（1）当a 取何值时，二次函数2(13a)21y ax x a =--+-的对称轴是x=-2？（2）求证：a 取任何实数时，方程2(13a)210ax x a --+-=总有根。

7、如图，抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于A 、B ，且过点C （5, 4）。

（1）求a 的值和该抛物线的顶点P 的坐标（2）请你设计一种平移方法，使平移之后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式。

九年级数学高频错题集(后附参考答案)

九年级数学高频错题集1.【题文】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，分别过点、向轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积是，则的值为A. B. C. D.2.【题文】如图，直角三角形位于第一象限，，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为，且两条直角边、分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围是A. B. C. D.3.【题文】是方程的根，则式子的值为A. B. C. D.4.【题文】若，，则方程必有一个根是A. B. C. D.不能确定5.【题文】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．已知，，的面积为．A. B. C. D.6.【题文】关于的反比例函数为常数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为A. B. C. D.7.【题文】如图，在同一直角坐标系中，一次函数的图象和反比例函数的图象的一个交点为．若点在轴上，且为等腰三角形，则点的坐标为．A.，B.，，，C.，，，，，．D.8.【题文】反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的关系式是______．9.【题文】下列各组中的四条线段是成比例线段的是A.、、、B.、、、C.、、、D.、、、10.【题文】在比例尺为：的地图上，量得无锡三阳广场到江阴文明广场的距离为，则两地的实际距离为______．A. B. C. D.11.【题文】已知函数，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式；当时，求的值．12.【题文】已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流与电阻之间的函数关系如图，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过，那么此用电器的可变电阻为A.不小于B.不大于C.不小于D.不大于13.【题文】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，已知，，，则的长等于A. B. C. D.14.【题文】反比例函数经过点，则的值是A. B. C. D.15.【题文】如图，双曲线与直线交于点，，且点的坐标为，点的纵坐标为，则关于的方程的解为A.，B.，C.，D.，16.【题文】下列函数是反比例函数的是A. B. C. D.17.【题文】如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点若，则的值为______．A. B. C. D.18.【题文】如图，以为圆心，半径为的圆与反比例函数的图象交于、两点，则的长度为A. B. C. D.19.【题文】如图，点在的边上，与交于点，，，，绕顶点按逆时针方向旋转与重合，连接，则线段的长度为A. B. C. D.20.【题文】已知二次函数的图象经过点，和，则这二次函数的表达式为A. B. C. D.1.【参考答案】【试题解析】解：过点作轴于点，点在双曲线上，矩形的面积为：，矩形的面积为：，矩形的面积为：，则的值为：．故选D．首先得出矩形的面积为：，利用矩形的面积是，则矩形的面积为：，再利用求出即可．此题主要考查了反比例函数关系的几何意义，得出矩形的面积是解题关键．2.【参考答案】【试题解析】【分析】本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，根的判别式等知识点，解此题的关键是理解题意进而求出的值．题目较好，难度适当．把点的坐标代入即可求出的最小值；当反比例函数和直线相交时，求出的值，得出的最大值．【解答】解：在中，令，则，则的坐标是，把代入得：；的坐标是，的坐标是，设直线的解析式是，则，解得：，则函数的解析式是：，根据题意，得：，即，，解得：．则的范围是：．故选B．3.【参考答案】【试题解析】【分析】本题考查代数式求值、一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义得到，即，把代数式化为的形式，然后整体代入进行计算，即可求解．【解答】解：是方程的根，，即，．故选D．4.【参考答案】【试题解析】【分析】本题考查学生理解一元二次方程解的定义，是一道基础题．本题的突破点是令方程中的未知数．把方程中的取值为时，刚好得到，而已知，根据方程解的定义得到是方程的一个解．【解答】解：由，则令，方程，代入方程得：，所以是方程的解．故选：．5.【参考答案】【试题解析】解：把代入得：，解得，故反比例函数的解析式为：，把代入得，则，把，代入得：，解得，故一次函数的解析式为；所以的面积；故答案选C．此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式；求三角形的面积或割或补，此题采用割比法较为容易．6.【参考答案】【试题解析】【分析】反比例函数图象在大于时，可能在第一象限或第四象限，再根据时随的增大而减小，判断出此反比例函数图象不可能在第四象限，故得到此函数图象在第一、三象限，进而确定出反比例函数解析式的系数大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围．此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数，当时，图象在第一、三象限，且在每一个象限随的增大而减小；当时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．【解答】反比例函数为常数，当时随的增大而减小，，解得：，则的取值范围为．故选A．7.【参考答案】【试题解析】【解析】解：一次函数的图象经过点，，，点的坐标为，，又反比例函数的图象经过点，，反比例函数的解析式为；根据点在轴上的不同位置，符合条件的点有个，分别是：，，，，，．故选C．【分析】首先把代入一次函数的解析式，即可求得的值，即的坐标，然后把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，根据不同边作为底和腰，一共可分三种情况进行讨论：时两个点，，时一个点，时一个点，求得的坐标．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形知识，要注意在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．8.【参考答案】【试题解析】解：设反比例函数的解析式为．函数经过点，，得．反比例函数解析式为．故答案为：．将点代入函数解析式，即可求得的值．此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．9.【参考答案】【试题解析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．解：、，所以选项错误；B、，所以选项错误；C、，所以选项错误；D、，所以选项正确．故选D．10.【参考答案】【试题解析】解：．故答案为．图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．考查有关比例线段的计算；注意厘米换算成千米应缩小倍．11.【参考答案】解：设，，则，将和代入，得解得关于的函数解析式为；将代入，得．【试题解析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；把已知条件自变量与函数的对应值代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．根据正比例函数和反比例函数的定义，设，，可得，将和代入，可得计算可得关于的函数解析式；直接将代入关系式，计算出对应的函数值即可．12.【参考答案】【试题解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象的应用．【解答】解：由物理知识可知：，其中过点，故，当时，由即不小于．故选A．13.【参考答案】【试题解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题过作交于，根据平行四边形的性质得到，，，根据三角形的中位线的性质得到，，通过∽，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】，解：过作交于，在▱中，，，，，，，∽，，，．故选B．14.【参考答案】【试题解析】解：反比例函数经过点，，解得，．故选C．直接把代入反比例函数，求出的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15.【参考答案】【试题解析】【分析】本题主要考查的是反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标首先把点代入中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出点坐标，求关于的方程的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是的值．【解答】解：在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为：，也在反比例函数图象上，点的纵坐标为．，，关于的方程的解为：，．故选A．16.【参考答案】【试题解析】解：、是正比例函数，故A错误；B、是反比例函数，故B正确；C、是二次函数，故C错误；D、是一次函数，故D错误．故选B．根据反比例函数的定义，可得答案．本题考查了反比例函数的定义，重点是注意分母中有变量．17.【参考答案】【试题解析】解：设点坐标为，和都是等腰直角三角形，，，，，，，即，，，，．故答案为：．设点坐标为，根据等腰直角三角形的性质得，，，，则变形为，利用平方差公式得到，所以，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．18.【参考答案】【试题解析】解：作轴，设的坐标是：，其中，根据题意得：，解得：，则，，则，同理，与轴正半轴的夹角是，因而，则的长度是：．故选D．作轴，设的坐标是：，在直角中，利用勾股定理以及满足反比例函数的解析式，即可得到关于，的方程组求得的坐标，从而求得的度数，进而得到的度数，利用弧长的计算公式即可求解．本题是反比例函数与三角函数、弧长的计算的综合题，正确求得圆周角的度数是关键．19.【参考答案】【试题解析】【解答】解：中，，，，，，，是等边三角形，，，，是旋转而成，，，，是等边三角形，．故选A．【分析】先根据直角三角形的性质求出、的长，再根据图形旋转的性质得出，，再由即可得出，故可得出，进而判断出是等边三角形，故可得出结论．本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定定理，熟知旋转前后的图形全等是解答此题的关键．20.【参考答案】【试题解析】【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解答】解：设所求函数的解析式为，把，，分别代入，得：，解得．故所求的函数的解析式为．故选D．。

中考数学复习最后一周查漏补缺(易错题辨析)

中考数学复习最后一周查漏补缺(易错题辨析)20XX年中考数学复最后一周，我们需要查漏补缺，特别是易错题和辨析题。

以下是一些例题和解答。

一、数与式1.求4的平方根。

正确答案是C。

±2.2.求的倒数的相反数。

正确答案是A。

-2.3.下列根式中，最简二次根式是8a。

4.下列计算中，正确的是3+2=5.5.化简把-化简后的结果是A。

a/(a^2+b^2)。

6.若a+|a|=0，则(a-2)^2+a^2的值为2-2a。

7.已知2x-1+1-2x=0，则x^2-2x+1的值为1.8.计算：a^6÷a^2=a^4，(-2)^3=-8，(-2)^2=4.二、方程与不等式1.解不等式组{x>-2,x>a}，得到a的取值范围为a>-2.2.若关于x的方程x^2+(t-2)x+5-t=0的两个根都大于2，则t的取值范围是t6.3.函数y=(2m^2-5m-3)x/(m^2-3m-1)的图像是双曲线，则m=2或m=-1.4.已知方程组{x=x1或x2，y=y1或y2，x2-y+a+2=0}，其中x1、x2、y1、y2是两个不等的正数，则a的取值范围是a>-2x1+2y1-2.5.若关于x的方程2-x/(x-1)=2有解，则a的取值范围是a≠1.6.已知一元二次方程(m-1)x^2-4mx+4m-2=0有实数根，则m的取值范围是m≥1且m≠1.7.已知一元二次方程2x^2-2x+3m-1=0有两个实数根x1，x2，且满足不等式x1x2<1，求实数m的范围。

当x1x2<1时，根据韦达定理，x1+x2=1，所以2x1x2<1，即x1+x2-4x1x2/2<1，代入原方程得到3m-1<1，即m<2/3.当m<2/3时，方程有两个实数根，且满足x1x2<1.8.若关于x的方程2+x^2=3x有两个实数根，则x的取值范围是0<x<3.2.解为负数，求k的取值范围。

中考数学重难点易错题汇总含答案解析

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！最新初三九年级中考数学易错题集锦汇总学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1．如图，能判定 AB ∥CD 的条件是（）A ．∠1=∠2B ．∠1+∠2= 180°C ．∠3=∠4D ．∠3+∠1=180°2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．（a+3）（a-3）=a 2-9；B ．x 2+x-5=（x-2）（x+3）+1；C ．a 2b+ab 2=ab （a+b ）D ．x 2+1=x （x+x1） 3．用科学记数方法表示0000907.0，得（）A ．41007.9-⨯B ．51007.9-⨯C ．6107.90-⨯D ．7107.90-⨯ 4．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，则他做对的题目是（）A ．222)(b a b a -=-B ．6234)2(a a =-C ．5232a a a =+D ．1)1(--=--a a5．方程x 3＝22-x 的解的情况是（） A ．2=x B ．6=xC ．6-=xD ．无解 6．已知235x x ++的值为 3，则代数式2391x x +-的值为（）A ．-9B ．-7C ．0D ．37．下列事件中，届于不确定事件的是（）A ．2008年奥运会在北京举行B ．太阳从西边升起C ．在1，2，3，4中任取一个教比 5大D ．打开数学书就翻到第10页8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．5cm,3cm,1cmB ．6cm,4cm,2cmC ． 8cm, 5cm, 3cmD ． 9cm,6cm,4cm9．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）A ．B ．C ．D ．10．下列说法中，正确的是（）A ．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000次，其中抛掷出 5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出 5点B ．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等11．某地区10户家庭的年消费情况如下：年消费l0万元的有2户，年消费5万元的有l 户，年消费1．5万元的有6户，年消费7千元的有1户．可估计该地区每户年消费金额的一般水平为（）A.1．5万元 B．5万元 C．10万元 D．3.47万元12．三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．属于哪一类不能确定13．下列图形中，由已知图形通过平移变换得到的是（）14．在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线必然（）A．互相平行B．互相垂直C．互相重合D．关系不能确定15．△ABC和△DEF都是等边三角形，若△ABC的周长为24 cm ，△DEF的边长比△ABC 的边长长3 cm，则△DEF的周长为（）A．27 cm B．30 cm C．33 cm D．无法确定16．下列命题不正确的是（）A．在同一三角形中，等边对等角B．在同一三角形中，等角对等边C．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍D．等腰三角形是等边三角形17．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定18．等腰三角形的“三线合一”是指（）A．中线、高、角平分线互相重合B．腰上的中线、腰上的高、底角的平分线互相重合C．顶角的平分线、中线、高线三线互相重合D ．顶角的平分线、底边上的高及底边上的中线三线互相重合19．在△ABC 中，已知AC AB = ，DE 垂直平分AC ，50=∠A °，则DCB ∠的度数是（）A ． 15°B ．30°C ． 50°D ． 65°20．将如图1所示的Rt △ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体的左视图是（）21．画一个物体的三视图时，一般的顺序是（）A ．主视图、左视图、俯视图B ．主视图、俯视图、左视图C ．俯视图、主视图、左视图D ．左视图、俯视图、主视图22．要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取30台电视机进行试验，在这个问题中，30是（）A ．个体B ．总体C ．样本容量D ．总体的一个样本23．济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用４小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S （吨）与时间t （小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A ．4小时B ．4.4小时C ．4.8小时D ．5小时 24．若分式3242x x +-有意义，则字母x 的取值范围是（） A ．12x = B ．23x =- C ．12x ≠ 23x ≠-25．把图中的角表示成下列形式：①∠AP0；②∠P；③∠0PC；④∠0；⑤∠CP0；⑥∠AOP．其中正确的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个26．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为（）A．90个B．24个C．70个D．32个27．如图所示的 6 个数是按一定规律排列的，根据这个规律，括号内的数应是（）A．27 B．56 C．43 D．3028．现有两个有理数 a、b，它们的绝对值相等，则这两个有理数（）A．相等 B．相等或互为相反数 C．都是零 D．互为相反数29．某天股票A 开盘价 19 元，上午 11：30 跌1. 5 元，下午收盘时又涨了 0. 5 元，则投票A 这天收盘价为（）A．0.3 元B．l6.2 元C．16.8 元D．18 元30．蜗牛在井里距井口 lm 处，它每天白天向上爬行 30 cm，每天夜晚又下滑 20 cm，则蜗牛爬出井口需要的天数是（）A．11 天B．10 天C．9 天D．8 天31．小红妈妈的 2 万元存款到期了，按规定她可以得到 2 的利息，但同时必须向国家缴纳 20% 的利息所得税，则小红妈妈缴税的金额是（）A ．80 元B ．60 元C ．40 元D ．20 元32．求0.0529的正确按键顺序为（）A ．B ．C ．D ．33．下列方程中，是一元一次方程的为（）A ．x+y=1B ．2210x x -+=C ．21x =D ．x=034．有下列计算：①0-（-5）=-5；②（-3）+（-9）=-12；③293()342⨯-=-；④(36)(9)4-÷-=-.其中正确的有（）A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．4个35．一个五次多项式，它的任何一项的次数（）A ．都小于5B ．都等于5C ．都不大于5D ．都不小于536．⎩⎨⎧==21y x 是方程3=-y ax 的解，则a 的值是（） A ．5 B ．5- C ．2 D ．137．下列说法中正确的是（）A ．直线大于射线B ．连结两点的线段叫做两点的距离C ．若AB=BC ，则B 是线段AC 的中点D ．两点之间线段最短38．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C 的外角＝（）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°39．如图，∠AOC=∠BOD=90°，下列结论中正确的个数是（）①∠AOB=∠COD ；②∠AOD=3∠B0C ；③∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BODA ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个40．若两个角互为补角，则这两个角（）A ．都是锐角B ．都是钝角C ．一个是锐角，另一个是钝角D ．以上结论都不全对41．下列说法中，错误的是（）A ．经过一点可以画无数条直线B ．经过两点可以画一条直线C ．两点之间线段最短D ．三点确定一条直线42．12-的绝对值是（） A ．2- B ．12- C ．2 D ．1243．下列说法中正确的是（）A ．从三角形一个顶点向它对边所在直线画垂线，此垂线就是三角形的高B ．三角形的角平分线是一条射线C．直角三角形只有一条高D．钝角三角形的三条高所在的直线的交点在此三角形的外部44．如图所示，是轴对称图形的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个45．将如图所示的图形按照顺时针方向旋转90°后所得的图形是（）46．如图，已知 6.75r=，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）（）R=， 3.25A．35π⋅B．12.25πC．27πD．35π47．如图，由△ABC平移而得的三角形有（）A． 8个B． 9个C． 10个D． 16个48．下列各式中不是不等式的为（）A．25x=D．610x+≤C．58-<B．92y+> 49．关于单项式322-的系数、次数，下列说法中，正确的是（）2x y zA．系数为-2，次数为 8B．系数为-8，次数为 5C．系数为-23，次数为 4D ．系数为-2，次数为 750．直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（）A ． 43B ． 34C ． 53D ． 5451．下列说法中，正确的个数是（）①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；②一组数据的方差一定是正数；③一组数据的方差的单位与原数据的单位是一致的；④一组数据的标准差越大，则这组数据的方差一定越大．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个52．如图，在两半径不同的圆心角中，∠AOB=∠A ′O ′B ′=60°，则（）A ．AB=A ′B ′ B ．AB<A ′B ′C ．AB 的度数=A ′B ′的度数D ．AB 的长度=A ′B ′的长度53．△ABC 中，A = 47°，AB = 1.5 cm ，AC=2 cm ，△DEF 中，E = 47°，ED =2.8 cm ，EF=2. 1 cnn ，这两个三角形（）A ．相似B ．不相似C ．全等D ．以上都不对54．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°．以点A 为位似中心，把△ABC 放大2倍后得△A ′B ′C ′,则∠B 等于（）A ．36°B ．54°C ．72°D ．144°55．如图，∠APD ＝90°，AP ＝PB ＝BC ＝CD ，则下列结论成立的是（）A ．ΔPAB ∽ΔPCA B ．ΔPAB ∽ΔPDAC ．ΔABC ∽ΔDBAD ．ΔABC ∽ΔDCA56．如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC ∆∽ADE ∆的是（）A ．AE AC AD AB = B ．DE BC AD AB = C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠57．若正比例函数2y x =-与反比例函数k y x=的图象交于点A ，且A 点的横坐标是1-，则此反比例函数的解析式为（）A ．12y x =B ．12y x =-C ．2y x =D ．2y x=- 58．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是（）A ．6cmB ．10cmC ．32cmD ．52cm59．等腰三角形的腰长为32，底边长为6，那么底角等于（）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ．120°60．下列事件，是必然事件的是（）A ．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是1B ．掷一枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数C ．打开电视，正在播广告D ．抛掷一枚硬币，掷得的结果不是正面就是反面61．如图，扇形 OAB 的圆心角为 90°，分别以 OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么 P 和Q 的大小关系是（）A ．P=QB ．P>QC ．P<QD ．无法确定62．某飞机于空中 A 处探测到平面目标 B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC= 1200 m，那么飞机到目标B 的距离AB为（）A．2400m B．1200m C．4003 m D．12003 m 63．已知二次函数22(21)1y x a x a=+++-的最小值为 0，则a的值为（）A．34B．34-C．54D．54-64．一箱灯泡有 24 个,灯泡的合格率是87.5%，则从中任意拿出一个是次品的概率是（）A．0 B．124C．78D．1865．设有 10 个型号相同的杯子，其中一等品 7个、二等品 2个、三等品 1 个，从中任取一个杯子是一等品的概率等于（）A．310B．70lC．37D．1766．书架的第一层放有 2 本文艺书、3 本科技书，书架的第二层放有 4 本文艺书、1 本科技书，从两层各取 1 本书，恰好都是科技书的概率是（）A．325B．49C．1720D．2567．在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 2000人，其中有 250 人看中央电视台的早新闻，在该镇随机问一个人，他看早新闻的概率大约是（）A．0.75 B． 0.5 C． 0.25 D． 0.12568．有左、中、右三个抽屉,左边的抽屉里放有 2个白球，中间和右边的抽屉里各放一个红球和一个白球，从三个抽屉里任选一个球是红球的概率是（）A．14B．13C．16D．2569．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。

九年级数学易错题

九年级数学易错题一、一元二次方程部分1. 若关于公式的一元二次方程公式的常数项为公式，求公式的值。

解析：对于一元二次方程公式，在方程公式中，常数项公式。

因为常数项为公式，所以公式。

对公式进行因式分解得公式。

解得公式或公式。

又因为方程是一元二次方程，二次项系数公式，即公式。

所以公式。

2. 解方程公式。

解析：对于一元二次方程公式（这里公式，公式，公式），我们可以使用求根公式公式。

首先计算判别式公式。

然后将公式，公式，公式代入求根公式得：公式。

二、二次函数部分1. 已知二次函数公式的图象经过公式、公式，公式三点，求这个二次函数的表达式。

解析：因为二次函数公式的图象经过公式、公式，公式三点。

把公式代入公式得公式。

将公式代入公式和公式，得到方程组公式。

由公式可得公式。

将公式代入公式得：公式，公式，公式，解得公式。

把公式代入公式得公式。

所以二次函数的表达式为公式。

2. 二次函数公式的图象向左平移公式个单位，再向上平移公式个单位，得到二次函数公式的图象，求公式、公式的值。

解析：先将公式进行逆变换。

把公式向下平移公式个单位得到公式。

再将公式向右平移公式个单位，根据“左加右减”原则，得到公式。

展开公式。

所以公式，公式。

三、旋转部分1. 在平面直角坐标系中，将点公式绕原点公式逆时针旋转公式后得到点公式，求公式的坐标。

解析：设公式绕原点公式逆时针旋转公式后的点公式。

根据旋转的性质，旋转前后的点到原点的距离不变，且旋转公式后坐标的变换规律为公式变为公式。

所以公式。

2. 如图，在公式中，公式，公式，公式，将公式绕点公式逆时针旋转公式得到公式，求公式的长。

解析：因为公式，公式，公式，根据勾股定理可得公式。

由于公式绕点公式逆时针旋转公式得到公式，则公式，公式，公式。

过公式作公式交公式延长线于公式。

因为公式，公式，所以公式。

在公式和公式中，公式，公式，公式，所以公式。

则公式，公式。

公式。

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最后一课中考数学易错题
代数部分
1. 给出以下变形：
① 222
(1)222;a x ax ax a +-=++- ② 313131();a b a b
÷+=
+ ③ 331()()(3)(3)224x y x y -+=--； ④ 若22
(2)9a b +=，则23a b +=；
⑤ 若2,2xy y x ==则；其中错误的是_________（填序号）。

2、以251+-和251--的一元二次方程是＿＿＿＿
3、解方程11
12-=+-x m x x 的过程中若会产生增根，则m=＿＿＿＿ 4. 方程22(56)(56)0a a a a ---+=的整数根共有____________个。

5. 已知整数m 满足2(7)1m m +-=，那么m =_________________。

6. 已知实数x 满足等式2112x x x
=-++，那么实数x 的取值范围为_________。

7. 已知分式方程2
1212-+=--++x x a x x x x 的解比5-大且比3小, 那么字母系数a 的取值范围为______________。

8. 0=在实数范围内成立, 那么x 的值为_________。

9. 是同类二次根式, 那么x 的值为_______。

10. 已知1y 和x
1成反比例，2y 和2x 成正比例，且21y y y +=, 当1=x 时11 ,3-=-==y x y 时当, 那么当=x _______时0=y 。

11. 已知函数12(1)35(13)k y x k x
k x +=--++≤≤的图象是一条线段，那么y 的最大可
能值为_______。

12. 若抛物线22y x x m =++与坐标轴共有两个交点，则字母系数m =_______。

13. 将三枚质地均匀的硬币向上抛掷，落地后只有一枚正面向上的概率为________。

14. 已知正数,,a b c 是△ABC 三边的长，且关于x 的方程
22222()2()0a b x a ab x b c ----+=有两个相等的实数根，那么△ABC 的形状是______。

15.已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是2，方差是1，则另一组数据3x 1-2,3x 2-2,3x 3-2,3x 4-2,3x 5-2的平均数和方差分别是＿＿＿＿
16. 某人骑摩托车从A 地去距离A 地100千米的B 地参加一个紧急会议，此人于早晨9:00出发,行进半小时后发现，若按原来的速度继续行进，将会迟到30分钟，于是他把车速提高到原来的1.5倍，结果恰好准时到达，求原来的车速。

在本题中，设原来的车速为x 千米/小时，那么依题意列方程得：_________________。

17. 某铁路桥长1800米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用80秒，整列火车完全在桥上的时间为60 秒，求火车的长度。

几何部分：
1. cos 231°－2sin59°＋1=__________
2.比较大小∶ sin α＿＿＿＿tan α （α为锐角）
3.tanA=2, A
A A A c os si n c os si n -+=＿＿＿＿＿＿
4.若α为锐角，sin α＞cos30°，则α的取值范围（）
A,0＜α＜30° B,30°＜α＜60° C,α＞60° D,60°＜α＜90°
5.在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD 为斜边上的高，BD ＝3，AD ＝16／3则sinA ＝＿
6、使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中合格的是（）
7.已知点P 到⊙0最大距离为a,最小距离为b(a>b)则此圆的半径为（）
2,b
a A + 2
ab D, 2b -a 2b a C, 2b -a B ,或+
8.如图，三个半径为r 的等圆两两外切，且与△A B C 的三边分别相切，则△A B C 的边长为（）
（A ）2r (B ) (C )3r (D )
9、现有半径为R 的两圆外切，能与这两圆都相切且半径为2R 的圆共有( )
(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个
10.若b c c a a b k a b c
+++===，则k =________．
11.PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，78
∠=︒，点C是上异于A、B的任意一
APB
点，那么ACB
∠= ________．
12.若两同心圆的半径分别为2和8，第三个圆分别与两圆相切，则这个圆的半径为________．13．若一个三角形的三边都是方程212320
-+=的解，则此三角形的周长是_________．
x x
14．已知线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC=_____．
15. 在ABC
∠=︒，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF，使D、E、F分
A
△中，90
别在AB、BC、CA上，这样的四边形能作出多少个？
16. 两枚硬币总是保持相接触，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，当滚动的硬币沿固定的硬币滚动一周，回到原来的位置，滚动的那个硬币自转的圈数为_______．
17．三条直线公路相互交叉成一个三角形，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有_______处？(4)
18．等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2，则该三角形的顶角为_____．（30︒或150︒）
19.在直角三角型ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆交斜边BC于D，则△ACD与△ABD 的面积之比为 ( )
A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.3:4
20.在直角三角型ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆交斜边BC于D，则△ACD与△ABD 的面积之比为 ( )
A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.3:4。