2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题(解析版)

2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题

一、单选题

1．已知集合{}

2

450A x x x =--<，{

}

2B x x =>

，则A B =（ ）

A ．()5,+∞

B ．()

1,2

C ．()

2,5-

D ．

(

)

2,5

【答案】D

【解析】本题先求出()1,5A =-，再求出()(

)

,22,B =-∞-?+∞，最后求A B 即

可. 【详解】

解：因为{}

2

450A x x x =--<，所以()1,5A =-

因为{

}

2B x x =>，所以()(

)

,22,B =-∞-?

+∞

所以(

)

2,5A B ?=.

故选：D. 【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，是基础题.

2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数1

12

z z z +的虚部为（ ）

A ．1

B ．3

C ．1-

D ．2

【答案】B

【解析】由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可． 【详解】

由图可得，112z i =+，22z i =-，

则()()()()

112122+1251212+=12+13222+5i i z i

i z i i i i z i i i +++

=++=++=+--，所以复数1

12

z z z +

的虚部为3. 故选：B 【点睛】

本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题． 3．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（ ）（注：古代一斤是十六两） A ．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B ．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C ．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D ．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了 【答案】B

【解析】先求出张昌和李德拣了多少斤棉花，再按比例求出张昌和李德各有多少尺即可. 【详解】

九斤十二两等于9.75斤， 五斤四两等于5.25斤， 所以按张昌

9.75

10870.29.75 5.25

?=+尺，

李德

5.25

10837.89.75 5.25

?=+尺，

分配就合理了. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了合情推理，考查数据处理与运算求解能力.属于较易题. 4．已知直线l ?平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】利用线面垂直的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 充分性：直线m ⊥平面α，m ∴垂直于平面α内所有直线，

又

直线l ?平面α，∴直线m ⊥直线l ，充分性成立；

必要性：若m l ⊥且直线m ?平面α，则直线m ⊥平面α不成立，必要性不成立. 故选：A. 【点睛】

本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.

5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且cos cos b a C ac A =+，则ABC 外接圆的面积为（ ） A ．

3

π B ．

23

π C ．π

D ．

43

π 【答案】A

【解析】本题先求出3

A π

=，再求出1a =，接着求ABC 外接圆的半径，最后求ABC

外接圆的面积即可. 【详解】

因为B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+，则3

A π

=，

由正弦定理可知，sin sin cos sin cos B A C a C A =+， 解得：1a =.

所以ABC 外接圆的半径为

sin 2a A =

，

从而ABC 外接圆的面积为2

33π

π?= ??

. 故选：A. 【点睛】

本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题. 6．若函数()2x m

f x e -=，且()()2112f x f x -=-，则()()ln3ln3f f +-=（ ）

A ．0

B ．9

9e e

+

C ．12

D ．18

【解析】由()()2112f x f x -=-可知()f x 关于y 轴对称，可求出m ，即可求出函数值. 【详解】

由()()2112f x f x -=-，可知函数()2x m

f x e -=的图象关于y 轴对称，

则

02

m

=，得0m =，故()2x f x e =， ()()()2ln3ln3ln32ln3218f f f e +-===.

故选：D. 【点睛】

本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想. 7．曲线1

x y e x +=+在1x =-处的切线与曲线2y x m =+相切，则m =（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】B

【解析】先求出切线方程是22y x =+，再求切线22y x =+在曲线2

y x m =+的切点为(1,4) ，最后求出3m =即可. 【详解】

解：因为曲线1

x y e x +=+，所以11x y e +'=+，1

'

1+12x y =-==，

所以曲线1

x y e

x +=+在1x =-处的切线方程是22y x =+，

因为曲线2

y x m =+，所以2y x '=，令22y x '==，解得：1x =，

将1x =代入22y x =+得：4y =，

所以切线22y x =+在曲线2

y x m =+的切点为(1,4) 将(1,4)代入2

y x m =+得3m =. 故选：B. 【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.

8．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为

19

，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比

A．4

9

B．

1

9

C

．

9

25

D．

1

25

【答案】C

【解析】先证明PO⊥平面ABC，接着求出

219

cos

19

PAO=

∠，再得到

2

1

4

r

PO

=和1

1

4

R

PO

=，从而得到3

5

r

R

=，最后求出球

2

O与球

1

O的表面积之比即可.

【详解】

如图，取ABC的外心O，连接PO，AO，

则PO必过1O，2O，且PO⊥平面ABC，

可知PAO

∠为侧棱与底面所成的角，即

219

cos PAO=

∠.

取AB的中点M，连接PM，MC.设圆1O，2O的半径分别为R，r，

令2

OA=，则19

PA=，23

AB=，3

AM=，1

OM=，

所以

2

1

4

r OM

PO PM

==，即

2

4

PO r

=，从而

1

45

PO r r R r R

=++=+，

所以

1

1

54

R R

PO r R

==

+，则

3

5

r

R

=，

所以球2

O与球

1

O的表面积之比为9

25

.

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.

二、多选题

9．下图为某城市2017年~2019年劳动力市场供求变化统计图.

倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率=需求人数÷求职人数.它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定.根据统计图可知，该城市在2017年~2019年中（）

A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度

B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度

C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低

D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善

【答案】AD

【解析】通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项.

【详解】

通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多，故A正确；

2017年第二季度求职人数远高于岗位需求量，故B错误；

2019年第一季度供需人数高于2019年第二季度，故C错误；

通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从0.65上升到最高0.90，

并且自2018年第四季度至2019年第四季度求职倍率非常稳定，故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查统计的知识，考查数据处理能力，属于基础题.

10．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点

N .若M 为FN 的中点，则（ ）

A ．C 的准线方程为4x =-

B ．F 点的坐标为()0,4

C ．12FN =

D ．三角形ONF 的面积为162（O 为

坐标原点） 【答案】ACD

【解析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，

8FF '=，中位线62

AN FF BM '

+=

=，最后求出12FN =，162QNF S =△即

可得到答案. 【详解】

如图，不妨设点M 位于第一象限，

设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，

F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，

在直角梯形ANFF '中，中位线62

AN FF BM '

+=

=，

由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==， 故6612FN FM NM =+=+=，2212482ON =-=，

1

8241622

QNF S =??=△.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.

11．设x ，y 为实数，满足12x -≤≤，01y <≤，则（ ） A ．x y +的取值范围是(]1,3- B ．x y -的取值范围是[)2,2-

C ．xy 的取值范围是[]1,2-

D ．2

x y

的取值范围是[)1,+∞

【答案】ABC

【解析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项. 【详解】

对于D 选项，当0x =时，2

0x y

=，所以D 选项错误. 由于12x -≤≤，01y <≤，所以13x y -<+≤，所以A 选项正确. 由于12x -≤≤，10y -≤-<，所以22x y -≤-<，所以B 选项正确.

当10x -≤<、01y <≤时，10y -≤-<，则01xy <-≤，则10xy -≤<，所以xy 的取值范围是[)1,0-； 当0x =时，0xy =；

当02x <≤、01y <≤时，xy 的取值范围是(]

0,2. 综上，xy 的取值范围是[]1,2-，所以C 选项正确. 故选：ABC 【点睛】

本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

12．定义：1M 表示函数()y f x =在I 上的最大值，已知奇函数()f x 满足

()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()f x x =，正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，

则（ ） A ．[]0,2a M =

B ．[]0,4a M =

C ．a 的取值范围为[]4,9

D ．a 的取值范围为[]6,9

【答案】BD

【解析】先结合题中条件得出()f x 的最小正周期，然后再画出函数()f x 的图象，然

后结合图象进行分析即可得解 【详解】

因为()()44f x f x +=-，所以有()()8f x f x +=-， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()8f x f x +=-，

所以有()()()168f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期为16， 画出函数()f x 的图象，如图所示：

当4a <时，[]0,a M a =，显然正数a 不满足[][]0,,22a a a M M ≥， 所以4a ≥，故[]0,4a M =，

因为[][]0,,22a a a M M ≥，所以[],22a a M ≥， 即()y f x =在[],2a a 上的最大值不大于2，

故6

218

a a ≥??

≤?，所以69a ≤≤.

故选：BD . 【点睛】

本题考查对新定义以及函数的性质的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于常考题.

三、填空题

13．已知向量()1,a m =，()1,2b =-，()()

-a b a b +⊥，则m =______. 【答案】4

【解析】由()()

-a b a b +⊥可得a b =，由向量的模长公式计算即可得到答案. 【详解】

因为()()

-a b a b +⊥，所以()()

-=0a b a b +?，则a b =，即114m +=+， 所以4m =. 故答案为：4 【点睛】

本题考查平面向量的数量积公式，考查两个向量垂直条件得应用，考查运算求解能力，属于基础题.

14．将函数()()()sin 40f x x ??=+<的图象向左平移

3

π

个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则?的最大值是______.

【答案】3

π-

【解析】本题先建立方程

()43k k π?π+=∈Z ，再求()43

k k π?π=-+∈Z ，最后求?的最大值即可.

【详解】

解：由题意有：()4sin 4sin 433g x x x ππ????????

=++=++ ? ?????????奇函数， 所以()43

k k π

?π+=∈Z ， 所以()43

k k π

?π=-+∈Z ， 则?的最大值是3π

-.

故答案为：3

π

-

【点睛】

本题考查三角函数图象的变换以及性质，考查数形结合的数学思想及逻辑推理能力，是基础题.

15．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种. 【答案】16

【解析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可. 【详解】

农场主在中间共有4

424A =种站法，

农场主在中间，两名男生相邻共有22

2228A A ?=种站法， 故所求站法共有24816-=种. 故答案为：16 【点睛】

本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.

16．已知1F 为双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线

段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.

【解析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65

t a =

，1185PF a =

，285

PF a =，最后建立方程222

1212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.

【详解】

设2F 为双曲线22

221x y a b

-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.

因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，21

2

OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2

t AM =

. 因为222

OM AM OA =+，所以65t a =，则1185PF a =

，285

PF a =. 又因为2221212

PF PF F F +=，所以2

9725

e =，

即该双曲线的离心率e =

97. 【点睛】

本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.

四、解答题

17．在①22cos b c a C +=，②三角形ABC 的面积为

)

22234

a b c --，

③sin 3sin c A a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a

b ，

1c =，______？

【答案】选条件①：存在，23；选条件②：存在，23；选条件③：不存在，答案见解析.

【解析】方案一：选条件①：先求出cos A 以及A ，再求出sin B 以及B ，最后求出

3a =1b =以及ABC 的周长；方案二：选条件②：先求出tan 3A =-A ，

再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；

方案三：选条件③：先求出13b =以及33

a =31

33a b c +=+<，最后判断三角形不存在. 【详解】

解：方案一：选条件①

因为22cos b c a C +=，所以2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，整理得()sin 2cos 10C A +=.

因为sin 0C ≠，所以1

cos 2

A =-，

解得23

A π=

. 又因为3a b ，所以sin 3sin A

B ，即1sin 2

B =

，6B π=，

所以6

C π

=

，则

sin sin a c

A C

=

，得a =1b =， 所以ABC

的周长为2+. 方案二：选条件②

因为)222sin 124

ABC

a b c bc S

A --==

△，

所以

)21

2cos n 4

si bc bc A A -=

，

即tan A =， 因为()0,A π∈，所以23

A π

=

. 又因为3a b ，所以sin 3sin A

B ，即1sin 2

B =，6B π

=，

所以6

C π

=

，则

sin sin a c

A C

=

，得a =1b =， 所以ABC

的周长为2+. 方案三：选条件③

sin 3sin c A a B =，则3ac ab =，得1

33

c b ==，

因为3a

b

，所以3

a =

.

又因为1

3

a b c +=+<，则问题中的三角形不存在. 【点睛】

本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题. 18．已知数列{}n a 满足11

2

a =，且对于任意m ，*t N ∈，都有m t m t a a a +=?. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()1

1

1n n

n n b a a -+-=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（1）

1

2 n n

a=，*

n N

∈；（2）()

23

82

1

55

n

n

+

--?.

【解析】（1）先求出

1

1

2

n n

a a

+

=，*

n∈N，再判断数列{}n a是首项和公比都为12的等比数列，最后求n a即可；

（2）先求出()121

12

n n

n

b-+

?

=-，再判断数列{}n b是以32为首项，以22-为公比的等比

数列，最后求

n

T即可.

【详解】

解：（1）∵对于任意m，*

t∈N，都有m t m t

a a a

+

=?成立，

∴令m n

=，1

t=，得

11

n n

a a a

+

=?，即

1

1

2

n n

a a

+

=，*

n∈N，

∴数列{}n a是首项和公比都为12的等比数列，

∴

1

111

222

n

n n

a

-

??

=?=

?

??

，*

n∈N.

（2）∵

()

()()

1

11

121

1

1

12212

n

n n

n n n

n

n n

b

a a

-

--

++

+

-

==-??

?=-，

∴数列{}n b是以32为首项，以22-为公比的等比数列，

∴()

()

()()

32

23

1

357921

2

21282 2222121

55

12

n

n

n n

n

n

T

+

-+

??

--

??

??

=-+-++-?==--?

--

. 【点睛】

本题考查利用递推关系求通项公式，等比数列的通项公式与前n项和，是基础题. 19．如图，在直三棱柱111

ABC A B C

-中，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，1

AA的中点.

（1）证明：//

OM平面

11

CB A.

（2）若四边形11BB C C 为正方形，求平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）

1

3

. 【解析】（1）连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ，先证明1ONA M 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）连接OA ，利用已知条件得出OA ，OB ，

ON 互相垂直，建立空间坐标系，分别求出平面1MOB 和面11CB A 的法向量，根据空间

向量的夹角公式求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值. 【详解】

（1）证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ， 则N 为1CB 的中点. 因为O 为BC 的中点， 所以1//ON BB ，且11

2

ON BB =， 又11//MA BB ，111

2

MA BB =

， 所以1ONA M 为平行四边形， 即1//OM A N .

因为OM ?平面11CB A ， 所以//OM 平面11CB A .

（2）解：连接OA ，令2BC =， 因为AB AC =，O 为BC 的中点， 所以AO BC ⊥.

又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1//ON BB ， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，

分别以OB ，ON ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系O xyz -.

因为AB AC ==12BC AA ==，

所以()0,0,0O

，()11,2,0B ，()0,1,1M ，()1,0,0C -，

所以()10,1,1OM NA ==，()11,2,0OB =，()12,2,0CB =. 设平面1MOB 的法向量为(),,m x y z =，

则1

00OM m OB m ??=???=??，

即020y z x y +=??+=?

，

令1z =，可得1y =-，2x =，

所以平面1MOB 的一个法向量为()2,1,1m =-. 设平面11CB A 的法向量为(),,n a b c =， 则1100

NA n CB n ??=?

?

?=??，

即0220b c a b +=??+=?

，

令1c =，可得1b =-，1a =，

所以平面11CB A 的一个法向量为()1,1,1n =-，

2211111,cos 3

m n ?-?-+?=

=

=

， 所以平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值为13

. 【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定定理以及空间向量的应用和二面角.属于中档题. 20．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.

（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率. 【答案】（1）答案见解析，

32；（2）1

4

.

【解析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；

（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】

解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.

()0333361020C C P X C ===，()12

333

69

120

C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()30333

61

320

C C P X C ===， 所以X 的分布列为

所以()199130123202020202

E X =?

+?+?+?=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =，

当乙盒中红球个数为1时，2913

20640P =

?=， 当乙盒中红球个数为2时，3

92320620P =?=， 当乙盒中红球个数为3时，413

120640

P =?=， 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为

12341

4

P P P P +++=. 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.

21．已知椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的右顶点为A ，斜率为k （0k ≠）的直

线l 交E 于A ，B 两点，当k =时，AB =

OAB 的面积为

2

ab

（O 为坐标原点）.

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若

BF HF ⊥，且MA MO =，求k 的值.

【答案】（1）22143x y +=；

（2

）4k =-

或4

k =. 【解析】（1）先判断B 为椭圆的下顶点，再建立方程求出24a =，23b =，最后求椭圆E 的方程；

（2）先联立方程()22

1432x y y k x ?+=???=-?

，表示出22

86

43B k x k -=+和21243B k y k -=+，再表示出点M 的坐标和点H 的坐标，最后表示出FH 、BF 建立方程222491210

4343k k k k k k -??+-= ?++??

求直线l 的斜率即可. 【详解】

解：（1）因为A 是椭圆的右顶点，OAB 的面积为

2

ab

，所以B 为椭圆的下顶点.

所以2

b k a =

=

，AB ==24a =，23b =， 所以椭圆E 的方程为22

143

x y +=.

（2）设(),B B B

x y ，直线l 的方程为()2y k x =-，

由方程组()22

143

2x y y k x ?+=???=-?

，消去y ，整理得()2222

431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =或2286

43

k x k -=

+. 由题意得22

86

43

B k x k -=+，从而21243B k y k -=+. 因为MA MO =，所以M 的坐标为()1,k -，

因此直线MH 的方程为11y x k k k =-+-，则H 的坐标为10,k k ??

- ???

.

由BF HF ⊥，得0BF HF ?=.

由（1）知()1,0F ，则11,FH k k ??

=-- ???，2229412,4343k k BF k k ??-= ?++??

，

所以2224912104343k k k k k k -??

+-= ?++??

，

解得k =k =，所以直线l 的斜率k =k =

. 【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系求参数，是中档题 22．已知函数()()

()()2

2

543ln 132

f x x x x x a x =+++-

+-. （1）当8a =-时，求()f x 的单调性；

（2）如果对任意0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.

【答案】（1）在()

2

1,1e --上单调递减，在(

)

2

1,e -+∞上单调递增；（2）[)0,+∞.

【解析】（1）先求函数()f x 的定义域为()1,-+∞，再求导函数，解不等式()0f x '<和()0f x '>求()f x 的单调性即可；

（2）先建立新函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+并求导，再建立新函数

()()22ln 11

x

h x x x =+-

+，[)0,x ∈+∞并求导，接着判断当0a ≥时符合题意；当0a <时，不符合题意即可得到答案. 【详解】

解：（1）当8a =-时，()f x 的定义域为()1,-+∞，

()()()()()24ln 14824ln 12x x x x x f x =++--=++-'????，

令()0f x '=，解得21x e =-，

当211x e -<<-时，()0f x '<，则()f x 在()

2

1,1e --上单调递减；当21x e >-时，

()0f x '>，则()f x 在()21,e -+∞上单调递增.

（2）当0x ≥时，()()()24ln 14f x x x x a '=++-+.

设函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+，则()()22ln 11

x

g x x x '=+-

+. 设函数()()22ln 11

x h x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，则()()2201x h x x '=≥+，

又()()00h x h ≥=，从而()0g x '≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增.

当0a ≥时，()()00f x f a ''≥=≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，又()00f =，符合题意.

当0a <时，设()f x 在()0,∞+上的唯一零点为0x ，当[)00,x x ∈时，()0f x '<； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.

故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000f x f <=，不符合题意.

综上，a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】

本题考查利用导函数求函数的单调性，利用导函数研究不等式恒成立问题，是偏难题.