硬币滚动中的数学
六年级上册数学第四单元《圆的周长》教学反思
六年级上册数学第四单元《圆的周长》教学反思六年级上册数学第四单元《圆的周长》教学反思「篇一」[案例]师：用自己的话说一说什么是圆的周长。
（同桌间利用圆形物体互相指一指）师：对呀，圆是一个曲线图形。
你们有办法测量它的周长吗？生1：“滚动”——把实物圆（如硬币）放在直尺上滚动一周，所经过的长度即为这个圆的周长。
生2：“缠绕”——用棉线绕圆一周并打开，然后将棉线拉直，测量出它的长度就是这个圆的周长。
生3：我同意刚才两人的观点。
我还有一个建议：将一个圆纸片对折后再滚一滚或是用棉线绕一绕，把测量得出的数据再乘2就行了。
这样测量比较快。
生4：“剪圆”——沿着这个圆的边缘剪下一圈，越细越好，可以将这一圈近似地看成是一条线段，然后测出纸条的长度，即为圆的周长。
（学生根据自己的经验测量圆的周长，并进行演示。
）师：看来大家都有一个共同的愿望，把圆的周长曲线段转化成直的线段。
（板书：曲转化直）[点评]：在学生意犹未尽的时候，及时带领学生进行过程整理。
因为学生的体验一方面来自教师有意识的引导，另一方面是对经历过程所带来的情绪回味。
师：在显示生活中有许许多多大小不同的圆，如果每次测量圆周长都用大家提出的这些方法，你觉得怎样？有什么好主意吗？生：我觉得可以像其他平面图形长方形、正方形那样，研究出圆周长的计算的一般方法，这样就好办了。
[点评]：在矛盾冲突中，使学生感到“滚动”、“缠绕”等方法测量圆周长有一定的局限性。
甚至根本做不到。
从而有效地激发学生对圆周长计算公式的探究欲望，可以说是“水到渠成”。
师：你们认为圆周长与它的什么有关呢？生：我认为圆周长与它的直径有关。
通过观察，我们不难发现，直径越大的圆，它的周长也越长。
师：对呀，正方形的周长总是边长的4倍。
（出示图）猜猜看：圆周长会是直径的几倍呢？图示：生1：在这幅图中，正方形的边长与圆的直径相等，而圆正好套在正方形内，所以，我认为圆的周长小于直径的4倍。
生2：我还可以观察得出：因为圆周长的一半是打援直径的，所以我认为圆周长大于直径的2倍。
硬币滚动中的数学
r
r
B
O3
90 r 5 2 r r 180 2
第四关
如图：若AB长为2πr，点C为AB上任一点，如图所 示，这时这枚半径为r的硬币从点A到点B圆心经过 的距离 ?
r O
O1
A
C
(180 ) r 2 r 180
B
第五关：硬币在多边形上滚动
如图，如果是一任意一个周长为2πr多边形呢， 动圆圆心经过的距离 ？
结论：当硬币在多边形的外侧
上滚动时，圆心经过的距离 =
360 r 2 r 4 r 180
闯关拓展
如图，若线段AB=
4 r，则这枚半径为r的硬币
O1
从点A无滑动地滚动到点B需转 2 圈；
r
O
A
4 r
B
结论：当硬币在直线上滚动时， 圆心经过的路径长 硬币滚动的圈数 圆周长
闯关拓展
r r
第9题图
能力提高
2、（2015年恩施）如图，半径为5的半圆 的初始状态是直径平行于桌面上的直线b， 然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半 圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动 路径的长度等于 5π .
A
能力提高
3、有2016个半径为r的圆紧密排列成一条 直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这 2016个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回 到原位，则动圆C自身转动的周数为
60 2r 1 120 2r 2 2014 2 2 r 1345 180 3 180
综合应用
4、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形轨道上滚 动一个半径为10cm的圆盘，如图所示：AB与CD是水 平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm， CD=40cm，BC=40cm，圆盘从A点滚动到D点，圆心所 经过的路线的长度为多少？ C 40cm D
关于滚圆问题的若干思考
１３滚 动 和纯 滚 动 ．
圆沿着另外一个 圆的内表面滚动， 比较典型 的例子是 １９ 年 山西省的一道竞赛试题 ： ９０ 例 ２ 如 图２ 圆 的半径为 ｒ 圆（ 的半径 ， ， 二 ）
为４ ， 从图中所示位置 出发绕 圆（作无滑动 ｒ圆 ） 滚动． 要使 圆 的圆心返 回到原来位 圆 滚 置，
（） ； Ａ ３
（） ； Ｂ４
（） ； Ｃ５
（） ． Ｄ ６
点评： 这两道题 目在用词上各有特点： ｉ 例 用
不能算作是尘埃落定， 其原 因主要有两个方面： （） １一些概念在表述的时候仍显得相 当模糊；
（） 圆问题的本质还没被大家所知晓． ２滚 鉴于这种状况 ， 笔者结合物理学知识谈谈 自 己对滚 圆问题的一些认识， 供读者参考． Ｉ 有关概念的界定 ．
２ １ 年第 １ 期 ０１ ０
数 学数 学
１ ｌ ｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５ ０ 浙江省慈溪市育才中学初 中部 童浩军 １０ ３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动， 它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （ ）
问题在初中数学 中已被讨论了二十余年 （ 以下简 称“ 圆问题”． 于这 场讨论笔者认为 至今 尚 滚 ）关
现在来具体讨论滚 圆（ 以下没特别说 明， 滚
动均指纯滚动） 自转转数问题． 的 ２ 沿折线型表面滚动 ． ２１沿 直 线型 表 面滚 动 ． 如图 ３ 圆沿直线 ｆ ， 由ｏ《 位置滚动到 ｏ（ 二 ） ＝ ） 位置 （ 半径 ＯＡ相应地移到 《 的位置） 由于滚 二 ） ， 动时没有打滑， 所以（０ ：Ａ 二 Ｂ＝ Ｊ 『 ） Ｅ 的长， ｝ Ｃ 显然
综合与实践硬币滚动中的数学
圆心。
变式 问题2：如图3，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬
币从点A滚动到点B需滚动几圈？ 2圈
通过问题1和问题2, 当硬币在直线段上滚动时，
①圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度有什么关系？
②滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?
圆经过的路径长 圆心经过的路径长
硬币滚动的圈数=
圆周长
圆周长
问题3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，
如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4πr，这枚半径为r的
硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？
折线
4r
120 度
4r 2r 120 (4r 2r 120) 2r
360
360
③ α度
折线
4r
180-α
度
44rr22rr1(80 ) [4r
360
2r
180 ] 2r 360
④ α度
折线
a
180-α
度
a 2r21r8(0
小李说对了吗？
r
先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请
N
在硬币⊙M上作好记号.
实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要
图1
滚动二圈.
为什么⊙M沿着⊙N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一
圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来
学习“硬币滚动中的数学”.
要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简 单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形图2。
专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)
《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
“滚动的硬币”实验方案
“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。
玩转硬币——大班数学教案
玩转硬币——大班数学教案硬币是我们生活中不可或缺的物品，它不仅用来购买商品，还可以成为数学学习的好工具。
本教案面向大班学生，通过玩硬币来巩固他们对数学的理解，提高数学思维能力。
本教案的教学目标是让学生在玩的过程中，更好地掌握加减法和概率的概念和基本方法。
一、教学内容1.硬币的基本知识介绍硬币是什么，有哪些面值，有哪些图案和文字等。
2.硬币的加减法应用通过教师引导，学生可以完成一些基础的加减法练习。
3.硬币的概率介绍什么是概率，如何计算硬币正面和反面的概率等。
二、教学步骤1.硬币的基本知识教师可以展示一些硬币，让学生熟悉不同的面值、图案和文字。
“中国人民银行”、“中华人民共和国”等字样，可以让学生更好地了解自己的国家。
2.硬币的加减法应用教师可以通过举例子的方式，让学生掌握加减法。
例如，抛硬币的场景，让学生预测抛出正面或反面的概率，然后根据实际情况，让学生进行加减法的运算。
还可以设计多层楼梯的问题，让学生计算需要多少个硬币才能到达目标高度等。
3.硬币的概率教师可以提供一些实例，例如抛一枚硬币，问正面向上的概率是多少。
让学生自己发挥想象力，在班级组成小组，根据自己的猜测和实验结果，计算出正面和反面的概率；最终得到的结果可以通过校验，再进行讨论和总结，从而得出硬币正面和反面的概率。
三、教学特色1.激发学生兴趣我们运用教师所提供的场景和问题，在玩的过程中让学生掌握基础的加减法运算方法，引导学生来感受数学的魅力，让学生在学习中享受到快乐和竞争的乐趣。
2.开拓思维领域我们教师提供了一些场景和问题，在学生玩的同时，培养他们对各种情境的观察和思考能力；同时，我们让学生尝试寻找概率的规律和模式，让他们进一步探索和发现数学的智慧。
3.活动形式多样我们在教学中采用了包括课前预习、课上演示、小组讨论、游戏竞赛等形式，让学生有必要使用不同的技巧和方法，培养学生的多元思维能力，有针对性地提高他们在数学指标上的综合素质。
四、教学效果在本次教学活动中，学生遵循教师的引导，在玩的过程中良好的兴趣与专注力，对所学知识有了进一步的掌握和理解，同时培养了自己的创造性思维能力与实践动手操作技巧，提高了他们的数学素质，增加了对知识的记忆和掌握，激发了他们学习的激情，使选择数学成为一项喜爱的学科。
硬币滚动中的数学
10 πr 8 πr 18 πr + = = 6 π． 3 3 3 硬币运动的路程均为几段弧的长度之
和． 解决问题的关键在于确定弧所在圆的圆心角的度数 及哪几段弧 ． 点评 学生通过做实验， 画图， 观察发现硬币滚动
的过程中始终要与轨道相切， 所以当硬币要由一个圆形 到另一个圆形时， 会与这两个圆形轨道同时外切 ． 因此 就能自己发现这三个圆形圆心的连线是等边三角形， 而 得到 ∠BCD = 60 ° ， 所以 ∠ OAB = 120 ° ， 即硬币在两侧的 弧所对的圆心角是 120 ° ， 在中间所经过弧所对的圆心角 都是 60 °． （ 3 ） 由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而成的图形
（ 180 ° － ∠ BCD） πR + CD 180 ° + （ 180 ° － ∠CDE） πR +… 180 ° α1 π R α2 π R α3 π R + BC + + CD + +… 180 ° 180 ° 180 ° 360 ° πR 180 °
)
生4 ： 多了 DE， 还要加DE 的长度 ． 生5 ： 运动距离为两部分的和， 即线段的长度加弧长DE． 老师请画图的学生说明原因 ． 生6 ： ⊙ O 在线段 AC 和 BC 上滚动时， 都和直线 AC OA 始终和直线垂直， 和 BC 相切， 在运动过程中， 所以当 圆心 O 从 D 到 E 时， 多走了一段 DE， 圆心 O 在线段 AC 上移动的距离等于 AC 的长度， 在线段 BC 运动的距离等 点评
硬币运动的轨迹就是一条与运动轨道平行的线段 ． 滚动 的距离实际是圆心 O 移动的距离 、 线段的长度 ． （ 2 ） 由两条直线段组成， 其夹角为 α． 师： 当圆沿着直线 AC 和 BC 滚动时， 圆与直线是什 么位置关系？ 生： 仍然相切， 此时过切点的半径与切线垂直 ． 师： （ 1 ） 这时⊙O 滚动的距离还是等于折线段 AB 的 长度吗？ （ 2 ） 角度对滚动的距离有什么影响？ 老师示意小组合作， 动手实验 ．
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长度除以这个圆的周长.
【应用】
如图，将半径为的圆放在数轴上原点处，与数轴相切，将该圆沿数轴向右滚动一周后停止，这时它和数轴接触的点就是表示圆周率π的点.
【实践】
经观察某变速箱中太阳齿轮和行星齿轮的齿数分别为24和12，当行星齿轮绕着太阳齿轮转一周时，它将自转几圈？
【课堂小结】
交流收获. 培养学生及时总结，知识内化。
【作业】
将一枚一元硬币沿着周长为5
2
πcm的任意五边形
外缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了几圈？
继续探索，硬
币沿着折线
滚动的情形为下一节课的学习奠定基础.。