求“硬币旋转圈数问题”的另一种方法
翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍复习课程
作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。
博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。
首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？那么可能出现四种情况：硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）奇奇奇偶偶奇偶偶上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。
为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。
但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。
所以这种情况下是不可能完成任务的。
翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。
第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。
如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。
当总数为偶数（1）每次翻的个数是总数减一【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5个），问你最少要经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】本题属于归纳推理问题。
一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。
因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。
具体过程如下：故需要6次，故正确答案为B。
这类问题的解答公式为：翻动次数＝M翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。
探索硬币滚动中的数学
显然圆心运动路程（图中虚
线长）为 2π3r=6πr，则硬币
滚动的圈数=
6r
2r =
3
圈。
小组讨论：将一个半径为r的硬币绕 由7个半径均为r的圆形连贯而成的图 形边缘上滚动，硬币滚动 6 圈。
圆心运动路程（图中虚线长）为 12πr ，
因此，硬币滚动
12r 2r
=6
圈。
将一个半径为r的硬币绕由由6个半径均 为r的圆形相拼而成的图形边缘上滚动， 硬币滚动 6 圈。
发现：硬币的圆心的运动路程（图中虚线 长）是 2π2r＝4πr 。
[得出结论]
硬币圆心运动路程 硬币圆周长 倍数 硬币滚动圈数
2πr
2πr
1
1
7 r
2πr
11
11
3
6
6
4πr
2πr
2
2
4πr
2πr
2
2
圆心运动的路程
规律：硬币滚动的圈数= 硬币的周长 。
[拓展练习 ]
1、将一个半径为r的硬币绕一个半径为2r的圆 形滚动，硬币滚动 3 圈（自转 3 周）
2πr+
。 60 2r＝ 7 2r
360
6
即 11 圈。
6
小组讨论：将一个半径为r的硬币沿一个 周长为2πr的多边形外围上滚动，硬币滚 动 2圈。
O
发现：硬币圆周上的圆心的运动路程（图
中虚线长）是 4πr
。
将一个半径为r的硬币绕一个半径为r 的圆形边缘上滚动，硬币滚动 2 圈。
O r r
探索《硬币滚动中的数学》 P75
[自转] 自转指天体绕着天体的轴心转动。
• 硬币自转指硬币绕着圆心旋转，自转一圈 指旋转3600。
硬币翻转问题
• （3）m 为偶数，n 为奇数时，无解。 ） 为偶数， 为奇数时，无解。 为偶数，每翻一次， 因为 m 为偶数，每翻一次，总是将 m/2-k 个反面翻成 正面， 个正面翻成反面（ 正面，将 m/2+k 个正面翻成反面（其中 k＝ ＝ 0,±1,±2,…）。 ± ± ） 这样每做一次， 个正面， 如果 k≥0 ，这样每做一次，就减少 2k 个正面，增加 2k 反面。 个反面。 这样每做一次， 个正面， 如果 k≤0 ，这样每做一次，就增加 -2k 个正面，减少 2k 个反面。 个反面。 不管怎样翻 每次正面数只能增减偶数个， 不管怎样翻，每次正面数只能增减偶数个，由于原来正 为奇数，所以，不管怎样翻，它总是奇数， 面个数 n 为奇数，所以，不管怎样翻，它总是奇数，不 会等于 0 。
• （1） m 为奇数时，有解。 ） 为奇数时，有解。 • 一种可行的解法为： 一种可行的解法为： 个硬币从正面翻成反面。 先将 m 个硬币从正面翻成反面。 然后每次将 (m-1)/2 个反面翻成正面，将 (m+1)/2 个反面翻成正面， 个正面翻成反面，这样每做一次， 个正面， 个正面翻成反面，这样每做一次，就减少 1 个正面， 个反面。 增加 1 个反面。 个时， 直到剩下的正面个数恰好是 m 个时，一下子将这 m 个正面翻成反面，就达到了目的 目的。 个正面翻成反面，就达到了目的。
硬币翻转问题
• n个硬币 开始都正面朝上 现在每轮把其中 个硬币,开始都正面朝上 个硬币 开始都正面朝上,现在每轮把其中 个翻转,希望最后全部反面向上 的m(2m<n)个翻转 希望最后全部反面向上 个翻转 希望最后全部反面向上. • 试建立数学模型 研究 试建立数学模型,研究 研究m,n在什么条件下 此 在什么条件下,此 在什么条件下 问题有解或无解? 问题有解解。 ） ， 都是偶数时，有解。 一种可行的解法为： 一种可行的解法为： 个硬币从正面翻成反面。 先将 m 个硬币从正面翻成反面。 个反面翻成正面， 然后每次将 m/2-1 个反面翻成正面，将 m/2+1 个正 面翻成反面，这样每做一次， 个正面， 面翻成反面，这样每做一次，就减少 2 个正面，增 个反面。 加 2 个反面。 个时（ 为偶数， 直到剩下的正面个数恰好是 m 个时（因为 n 为偶数， 这总可以做到）， ），一下子将这 个正面翻成反面， 这总可以做到），一下子将这 m 个正面翻成反面， 就达到了目的。 就达到了目的。
翻转硬币 编程题目
翻转硬币编程题目翻转硬币是一个经典的编程问题，通常用于考察算法和数据结构。
以下是一个简单的Python解决方案，该解决方案使用递归来翻转硬币。
假设我们有n个硬币，我们希望翻转这些硬币，并使得每面都出现相同次数。
这是一个递归的问题，我们可以定义一个函数来翻转硬币。
如果我们只有一个硬币，那么翻转它就很容易。
如果我们有多个硬币，我们可以选择翻转整个堆或翻转堆中的一半。
如果我们翻转整个堆，那么我们将增加堆中正面朝上的硬币的数量。
如果我们翻转堆中的一半，那么我们将增加堆中正面朝上的硬币的数量，并减少堆中正面朝下的硬币的数量。
以下是Python代码：```pythondef flip(coins, n):基本情况：如果只有一个硬币，那么翻转它if n == 1:return coins[0]递归情况1：翻转整个堆flip_all = flip(coins, n // 2) + (1 if flip_all == 0 else 0)递归情况2：翻转堆的一半flip_half = flip(coins[n // 2:], n // 2) + (1 if flip_half == 0 else 0) 返回翻转的结果return max(flip_all, flip_half)```在这个函数中，我们首先检查基本情况。
如果只有一个硬币，那么我们只需翻转它。
然后我们有两个递归情况。
在第一种情况下，我们翻转整个堆。
在第二种情况下，我们翻转堆的一半。
最后，我们返回两种情况中的最大值。
这个函数的时间复杂度是O(2^n)，因为它可能会尝试所有可能的翻转方式。
硬币翻转问题
硬币翻转问题全面分析（黑体字一定要看）现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？A.5次B. 6次C.7次D.8次当M为偶数时，N有以下几种情况：（1） N＝M－1例如：现有6个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这6个硬币全部反面朝上？A 5次B 6次C 7次D 8次这种情况是固定的答案就是M次（2）N>M/2 但不满足N＝M－1，例如：现有8个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这8个硬币全部反面朝上？注： 5>8/2, 且5不等于7 满足条件的。
这种情况我总结了一个公式为结果＝（M－N）÷2＋2，（前面除以2部分要采用四舍五入）解析：（8－5）÷2＋2＝4次（3）N<M/2我们根据逆向思维原则，可以反过来利用（2）的公式求解，例如：现有8个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转3个硬币（必须翻转3个），问你最少经过几次翻转才可以使这8个硬币全部反面朝上？3<8/2, 满足条件。
我们注意到：8＝3＋5，因此每次翻转3个，和每次翻转5个是相同的效果，次数一样。
故而转化为（2）的方式求解。
还是4次。
当M为奇数的时候，N也有如下几种情况：（1）N>M/2例如：现有11个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转7个硬币（必须翻转7个），问你最少经过几次翻转才可以使这11个硬币全部反面朝上？这种情况的结果固定为3.（2）N<M/2例如：现有11个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这11个硬币全部反面朝上？我们可以发现 11＝5＋6，我们先转换1次剩下的6个再每次转换5个，就变成了偶数情况，但是注意，其结果并不是1＋6＝7，当剩下的结果比翻转次数大1，那么其结果只需再＋2即可那么答案就是1＋2＝3次。
翻硬币问题(精)
翻硬币问题桌面上有n枚硬币, 初态是全部正面向上,现让你每轮把其中的m (2m≤n)枚翻转,希望最终全部反面向上. 请建立数学模型研究n, m 在什么条件下此问题有解或无解.解答：1．概念与性质定义：纯翻转-------m个都是正面的一轮翻转；(混合)翻转------取a (>0)个正面，m-a个反面的一轮翻转.显然，纯翻转是混合翻转的特例（a=m）.设=+，（1）n sm t≤<, s为正整数.其中，t为n除以m的余数，0t m记变量k表示当前的正面数.显然，从开始，经过s轮纯翻转后k=t; 当k=0时，就成功了.性质1. 选a个正面和m-a个反面的一轮翻转后，正面数的变化量为.k m a∆=-，（2）2∆=-.特别是，做纯翻转时，k m性质2. 当k(<2m)为偶数时，只需再翻两轮必会成功.证明：若k=m , 则做一轮纯翻转必成功.≠，则先选k/2个正面和m-k/2个反面做一轮翻转，若k m１（注：因2m<n<2n-k, 故2m<2n-k, 2m-k<2n-2k, m-k/2<n-k, n-k是反面数，即这样选取是可行的. ）则翻转后的正面数k k k k m k m=+∆=+-='()k=，就成功了.再做一轮纯翻转，"0≠时，只翻一轮必定未能成功，故翻两轮必是最佳方法因为k m（轮数最少）2．情形一，m是奇数（不论n是奇数还是偶数）.先做s-1轮纯翻转，得k=m+t. 只有如下3种可能：（ⅰ）t=0. k=m, 再做一轮纯翻转就成功.（ⅱ）t (<m)是奇数. k已是偶数，且m<k<2m.由性质2，只需再翻两轮必会成功.（ⅲ）t (<m)是偶数. 再做一轮纯翻转后化为k=t. 由性质2，只需再翻两轮必会成功.3．情形二，n，m都是偶数. 由(1)式知t是偶数或0, 经s轮纯翻转后，k=t，由性质2，至多再翻两轮就会成功.4．情形三，n是奇数，m是偶数. 由(1)式知t是奇数, 由(2)式知, k∆是偶数或0，故无论翻转多少轮，k始终是奇数, 不会出现k=0, 即不会成功.２5．综合6. 例子例1．n=8，m=3, s=2, t=2. 翻4轮必成功0------正面，1------反面例2 . n=7，m=3, s=2, t=1. 翻3轮必成功３４推广把以上的条件2m ≤n , 改为 m ≤n 。
翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍
作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。
博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。
首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？那么可能出现四种情况：硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）奇奇奇偶偶奇偶偶上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。
为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。
但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。
所以这种情况下是不可能完成任务的。
翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。
第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。
如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。
当总数为偶数（1）每次翻的个数是总数减一【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】本题属于归纳推理问题。
一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。
因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。
具体过程如下：故需要6次，故正确答案为B。
这类问题的解答公式为：翻动次数＝M翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。
（2）除了上述以外情况，要计算翻动次数，我们采用余数分析法。
趣谈硬币翻动问题
趣谈硬币翻动问题摘要：本文拟通过分类讨论、逐次压缩等方法给出硬币翻动问题的最优解，并给出翻动方法。
关键词：硬币翻动问题有一次，几个朋友聚在一起做这样一个游戏：现有13枚全部正面向上的硬币，每次连续翻动3枚不同硬币，使之反面向上，要求要最少的翻动次数将所有的硬币反面向上，怎样翻动？朋友们都将13枚硬币全部翻为反面向上，但是对于自己翻动的次数是不是最少，却不敢肯定，看到笔者来之后，异口同声地说：数学教师来了，一定有给一个正确答案。
在略思片刻之后，笔者给出了正确的翻动方法，并说出了理由。
朋友们听完之后，拿着答案高兴地离开了，令笔者悲哀的是，没有一个人问14枚、15枚…n枚时，结果又是多少？现在我们将问题变为：现有n（n≥3）枚全部正面向上的硬币，每次连续翻动3枚不同硬币，使之反面向上，至少要作几次翻动恰能使所有的硬币反面向上？我们不妨将n进行分类。
情形一：当n=3k（k∈N*）时最少次数为k，且k 次恰能翻完。
证明：若翻动次数为m，则共翻动3m枚次硬币。
又3m≥3k，m最小为k。
此时只需每枚硬币不重复翻动即可。
若翻动次数为m且m<k，则共翻动硬币3m 枚，此时3m<3k，没翻动完。
故最少次数为k，且k 次恰能翻完。
情形二：当n=3k+1 （k∈N*）时，①若n=4时，至少要4次，且恰好4次可翻完所有硬币。
不妨用“1”表正面向上，“0” 表反面向上，其情形如下表：第一次：显然应该如此。
第二次：必动一个正面向上者。
不然就回到开始情形。
第三次：必动两个反面向上者。
不然就回到第一次的情形。
故当n=4时，至少要4次，且恰好4次可翻完所有硬币。
②若n=3k+1 （k≥2 k∈N*）,由1可知k次不可能翻完，翻动次数至少为k+1次。
现在给一种方法，使这3k+1枚硬币恰好k+1次翻完。
翻动方法如下：第一次：翻动3枚，余下3（k-1）+1枚正面向上。
第二次：翻动3枚反面向上的硬币中的一枚，同时翻动3（k-1）+1枚正面向上的硬币中的任意2枚，此时恰有3（k-1）枚正面向上。
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“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法
2004年《小学数学教师》第5期77
这题的答案是2
明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。
而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。
我认为还有更直观易懂的方法去解释它。
一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
”
二、证明：“如右图，圆和这条直线相切于A 点，这
个圆从A 点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切
于A 点，这时圆心所经过路径长度为线段OO 的长度，
圆周所滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个长度
是一样的。
事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。
因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。
利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样
去理解的：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚
动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所
经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆，如右图，设
这个大圆的半径为R ，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过
轨迹的长度=2πR 。
利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径
（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。
所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR ，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr （本圆的周长）。
这儿R=2r ，所以2πR 是2πr 的2倍，2πR ÷2πr =2，即硬币乙一共旋转了2圈。
用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。
例1：取八个大小相同的硬币，摆成右图形状。
最上端那个硬币（圆A ）顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。
问硬币A 自己一共转了几圈？
分析与解答：设每个硬币直径为1，当圆A 转至A 位置（此时圆A 与
圆B 和圆C 都相切）时，圆A 始终以圆B 的圆心为圆心，1为半径旋
转且旋转了60，这个轨迹的长度为2×π×1× = 。
可以
看出，圆A 顺着6个硬币旋转一周，所滚过的路径长度为12× = 4π，而硬币A 自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π, 因此硬币A 一共转了4π÷π=4（圈）。
例2：如右图所示，如果圆O 周长为20π厘米，有两个同样大小的小圆A 、B ，其半径为2厘米，小圆A 沿圆
O 的内壁滚动，小圆B 沿圆O 的外壁滚动，小圆B 转动几圈
后回到原来的位置？小圆B 转动几圈后回到原来的位置？小圆
A 转动几圈后回到原来的位置？
分析与解答：圆O 的半径为20π÷π÷2=10厘米，当小圆B 沿圆O 的外壁滚动再回到原来位置时，小圆B 的圆心所经过的轨迹为“以O 为圆心，以（10+2）厘米为半径的圆。
”这个轨迹长度为2×12×π，而这个长度也等于小圆B 的圆周滚过的长度，而小圆B 自己转一圈的长度为2×2×π，（2×12×π）÷（2×2×π）=6圈。
小圆A 沿圆O 内壁滚动再回到原来位置时，小圆A 的圆心的运动轨迹为“以O 为圆心，以（10－2）厘米为半径的圆。
”所以小圆A 的圆心共经过了2×8×π厘米，（2×8×π）÷（2×2×π）=4圈。
推广到更一般的情况：当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R 甲+ R 乙）÷（2πR 乙）=（R 甲+ R 乙）÷R 乙，在圆甲的内
圆周作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R 甲- R 乙）÷（2πR 乙）
=（R 甲－R 乙）÷R 乙，（R 甲＞R 乙），用这种方法解题更直观简便且操作性强。
现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题，最后所附其余题目可以自己思考。
1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动，大轮的半径是小轮的直径。
小轮滚动一周回到原来位置时，小轮自己旋转了几圈？（第9届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题）
解答：R=2r ，（R- r ）÷r=1圈。
2、如右图，在一边长为8.28厘米的正方形内有一个半径为1
厘米的小圆，小圆紧贴正
方形的内壁滚动一周，小圆自己要转几圈？
解答：小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后，圆心经过
的轨迹为一个边长6.28厘米(8.28－1－1)的正方形，
其长度为6.28×4=25.12厘米，这个长度也等于小圆
的圆周一共所滚过的长度。
小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28厘米, 25.12÷6.28=4圈。