第2章习题解a

第二章 动量守衡 质点动力学
2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g ⋅cm/s 的电子，同
时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g ⋅cm/s 的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。

解: 衰变过程是: e v e B A ++→-，由动量守衡得 .0=++v e B P P P 大小：
e B P P =-==s cm g s cm g /1065.10/1033.522.9161622⋅⨯=⋅⨯+=--.
方向
: 3022
.933.51
1
===--tg tg
θ； 15030180=-=ϕ, 1203090=+=φ.
2-2 质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上。

质量为m ，速率为v 0的子弹水平地入射到
木块内(见本题图)并与它一起运动。

求 (1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。

解:(1)设木块的速率为v , 由动量守衡: v m M mv )(0+=；
得0v m M m v +=， 木块的动量0v m M Mm mv p +==木，子弹的动量02
v m
M m mv p +==子.
(2)子弹施予木块的冲量为 00v m
M Mm
P I +=-=木木.
2-3 如本题图，已知绳的最大强度T 0 = 1.00 kg ，m = 500g , l = 30.0cm ，开始时m 静止。

水
平冲量I 等于多大才能把绳子打断？
解: 要求向心力mg T e v m F ->=02
，即要求l m mg T v ->0，l m
mg T m mv I ->-=00.
故 l mg T m I )(0-=
s m kg /86.0]
100.30)8.9105008.91(10500[2
1233⋅=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=---
2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。

木块的质量分别为m 1
和m 2；设子弹透过两木块的时间间隔为t 1和t 2，子弹在木块中所受阻力为恒力f ，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动.
解: 当子弹穿出m 1时, m 1与 m 2一起运动, 故 1211)(v m m ft +=; 2
11
1m m ft v +=
.
当子弹穿出m 2时, 12222v m v m ft -=，解得 2
22112212m ft
m m ft m ft v v ++=+=.
2-5 质量70kg 的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg ．若渔人在船上向船头走
4.0m 后停止。

试问：以岸为参考系，渔人走了多远？
解: 设人向右走,对岸速度为v 人 , 相对船的速度为u 人 , 船向左行,对岸的速度为v 船 ;
则v 人 = -v 船+u 人 .
水平方向动量守恒 : ｍ船v 船 - ｍ人(-v 船 + u 人) = (ｍ船 +ｍ人)v 船-ｍ人u 人 = 0.
两边积分得:人对船人船人船人人船人船S m S m m dt u m dt v m m t
t
=+⇒=+⎰
⎰
)()(0
.
由此可得 m S m m m S 4.14200
70
=⨯=+=人对船人船人船 (对岸)
m S S dt u dt v dt v S t
t
t
6.244.10
=+-=+-=+==
⎰
⎰⎰人对船船人船人人 (对岸).
2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s ．当两船擦肩相遇
时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s ．设甲船空载质量为50kg ，货物质量为60kg ，求乙船质量。

解: 已知 m 甲=500 kg , m 货= 60 kg , v 甲0= v 乙0= v 0 = 6.0 m/s , v 乙= 4.0 m/s ；待求：m 乙 。

忽略水中阻力,两船作为一个系统,其 动量守衡. 即: (m 甲+ m 货)v 0 - m 乙v 0 = m 甲v 0 - ( m 乙+m 货) v ；
kg m v v v v m 300604
64
600=⨯-+=-+=
∴货乙乙乙.
2-7 三只质量均为M 的小船鱼贯而行，速率均为v ．由中间那只船上同时以水平速率M (相
对于船)把两质量均为m 的物体分别抛到前后两只船上。

求此后三只船的速率。

解: 设前v 、中v
、后v 分别为前、中、后三船的待求速度. u 与v 同向时为正, 反之为负. 由水平方向的动量守衡定律,有:
前: 前中v m M u v m v M
)()(+=++,
中: ）中中中u v m u v m v m M v M ++-+-+()()2(,
后: 后中v m M u v m v M
)()(+=-+;
可推出: 前v = u m M m v ++
, 中v
= v , 后v = u m
M m v +-. ∵u 的正方向与v
同向,∴三船的速率分别为:
u m M m v v ++
=前, v v =中, u m
M m v v +-=后.
2-8 一质量为M 的有轨板车上有n 个人，各人质量均为m ．开始时板车静止。

(1) 若所有人
一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u ，求跳离后车子的速度；(2) 若n 个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u ，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解: (1) 人跳离后车子的速度为v ，由水平方向的动量守恒得:
0)(=++u v Nm Mv , 即 u Nm
M Nm v
+-
= (1)
(2) 第一人跳:0)(])1([11=++-+u v m v m N M ，得 u Nm
M m
v +-
=1 (2) 第二人跳: 122])1([)(])2([v m N M u v m v m N M
-+=++-+
得 ()u m
N M Nm M m u m N M m v v ])1(1
1[112-+++-=-+-
= (3)
最后一个人跳: 1)()(-+=++n n n v m M u v m v M
,由此可得 u m
M m m M m m N M Nm M m u m M m v v n n ]2)1(11[1+++++-+++-=+-=- (4)
这是车子最后速度的表达式.
(3) 比较(1)式和(4)式, 显然有v v n
>. 即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车子最后获得更大的动能.
2-9 一炮弹以速率v 0和仰角θ0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块 (见本题图)，
其中一块以速率v 1铅垂下落，求另一块的速率v 2及速度与水平方向的夹角 (忽略空气阻力)。

解: 炮弹在最高点时00cos θv v x =,0=y v .
在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡：
i mv j mv i mv v v m x y x =+=+))(2
1
(21.
即 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-===1220021sin 210cos 21cos m v
m v m v m v m v x ααθ ，或 02
20212cos 4θv v v +=.
∴ 2
012110011cos 2cos
sin cos 2v v v v v v tg θθα---===。

2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g ，枪口速度
为900m/s 。

解: 设平均反冲力为 F = 射击时所需的平均力, 则机枪的动量变化为 =t F 子弹的动量变化 = 240 mv – 0 = 240 mv ,
N t mv F 3660
900
10102402403=⨯⨯⨯==∴-. 2-11 一起始质量为M 0的火箭以恒定率 |d M /d t | = u 排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的
速率为v 0．(a) 计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b) 如果v 0=2000m/s ，则对于一个质量为100 t 的这种火箭，要给以等于0.5g 的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg 的燃料？
解: (1) 仿照书上p.50的推导,可得火箭经过dt 时间后动量的改变为
dt F dM v v md P P
=+=-00 , 由此可得 F dM v dt
v d m =+0. 在发射台附近, M=M 0 , μ=dt
dM , F = M 0g , 方向向下与F v 0
; 0a dt dv =设, 则有: g M v a M 0000-=-μ, g M v
a -=μ0
00.
(2) 由上述式子可见 s kg g a v M /7358.9)15.0(2000
10100)(3
000=⨯+⨯=+=μ.。