2015-2016(1)期末考试试卷(A)(高等数学)
2017-2018-1《高等数学 ( I ) 》期末考试试卷A
北京化工大学2017——2018学年第一学期《高等数学（I ）》期终考试试卷A班级： 姓名： 学号： 分数：一、填空题（3分×6=18分）1．若0x →时，1cos x -与kx 为同阶无穷小，则k = ；2. 1x =为函数 sin ()1xf x x π=-的 间断点；3．设231()1x xf x dt t=+⎰，则(1)f '=； 4．曲线ln(y x =在点(0,0)处的曲率k = ； 5．120171(x dx-+=⎰；6．微分方程 20y y y '''-+= 的通解为 。
二、解答题(6分×7=42分) 1. 求极限 0sin 22sin limtan x x xx x→--2. 设函数()y y x =由方程lncos sec x t y a t=⎧⎨=⎩确定，若()y y x =为微分方程x dyy e dx -=+的解，求常数a 的值。
3. 求不定积分ln(1dx +⎰4. 将函数()arctan f x x = 展开为带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式。
5.求曲线24(1)y x =--与22(2)y x =-- 围成的平面图形的面积。
6.求曲线22ln 1yx x =+-上拐点处的切线方程。
7. 计算曲线3sin ,(0)3a a θρ=>相应于03θπ≤≤的一段弧的长度。
三．解答题（7分×5=35分）1. 设101()10x xx xf x x e e -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，计算2(1)f x dx -∞-⎰。
2. 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解。
3. 求由曲线sin ,cos ,(0)2y x y x x π==≤≤及直线0,2x x π==围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
4. 设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰。
2015-2016高等数学(上)期末试题A卷解答与评分标准
2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分） （6 分）
2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分） （2 分）
解 设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页 西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解 原式 x 2 x arctanx
x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x
由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。
（8 分）
大学一年级《高等数学》期末考试卷(五套)
一、填空题（4'⨯6=24'）：1、已知直线过点(1,3,2)P -,且与平面427x y z ++=垂直,则直线方程为 ．2、曲线20z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的曲面方程为 ．3、反常积分11pdx x +∞⎰当 p 时收敛． 4、设二次积分10(,)xI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I= ．5、已知级数12n n u ∞==∑，则级数11()2n n n u ∞=+=∑ ． 6、微分方程22x y y y e '''+-=的特解可设为 ． 二、选择题（'35⨯＝15'）：1.设a 和b 是向量，则()(2)a b a b +⨯+=（ ）（A ）a b ⨯ ；（B ）3a b ⨯ ；（C ）b a ⨯ ； （D ）223a a b b +⨯+ ．2、微分方程34"'(")30y y y y x ++-=的阶数是 （ ）． （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4．3、已知2ln(),z x y =+则2z x y∂=∂∂ （ ）． （A ）222()x x y -+； （B ）22()x x y -+； （C ）22()x x y +； （D ）221()x y +．4、设'00(,)0x f x y =，'00(,)0y f x y =，则在点00(,)x y 处函数(,)f x y （ ）．（A ）连续；（B ）一定取得极值；（C ）可能取得极值； （D ）全微分为零．5、设积分区域22:3D x y +≤，则二重积分(3)Ddxdy -⎰⎰ （ ）．（A ）9π-； （B ）3π-；（C ）3π；（D ）9π．三、计算题（6'4⨯=24'）： 1、已知(1)x yz xy +=+，求函数z 在点(1,1)P 处的偏导数zx∂∂； 2、设ln 0x z z y -=，求z zz y x y∂∂-∂∂；3、求幂级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域；4、将函数()ln(4)f x x =-在1x =处展开成幂级数． 四、（7'） 求微分方程'23xy y x +=的通解． 五、计算二重积分：（7'214'⨯=）1、计算2Dy d σ⎰⎰，其中D 是由直线,y x =2y x =2y =及所围成的闭区域．2、计算arctan Dyd x σ⎰⎰，其中D 是由圆22221,4x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的第一象限部分．六、应用题：（8'216'⨯=）1、某厂要用铁板作成一个体积为32m 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？2、求由曲线22,8,y x y x == 所围成的图形x 绕轴旋转一周所得旋转体的体积．一、选择题（'35⨯＝15'）：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是 （ ）．（A ）22149x y -+=；（B ）22223x y z +=；（C ）22z x y =-；（D ）22224x y z -+=．2、二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处满足关系 （ ）．（A ）可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）；（B ）可微⇒可导⇒连续； （C ）可微⇒可导，且可微⇒连续，但可导不一定连续；（D ）可导⇒连续，但可导不一定可微．3、若函数(,)y y x z =由方程x y xyz e +=所确定，则yx∂=∂ （ ）．（A ）(1)(1)y x x y --； （B ）(1)y x y -； （C ）1yz y -； （D ）(1)(1)y xz x y --．4、微分方程2"2'35x y y y e -+=的一个特解为 （ ）．（A ）259x e ； （B ）253x e ； （C ）22x e ； （D ）252x e ．5、设无穷级数311p n n ∞-=∑收敛，则（ ）．（A ）1p >； （B ）3p <； （C ）2p >； （D ）2p <．二、填空题（4'⨯7=28'）： 1、,,,a b c →→→为单位向量，且满足0a b c →→→++=则a b b c c a →→→→→→++= . 2、函数22(,)f x y =的定义域是 ．3、设函数22x y z e +=,则全微分dz = ．4、(,)(0,3)sin limx y xyx→= ． 5、若(,)f x y 在区域22:14D x y ≤+≤上恒等于1，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰ ．6、幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径R = ． 7、微分方程"8'160y y y -+=的通解为 ． 三、计算题（6'4⨯=24'）：1、求直线234:112x y z L ---==与平面:260x y z π++-=的交点坐标； 2、设函数(,,)u f x y z =可微，22z x y =-，求u x ∂∂，uy∂∂；3、判断级数21(1)1nn n ∞=-+∑的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛；4、将函数2()ln(1)f x x =+展开为x 的幂级数． 四、（6'）求函数22(,)4()2f x y x y x y =---的极值．五、（7'）求微分方程()230x y dx xdy -+=的通解．六、计算下列积分： 1、（7'）计算(2)Dy x d σ-⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =和直线2y x =+所围成的闭区域．2、（7'）求旋转抛物面224z x y =--和平面0z =围成的立体的体积．3、（6'）求由曲线1y x=，直线4y x =，2x =，0y =所围成的平面图形的面积．3一、填空题（4'⨯6='24）：1、经过z 轴和点(3,1,2)--的平面方程为____________ ．2、设22(,)4()f x y x y x y =---，则其驻点为 ．3、设(,)z f x y =而sin ,t x t t y e =+=，则全导数dzdt= . 4、微分方程'sin 0y y e x -=的通解为 ． 5、设二次积分ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰，则交换积分次序后得I = .6、级数13nn q∞=∑收敛，则q 的取值为 ．二、选择题（'35⨯＝15'）：1、下列三元数组中，哪组可作为向量的方向余弦 （ ）． （A ）212{,,}333-； （B ）11{1,,}22-；（C ）11{,,1}23； （D ）11{,,3}32．2、二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数 '00(,)x f x y 和'00(,)y f x y 存在是函数在该点全微分存在的（ ）．（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件． 3、下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为 （ ）．（A ）()()0x y x y x y e e dx e e dy ++-+-=； （B ）)(ln xy dxdy=； （C ）3()0xdy y x dx -+=； （D ）422dy x y dx xy+=． 4、级数11121(1)2n n n k ∞--=--∑（k 为常数） （ ）． （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）敛散性与k 有关． 5、设:01,0D x y x ≤≤≤≤，则4Dd σ=⎰⎰（ ）．（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）4．三、计算题（6'⨯4=24'）：1、已知方程22243x y y z +-+=确定函数(,)z z x y =,求z zx y∂∂∂∂和； 2、设(cos sin )xz e y x y =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂；3、求二元函数3322339z x y x y x =-++-的极值.4、将函数()ln(3)f x x x =-展开为x 的幂级数. 四、（7'）求微分方程2"'2xy y y e +-=的通解． 五、计算二重积分：（7'214'⨯=） 1．计算22Dx d yσ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域． 2．计算二重积分22x y DI e dxdy +=⎰⎰，D 为圆221x y +=所包围的第一象限中的闭区域．六、应用题：1、（8'）在所有对角线为2、（7'）求椭圆22221x y a b+= (0,0)a b >>围成的平面图形分别绕x 轴、绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.4一、填空题（4'⨯7=28'）：1、设有平面:210x y z π-+-=和直线116:112x y z L -+-==-,则π与L 的夹角为 ． 2、曲面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线在xoy 面上的投影曲线为-----------3、设函数(1)x z y =+，则(1,1)|dz = ．4、设222()u f x y z =+-，其中f 为可微函数，则uz∂=∂ ． 5、交换积分次序：2220(,)yydy f x y dx =⎰⎰ ．6、设a 为常数，若级数1()nn ua ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= ．7、微分方程"5'60y y y -+=的通解为y = ． 二、选择题（'36⨯＝18'）：1、设向量2a i j k =-+ ，49b i j k =++ ，则 （ ）．（A ）//a b （B ）||||a b > （C ）||||a b = ； （D ）a b ⊥2、在(1,1)-内，幂级数2461x x x -+-++ 的和函数为（ ）．（A ）211x -；（B ）211x --；（C ）211x +； （D ）211x -+．3设D 是由222x y x +=围成的闭区域，则(,)Df x y d σ⎰⎰化成极坐标系下的累次积分为 （ ）（A ）2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； （B ）2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰；（C ）2sin 22(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； （D ）2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．4、微分方程'cot 0y y x -=的通解是 （ ）．（A ）cot y x =； （B ）sin y C x =； （C ）tan y C x =； （D ）csc y C x =．5、函数22(6)(4)z x x y y =--驻点个数为（ ）．（A ）6； （B ）5； （C ）4； （D ）3．6、下列无穷级数中，绝对收敛的是 （ ）．（A ）21sin n n n ∞=∑； （B）11n n -∞=； （C ）11(1)n n n -∞=-∑； （D ）2211n n n ∞=+∑． 三、计算题（6'3⨯=18'）：1、设ln()yz x x y =-，求z x ∂∂，z y∂∂；2、设222234x y z -++=，求(1,1,1)z x ∂∂，(1,1,1)zy∂∂；3、讨论级数()11121nn n ∞=--∑的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛. 四、（7'）求微分方程'tan y yy x x=+的通解．五、（8'）设某工厂生产某产品的数量S ()吨与所用的两种原料A ，B 的数量,x y （吨）之间的关系式2(,)0.005S x y x y =。
历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案
2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。
高数下期末考试试题及答案解析讲解学习
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),fx y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D ）(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).（A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y =，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂．解： 2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解：5．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12nn n ∞=∑的和． 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰Ñ，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)． 解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰Ñ，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2y x = 2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数； （C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).（A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点.5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰Ñ（D ）(A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12． 7．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ） （A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散；（B ）若级数21nn a∞=∑发散，则级数1nn a∞=∑也发散；（C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛；（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。
2015-2016(1)高等数学期末试卷(A)答案
诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2015—2016学年第一学期期末考试试卷《高等数学》开课单位: 计算分院；考试形式:闭卷；考试时间:_2015_年_1_月_19_日;所需时间: 120 分钟一．单项选择题(（本大题共10小题，每题2分，共20分）1、函数1ln 1xy x+=-为 …………………………………………………（ a. ）.a. 奇函数 b . 偶函数 c .非奇非偶函数 d .既是奇函数，也是偶函数2、 下列各式中等于e 的是……………………………………………………………（ c ）.a . 1lim(1)x x x -→∞+b . 11lim(1)x x x →+ c. 10lim(1)x x x →+ d .22lim(1)xx x→∞+3、一元函数()f x 在点0x x =处可导是()f x 在该点处连续的……………………… ( a.).a. 充分条件.b.必要条件.c.充要条件. d.既非充分又非必要条件.4、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x '=……………………………………（ c ）..sin .sin .sin .cos a x cb xc xd x +-5、若()F x =⎰，则()dF x dx= ……………………………………………（ d. ）.a. b d6、设,TTA B 分别是方阵,A B 的转置矩阵，下列命题中必定成立的是……………… (c) a. AB BA = b. TTTTA B B A =c. ()T T T AB B A =d. T TAB B A =7、如果A 是一个n 阶方阵，k 是一个常数，则kA = ……………………………… ( d. )...n a k Ab nk Ac k Ad k A8、000000000000ab c d 的值为…………………………………………………………（ c ）..0...a b ac abcd d abcd -9、一次随机地掷两枚均匀骰子（每个骰子1~6点），则出现两枚骰子点数之和大于9的概率为 ……………………………………………………………………………………（ b ） a .311 b . 16 c. 17 d . 1310、袋中有4个红球，2个绿球，从中任抽一个球，抽后不放回，然后再从袋中随机抽一个球，则抽得的第二个球为绿球的概率是…………………………………………………… ( a. ). a .13 b.16 c. 19 d. 115二．填空（本大题共10小题，每小题３分，共30分）1、 2221lim 3x x x x →∞-=+___ _23______ . 2、 若函数1sin 3, 0() , 0x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，则k =____3______3、函数()f x =dy2 .4、 函数3xy e =的n 阶导数为 33n xe .5、1x x +=⎰ 2ln 5x x C + . 6、 2x xe dx =⎰ 212x e C + .7、20cos x xdx π⎰＝12π- .8、 212410139xx =，则x = 2或3 .9、 一个口袋中装有6个黑球，4个白球，从中有放回．．．地任取3个球，则取得的3个球恰好 有2个是黑球的概率为54125. 10、3封信随机地投入5个邮筒，则至少有一个邮筒有二封或二封以上信的概率为1325.三.计算下列各题(本大题共3 小题,每小题 ５ 分，共15 分)1、计算 ln(1)lim x x e x→+∞+解：ln(1)lim lim lim 11x x xx x x x x e e e xe e →+∞→+∞→+∞+===+２、求曲线ln 1xy y +=在点(1,1)处的切线方程.解：两边关于x 求导：10,y xy y y''++⋅= 2,1y y xy '=-+在点(1,1)处斜率：1,2k =-切线方程: 11(1),2y x -=-- 即：230,x y +-=３、在抛物线24y x =上，找出到定点(10,0)P 最近的点.24(,)(10,0)0,8,8(8,y x x y P s ds dx dsx dxx ====⇒==±解：曲线任意点到点的距离令=得 由问题实际意义知，是最小点， 因此点为四.计算题(本大题共３小题,第１、２小题每题 5 分，第３小题7分共17分)1、求不定积分2(1)xdx x -⎰.解：2221111(1)(1)1(1)1ln 11x x dx dx dxx x x x x Cx -+==+----=--+-⎰⎰⎰ 2、设21,0;1()0;x x f x x ⎧≤⎪+=>，求11()f x dx -⎰.解：10111021013210()()()112arctan (13)91449f x dx f x dx f x dxdx x x x π----=+=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰ 3、设曲线21y x =+在点12（，）处的切线为l ，求：(1) l 的方程；(2)由该曲线、切线l 及y 轴所围成的平面图形的面积。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--的值为（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分）1241(sin )x x x dx -+=⎰.3. （3分） 21lim sinx x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx xC =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln xy +=，则='y.3． =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4．曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线方程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 .6．=+⎰dx x x21arctan .二、单项选择题（每小题4分，共20分）1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；() C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-；() C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）. () A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1．求极限：xx x 1sinlim 2→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '.3. 求函数xxy sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx xx 221. 5.⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、（10分）已知2x e为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线xxe y -=的拐点及凹凸区间.六、 （10分）设()()C ex dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → =_____e 1________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _______.9131-=x y __（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A)()0f x'. (B) ()0f x'-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→. 解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分 =x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------⎰⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x⎰+--=30)11(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------⎰⎰分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) (3) 求D 的面积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y ----2分xyxyO1e1D（2） 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 212)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+ 解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1xe x ≥+。
大一下高等数学期末试卷
大一下高等数学期末试卷篇一：大一下学期高等数学期末考试试题及答案高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院（系）别班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足a?b?0，a?2，b?2，则a?b??3z2、设z?xln(xy)，则? 2?x?y3、曲面x2?y2?z?9在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?)上的表达式为f(x)?x，则f(x)的傅里叶级数在x?3处收敛于，在x??处收敛于．5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则?(x?y)ds?．L※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）222??2x?3y?z?91、求曲线?2在点M0(1,?1,2)处的切线及法平面方程．22??z?3x?y2、求由曲面z?2x?2y及z?6?x?y所围成的立体体积．3、判定级数2222?(?1)nlnn?1?n?1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？nx?z?2z4、设z?f(xy,)?siny，其中f具有二阶连续偏导数，求．,y?x?x?y5、计算曲面积分dS2222,其中是球面被平面z?h(0?h?a)截出的顶部．x?y?z?a???z?三、（本题满分9分）抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、（本题满分10分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设
y
t3
3t
确定函数y
y
(
x),
求
dy dx
,
d2 dx
y
2
．
班级：
考试课程：
5. 设 y y x 由方程 x e2 y 4 2e xy 确定，求该曲线过点（1,0）的切线方程。
6. ex 1dx
7 求 ex (tan ex e（x 1 2 ln x）) d x.
x
1
8. 求 x arctan xdx． 0
学号：
姓名：
注：1、考生必须在《武汉轻工大学学生考试答题纸》上答题，答题时需注明大、小 题号；填空题只填答案，主观题要有必要的过程。
2、答题纸上要填写姓名、班级、学号，答题纸共 1 页。
3、只交答题纸。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
试证
g
x
f
x
x
,
x
0
具有连续的一阶导数．
f 0, x 0
第 2 页(共 ) 第 1 页(共 1 页)
1 设 f ( x) 的定义域是[0 , 1] ，则 f (x 2 ) 的定义域是 _________
2
已知
f
(x)
lim x(t t t
x )t x
，则
f
( x)
。
3 点 (1,1) 为曲线 y x3 ax 2 bx 的拐点，则 a
。
4
函数
f
(x)
x2 2x x2 4
的铅垂渐近线为
9.
将y
1 x2
展为关于 x 1的幂级数,并指出成立的区间。
xn
10.
求幂级数
n1
n5n
的收敛域及和函数。
三 应用题（7 分）
求曲线 y x2 与直线 y x 2 所围的平面图形的面积及该图形绕 x 轴旋转一周所成的立体体
积． 四 证明题（7 分）
设 f x 在 , 内具有连续的二阶导数，且 f 0 0
。
5设F(x)
x sin t 2dt
0
x3
，x 0 ，则当F(x)在x 0处连续时，a ______ 。
a ，x 0
6
2 x x 2 2 x2
dx
。
7 已知 cos x 是f (x)的一个原函数, 则
x
f (x)
cos x x
dx
________。
8
f(x)来自0, x,0x x
0,
S(x)
是其以 2
为周期的傅立叶级数的和函数，则
S(5 ) 2
=
二、解答题（每小题 7 分，共 70 分）
1.
求极限 xlim1(1
1
x
1
3 x3
)
2.
求极限 lim x
ln sin x ( 2x)
2
2
3 若 y f (e2x ) f 二阶可导，求y, y．
4.
x tet 1
武汉轻工大学 2015 –2016 学年第 1 学期 高等数学 1 期末考试试卷 A
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------