2019届高考数学二轮复习圆锥曲线小题专项练课件(23张)(全国通用)
①椭圆:������ 2 + ������ 2 =1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)或������ 2 + ������ 2 =1(a>b>0)(焦
点在 y 轴上);
������ 2 ������ 2
������ 2
������ 2
������ 2
������ 2
②双曲线:������ 2 − ������ 2 =1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或������ 2 −
专题七 解析几何
7.1 圆锥曲线小题专 项练
-3-
1.若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则 l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1. 2.直线方程:平面内所有直线都适用一般式:Ax+By+C=0.点斜式、 斜截式要求直线不能与x轴垂直;两点式要求直线不能与坐标轴垂 直;截距式要求直线不能过原点,也不能与坐标轴垂直. 3.两个距离公式:两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离
=1(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上);
������ 2
������ 2
������ 2
③抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
-6-
6.圆锥曲线的几何性质
(1)在椭圆中:a =b +c ,离心率为 e=������ =
2 2 2
解析
2������ 2������ ������ 2 +������ 2
=
22 -12 =
关闭
答案
-17一 二
11.双曲线 范围是( A.(1, 3)
������ 2 ������ 2
− )
������ 2 ������ 2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作 x
π
轴的垂线交双曲线于 A,B 两点,若∠AF2B<3 ,则双曲线离心率的取值 B.(1, 6) C.(1,2 3) D.( 3,3 3)
cos(180° -θ)= θ. ������ 又 cos θ=������ ,
������ 2 +������ 2 -( 6������ )2 2������������
=
������ 2 -5������ 2 2������������
=-cos
∴
������ 2 -5������ 2 2������������
A 渐近线方程为 y=± 2x. ∴
������
������ 2
������ 2 +������ 2
������ 2 ������
+1=3.∴ = 2.
������
������
关闭
解析
答案
-10一 二
4.已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的 距离为( ) A.3
B
解析
关闭
答案
-8一 二
2.(2018 上海,13)设 P 是椭圆 两个焦点的距离之和为( A.2 2 B.2 3
������ 2 5
+
������ 2 3
=1 上的动点,则点 P 到该椭圆的 D.4 2
) C.2 5
关闭
由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点 P 到两个焦点的距离之和为 2a=2 5,故选 C. C
������ 2
������ 2
关闭
因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1. 又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A. A
解析
关闭
答案
-14一 二
8.已知圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1 和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.7 B.8 C.10 D.13
3
������ 2 ������ 2
−
������ 2 ������ 2
=1(a>0,b>0)的左、 右焦点,点 M 在 E
1 3
上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( C. 3 D.2
)
关闭
因为 MF1 垂直于 x 轴,所以|MF1|= ������ ,|MF2|=2a+ ������ . 因为 sin ∠MF2F1=3,所以|������������ | =
10.若双曲线 C:������ 2 − ������ 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所 截得的弦长为 2,则 C 的离心率为 ( A.2 B. 3 C. 2 ) D.
2 3 3
������ 2
������ 2
关闭
可知双曲线 C 的渐近线方程为 bx± ay=0,取其中的一条渐近线方程 为 bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为 3,即 ������ = 3,所以 c=2a,即 e=2,故选 A. A
+
2 3 3
=
21 3
.
解析
答案
-11一 二
5.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(
)
A.2 6
B.8
C.4 6
D.10
关闭
设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点 A,B,C 代入,得 ������ + 3������ + ������ + 10 = 0, ������ = -2, 4������ + 2������ + ������ + 20 = 0,解得 ������ = 4, 则圆的方程为 ������-7������ + ������ + 50 = 0, ������ = -20, x2+y2-2x+4y-20=0. 令 x=0 得 y2+4y-20=0,设 M(0,y1),N(0,y2),则 y1,y2 是方程 y2+4y-20=0 的两根,由根与系数的关系,得 y1+y2=-4,y1y2=-20,故
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)· (x-x2)+(y-y1)(yy2)=0.
-5-
5.圆锥曲线的定义与标准方程 (1)圆锥曲线的定义 ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|); ③抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. (2)圆锥曲线的标准方程
关闭
由题意,将 x=-c 代入双曲线的方程,得
������ 2 2 2 y =b
∴|AB|=
2������ 2 ������
������ 2
-1 = ������ 2 ,
π
������ 4
.
������ 2 ������
∵过焦点 F1 且垂直于 x 轴的弦为 AB,若∠AF2B<3 , ∴tan∠AF2F1= 2������ < ∴ A 2������������ <
2
������ 2
������ 2
1
|������������1 |
������ 2 2������ + ������
������ 2 ������
= 3,化简得 b=a,故双曲线的
关闭
1
离心率 e= = ������ A
������
1+
������ 2 ������ 2
= 2.
解析
答案
-16一 二
3.两个距离公式:两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离
|AB|= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 ;点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=
|������������ 0 +������������0 +������| ������ 2 +������ 2
������ 2 -������ 2 3 1 2 3 1
,e=������ >1, 3
3 3
3
������
, e-
2������
<
,解得 e∈(1, 3).故选 A.
解析
关闭
答案
-18一 二
12.(2018 全国Ⅲ,理 11)设 F1,F2 是双曲线 C:
������ 2
������ 2
−
������ 2 ������ 2
=1(a>0,b>0)的左、
右焦点,O 是坐标原点,过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若 关闭 |PF1|= 6|OP|,则 C 的离心率为( ) 由题意画图,如图所示,|PF2|=b,|OP|=a, A. 5 B.2 C. 3 D. 2 由题意,得|PF1|= 6a. 设双曲线的渐近线 OP 的倾斜角为 θ. ∴在△OPF1 中,由余弦定理知
1.(2018 浙江,2)双曲线 3 -y2=1 的焦点坐标是( A.(- 2,0),( 2,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- 2),(0, 2) D.(0,-2),(0,2)
������ 2
(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理
专题十二圆锥曲线的方程与性质[题组全练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．② 联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)． 答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[由题知法][例1] (2018·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a ，所以e ＝ca＝2.[答案] A[例2] (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.[答案] D[例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.[答案] C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用e ＝1＋b 2a2求离心率． 3．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p； (4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选 B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM ―→＝λMF ―→，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ， |OM |＝a ，OM ⊥PF ， 所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b－b ，所以λ＝|PM ―→||MF ―→|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.3．已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为 B.过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，22 解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c2b .∴m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<12，又e >0，∴0<e <22.4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1， 由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |， 又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|， 所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：43[多维例析]角度一 直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解] (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题设条件知，4a ＝8，a ＝2， 2×12×2c ×b ＝23，b 2＋c 2＝a 2＝4， 所以b ＝3，c ＝1或b ＝1，c ＝3(经检验不合题意，舍去)， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)． 当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.① 由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得x 204＋y 203＝1，可得4y 20＋3x 20＝12.于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0， 解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x4y 0可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)． [类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二 弦长及面积问题[例2] (2018·兰州检测)已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝3S ，求直线l 的斜率．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零， 所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2. 设C (x ，y )，又OC ―→＝λOM ―→(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202＋y 20＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM ―→||MC ―→|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝ 2 λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以 2 λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1， 所以直线l 的斜率为±1.[类题通法] 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．角度三 弦的中点问题[例3] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝a －b 1＋a 2，k 2＝b－12－12＝－b ， 又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ， 所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △P Q F ＝|a －b |2，所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ， 即|a －b |2＝2×12×|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， 解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 又2a ＋b ＝1y，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1. [类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|， 所以∠B 1AB 2＝90°， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P ―→＝(x 1－2，y 1)， B 2Q ―→＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P ―→·B 2Q ―→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥Q B 2，得B 2P ―→·B 2Q ―→＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b 2a ＋c ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin∠APM12|PB |·|PN |·sin∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3. 又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)， PN ―→＝(x 2，y 2＋1)， 则x 1＝－λ2x 2，即x 1x 2＝－λ2，所以x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝－λ2＋2－2λ＝－8k24k 2＋3，即－λ2λ＝16k 24k 2＋3. 因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1<－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)[解析] 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．[例2] (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解析] 法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |－|MF |cos 60°＝2， 由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. [答案] C[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．[例3] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ， 得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.[答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且F 2Q ―→＝Q M ―→，则E 的离心率为( )A. 5B.15 C ．2 3D.10解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|， ∴|MN |＝45c ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0. ∵F 2Q ―→＝Q M ―→，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02分别代入E 的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4c 225a 2－y 2b2＝1，9c 2100a 2－y204b 2＝1，∴c 2a2＝15，∴e ＝15. 2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p2，因为点A (－2,3)在准线上， 所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)． 设切线方程为y －3＝k (x ＋2)， 代入y 2＝8x ，消去x ，化简得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由Δ＝1－4×k 8×(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝12，因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中得y ＝8，再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为8－08－2＝43.3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2ma2＋y 2mb2＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－1625，则大椭圆的离心率为( )A.35B.34C.45D.74解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为x 2ma2＋y 2mb2＝1，则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －ma ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2k 21＋b 2)x 2－2mk 21a 3x ＋m 2k 21a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(－2mk 21a 3)2－4(k 21a 2＋b 2)(m 2k 21a 4－a 2b 2)＝0，化简得k 21a 2－m 2k 21a 2＋b 2＝0⇒k 21＝b 2a 2·1m 2－1，设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k 22＝b 2a2(m 2－1)，∴k 21k 22＝b 2a 2·1m 2－1·b 2a 2(m 2－1)＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16252，∴b a ＝45，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝35.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|N Q|＝12|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4， 又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1. 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)， 所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为 B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )， 则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2m ＋.又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204. 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ， 即A 2M ―→·A 2P ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2m ＋·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1， 由11a2＋1＝32，解得a ＝3， 故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋ 3 OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1， 即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216 ＝－4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋2 2－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x ，解得x＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝ca≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ， 因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |， 又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ， 故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a . 法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝2m ， 连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(2m )2－2(m －2a )·2m ·cos 135°，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102， 即双曲线的离心率为102. 法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2， 则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ， |RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2， 化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。
2019届二轮复习 圆锥曲线小题专项练 课件(23张)(全国通用)
(A2+B2≠0).
2 2
4.圆的方程:(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
(2)一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0,圆心为 - 2 ,- 2 ,半径为
������ 2 +������ 2 -4������ 2
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������
(D2+E2-4F>0).
|AB|= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 ;点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=
|������������ 0 +������������0 +������| ������ 2 +������ 2
(A2+B2≠0).
-4-
������
1-
������ 2 ������
.
������ 2 ������
(2)在双曲线中:c =a +b ,离心率为 e=������ =
2 2 2
������
1+
,渐近线方程
为 y=± x 或 y=± x. ������ ������
������
������
-7一 二
一、选择题(共12小题,满分60分)
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)· (x-x2)+(y-y1)(yy2)=0.
-5-
5.圆锥曲线的定义与标准方程 (1)圆锥曲线的定义 ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|); ③抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. (2)圆锥曲线的标准方程
(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质讲义理(重点生,含解析)
专题十二圆锥曲线的方程与性质[题组全练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即m ＋4＝2a .①在△PF 1F 2中，由余弦定理得42＋m 2－2×m ×4×cos 120°＝4(a 2－2)．② 联立①②，解得a ＝3.2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.3．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：44．(2018·合肥质检)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线P Q ，垂足为Q.若四边形AFP Q 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x >0，y >0，由抛物线的定义知|PF |＝|P Q|＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|Q A |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＋2＋y ＝16，y 2＝4x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4,4)． 答案：(4,4)[系统方法]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[由题知法][例1] (2018·陕西质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2D. 5[解析] 因为OM ⊥PF ，且M 为FP 的中点，所以△POF 为等腰直角三角形，即∠PFO ＝45°，则不妨令切线FM 的方程为x ＋y ＝c ，由圆心到切线的距离等于半径得c2＝a ，所以e ＝ca＝2.[答案] A[例2] (2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 如图，作PB ⊥x 轴于点B.由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.[答案] D[例3] 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203[学解题]法一：直接法(学生用书不提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.法二：性质法(学生用书提供解题过程)如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.[答案] C [类题通法]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值或范围．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用e ＝1＋b 2a2求离心率． 3．抛物线焦点弦的性质若线段AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)焦半径|AF |＝x 1＋p2；(3)1|AF |＋1|BF |＝2p； (4)弦长l ＝x 1＋x 2＋p .当弦AB ⊥x 轴时，弦长最短为2p ，此时的弦又叫通径．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选 B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.2．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM ―→＝λMF ―→，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 如图，|OF |＝c ， |OM |＝a ，OM ⊥PF ， 所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b－b ，所以λ＝|PM ―→||MF ―→|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b 2.因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.3．已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为 B.过F ，B ，C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )，当m ＋n >0时，椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，22 解析：选A 由题意知F ，B ，C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，则FC ，BC 的垂直平分线分别为x ＝1－c 2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－c2，y ＝b 2－c2b .∴m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，整理得(1＋b )(b －c )>0，∴b >c ，从而b 2>c 2，即a 2>2c 2，∴e 2<12，又e >0，∴0<e <22.4．(2019届高三·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→|＝________.解析：过点P 作PP 1垂直准线于P 1， 由FM ―→＝3FP ―→，得|PM |＝2|PF |， 又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|， 所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP ―→|＝43.答案：43[多维例析]角度一 直线与圆锥曲线的交点个数问题[例1] 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e <22.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，直线l 的方程为3x 0x ＋4y 0y －12＝0，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．[解] (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题设条件知，4a ＝8，a ＝2， 2×12×2c ×b ＝23，b 2＋c 2＝a 2＝4， 所以b ＝3，c ＝1或b ＝1，c ＝3(经检验不合题意，舍去)， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当y 0＝0时，由x 204＋y 203＝1，可得x 0＝±2，当x 0＝2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(2,0)． 当x 0＝－2，y 0＝0时，直线l 的方程为x ＝－2，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点(－2,0)．当y 0≠0时，直线l 的方程为y ＝12－3x 0x 4y 0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12－3x 0x 4y 0，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4y 20＋3x 20)x 2－24x 0x ＋48－16y 20＝0.① 由点P (x 0，y 0)为椭圆C 上一点，得x 204＋y 203＝1，可得4y 20＋3x 20＝12.于是方程①可以化简为x 2－2x 0x ＋x 20＝0， 解得x ＝x 0，将x ＝x 0代入方程y ＝12－3x 0x4y 0可得y ＝y 0，故直线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (x 0，y 0)，综上，直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，且交点为P (x 0，y 0)． [类题通法]直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度二 弦长及面积问题[例2] (2018·兰州检测)已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足：a 2＝3S ，求直线l 的斜率．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零， 所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 可得y 0＝－mm 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2. 设C (x ，y )，又OC ―→＝λOM ―→(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202＋y 20＝1⇒m 2＋2＝λ2.①设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM ―→||MC ―→|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得，h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝22＋m 2m 2＋2＝22λ2－λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2λ2－λ2·λλ2－1＝ 2 λ2－1λ. 由题意知，S ＝a 23＝23，所以 2 λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m ＝±1， 所以直线l 的斜率为±1.[类题通法] 弦长问题的解题策略(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．角度三 弦的中点问题[例3] 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是P Q 的中点，证明：AR ∥F Q ；(2)若△P Q F 的面积是△ABF 面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.(1)证明：记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线F Q 的斜率为k 2，所以k 1＝a －b 1＋a 2，k 2＝b－12－12＝－b ， 又因为ab ＋1＝0，所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ， 所以k 1＝k 2，即AR ∥F Q.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △P Q F ＝|a －b |2，所以由题意可得S △P Q F ＝2S △ABF ， 即|a －b |2＝2×12×|a －b |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， 解得x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 又2a ＋b ＝1y，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1. [类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )．其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．[综合训练]1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使得PB 2⊥Q B 2，求直线l 的方程．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，且|AB 1|＝|AB 2|， 所以∠B 1AB 2＝90°， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.由c 2＝a 2－b 2，得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2. 由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，所以a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程并整理得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P ―→＝(x 1－2，y 1)， B 2Q ―→＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P ―→·B 2Q ―→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥Q B 2，得B 2P ―→·B 2Q ―→＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线l 有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b 2a ＋c ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin∠APM12|PB |·|PN |·sin∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3. 又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)， PN ―→＝(x 2，y 2＋1)， 则x 1＝－λ2x 2，即x 1x 2＝－λ2，所以x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋2＋x 2x 1＝－λ2＋2－2λ＝－8k24k 2＋3，即－λ2λ＝16k 24k 2＋3. 因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k2＋4∈(1,4)，则1<－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23)．[典例细解][例1] (2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)[解析] 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A ，B 为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m 与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．[例2] (2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3[解析] 法一：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |－|MF |cos 60°＝2， 由抛物线的定义，得|MN |＝|MF |＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. [答案] C[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．[例3] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ， 得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13.[答案] A[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．[综合训练]1．(2018·福州模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在E 上，MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|，线段F 2M 交E 于点Q ，且F 2Q ―→＝Q M ―→，则E 的离心率为( )A. 5B.15 C ．2 3D.10解析：选B 设双曲线E 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵MN ∥F 1F 2，|MN |＝25|F 1F 2|， ∴|MN |＝45c ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0. ∵F 2Q ―→＝Q M ―→，∴Q 是线段F 2M 的中点，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02.把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 5，y 0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 10，y 02分别代入E 的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4c 225a 2－y 2b2＝1，9c 2100a 2－y204b 2＝1，∴c 2a2＝15，∴e ＝15. 2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：选D 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p2，因为点A (－2,3)在准线上， 所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)． 设切线方程为y －3＝k (x ＋2)， 代入y 2＝8x ，消去x ，化简得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由Δ＝1－4×k 8×(2k ＋3)＝0，得k ＝－2或k ＝12，因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中得y ＝8，再将y ＝8代入y 2＝8x 中，得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为8－08－2＝43.3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2ma2＋y 2mb2＝1(a >b >0，m >1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC ，BD ，若AC ，BD 的斜率之积恒为－1625，则大椭圆的离心率为( )A.35B.34C.45D.74解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为x 2ma2＋y 2mb2＝1，则A (ma,0)，B (0，mb )，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －ma ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2k 21＋b 2)x 2－2mk 21a 3x ＋m 2k 21a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(－2mk 21a 3)2－4(k 21a 2＋b 2)(m 2k 21a 4－a 2b 2)＝0，化简得k 21a 2－m 2k 21a 2＋b 2＝0⇒k 21＝b 2a 2·1m 2－1，设直线BD 的斜率为k 2，同理可得k 22＝b 2a2(m 2－1)，∴k 21k 22＝b 2a 2·1m 2－1·b 2a 2(m 2－1)＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16252，∴b a ＝45，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝35.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)一、全练保分考法——保大分1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，其关于双曲线C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝π3，b a ＝tan π3＝3，双曲线C 的离心率e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x . 4．(2018·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选B 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，Q ，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|N Q|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|N Q|＝12|MN |，所以∠MN Q ＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cosπ4，化简得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4， 又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 6．(2018·长春质检)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A 不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1. 7．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)， 所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2. 易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2＝32. 答案：329．(2019届高三·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为 B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )， 则2a ＋2c ＝6.①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a .②又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2m ＋.又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204. 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ， 即A 2M ―→·A 2P ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2m ＋·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0. 又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以14m －72＝0，解得m ＝14.11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP ―→＝2PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1，即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，又原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA ―→＋3OB ―→ －2OC ―→＝0，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆E 的短轴长为2，∴b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1， 由11a2＋1＝32，解得a ＝3， 故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2消去x ，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①∵OA ―→＋ 3 OB ―→－2OC ―→＝0， ∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 1＋32y 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1， 即t ＝1或t ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.二、强化压轴考法——拉开分1．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b.在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ，所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca＝ 3.2．(2018·合肥质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)． 3．(2019届高三·辽宁五校协作体联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→＝2AG ―→，则(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：选B 由AB ―→＝2AG ―→知G 是线段AB 的中点， ∴OG ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2＝(OA ―→－OB ―→)2－(OA ―→＋OB ―→)2＝－4OA ―→·OB ―→. 由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∴－4OA ―→·OB ―→＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋x 21x 2216 ＝－4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋2 2－4＝16－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋22≤16，∴(OA ―→－OB ―→)2－4OG ―→2的最大值为16.4．(2018·合肥检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643B.323C.3239D.6439解析：选C 因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1,0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x ，解得x＝13或x ＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝3239. 5．已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点O ，过点O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－2,0)，B (2,0)，C (1，3)．设以A ，B 为焦点的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4－a 2，当x ＝1时，y 2＝a 2＋4a 2－5.要使双曲线与线段CD (包括端点C ，D )有两个交点，则a 2＋4a2－5≥3，解得a 2≥4＋23或0＜a 2≤4－23，由a 2≥4＋23得a ≥3＋1＞2，舍去，∴a 2≤4－23，即0＜a ≤3－1.∴双曲线的离心率e ＝ca≥23－1＝3＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[3＋1，＋∞)．答案：[3＋1，＋∞)6．(2018·洛阳统考)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P (x 0，y 0)是双曲线C 右支上的一点，连接PF 1并过F 1作垂直于PF 1的直线交双曲线左支于R ，Q ，其中R (－x 0，－y 0)，△Q F 1P 为等腰三角形，则双曲线C 的离心率为________．解析：设O 为坐标原点，连接OP ，OR ，F 2P ，F 2R ， 因为P ，R 关于原点对称，所以|OP |＝|OR |， 又|OF 1|＝|OF 2|，PF 1⊥R Q ， 故四边形F 1RF 2P 为矩形．设|PF 1|＝m ，由双曲线的定义，得|PF 2|＝m －2a . 法一：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，|P Q|＝2m ， 连接Q F 2，则|Q F 2|＝m ＋2a .在△Q PF 2中，∠Q PF 2＝45°＋90°＝135°，由余弦定理得(m ＋2a )2＝(m －2a )2＋(2m )2－2(m －2a )·2m ·cos 135°，化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102， 即双曲线的离心率为102. 法二：因为△Q F 1P 为等腰直角三角形， 所以|Q F 1|＝|PF 1|＝m ，连接Q F 2， 则在Rt △Q RF 2中，|R Q|＝2m －2a ， |RF 2|＝m ，|Q F 2|＝m ＋2a ，由勾股定理得(2m －2a )2＋m 2＝(m ＋2a )2， 化简得m ＝3a .在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以(3a )2＋a 2＝(2c )2，即5a 2＝2c 2，c a ＝102，即双曲线的离心率为10 2.答案：10 2。
2019年高考数学(文)专题复习习题课件：7.2 圆锥曲线的标准方程与性质(共54张PPT)
如图所示,可知 P(1,2),故1 =2,解得 k=2,故选 D.
������
-6-
10)若双曲线 x - =1 的离心率为 3,则实数 m= 3.(2017 北京· ������
答案:2
2 2 ������
.
解析:由题意知 a=1,b= ������,m>0,c= ������2 + ������2 = 1 + ������,则离心率 ������ e= = 1 + ������ = 3,解得 m=2.
2 3
−
������ 2
C.x - =1
答案:C
2 2 ������
D.
−
3 ������ 2
3 2
=1 =1-1ຫໍສະໝຸດ -解析:由双曲线 C:������ 2 ������ 2
−
������ 2 ������ 2
=1(a>0,b>0)过点( 2, 3),且实轴的两个端
������ 2 - ������ 2 ������ ������ 2
������
-7-
4.(2016 山东· 14)已知双曲线 E:
������ 2 ������ 2
−
������ 2 ������ 2
=1(a>0,b>0).矩形 ABCD 的
四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E . 的离心率是 答案:2 解析:由题意不妨设AB=3,则BC=2. 设AB,CD的中点分别为M,N,如图, 则在Rt△BMN中,MN=2,
������ 2 ������ 2 ������ 2 9
������ 2
������ 2
2019届二轮复习 圆锥曲线的综合应用 课件(38张)(全国通用)
答案 16
x2 y2 3.(2017· 全国Ⅲ卷改编)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以 线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为________.
解析 以线段 A1A2 为直径的圆是 x2＋y2＝a2，直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，所以圆 心(0，0)到直线的距离 d＝ c2 2 c 6 ＝ ， e ＝ a＝ 3 . a2 3 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝a，整理为 a ＝3b ，即 a ＝3(a －c )⇒2a ＝3c ，即 a ＋b
得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，由韦达定 1 2·2＋4 2k2＋4 k 理得 x1＋x2＝ k2 ，同理 x3＋x4＝ 1 ，根据抛物线性质，有 AB＝x1＋1＋x2＋1， k2
1 2· 2k2＋4 k2＋4 4 同理 DE＝ x3 ＋1＋ x4＋1，∴AB ＋DE＝2 4 2 4×4＝16，当且仅当k2＝4k2 即 k＝±1 时取等号.
答案
2 3 3
知识梳 理
1.定点定值问题
方法一：先特殊后一般，要加以证明； 方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题. 2.最值问题：(1)代数法：先建立起目标函数，再求这个函数的最 值，最值常用基本不等式法、二次函数法、导数法求解；(2)几 何法：若条件、结论有明显的几何特征，则根据几何意义求最 值．
3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定 参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心
高三数二轮专题复习通用课件圆锥曲线
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在轨迹C上， ∴有yy1222＝ ＝44xx12， ，① ② 由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)． 当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意， ∴yx11－ －yx22＝y1＋4 y2＝1，即直线AB的斜率k＝1， 注意到点N在曲线C的张口内(或：经检验，直线m与轨迹 C相交)， ∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y－2＝x －4，即x－y－2＝0.
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
(2013·辽宁文，15)已知F为双曲线C：
x2 9
－
y2 16
＝1的左焦
点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)
在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
[答案] 44
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭 圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA， PB，分别与两圆相交于M、N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最 小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接PA，PB并延长，分别与两圆 相交于M′、N′两点，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为 |PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4,8.
核心整合
专题五 第二讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
知识方法整合
椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
椭圆 双曲线
抛物线
定义
|PF1| ＋ ||PF1| － 定点 F 和定直线 l，
|PF2| ＝ |PF2|| ＝ 点 F 不在直线 l 上，
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR＝22
11＋＋mm3322－＋11＝1＋2
2 1＋m32－1.
基础知识
题型分类 第18页，共88页。 思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
此时 1＋m32>1，且 1＋m32≠2，
所以 1<1＋ 2
1＋2 m32－1<3，且
1＋ 2
1＋2 m32－1≠53，
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32， 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程；
思维启迪
解析
探究提高
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率，通过推理计算消参．
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
互为相反数，证明直线 EF 的斜率
圆锥曲线中的探索性问题
难圆点锥正 曲本线P中1的(疑x函点1数清，思源想y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
圆锥曲线中的探索性问题
1＋k |x －x | ＝ 圆数直锥学线曲 和线圆R 中锥A（的曲文探线）索问性题问解题法的2一般1规律
2
圆锥曲线中的范围、最值问题
1 圆锥曲线中的范围、最值问题
p y0.
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否成立．
基础知识
题型分类 第6页，共88页。 思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案
(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分专题十三圆锥曲线的综合问题讲义理(重点生,含解析)
专题十三圆锥曲线的综合问题卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题·T19直线与抛物线的位置关系、弦长问题、抛物线与圆的综合问题·T19直线与椭圆的位置关系、不等式的证明与平面向量综合问题·T202017椭圆的标准方程、直线过定点问题·T20轨迹问题、直线过定点问题·T20直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程·T202016轨迹问题、定值问题、面积的取值范围问题·T20直线与椭圆的位置关系、求三角形的面积、参数的取值范围问题·T20直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、证明问题·T20纵向把握趋势卷Ⅰ3年3考，难度较大，涉及椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题及证明问题．特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低．这一变化，预计2019年仍会以椭圆为载体考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及定点或定值问题卷Ⅱ3年3考，难度偏大，涉及轨迹问题、直线与抛物线的位置关系、直线与椭圆的位置关系、轨迹问题、三角形面积、范围问题以及直线过定点问题．特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低．这一变化，预计2019年会以椭圆为载体考查弦长问题及弦长取值范围问题卷Ⅲ3年3考，涉及直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、轨迹问题及证明问题．预计2019年会将抛物线与圆综合考查，考查直线与圆或抛物线的位置关系及其应用问题[考法一 定点、定值问题]题型·策略(一)| “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题[例1] (2018·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[破题思路] 第(1)问第(2)[规范解答](1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32. 所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b 消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以y A y B ＝4bk，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，整理得x A x B ＋2y A y B ＝0. 即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)． 综上所述，直线AB 过定点(8,0)．[题后悟通]般可分为以下三步：[对点训练]1．(2018·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c ＝3，ab＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0， x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.则BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35.题型·策略(二)| “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题[例2] (2018·沈阳质监)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[破题思路] 第(1)问第(2)问。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分第二层级重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质讲义理
离之和为定值；
②曲线 C 关于直线 y＝x，y＝－x 均对称；
③曲线 C 所围区域的面积必小于 36；
④曲线 C 的总长度不大于 6π.
其中正确命题的序号为________．
x2 y2
解析：对于①，若点
P
在椭圆 ＋ 25
9
＝1
上，则
P
到
F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之
和为定值，到 E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个 椭圆的方程Error!得 y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线 C 关于直线 y＝x，y＝－x 均对称，
常出现在第 4～12 或 15～16 题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 19～20 题的位
置，一般难度较大．
考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评
x2 y2 1.[椭圆的定义]设 F1，F2 为椭圆 9 ＋ 5 ＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的
|PF2| 中点在 y 轴上，则 的值为( )
|PF1|
5
5
A.
B.
14
9
4
5
C.
D.
9
13
解析：选 D 如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的中点，所以 OM∥
b2 5
13
|PF2|
PF2，可得
PF2⊥x
轴，|PF2|＝
a
＝3，|PF1|＝2a－|PF2|＝
＝2|BF|＝6，则 p＝________.
p 解析：设直线 AB 的方程为 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＞x2，将直线 AB 的
2019-2019高考数学二轮复习微专题强化练课件：15圆锥曲线-文档资料
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[解析] 解法一：(1)由已知得，
b＝ 2，
ac＝ 22， a2＝b2＋c2，
a＝2， 解得b＝ 2，
c＝ 2，
所以椭圆 E 的方程为x42＋y22＝1.
第一部分 一 考点强化练
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(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 H(x0，y0)．
第一部分 一 考点强化练
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[立意与点拨] 考查 1.椭圆的标准方程；2.直线和椭圆的位置 关系；3.点和圆的位置关系；4.转化能力、推理论证能力和运算能 力、转化与化归思想和方程思想．
(1)利用 a、b、c 的关系和离心率求 E 的系数．(2)判断点与圆 的位置关系可利用定义，也可利用向量的数量积．G→A·G→B＜0⇔点 G 在圆内；G→A·G→B＞0⇔点 G 在圆外；G→A·G→B＝0⇔点 G 在圆上．
B.2x82 －2y12 ＝1
C.x32－y42＝1
D.x42－y32＝1
[立意与点拨] 考查双曲线、抛物线的标准方程及几何性
质．可利用渐近线过点(2， 3)和双曲线焦点在抛物线准线上列方
程组求解．
[答案] D
第一部分 一 考点强化练
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[解析] 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax， 因为点(2， 3)在渐近线上，所以ba＝ 23，双曲线的一个焦点在抛 物线 y2＝4 7x 的准线 x＝－ 7上，所以 c＝ 7，由此可解得 a＝2， b＝ 3，所以双曲线方程为x42－y32＝1，故选 D.