傅里叶级数
傅里叶级数
1. 级数展开和完备性内积（Inner product ）：给定区间[,]a b ，对实函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰；如果是复函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰。
由内积，可定义范数（距离），||||f g -≡正交：(,)0f g =。
算子的特征值和特征函数：Af f λ=，0f ≠。
结论：自共轭算子的不同特征值对应的特征函数一定是正交的。
正交系：{,1}n X n ≥，(,)n m mn X X δ=。
给定正交系下函数()f x 的级数展开：1()~n nn f x c X∞=∑，其中(,)n n c f X = 完备：对任意的平方可积函数，是否成立1()n nn f x c X∞==∑？Bessel ’s inequality: 221||||nn f c∞=≥∑。
由此：级数在2L 意义下是收敛的。
证明：易知，222221111||||||||2(,)||||0NNNNN n n n n nn n n n n E f c X f c f X c f c =====-=-+=-≥∑∑∑∑，令N →∞即得。
Parseval equality: 221||||n n f c ∞==∑。
由此：如果Parseval equality 成立，则21NL n nn c Xf =−−→∑。
可以认为正交系完备。
判断一个正交系的完备性不是很容易的。
2. 特征值和特征函数序列：分离变量方法归结为微分方程的非零解问题。
0X X λ''+=，(0,)x l ∈；边界条件（1） Dirichlet. (0)()0X X l ==; （2） Neumann.(0)()0X X l ''==；（3） Robin.0(0)()X a X l '=，()()l X l a X l '=-。
一般 boundary conditions111122220()()()()0()()()()0X X X a X b X a X b X a X b X a X b λαβγδαβγδ''+=⎧⎪''+++=⎨⎪''+++=⎩，(,)x a b ∈； 如果满足该方程组的两个解成立0x bx a X Y XY ==''-=，则称symmetric boundary conditions 。
傅里叶级数
k
2 (k 0)
1
k 0
1、傅里叶正弦级数
若周期函数f(x)为奇函数， f ( )cos
k l
为奇函数
l
l
f ( )cos
k d 0 l
a0、ak系数为0
函数可以展开为
k x f ( x) bk sin l k 1
2 l k bk f ( )sin d l 0 l
傅里叶级数
任何周期函数 都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示
若函数以2l为周期
可取三角函数族
f ( x 2l ) f ( x)
2 x k x ,,cos , l l l x 2 x k x sin ,sin ,,sin , l l l ,cos
1,cos
x
作为基本函数族，将f(x)展开为级数
傅里叶正弦级数
其展开系数为
2、傅里叶余弦级数
若周期函数f(x)为偶函数， 同理可得bk=0 函数可以展开为 f ( x) a0 ak cos k x l k 1
傅里叶余弦级数
其展开系数为
2 l k ak 0 f ( )cos l d kl
k x k x f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
周期函数的傅里叶展开式
利用三角函数族Βιβλιοθήκη 正交性，可以求出上式中的展开系数ak
k l l
1
l
k f ( ) cos d , l
傅里叶展开系数
1 l k bk f ( )sin d l l l
傅里叶级数
上展为余弦级数.
实际计算也不必构造上述F(x)，只要直接使用上
述得出的
计算即可.
例3 将f(x)=x 解 由于
展开为正弦级数.
因此可得正弦级数
由于f(x)=x为
内的连续函数，
因此在
内有
在
处，上述正弦级数分别收敛于
例4 将f(x)=x 解 由于
展开为余弦级数.
因此f(x)的余弦级数为
由于在 因此在
推得欧拉–——傅里叶级数的系数
(因为F(x)sin nx为偶函数).
此时相应的傅里叶级数为
.此级数也
满足前述收敛定理.通常称上述工作为将f(x)在 上
展开成正弦级数.
如果将F(x)构造为
上的偶函数，使其在
上等于f(x)，则可称之将f(x)在
上偶延拓，由此
可推得
此时相应的傅里叶级数为
此级
数也满足前述收敛定理.通常称上述工作为将f(x)在
上述的
的表达式称为欧拉——傅里叶公式.
由欧拉——傅里叶公式确定
得到的三角级数
称为f(x)的傅里叶级数. 对傅里叶级数有以下结论：
定理10.10 (狄利克雷定理) 设f(x)为周期等于2π的函
数，f(x)在[–π,π]上有定义且有界.假定[–π,π]可以分
成有限个子区间，在每个子区间上f(x)是连续且单调
其中
此级数收敛，它的和满足： (1) 当x为f(x)的连续点时，和等于f(x)； (2) 当x为f(x)的间断点时，和等于 (3) 当x= –l或l时，和等于
例5 将f(x)=x(–2≤x＜2)展开为傅里叶级数. 解 由于f(x)=x在–2≤x＜2上展开，因此l=2.
(对称区间上奇函数的积分等于0)
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统中的傅里叶级数表示是一种将周期信号表示为
无穷级数的方法。
傅里叶级数是由法国数学家和物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，该方法通过将一个周期信号分解为多个正弦波和余弦波的组合，来描述信号的频率成分。
一个周期信号可以表示为无穷级数的形式，每个项都是一个正弦波或余弦波，并且所有项的总和形成原始的周期信号。
在傅里叶级数中，每个项都是复数，表示该项的幅度和相位。
傅里叶级数的数学表达式如下：
\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\cos(n\omega t+\varphi_n)\)
其中，\(f(t)\)是周期信号，\(\omega\)是信号的角频率，\(n\)是项的序号，\(a_n\)和\(\varphi_n\)分别是第\(n\)项的幅度和相位。
傅里叶级数在实际应用中非常重要，因为它揭示了周期信号的频率成分，并可用于分析、设计和控制各种信号处理系统。
通过分析傅里叶级数的系数，可以了解信号的频率成分，以及这些成分的幅度和相位信息。
这使得傅里叶级数成为信号处理、通信和控制系统等领域的重要工具。
傅里叶级数
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
傅里叶级数和傅里叶系数的关系
傅里叶级数和傅里叶系数的关系傅里叶级数是一种将任意周期函数分解为无限多个正弦和余弦函数的和的数学工具。
它的应用十分广泛，包括信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数的计算需要用到傅里叶系数，傅里叶系数是傅里叶级数中每个正弦和余弦函数的系数，它们之间有着密切的关系。
傅里叶级数的计算公式是：f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))其中，a0、an和bn是傅里叶系数，ω是角频率，n是正整数。
a0是函数f(x)在一个周期内的平均值，an和bn是函数f(x)中每个正弦和余弦函数的振幅系数。
傅里叶系数的计算公式是：an=2/T*∫[T/2,-T/2]f(x)*cos(nωx)dxbn=2/T*∫[T/2,-T/2]f(x)*sin(nωx)dx其中，T是函数f(x)的周期，ω=2π/T是角频率。
傅里叶系数的计算需要用到函数f(x)在一个周期内的积分，这就要求函数f(x)必须是周期函数。
傅里叶级数和傅里叶系数之间的关系可以用欧拉公式来表示：e^(inωx)=cos(nωx)+i*sin(nωx)将欧拉公式代入傅里叶级数的计算公式中，可以得到：f(x)=a0/2+∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞][∫[T/2,-T/2]f(x)*cos(nωx)dx*cos(nωx)+∫[T/2,-T/2]f(x)*sin(nωx)dx*sin(nωx)]]=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞](an*cos(nωx)+bn*sin(nωx))]=1/T*[∫[T/2,-T/2]f(x)dx+2∑[n=1,∞](an*cos(nωx)-bn*cos(nωx+π/2))]其中，i是虚数单位。
由此可见，傅里叶级数中的正弦和余弦函数可以用复指数函数来表示，而傅里叶系数就是复指数函数的系数。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的。
傅里叶级数的基本概念包括：
1. 周期函数：傅里叶级数适用于周期函数，即具有重复性的函数。
周期函数可以用一个周期T来描述，即f(t+T) = f(t)。
2. 基函数：傅里叶级数中的基函数是正弦和余弦函数。
正弦函数的频率是函数在一个周期内重复的次数，余弦函数则是正弦函数相位向右移动90度得到的。
基函数的频率可以用角频率ω表示。
3. 傅里叶级数公式：傅里叶级数表示一个周期函数f(t)可以表示为一个无穷级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) +
bn*sin(nωt))，其中a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的系数。
4. 傅里叶系数：傅里叶级数中的系数an和bn可以通过积分计算得到。
an表示在周期T内函数f(t)与cos(nωt)的乘积的平均值，bn则是与sin(nωt)的乘积的平均值。
这些系数代表了基函数的贡献程度。
5. 频谱：傅里叶级数可以将一个周期函数表示成一系列频率成分的和。
这些频率成分称为频谱，由基函数的频率ω和对应的系数确定。
傅里叶级数的基本概念可以帮助我们理解和分析周期函数的特性，以及应用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
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傅里叶级数（Fourier Series ）引言正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数)sin(ϕω+=t A y 就是一个以ωπ2为周期的函数。
其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，ϕ为初相。
但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。
具体地说，将周期为)2(ωπ=T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为∑∞=++=10)sin()(n n n t n A A t f ϕω 其中),3,2,1(,,0Λ=n A A n n ϕ都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。
在电工学上，这种展开称为谐波分析。
其中常数项0A 称为)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波（又叫做基波）；而)2sin(22ϕω+t A ， Λ)3sin(33ϕω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。
为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ωϕωϕϕωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ωϕϕ,cos ,sin ,200，则上式等号右端的级数就可以改写成∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。
1.函数能展开成傅里叶级数的条件（1） 函数)(x f 须为周期函数；（2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点）（3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
若满足以上条件则)(x f 能展开成傅里叶级数，且其傅里叶级数是收敛的，当x 是)(x f 的连续点时，级数收敛于)(x f ，当x 是)(x f 的间断点时，级数收敛于)]0()0([21++-x f x f 。
、 以上也是收敛定理（狄利克雷（Dirichlet ）充分条件）的内容。
2.函数展开成傅里叶级数（1）首先介绍一下三角函数系的正交性的概念：所谓三角函数1，ΛΛ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos nx nx x x x x ① 在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系①中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ- 上的积分等于零，即⎰-=ππ0cos nxdx )3,2,1(Λ=n ， ⎰-=ππ0sin nxdx )3,2,1(Λ=n ， ⎰-=ππ0cos sin nxdx kx )3,2,1,(Λ=n k ， ⎰-=ππ0cos cos nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠=Λ， ⎰-=ππ0sin sin nxdx kx ),3,2,1,(n k n k ≠=Λ. （2）傅里叶系数的推导设)(x f 是周期为π2的周期函数，且满足收敛定理的条件，则函数)(x f 的傅里叶级数记作∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ② 那么傅里叶系数Λ,,,110b a a 如何利用)(x f 表达出来？先求0a ，对②式从π-到π逐项积分：=⎰-ππdx x f )(∑⎰⎰⎰∞=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡++10sin cos 2n n n nxdx b nxdx a dx a ππππππ 根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：=⎰-ππdx x f )(π220⨯a 从而得出 ⎰-=πππdx x f a )(10 其次求n a ，用nx cos 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得⎰⎰--=ππππnxdx a nxdx x f cos 2cos )(0∑⎰⎰∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12cos sin cos n n n nxdx nx b nxdx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出： πππππππn n n a nx a nxdx a nxdx x f =+==⎰⎰⎰---22cos 1cos cos )(2 ⎰-=⇒πππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1(Λ=n . 类似地，用nx sin 乘②式两端，再从π-到π逐项积分，可得⎰⎰--=ππππnxdx a nxdx x f sin 2sin )(0∑⎰⎰∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12sin cos sin n n n nxdx b nxdx nx a ππππ 根据三角函数系①的正交性，可以得出：πππππππn n n b nx a nxdx a nxdx x f =-==⎰⎰⎰---22cos 1sin sin )(2 ⎰-=⇒πππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1(Λ=n 由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可以合并写成⎰-=⇒πππnxdx x f a n cos )(1 )3,2,1,0(Λ=n ，⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 )3,2,1(Λ=n ，例： 设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤--=.0,1,0,1)(ππx x x f 将)(x f 展开成傅里叶级数。
解 所给函数满足收敛定理的条件，它在点),2,1,0(Λ±±==k k x π处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理可知)(x f 的傅里叶级数收敛，且当πk x =时级数收敛于 02)1(1211=-+=+-， 当πk x ≠时级数收敛于)(x f 。
计算傅里叶系数如下：⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1 ⎰⎰+-=-ππππ00cos 1cos )1(1nxdx nxdx 0= )3,2,1,0(Λ=n ；⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 ⎰⎰+-=-ππππ00sin 1sin )1(1nxdx nxdx +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0cos 1ππn nx ππ0cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n nx ]1cos cos 1[1+--=πππn n n ])1(1[2n n --=π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.,6,4,2,0,,5,3,1,4ΛΛn n n π将求得的傅里叶系数代入，得出)(x f 的傅里叶级数展开式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++=ΛΛx k k x x x f )12sin(1213sin 31sin 4)(π +∞<<-∞x (；),2,,0Λππ±±≠x .3.奇函数和偶函数的傅里叶级数定理：设)(x f 是周期为π2的函数，满足收敛定理的条件，则① 当)(x f 为奇函数时，它的傅里叶系数为⎪⎭⎪⎬⎫====⎰ππ0).,3,2,1(sin )(2),,2,1,0(0ΛΛn nxdx x f b n a n n ② 当)(x f 为偶函数时，它的傅里叶系数为⎪⎭⎪⎬⎫====⎰).,3,2,1(0),,2,1,0(cos )(20ΛΛn b n nxdxx f a n n ππ 下面对这个定理加以证明（1）证 设)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-。
按傅里叶系数公式有：⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1 ⎰⎰+=-ππππ00cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f利用定积分换元法，在右边的第一个积分中以x -代替x ，然后对调积分的上下限同时更换它的符号，得⎰⎰+---=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f a n ⎰⎰+-=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f .),2,1,0(0Λ==n同理 ⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 ⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ⎰⎰+---=ππππ00sin 1))(sin()(1nxdx x dx nx x f⎰⎰+=ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ).,3,2,1(sin )(20Λ==⎰n nxdx x f ππ（2）证 设)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-。
同（1）利用定积分换元法⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1 ⎰⎰+=-ππππ00cos )(1cos )(1nxdx x f nxdx x f ⎰⎰+---=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f ⎰⎰+=ππππ00cos )(1))(cos()(1nxdx x f dx nx x f ).,3,2,1,0(cos )(20Λ==⎰n nxdx x f ππ⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1 ⎰⎰+=-ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f ⎰⎰+---=ππππ00sin 1))(sin()(1nxdx x dx nx x f ⎰⎰+-=ππππ00sin 1sin )(1nxdx x nxdx x f .),2,1,0(0Λ==n这个定理说明了：如果)(x f 为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数∑∞=1sin n n nx b 如果)(x f 为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数∑∞=+10.cos 2n n nx a a4.傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，在电子技术中，经常应用这种形式。
设周期为π2周期函数)(x f 的傅里叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ③ 其中系数n n b a ,为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰--ππππππ).,3,2,1(sin )(1),,2,1,0(cos )(1ΛΛn nxdx x f b n nxdx x f a n n ④ 利用欧拉公式 2cos it it e e t -+=，ie e t itit 2sin --= 于是③式化为 ∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++10)(2)(22n inx inx n inx inx n e e ib e e a a.)22210∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=n inx n n inx n n e ib a e ib a a ⑤ 记n n n n n n c ib a c ib a c a -=+=-=2,2,200 ),,3,2,1(Λ=n 则⑤式就表示为 [].)210∑∞=--++n inx n inx n e c e c a +==0)(n inx n ec [].)1∑∞=--+n inx n inx n e c e c inx n n e c ∑∞-∞==⑥⑥式即为傅里叶级数的复数形式。