2012学年第一学期《集合与函数概念》复习1

[例4]若f(x)＝(m＋1)x2 －(m＋1)x＋3(m－1)<0对一切 实数x恒成立，则m的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
13 C．(－∞，－1]∪12，＋∞ 13 D．(－∞，－1]∪12，＋∞
[解析] 当m＋1＝0时，显然成立 当m＋1<0时，Δ<0
3．含字母的集合的相等、包含、运算关系 问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别 注意集合元素的互异性．
b [例 3] 集合 A＝{a， ，1}，B＝{a2，a＋b,0}， a 若 A＝B，则 a2009＋b2010＝________.
[解析]
b b ＝0 ＝0 a 由条件知 ，或a ， a2＝1 a＋b＝1
变1：已知{1,2} B {1,2,3,4}，这样的集 合B的个数是 3 个. 变2：已知{1,2} B {1,2,3,4}，这样的集 合B的个数是 2 个.
5．新定义集合，关键是理解“定义”的 含义，弄清集合中的元素是什么．
[例5]
A、B都是非空集合，定义A*B＝{x|x＝ a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b ∉ A∩B }，若 A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和 为________．
2．函数与方程的思想
①函数与方程可以相互转化，注意运用函数与 方程的思想解决问题 ②要特别注意掌握一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根的分布
[例3] 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的 两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是( ) A．k>0 B．k<－4 C．－4<k<0 D．k<－4或k>0 [解析] 设f(x)＝2kx2－2x－3k－2， 由题意知kf(1)<0，∴k(k＋4)>0， ∴k>0或k<－4，故选D.
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间 的 关系与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋ p<0} ， 若 B A ， 则 实 数 p 的 取 值 范 围 是 ________．
[解析] p A， B＝{x|x<－4}，∵B
p ∴结合数轴可知－4≤－1，∴p≥4.
解（3） f ( x ) 在（3，+∞）上增函数，证明如下：
x1 x2 3，

f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 ( x1 x2 )( x1 x2 9) x1 x2
9 9 9 9 ) ( x2 ) ( x1 x2 ) ( ) x1 x2 x1 x2
a＝－1 ，但由互异性知，a≠1，∴ b＝0
a＝± 1 ∴ b＝0
，
∴a2009＋b2010＝－1.
4．空集是任何集合的子集，要特别注意．
[例4] 集合A＝{x|x2＋x＋a＝0}，B＝{－2,1}，
若A B，则实数a的取值范围是_____．
1 [解析] ①当 Δ＝1－4a<0， a> 时， 即 A＝∅， 满足 AB； 4 1 1 ②当 Δ＝0 即 a＝ 时，A＝{－ }，不合题意． 4 2 ③当 Δ>0 时，集合 A 中有两相异元素， 1 故 AB 不可能成立，综上所述 a> . 4
f ( x) 的奇偶性，并证明。
f ( x) 在（3，+∞）上的单调性，并证明。 （4）求 f ( x ) 在[3，+∞）上的值域。 解答（1）f (1) 1 a 10 a 9
（2） f ( x ) 是奇函数，证明如下：
f ( x) 的定义域为（ -∞ ，0）∪（0，+∞）关于x=0对称，
[解析] 由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3， A*B中的元素x＝ab＋a＋b， ∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.
6．熟练掌握
A⊆B ⇔ A∩B＝A ⇔ A∪B＝B
及集合的运算是解决一些集合问题的基．
[例6] 设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}， 且A∩B＝B，则实数a的值为 ( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．1，－1或0
3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函 数和 y ＝ 等的图象特征．熟练判断函数 的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平 移．
三、注重数学思想与方法的提炼与掌
握，养成自觉运用数学思想与方 法分析解决数学问题的思维习惯
1．数形结合的思想 数缺形，少直观；形缺数，难入微。
[例1] 已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不 相等的实数根，则实数m的取值范围是____． [解析] 设y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m，由于y1＝x2－ 4|x|＋5为偶函数，画出x≥0的图象，再由对称性 可画出x<0时的图象，由图可见1<m<5时方程有 4个根．∴1<m<5.
例题：函数 f ( x) mx mx 1 定义域是 R，求m的取值范围.
2
解析：等价于 mx mx 1 0 对任意的 x∈R恒成立.
2
当m=0时，不等式1 ≥0恒成立.
当m≠0时，只需 m 0 2 m 4m 0 解得0<m≤4 综上得 0 ≤ m≤4
▲ 奇函数偶函数的性质:
①奇函数的图象关于 原点 对称；偶函数的图象关于 Y轴 对称．
②偶+偶=偶; 奇+奇=奇;偶· 偶=偶; 奇· 奇=偶;奇· 偶=奇
③ 奇函数在对称区间上单调性 相同 ；
偶函数在对称区间上单调性
相反
．
例题：已知函数
a f ( x) x x
,且
f (1) 10
。
（1）求a的值；（2）判断 （3）判断
2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解 “函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围”．
[解析]
(1)∵0≤x≤1 时，f(x)有意义，
∴要使 f(2x－1)有意义． 1 须 0≤2x－1≤1，∴2≤x≤1， 1 故所求定义域为[2，1]． (2)∵0≤x≤1，∴2≤x＋2≤3，∴使 f(x)有意义的 x 的允 许取值范围是 2≤x≤3，故所求定义域为[2,3]．
13 ∴m<－1 或 m>12，故选 D.
[点评] f(x)＝ax2＋bx＋c不一定是x的二次函数， 只有a≠0时才是．故解决这类含参数系数的 问题应注意分类讨论．
4．转化与化归的思想
在处理问题时： 把陌生的转化为熟悉的， 把未知的转化为已知的， 就是转化与化归的思想方法．
[例 5]
3 方程 x － x＝k 在[－1,1]上有实根， 2
2012学年第一学期
高一期末总复习
之《集合与函数概念》
▲先对两个符号的理解和辨析：
①如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A. 否则就说a不属于集合A，记作aA. ②一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素 都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作AB.
练习⑴ 0 ； ⑵ { 0 } ≠ ⑶ 1 ∈ {0,1,2}； ⑷ {1} {0, 1, 2}； ⑸ {1} ∈ {{0},{1},{2}}；
f ( x) 的奇偶性，并证明。
f ( x) 在（3，+∞）上的单调性，并证明。 f ( x) 在[3，+∞）上的值域。
解（4）因为 f ( x ) 在（3，+∞）上是增函数，
9 所以 f ( x) f (3) 3 6 3
故 f ( x ) 在[3，+∞）上的值域为[6,
+∞ )。
专题：恒成立问题

一、集合的概念与表示，集合间的关 系与运算．
1．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问 题的重要基本功．
[例1]
(1)集合A＝{y|y＝x}，B＝{y|y＝x2}，
则A∩B＝
{y|y≥0}
.
(2)集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，
则A∩B＝ {(0,0)，(1,1)} .
x
解：由题可知f(x)=
e 1＞-1，
x
g(x)=-x² +4x-3=-(x-2)² +1≤1，
若有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1，1]，
即-b² +4b-3＞-1，即 b² -4b+2＜0，
解得 2 2 b 2 2 ．
专题：恒成立问题
二、不等式恒成立
无论变量在指定范围怎么变化，不等 式永远成立。 比如x² ≥0在对任意的实数x永远成立。 再比如ax+bx+5>0，当x=0时 不管a,b怎么变都成立，叫恒成立。
2
则实数 k 的取值范围是 (
5 3 A．[－ ， ] 32 2 3 2 C．[－ ， ] 14 3 9 B．[－ ，3] 16 9 5 D．[－ ， ] 16 2
)
3 [解析] 由题意可知， 在 x － x k 2
2
(－1≤x≤1)的取值
范围内时，方程有实根， 3 9 5 ∵f(x)＝x － x，x∈[－1,1]的值域[－ ， ]， 2 16 2
二、函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、最值及应用
1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义域 研究函数，定义先行
作业10：判断函数的奇偶性
4 x f ( x) x2 2
2 2
▲用定义判断函数奇偶性，其步骤为：
（1）考察定义域是否关于原点对称，
若不对称，则函数既不是奇函数，也不是偶函数；
2
9 5 ∴k∈[－ ， ]．∴选 D. 16 2
2．性质f(m＋n)＝f(m)·f(n)类似指数函数f(x) ＝ax (a>0且a≠1)的性质，可类比指数函数 f(x)＝ax，结合已知条件进行求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论． ①涉及的数学概念是分类定义的； ②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的； ③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； ④由运算的限制条件引起的分类． ⑤由实际问题的实际意义引起的分类． ⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致 不同的结果． ⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解 题策略来解决的． ⑧由图形的不确定性引起分类