圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、 圆锥曲线的光学性质 1．1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。

电影放映机的反光镜也是这个原理。

证明：由导数可得切线l 的斜率02020x x b x k y a y =-'==，而1PF 的斜率010y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()2002222220000012222001000200tan 11y b x x c a y a y b x b cx k kb x y kk a b x y a cy xc a y α++++-'===+-+-+，()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2220tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0,2παβ⎛⎫''∈ ⎪⎝⎭，∴αβ''=1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．图1.3图1.2图1.1要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。

此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理 1.若点00(,)P x y 是椭圆22221x y a b+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221x x y ya b+=。

证明：由22221y x b a =-⇒2222(1)x y b a=-……①，1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x x k y ==，∴对①式求导：2222'b yy x a=-，∴02020'|x x b x k y a y =-==，∴切线方程为200020()b x y y x x a y --=--……②， ∵点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，故 2200221x y a b+= ，代入②得00221x x y y a b +=……③，而当x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式，故00221x x y ya b+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程.预备定理 2. 若点00(,)P x y 是双曲线22221x y a b-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：00221x x y ya b-= 证明：由22221y x b a =-⇒2222(1)x y b a=-……①， 1°当xa ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x xk y ==，∴对①式求导：2222'b yy x a =，∴02020'|x x b x k y a y ===，∴切线方程为200020()b xy y x x a y -=--……②，∵点00(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=上，故2200221x y a b-= 代入②得00221x x y y a b -=……③，而当x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式，故00221x x y y ab-=是双曲线过点00(,)P x y 的切线方程.预备定理 3.若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+证明：由22y px =，对x 求导得：002'2'|x x pyy p k y y ==⇒==， 当00y ≠时，切线方程为00()p y y x x y -=-，即2000y y y px px -=-， 而200002()y px y y p x x =⇒=+………①，而当000,0y x ==时，切线方程为00x =也满足①式，故抛物线在该点的切线方程是00()y y p x x =+.定理1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）已知：如图，椭圆C 的方程为22221x y a b+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.证法一：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈，则过点P 的切线方程为：00221x x y ya b +=，'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a，∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a =+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线，∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=证法二：由证法一得切线l 的斜率02020'|x x b x k y a y =-==，而1PF 的斜率010y k x c =+，2PF的斜率l020y k x c =-，∴l 到1PF 所成的角'α满足：2002222220000012222001000200tan '1()1()y b x x c a y a y b x b cx k k b x y kk a b x y a cy x c a y α++++-===+-+-+ ∵00(,)P x y 在椭圆2222:1x y C a b +=上，∴2tan 'b cy α=，同理，2PF 到l 所成的角'β满足2220tan 1k k b kk cy β-==+，∴tan 'tan 'αβ= 而','(0,)2παβ∈，∴''αβ=证法三：如图，作点3F ，使点3F 与2F 关于切线l 对称，连结1F ，3F 交椭圆C 于点'P 下面只需证明点P 与'P 重合即可。

一方面，点P 是切线l 与椭圆C 的唯一交点，则12||||2PF PF a +=，是l 上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l 上的其它点均在椭圆外）。

另一方面，在直线l 上任取另一点''P ，∵12131312|'||'||'||'||||''||''|P F P F P F P F F F P F P F +=+=<+ 即'P 也是直线AB 上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P 与'P 重合，即αβ=而得证 定理2 双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）；已知：如图，双曲线C 的方程为22221x y a b-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ= 证明：2222:1x yC a b-=，两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(222b a c +=，00(,)P x y 在双曲线上，则过点P 的切线00221x x y y a b -=，切线l 与x 轴交于2(,0)a D x 。

由双曲线的焦半径公式得：1020||||,||||c cPF x a PF x a a a=+=-，双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -'，故011102000220||||||||||||,||||||,||||||cx a PF DF a c a ca DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a+=+=-==- 故βαβα'='⇔= ，∴切线l 为F FP '∠之角分线。

图2.2定理3 抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）。

已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =，直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=， 反射线PQ 与l 所成角记为β，求证：αβ=证明： 如图 ，抛物线C 的方程为2:4C y cx =，点00(,)P x y 在该抛物线上，则过点P 的切线为00()y y p x x =+，切线l 与x 轴交于0(,0)D x -，焦点为)0,(c F ，γβ=(同位角)，∵220000||()||,||||PF x c y x c DF x c =-+=+=+，∴||||PF DF =，∴γαβα=⇔=通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。