圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

一、 圆锥曲线的光学性质 1．1

椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另

一个焦点上； (见图1.1)

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明：由导数可得切线l 的斜率0

20

20x x b x k y a y =-'

==，

而1PF 的斜率010

y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()200

2

2222

2000001222

2

001000

2

00

tan 11y b x x c a y a y b x b cx k k

b x y kk a b x y a cy x

c a y α++++-'===+-+-+，

()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2

220

tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0,

2παβ??

''∈ ??

?

，∴αβ''=

1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．

1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

图1.3

图1.2

图1.1

要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明

2．1圆锥曲线的切线与法线的定义

设直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线

c 在点M 处的法线。

此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明

预备定理 1.若点00(,)P x y 是椭圆22

221x y a b

+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

+=。 证明：由22221y x b a =-?222

2(1)x y b a

=-……①，

1°当x a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0'|x x k y ==，∴对①式求导：2

222'b yy x a

=-，

∴020

20

'|x x b x k y a y =-==，∴切线方程为20002

0()b x y y x x a y --=--……②， ∵点00(,)P x y 在椭圆2222

1x y a b +=上，故 2200

221x y a b

+= ，代入②得00221x x y y a b +=……③， 而当x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式，故00221x x y y

a b

+=是椭圆过点00(,)P x y 的切线方程.

预备定理 2. 若点00(,)P x y 是双曲线22

221x y a b

-=上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：

00221x x y y

a b

-= 证明：由22221y x b a =-?2

222(1)x y b a

=-……①， 1°当x

a ≠±时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且0

'|x x

k y ==，

∴对①式求导：2222'b yy x a =，∴02020'|x x b x k y a y ===，∴切线方程为200020

()b x

y y x x a y -=--……②，

∵点00(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=上，故2200

221x y a b

-= 代入②得00221x x y y a b -=……③，

而当

x a =±时，00y = 切线方程为x a =±，也满足③式，故00221x x y y a

b

-=是双曲线过点

00(,)P x y 的切线方程.

预备定理 3.若点

00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是

00()y y p x x =+

证明：由2

2y px =，对x 求导得：00

2'2'|x x p

yy p k y y ==?==

， 当00y ≠时，切线方程为00

()p y y x x y -=

-，即2

00

0y y y px px -=-， 而2

00002()y px y y p x x =?=+………①，而当000,0y x ==时，切线方程为00x =也满足①式，

故抛物线在该点的切线方程是00()y y p x x =+.

定理1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图2.1）

已知：如图，椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)

P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.

证法一：在22

22:1x y C a b

+=上，00(,)P x y C ∈，

则过点P 的切线方程为：00221x x y y

a b +=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，

则0000222

211

':()()()y x l x x y b a b a

-=-， ∴法线'l 与x 轴交于2

0((),0)c D x a

，

∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a =+=-，∴20

12

20

||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||

||||

F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线，

∴αβ=，∵90ααββ''+=?=+，故可得αβαβ''=?=

证法二：由证法一得切线l 的斜率020

20

'|x x b x k y a y =-==，而1PF 的斜率010y k x c =+，2PF

的斜率

l

020y k x c =-，∴l 到1PF 所成的角'α满足：200

22222

2000001222

2

001000

200tan '1()1()y b x x c a y a y b x b cx k k b x y kk a b x y a cy x c a y α++++-===+-+-

+ ∵00(,)P x y 在椭圆2222:1x y C a b +=上，∴2

tan 'b cy α=，

同理，2PF 到l 所成的角'β满足2

220

tan 1k k b kk cy β-==

+，∴tan 'tan 'αβ= 而','(0,)2

π

αβ∈，∴''αβ=

证法三：如图，作点3F ，使点3F 与2F 关于切线l 对称，连结1F ，3F 交椭圆C 于点'P 下面只需证明点P 与'P 重合即可。

一方面，点P 是切线l 与椭圆C 的唯一交点，则12||||2PF PF a +=，是l 上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为l 上的其它点均在椭圆外）。

另一方面，在直线l 上任取另一点''P ，∵12131312|'||'||'||'||||''||''|P F P F P F P F F F P F P F +=+=<+ 即'P 也是直线AB 上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P 与'P 重合，即αβ=而得证 定理2 双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）；

已知：如图，双曲线C 的方程为22

221x y a b

-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是过双曲线C 上的一

点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ= 证明：22

22:

1x y

C a b

-=，两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(222b a c +=，00(,)P x y 在双曲线上，则过点P 的切线

00221x x y y a b -=，切线l 与x 轴交于2

(,0)a D x 。 由双曲线的焦半径公式得：

1020|||

|,||||c c

PF x a PF x a a a

=+=-，

双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -'，故011102000220|

|

||||||||||,||||||,||||

||c

x a PF DF a c a c

a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a

+=+=-==

- 故βαβα'='?= ，∴切线l 为F FP '∠之角分线。

图2.2

定理3 抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）。

已知：如图，抛物线C 的方程为为2

4y cx =，直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=， 反射线PQ 与l 所成角记为β，求证：αβ=

证明： 如图 ，抛物线C 的方程为2:4C y cx =，点00(,)P x y 在该抛物线上，则过点P 的切线为00()y y p x x =+，切线l 与x 轴交于

0(,0)D x -，焦点为)0,(c F ，γβ=(同位角)，

∵00||||,||||PF x c DF x c ==+=+，∴||||PF DF =，∴γαβα=?= 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？

三、圆锥曲线的光学性质的应用 3．1解决入射与反射问题

例1. 设抛物线2

:C y x =，一光线从点A (5，2)射出，平行C 的对称轴，射在C 上的P 点，经过反射后，又射到C 上的Q 点，则P 点的坐标为____，Q 点的坐标为______。 解：如图，直线AP 平行于对称轴且A (5，2)，∴则P 点的坐标为（4，2），

∴反射线PQ 过点1(,0)4

F ，设2(,)Q t t ， 则228

1115444

t t ==--，解得：18t =-，∴11(,)648Q -

例2. 已知椭圆方程为252x +16

2

y = 1，若有光束自焦点A (3，0)射出，经二次

反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图3.1.2所示，则△ABC 的周长

为 。

解：∵椭圆方程为252x +16

2y = 1中，2

25169c =-=，

∴A (3，0)为该椭圆的一个焦点，∴自A (3，0)射出的光线AB 反射后，反射光线AC 定过另一个焦点A ' (-3，0)

故△ABC 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==?=。

图2.3

图3.1.1

图3.1.2

例3.双曲线22

:188

x y C -=，又A C ∈，已知A (4，22)， F (4，0)，若由F 射至A 的光线被双曲线C 反射，反射光通过 (8,)P k ，则k = 。 解：∵入射线FA 反射后得到的光线AP 的反向延长线定过双曲线的另

一个焦点'(4,0)F -

，∴128

k k =?=3．2 解决一类“距离之和”的最值问题

张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”

层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指

明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。

例4．已知椭圆22

1259

x y C +=：，1F 、2F 为分别是其左右焦点，点(21)Q ，，P 是C 上的动点，求

1MF MQ +的取值范围。

（一）分析猜想：

（1）经计算，22Q （，）点在椭圆内,由于椭圆是封闭图形，因此1MF MQ +应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。

（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从1F 射出被椭圆反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1，光线从11F P Q →→），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从122F P F Q →→→），究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的1112PF PQ a +< (2a 为椭圆长轴长)，而图3.2.2中的212

2P F PQ a +>，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。 但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？

将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于221111PQ P F PQ PF +++是定值

4a (a 为椭圆长半轴长)，而111PQ PF +由前面知最小，由此猜测2

21PQ P F +可能就是最大值。 （二）证明111

PF PQ +是最小值。 如图3.2.2，连接2 Q F ，延长交椭圆于2P ，在椭圆上另取一点2P '， 由椭圆定义知：

2212122||P Q QF PF P F P F ''-+=+ （*） ，因为2222||||P F PQ QF ''≥-，代入（*）式得： 22212122 ||||PQ QF P F P F PQ QF ''-+≥+-，所以，221212

||||PQ P F P F PQ ''+≥+。猜想得证。

图3.2.1

图3.2.2

图3.1.3

（三）计算：

综上所述，只需求出2||F Q ==

22||10a F Q -=-，最大值

为22||10a F Q +=+例5．已知双曲线22

13y C x -=：，1F 、2F 为分别是其左右焦点，点9

(4,)2

Q ，M 是C 上的动点，求2MF MQ +的取值范围。

分析猜想：经计算，Q 点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然2MF MQ +可以无限大，故要求2MF MQ +的取值范围，关键是求出2MF MQ +的最小值。根据光线的“最近传播”特点，我们猜想：从1F 射出经双曲线反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点），可作出从1F 射出被双曲线反射后经过点Q 的光线：连接1F Q ，与双曲线的交点即为使得2MF MQ +最小的点，设为P 点，光线从2F P Q →→。（见图2）

（二）证明：如图2：按猜想作出点P ，由于所求点P 显然不在双曲线的左支上（此时显然距离

之和不会最小），故在右支上另取一点P '，由双曲线定义知：1212| |PF PF P F

P F ''-=-，即1212| |PF P F P F PF ''+=+，因为11| |PF PQ PQ P F ''+≤+，两边同加2PF 得： 所以1212| |PF PQ PF PQ P F

PF ''++≤++ 12||PQ

PF P F ''=++， 故22||PQ PF PQ

P F ''+≤+，猜想得证。 （三）计算：由题意知

∵19

(2,0),(4,)2

F Q -，

∴21

12||||||||||PQ PF FQ F P PF +=-+ =112||(||||)F Q F P PF --=1||2F Q A -=11

2

例6．已知抛物线2

4C y x =：，F 是其焦点，点(2,1)Q ，

M 是C 上的动点，求MF MQ +的取值范围。

。 分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从

焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过Q 与对称轴平行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P 点（见图3.2.6）。可由抛物线的定义证明猜想是正确的。且3PF PQ +≥

3．3． 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。

光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。

以椭圆为例：如图3.3.1，l 是过椭圆周上一点P 的椭圆的切线，m 是P 点处的法线，光线从12F F （）

射出被椭圆反射经过21

F F （），满足∠1=∠2，且∠3=∠4。

图3.2.5

例7．已知l 是过椭圆22

11612

x y C +=：上一动点P 的椭圆C 的动切线，过C 的左焦点1F 作l 的垂线，

求垂足Q 的轨迹方程。

分析：如图3.3.2，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐。由于l 是椭圆的切线，切点为P ，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l 是

12F PF ∠的外角平分线，1F 关于直线l 的对称点2F '在2F P 的延长线上。这样，由于12||PF PF '=，

故1212||28F F PF PF a '=+==，而Q 、O 分别是11F F '、22F F '的中点，所以4QO =。从而Q 点轨迹是以O 为圆心、以4为半径的圆。即点Q 的方程为22

16x y +=

3．4在生产生活中的作用 例8．某种碟形太阳能热水

器的外形示意图如图3.4.1，其中F 为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm 为单位的设计尺寸如 图3.4.2．为了达到最佳加热效果，F 应距碟底多少？

解 ：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x 轴，开口方向为x 轴的正向，建立坐标系如图3.4.2，则内壁抛物线方程为2

2y px =．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40,85)的点，

所以2

8524080p p =?=，90.3p ≈．加热点F 应置于抛物线的焦点．焦点坐标为(2

p

,0)≈(45.2,0)．所以F 应距碟底约

45.2cm 。

四．圆锥曲线的光学性质在实际生活中应用举例

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。

虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量椭圆<0,双曲线>0,抛物线=0，（椭圆e<1,双曲线e>1,抛物线e=1）。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

图

3.3.2

图3.4.1

图3.4.2

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。

由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。

由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固（比如教材当中的冷却塔）

由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。

圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。