圆锥曲线的光学性质(2015)

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圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质

1. 過 :f ( x, y) 0 外部一點 A( x1, y1 ),求作切線:
設過 A( x1 , y1 )點的切線方程式為 y y1 m( x x1 ), f ( x, y ) 0 則 僅有一交點,利用判別式 D 0 求出 m y y1 m( x x1 ) 2. 過 :f ( x, y) 0 上一點 A( x0 , y0 ),求作切線: 設過 A( x0 , y0 )點的切線方程式為 y y0 m( x x0 ), f ( x, y ) 0 則 僅有一交點,利用判別式 D 0 求出 m y y0 m( x x0 ) 3. 已知切線斜率 m ,求作 :f ( x, y) 0 的切線:
x2 y 2 (2) 拋物線無法表為 1 , A B
設斜率為 m 的切線為 y=mx+k,代入拋物線方程式,
利用相切 判別式 D=0,即可求得 k。
本段結束
拋物線已知斜率之切線
拋物線 x2 4cy,求斜率為 m 的切線
設切線方程式 y mx k,代入 x 2 4cy,得 x 2 4c(mx k ),整理得 x 2 4cmx 4ck 0 因相切有重根,判別式 D 0,所以 (4cm) 2 4(4ck ) 0 則 k cm 2 。代回得切線方程式為 y mx cm 2
2 x 3 y 1 。 8 18 整理得切線方程式為 3x+2y12=0。
(2) 切點 P(x0 , y0)=(3 , 1), 8 2 所求為 4 3 x 1 y (3 x) (1 y ) 9 0 。 2 2 整理得切線方程式為 4xy11=0。
(1) 當 D>0 時,圓錐曲線與直線 L 相交於相異兩點 ( L 為割線)。

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用

得另一组解为 x = y = z = 0 .
⎧xy /(x + y) = 1/ 5,

3
解方程组
⎪ ⎨
yz
/(
y
+
z)
=
1/
6,
⎪⎩zx /(z + x) = 1/ 7.
分析 对每个方程两边取倒数得
⎧1/ x + 1/ y = 5,
(1)
⎪⎨1/ y + 1/ z = 6,
(2)
⎩⎪1/ x + 1/ z = 7.
构特征,对其取倒数,则都可化成含有 x + 1 的 x
式子,从而运用整体代入求解. 对已知式取倒数得 x + 1/ x = m + 1. (1) 对待求式取倒数得
1/ u = x3 + 1/ x3 − m3 = (x + 1/ x)3 − 3(x + 1/ x) − m3 . (2)
把(1)代入(2)得
1/ u = (m + 1)3 − 3(m + 1) − m3 = 3m2 − 2 ,

u
=
1 3m2 −
2
,故选
C.
2 巧取倒数解方程组
例 2 (1984 年苏州市数学竞赛题)
⎧x = 2z2 /(1 + z2 ),
解方程组
⎪ ⎨
y
=
2x2
/(1
+
x2
),
⎪⎩z = 2 y2 /(1 + y2 ).
.
解 ∵ f (x) 是定义在 R 上的偶函数,
∴ x = 0 是 y = f (x) 对称轴.
又∵ f (1 + x) = f (1 − x) ,

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案实验目的通过本次实验,学生将学会利用圆锥曲线的光学性质,掌握利用反射定理求圆锥曲线的参数,了解圆锥曲线在工程中的应用。

实验器材1.光源2.白纸3.直线尺4.圆规实验过程实验一:确定焦点和直线方程1.在光源左侧,在适当距离上固定一张白纸,作为反射屏幕。

2.在反射屏幕正对光源方向上方一些距离处固定一根带尺子的直杆,作为基准直线。

将反射屏幕和基准直线的交点作为坐标原点O。

3.分别用圆规在反射屏幕上作两圆,与基准直线交于A、B两点,以这两点为中心,用直尺连接光源S,分别求出两条辅助直线的方程。

4.连接圆心与对应定点的直线,交于点F。

用直线连接S和F,此线即为反射出的光线。

观察并测量反射角和入射角,求得反射点O在反射屏幕上的坐标。

实验二:求曲线方程1.更改反射物,将其改为二次曲线。

根据反射定理,在光线S1经过反射后,光线S1’与光线S2重合,连接S和S2交于点M。

2.以S为中心,以OM为半径作一圆,与二次曲线交于点P、Q,分别以P、Q为顶点,OM为轴,作两个圆锥侧面3.求出此时的圆锥曲线方程。

实验结果分析1.实验一中,通过反射定律,求出反射点在反射屏幕上的坐标,并计算出反射点到坐标原点的距离。

2.实验二中,利用圆锥曲线的光学性质,求出二次曲线的方程。

实验思考1.如何在实际生活中应用圆锥曲线的光学性质?2.圆锥曲线方程在哪些工程应用中有重要作用?实验总结通过本次实验,我们学习了圆锥曲线的光学性质,利用反射定理求出反射点在反射屏幕上的坐标,并求得了二次曲线的方程。

我们进一步了解了圆锥曲线在工程中的应用。

圆锥曲线光线性质

圆锥曲线光线性质

橢圓的光學性質已知橢圓Γ:22a x +22by =1,其兩焦點為F(c,0),F ’(-c,0),則由一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波,經該橢圓反射後會經過另一焦點。

證明:設P(x 0,y 0)為Γ上一點則220a x +220b y =1 ⇒ y 02=b 2(1-220a x )=b 2-2202ax b 而過P 的切線為L :20a x x +20byy =1 ⇒ b 2x 0x +a 2y 0y =a 2b 2直線PF 的方程式為y =c x y-00(x -c) ⇒ y 0x -(x 0-c)y -cy 0=0直線PF ’的方程式為y =cx y+00(x +c) ⇒ y 0x -(x 0+c)y +cy 0=0⇒切線L 與直線PF 的銳夾角為其法線向量(b 2x 0,a 2y 0)與(y 0,-(x 0-c))之銳夾角1θ 切線L 與直線PF ’的銳夾角為其法線向量(b 2x 0,a 2y 0)與(y 0,-(x 0+c))之銳夾角2θ ⇒cos 1θ=202024204002002)()(c x y y a x b c x y a y x b -++--=202202224204020022)( b -b )(c x a x y a x b cy a y x a b -+++-=220202224204020022cx - )x b 1(c b ay a x b cy a y x c ++-++-=202022242040202cx -x c )(a ay a x b cx a cy ++-=2024204020a)- x c()(ay a x b cx a cy +-=a- x c )(020420400ay a x b x ac a acy +-=2042040y a x b acy +cos 2θ=202024204002002)()(c x y y a x b c x y a y x b ++++-=202202224204020022)( b -b )(c x a x y a x b cy a y x a b +++--=22020222420420022cx )x b 1(c b ay a x b cy a y x c +++-+--=202022242040202cx x c )(a a y a x b cx a cy +++--=20204204020a)x c ()(+++ay a x b cx a cy =a x c )(020420400+++a y a xb x ac a acy =2042040y a x b acy +⇒cos 1θ=cos 2θ ∵1θ,2θ均為銳角 ∴1θ=2θ ⇒直線PF 、PF ’與過P 點的法線夾角相等故由橢圓一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波,經該橢圓反射後會經過另一焦點。

圆锥曲线的光学性质探究

圆锥曲线的光学性质探究
b 0 Wy o
点, 作直线 v F l , Ⅳ F 2 , 分别交左 右准线 于点Q, R, 则 Q, P , R
三点共线.
双 曲线的光学性质知直线 P Ⅳ 为
的外角平分线.
高 中 版 中。 ? 擞- ? 篱
教 教
案例 点评
2 0 1 3年 4月
向量暗藏玄机 方 向掌控 自如
外 一个焦 点.
点的 坐 标为f , Y o 1 , 即 Q 、 P 、 R 三 点 共 线 .
现在研究定理2 的逆定理 : 定理3 : 已知椭 圆 + = 1 ( 6 > 0 ) ( 如图2 ) 的左 右焦
矿 D ‘
抛物线的光学性质 : 从抛 物线的焦点出发的光 线 , 经 过 抛物线壁反射后 , 反射光线 平行 于抛物线 的对称 轴.

现在将 定理3 类 比到双曲线 和抛物线 :
定理4 : 已知双 曲线 一
旷 b。
\矿





差= c t + e X o = , 所
矿 b‘

= 1( 如 图3 ) , , 是 其左 右 焦
点, Z , Z 。 是其左 右准线 , P 是双 曲
( + 。 ) , 左准 线 2 : : 一 , 得 Q 点 坐 标为f 一 , Y o 1 , 同 理, R
C 、 C /
过椭圆壁的反射后 , 反射光线过另外 一个 焦点.
双 曲线 的光学性质 :从 双 曲线的一个焦 点出发 的光
线, 经过双曲线壁的反射后 , 反射光线 的反 向延 长线 过另
2 0 1 3年 4月
案例 点评
材 法

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线的光学性质及其应用Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P()为圆锥曲线(A、B、C不同时为零)上一定点,则在该点处的切线方程为:。

(该方程与已知曲线方程本身相比,得到的规律就是通常所说的“替换法则”,可直接用此法则写出切线方程)。

该方程的推导,原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率,进而用点斜式写出切线方程,则在点P处的法线方程为。

1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴,那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

如图1中。

事实上,设为抛物线上一点,则切线MT的方程可由替换法则,得,即,斜率为,于是得在点M处的法线方程为令,得法线与x轴的交点N的坐标为,所以又焦半径所以,从而得即当点M与顶点O重合时,法线为x轴,结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出,则,又故,从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是:“从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线,平分这一点的两条焦点半径的夹角。

如图2中证明也不难,分别求出,然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是:“从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线,平分这一点的两条焦点半径的夹角,如图3中。

仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是:“从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。

探究数学中圆锥曲线的光学性质

探究数学中圆锥曲线的光学性质

椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义,就是光线的聚焦点,这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之,也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质,但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示,并用几何方法和学生进行简单论证.如图2,对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面,A点不是原点(0,0)时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0),过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2,y0),F(p2,0),则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p,过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p),切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p),则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0,得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1,k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义,||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’,∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角,F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时(即点A(0,0)时),结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要:椭圆、双曲线、抛物线都有焦点,焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想,从实物中抽象出数学问题,利用这些性质解决问题.关键词:光学性质;圆锥曲线;光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线是散开的,它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点,焦点是光线的聚集点,当一束光照到镜面时,光线依入射角等于反射角的规律反射.从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点(如图6所示).已知F 1,F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点,过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1,F 2在该切线上的射影,则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析:入射光线F 1P ,反射光线PF 2,过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1(镜面),F 1M ⊥MN ,F 2N ⊥MN ,PE ⊥MN 交x 轴与E ,直线PE 方程y -32=2(x -1)(法线),E (14,0),入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ,sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ,sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ;||MF 1=||PF 1cos θ,||NF 2=||PF 2cos θ,椭圆x 24+y 23=1中c =1,点P (1,32),∴PF 2⊥F 1F 2,||PF 2=32,||PF 1=52,cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35,||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申:任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1,一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2,cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1,∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2,||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展:求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解:S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ),若b c ,∃P ,使∠F 1PF 2 π2,∴∠F 1PF 2=π2时,S MF 1F 2N最大值=a 2.若b >c ,∀P ,∠F 1PF 2<π2,当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大,此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2,故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为:如图7,从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质,某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分,如图8,其方程为x 2a 2-y 2b2=1,F 1、F 2为其左、右焦点,若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后,满足∠BAD =90°,tan∠ABC =-34,则该双曲线的离心率为().A. B.5C.D .10解析:若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射,入射光线F 2A ,反射光线AD ,反向延长AD 过F 1,入射光线F 2B ,反射光线BC ,反向延长BC 过F 1,∠BAD =90°,∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34,cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ,则||AB =4k ,||BF 1=5k .令||AF 2=x ,||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ,2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中,||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2,∴|F 1F 2|=10k =2c ,则e =2c 2a =所以选C.应用:抛物线具有如下光学性质,从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点,从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点(4,23),则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析:如图9,由抛物线光学性质,从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23),入射光线FM ,反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中,应重视课本,在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法,充分发挥课本的功能,就可以事半功倍,提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学性质及其应用

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学性质及其应用

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学
性质及其应用
圆锥曲线是一种很常见的几何形状,它以圆弧作为两个一次曲线的连接,可以将一个圆的面积划分成两个部分。

圆锥曲线的光学性质是指它的特殊的光学特性,这些特性可以用来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质有以下几点:
一、圆锥曲线能够减少反射:圆锥曲线的特殊几何形状可以有效减少光的反射,减少光线的反射和衍射,从而提高光学系统的性能。

二、圆锥曲线能够改变光线的传播方向:圆锥曲线可以改变光线的传播方向和轴向度,使光线在一个方向上传播,从而提高光学系统的性能。

三、圆锥曲线能够提高视觉效果:圆锥曲线可以改变光线的传播方向,使光线能够有效地照射到视网膜,从而提高视觉效果。

四、圆锥曲线能够提高照明效果:圆锥曲线可以改变光线的轴向度,使光线能够有效地照射到物体,从而提高照明效果。

综上所述,圆锥曲线的光学性质可以提高光学系统的性能,改善视觉效果和照明效果,因此圆锥曲线在光学系统中有着广
泛的应用。

如手机摄像头的镜头,电视机的投射镜头等,都是利用圆锥曲线的特性来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质及其应用是一个很有趣的探究课题,可以让学生对光学有一个更深刻的认识,更加了解其光学性质及其应用,从而提高学生对光学的理解和把握。

本课题可以采用问题导向式教学模式,让学生根据问题提出的线索,进行逻辑思维、分析思维和探究过程,从而有效地掌握和研究圆锥曲线的光学性质及其应用。

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要探究圆锥曲线的光学性质,首先必须将这样一个光学实际问题,转化为数学问题,进行解释论证。二、问题转化及证明
2. 1圆锥曲线的切线与法线的定义
设直线l与曲线c交于P , Q两点,当直线l连续变动时, P , Q两点沿着曲线渐渐靠近,一直到P , Q重合为一点M ,此时直线l称为曲线c在点M处的切线,过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时,我们可以借助圆锥曲线的切线和法线,对这一问题进行转化: 2.2圆锥曲线光学性质的证明
00(, P x y在双曲线上
则过点P的切线
00221x x y y
a b
-=切线l与x轴交于2
(,0 a D x。
由双曲线的焦半径公式得
1020|||
|,||||c c
PF x a PF x a a a
=+=-双曲线的两焦点坐标为0, (c F , 0, (c F -'
图2.2
7故011102000220|
221x y a b
-=上,
4故22
00
221x y a b
-=代入②得00221x x y y a b -=„„„„③
而当x a =±时,
00y =切线方程为x
a =±,也满足③式
故00221x x y y
a b
-=是双曲线过点00(, P x y的切线方程.预备定理3.若点00(, P x y是抛物线22y px =上任一点,则抛物线过该点的切线方程是00( y y
1. 3抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的轴(如图1.3
抛物线这种聚焦特性,成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线,把光源置于它的焦点处,经镜面反射后能成为平行光束,使照射距离加大,并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线,一
200
tan ' 1( 1( y b x x c a y a y b x b cx k k
b x y kk a b x y a cy x c a y α++++-===+-+-
+ ∵ 00(, P x y在椭圆22
22:1x y C a b
+=上
∴ 2
tan ' b cy α=
同理, 2PF到l所成的角' β满足2
通过以上问题转化可知,圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢?三、圆锥曲线的光学性质的应用3. 1解决入射与反射问题
例1.设抛物线2:C y x =,一光线从点A(5, 2射出,平行C的对称轴,射
图2.3
8
在C上的P点,经过反射后,又射到C上的Q点,则P点的坐标为____, Q点的坐标为______。
圆锥曲线光学性质的证明及应用初探———源于课本一份《阅读材料》的探究反思内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学:王珏指导教师:张红
学习完圆锥曲线的方程和性质后,课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣,在老师的指导下,我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象,而且进一步对它进行了证明和探究,并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理,写成此文。一、圆锥曲线的光学性质
求证:αβ=.
证法一:在22
22:1x y C a b
+=上,
00(, P x y C ∈,
则过点P的切线方程为:00221x x y y
a b
+=
' l是通过点P且与切线l垂直的法线,
L
5则
0000222211':(
( ( y x l x x y b a b a -=-
∴法线' l与x轴交于20(( ,0 c
预备定理1.若点00(, P x y是椭圆22
221x y a b
+=上任一点,则椭圆过该点的切
线方程为:00221x x y y
a b
+=。
图1.3
图1.2图1.1
3证明:由22
22
1y x b a
=-⇒2
2
2
2(1 x y b a
=-„„①
1°当x
a ≠±时,过点P的切线斜率k一定存在,且0
'|x x
x y C -=,又A C ∈,已知A (4,
22 , F (4, 0 ,若由F射至A的光线被双曲线C反射,反射光通过P (8, k ,则
k

图3.1.2

3.1.3
9 =。
解:∵入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点'(4,0 F -

128
k k =⇒=3. 2解决一类“距离之和”的最值问题
p x x =+.
定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分(图2.1
已知:如图,椭圆C的方程为22
221x y a b
+=, 12, F F分别是其左、右焦点, l是过
椭圆上一点00(, P x y的切线, ' l为垂直于l且过点P的椭圆的法线,交x轴于D
设21, F PD F PD αβ∠=∠=,
∵ 12131312|' ||' ||' ||' ||||'' ||'' |P F P F P F P F F F P F P F +=+=<+
即' P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点,从而P与' P重合即αβ=而得证
定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分(图2.2;
解:∵椭圆方程为252x +16
2
y = 1中, 225169c =-=
∴ A (3, 0为该椭圆的一个焦点
∴自A (3, 0射出的光线AB反射后,反射光线AC定过另一个焦点A ' (-3, 0
故△ ABC的周长为' ' 44520AB BA A C CA a +++==⨯=
例3.双曲线22
:188
而当x
a =±时, 00y =切线方程为x a =±,也满足③式
故00221x x y y
a b
+=是椭圆过点00(, P x y的切线方程.预备定理2.若点00(, P x y是双曲线22
221x y a b
-=上任一点,则双曲线过该
点的切线方程为:00221x x y y
a b
-=
证明:由22221y x b a =-⇒2
222(1 x
y b a
=-„„①
1°当x a ≠±时,过点P的切线斜率k一定存在,且0'|x x k
y ==
∴对①式求导:2
0222' b yy x a
=∴ 02
020' |x x b x k y a y === ∴切线方程为20
0020
( b x y y x x a y -=--„„„„②
∵点00(, P x y在双曲线22
已知:如图,双曲线C的方程为22
221x y a b
-=, 1F , 2F分别是其左、右焦点, l是
过双曲线C上的一点00(, P x y的切线,交x轴于点D ,设1F P D α∠=, 2F PD β∠=求证:αβ=
证明:22
22:1x y C a b
-=
两焦点为1(,0 F c -, 2(,0 F c (222b a c +=
|
||||||||||,||||||,||||
||c
x a PF DF a c a c DF x a DF x a x a x a PF DF x a a
+=+=-==
-故βαβα'='⇔= , ∴切线l为F FP '∠之角分线。
定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分(图2.3。已知:如图,抛物线C的方程为为24y cx =,直线l是过抛物线上一点00(, P x y的切线,交x轴于D , , DPF PDF αγ∠=∠=,反射线PQ与l所成角记为β,求证:αβ=
解:如图,直线AP平行于对称轴且A(5, 2 ,∴则P点的坐标为(4, 2 ∴反射线PQ过点1(,0 4
F设2(, Q t t ,则2281115
44
4
t t =
=
-
-解得:18
t =- ∴ 11(
, 648
Q -例2.已知椭圆方程为252x +16
2
y = 1,若有光束自焦
点A (3, 0射出,经二次反射回到A点,设二次反射点为B , C ,如图3.1.2所示,则△ ABC的周长为。
张奠宙教授说“在一般情况下,光线在传播过程中,总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论,但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向,从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明,这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章,深受启发,并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。
1
2
般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星,这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线,最大限度地集中到接收器上,保证接收效果;反之,把发射装置安装在焦点,把对称轴跟踪对准卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置,同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器,它也是以抛物线镜面聚集太阳光,以加热焦点处的贮水器的.
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